2025年浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第13讲 二次函数的图象与性质(一)

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第三单元　函数及其图象 《第13讲 二次函数的图象与性质(一)》 【知识梳理】 1.二次函数的概念 定义:一般地，形如　y＝ax2＋bx＋c　(其中a，b，c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.  2.二次函数的图象 (1)二次函数的图象:以 　为顶点，以直线x＝　－　为对称轴的抛物线.  (2)用描点法画二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的步骤: ①列自变量x与函数y的对应值表. ②描点，并用光滑的曲线顺次连结各点. 3.二次函数的性质 函数 二次函数y＝ax2＋bx＋c (a，b，c为常数，a≠0) 条件 a＞0 a＜0 图象 b2－4ac＞0 b2－4ac＝0 b2－4ac＜0 开口方向 向上 向下 增减性 当x≤－时，y随x的增大而　减小　;当x≥－时，y随x的增大而　增大　.  当x≤－时，y随x的增大而　增大　;当x≥－时，y随x的增大而　减小　.  最大(小)值 当x＝－时，y达到最　小　值:y＝;无最　大　值.  当x＝－时，y达到最　大　值:y＝;无最　小　值.  4.二次函数图象的平移 将抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)用配方法化成　y＝a(x－m)2＋k(a≠0)　的形式，而任意抛物线　y＝a(x－m)2＋k(a≠0)　均可由y＝ax2平移得到，具体平移方法如下:  【考题探究】 类型一　二次函数的图象与性质 【例1】[2024·贵州]如图，二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象与x轴的一个交点的横坐标是－3，顶点坐标为(－1，4)，则下列说法正确的是(　D　) 　典例1图 A.二次函数图象的对称轴是直线x＝1 B.二次函数图象与x轴的另一个交点的横坐标是2 C.当x＜－1时，y随x的增大而减小 D.二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3 【解析】 ∵顶点坐标为(－1，4)， ∴对称轴为直线x＝－1，A错误. 由对称性可知，(－3，0)关于直线x＝－1的对称点为(1，0)，B错误. ∵抛物线开口向下，当x＜－1时，y随x的增大而增大，C错误. 设二次函数表达式为y＝a(x＋1)2＋4， 将点(－3，0)代入，得a＝－1， ∴y＝－(x＋1)2＋4. 令x＝0，得y＝3， ∴二次函数图象与y轴的交点的纵坐标是3.D正确. 变式1－1 已知点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在抛物线y＝(x－1)2－2上，点A在点B的左侧，下列说法中，正确的是(　D　) A.若c＜0，则a＜c＜b B.若c＜0，则a＜b＜c C.若c＞0，则a＜c＜b D.若c＞0，则a＜b＜c 【解析】 由题意得，该抛物线的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，当x＞1时，y随x的增大而增大;当x＜1时，y随x的增大而减小. ∵点A(a，2)，B(b，2)，C(c，7)都在该抛物线上，点A在点B的左侧， ∴若c＜0，则c＜a＜b，故A，B均不符合题意. 若c＞0，则a＜b＜c，故C不符合题意，D符合题意. 变式1－2 [2024·福建]已知二次函数y＝x2－2ax＋a(a≠0)的图象经过A，B(3a，y2)两点，则下列判断正确的是(　C　) A.可以找到一个实数a，使得y1＞a B.无论实数a取什么值，都有y1＞a C.可以找到一个实数a，使得y2＜0 D.无论实数a取什么值，都有y2＜0 【解析】 ∵二次函数表达式为y＝x2－2ax＋a(a≠0)， ∴二次函数开口向上，且对称轴为x＝－＝a，顶点坐标为(a，a－a2). 当a＞0时，0＜＜a，∴a－a2＜y1＜a; 当a＜0时，a＜＜0，∴a－a2＜y1＜a，A，B错误. 当a＞0时，0＜a＜2a＜3a， 由二次函数对称性可知点(0，a)和点(2a，a)关于对称轴对称，在对称轴右侧，y随x的增大而增大， ∴y2＞a＞0; 当a＜0时，3a＜2a＜a＜0， 同理可得y2＞a，但y2不一定大于0，C正确，D错误. 类型二　二次函数图象的平移 【例2】[2024·滨州]将抛物线y＝－x2先向右平移1个单位，再向上平移2个单位，则平移后抛物线的顶点坐标为　(1，2)　.  变式2 [2024·内江]已知二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到抛物线C，点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，则y1　＜　y2(填“＞”或“＜”).  【解析】 ∵y＝x2－2x＋1＝(x－1)2， ∴二次函数y＝x2－2x＋1的图象向左平移两个单位得到的抛物线C函数表达式为y＝(x－1＋2)2，即y＝(x＋1)2， ∴抛物线C开口向上，对称轴为直线x＝－1. 又∵点P(2，y1)，Q(3，y2)在抛物线C上，且－1＜2＜3， ∴y1＜y2. 类型三　用待定系数法求二次函数的表达式 【例3】求下列二次函数的表达式: (1)抛物线的顶点为原点，且过点(2，8). (2)抛物线的顶点坐标为(－1，－2)，且过点(1，10). (3)抛物线过三点:(0，－2)，(1，0)，(2，0). 解:(1)∵抛物线的顶点为原点， ∴可设y＝ax2. 把点(2，8)的坐标代入，得8＝4a，解得a＝2， ∴这个二次函数的表达式为y＝2x2. (2)∵抛物线的顶点坐标为(－1，－2)， ∴可设y＝a(x＋1)2－2. 把点(1，10)的坐标代入，得10＝4a－2， 解得a＝3， ∴这个二次函数的表达式为y＝3(x＋1)2－2. (3)∵抛物线过点(1，0)，(2，0)， ∴可设y＝a(x－1)(x－2). 把点(0，－2)的坐标代入，得2a＝－2， 解得a＝－1， ∴这个二次函数的表达式为y＝－x2＋3x－2. 变式3 [2023·宁波]如图，已知二次函数y＝x2＋bx＋c的图象经过点A(1，－2)和B(0，－5). (1)求该二次函数的表达式及图象的顶点坐标. (2)当y≤－2时，请根据图象直接写出x的取值范围. 变式3图 变式3答图 解:(1)把点A(1，－2)，B(0，－5)分别代入y＝x2＋bx＋c， 得解得 ∴二次函数的表达式为y＝x2＋2x－5. ∵y＝x2＋2x－5＝(x＋1)2－6， ∴函数图象的顶点坐标为(－1，－6). (2)如答图. ∵点A(1，－2)关于对称轴直线x＝－1的对称点C(－3，－2)， ∴当y≤－2时，x的取值范围是－3≤x≤1. 类型四　二次函数的最值 【例4】[2024·乐山]已知二次函数y＝x2－2x(－1≤x≤t－1)，当x＝－1时，函数取得最大值;当x＝1时，函数取得最小值，则t的取值范围是(　C　) A.0＜t≤2 B.0＜t≤4 C.2≤t≤4 D.t≥2 【解析】 ∵y＝x2－2x＝(x－1)2－1， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，且顶点坐标为(1，－1). 又∵1－(－1)＝3－1， ∴x＝－1和x＝3时的函数值相等. ∵－1≤x≤t－1，当x＝－1时，函数取得最大值， ∴t－1≤3. 又∵当x＝1时，函数取得最小值， ∴t－1≥1，∴1≤t－1≤3， 解得2≤t≤4. 变式4－1 已知二次函数y＝2x2－4x－1在0≤x≤a时，y取得的最大值为15，则a的值为(　D　) A.1 B.2 C.3 D.4 【解析】 ∵二次函数y＝2x2－4x－1＝2(x－1)2－3， ∴抛物线的对称轴为直线x＝1，顶点坐标为(1，－3)，当x＝0时，y＝－1. ∵2＞0，∴开口向上， ∴在对称轴x＝1的右侧，y随x的增大而增大. ∵当0≤x≤a时，y取得的最大值为15， ∴由对称性易知，当x＝a时，y＝15，∴2(a－1)2－3＝15， 解得a1＝4，a2＝－2(舍去)，故a的值为4. 变式4－2 [2023·杭州]设二次函数y＝a(x－m)(x－m－k)(a＞0，m，k是实数)，则(　A　) A.当k＝2时，函数y的最小值为－a B.当k＝2时，函数y的最小值为－2a C.当k＝4时，函数y的最小值为－a D.当k＝4时，函数y的最小值为－2a 【解析】 易知二次函数y＝a(x－m)(x－m－k)与x轴的交点坐标是(m，0)，(m＋k，0)， ∴二次函数的对称轴是直线x＝. ∵a＞0，∴y有最小值， 当x＝时，y最小， 即y＝a＝－a. 当k＝2时，函数y的最小值为－a＝－a; 当k＝4时，函数y的最小值为－a＝－4a. 故选A. 变式4－3 [2023·绍兴]已知二次函数y＝－x2＋bx＋c. (1)当b＝4，c＝3时， ①求该函数图象的顶点坐标. ②当－1≤x≤3时，求y的取值范围. (2)当x≤0时，y的最大值为2;当x＞0时，y的最大值为3，求二次函数的表达式. 解:(1)①当b＝4，c＝3时，y＝－x2＋4x＋3＝－(x－2)2＋7， ∴顶点坐标为(2，7). ②∵当－1≤x≤2时，y随x的增大而增大， 当2≤x≤3时，y随x的增大而减小， ∴当x＝2时，y有最大值7. 又∵当x＝－1时，y＝－2;当x＝3时，y＝6， ∴当－1≤x≤3时，－2≤y≤7. (2)∵当x≤0时，y的最大值为2;当x＞0时，y的最大值为3， ∴抛物线的对称轴直线x＝在y轴的右侧，∴b＞0. ∵抛物线开口向下，当x≤0时，y的最大值为2， ∴c＝2. 又∵＝3，∴b＝±2. 又∵b＞0，∴b＝2， ∴二次函数的表达式为y＝－x2＋2x＋2. 变式4－4 [2023·嘉兴、舟山]在二次函数y＝x2－2tx＋3(t＞0)中， (1)若它的图象过点(2，1)，则t的值为多少? (2)当0≤x≤3时，y的最小值为－2，求出t的值. (3)如果点A(m－2，a)，B(4，b)，C(m，a)都在这个二次函数的图象上，且a＜b＜3，求m的取值范围. 解:(1)将点(2，1)代入y＝x2－2tx＋3中，得1＝4－4t＋3，解得t＝. (2)抛物线的对称轴为直线x＝t. 若0＜t≤3，则当x＝t时，函数值最小， ∴t2－2t2＋3＝－2，解得t＝(负值舍去); 若t＞3，当x＝3时，函数值最小， ∴－2＝9－6t＋3，解得t＝(不合题意，舍去). 综上所述，t＝. (3)∵点A(m－2，a)，C(m，a)关于对称轴对称， ∴＝t，即m－1＝t，且点A在对称轴左侧，点C在对称轴右侧. ∵抛物线与y轴交点为(0，3)，抛物线的对称轴为直线x＝t， ∴此交点关于对称轴对称的点为(2m－2，3). ∵b＜3且t＞0，∴4＜2m－2，解得m＞3. 当点B在对称轴左侧时. ∵a＜b，∴4＜m－2，解得m＞6. 当点B在对称轴右侧时. ∵a＜b，∴m＜4，∴3＜m＜4. 综上所述，3＜m＜4或m＞6. 【课后作业】 1.已知抛物线y＝(x－2)2＋1，下列结论错误的是(　D　) A.抛物线开口向上 B.抛物线的对称轴为直线x＝2 C.抛物线的顶点坐标为(2，1) D.当x＜2时，y随x的增大而增大 2.[2024·包头]将抛物线y＝x2＋2x向下平移2个单位后，所得新抛物线的表达式为(　A　) A.y＝(x＋1)2－3 B.y＝(x＋1)2－2 C.y＝(x－1)2－3 D.y＝(x－1)2－2 3.已知二次函数y＝x2－2x－3的自变量x1，x2，x3对应的函数值分别为y1，y2，y3.当－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3时，y1，y2，y3三者之间的大小关系是(　B　) A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y2＜y3＜y1 【解析】 由题意得，抛物线的对称轴为直线x＝－＝1，且开口向上. 又∵－1＜x1＜0，1＜x2＜2，x3＞3， ∴画出函数图象易得y2＜y1＜y3. 4.[2023·株洲]如图所示，若直线l为二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的图象的对称轴，则下列说法正确的是(　C　) 第4题图 A.b＞0 B.a，b同号 C.a，b异号 D.ab≤0 5.在平面直角坐标系中，将抛物线y＝x2＋2x－1先绕原点旋转180°，再向下平移5个单位，所得到的抛物线的顶点坐标为　(1，－3)　.  【解析】 ∵y＝x2＋2x－1＝(x＋1)2－2， ∴原抛物线的顶点坐标为(－1，－2). 先将抛物线绕原点旋转180°，则新顶点与原顶点关于原点对称，即新顶点坐标为(1，2)， 再向下平移5个单位，则新顶点坐标变为(1，－3). 6.已知抛物线的对称轴是y轴，且经过点(1，3)，(2，6)，则该抛物线的函数表达式为　y＝x2＋2　.  【解析】 ∵抛物线的对称轴是y轴， ∴设此抛物线的函数表达式为y＝ax2＋c. 把点(1，3)，(2，6)的坐标代入， 得解得 ∴此抛物线的函数表达式为y＝x2＋2. 7.若A(－2，y1)和B(1，y2)是二次函数y＝x2－4x－3图象上的两点，则y1　＞　y2(填“＞”“＜”或“＝”).  8.若点P(a，b)在抛物线y＝－x2＋2x－1上，则a＋b的最大值为 　.  【解析】 ∵点P(a，b)在抛物线y＝－x2＋2x－1上， ∴b＝－a2＋2a－1， ∴a＋b＝a－a2＋2a－1＝－a2＋3a－1＝－， ∴a＋b的最大值为. 9.[2024·扬州]如图，已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象与x轴相交于A(－2，0)，B(1，0)两点. (1)求b，c的值. (2)若点P在该二次函数的图象上，且△PAB的面积为6，求点P的坐标. 第9题图 解:(1)把点A(－2，0)，B(1，0)代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 (2)由(1)知，二次函数表达式为y＝－x2－x＋2， 设点P的坐标为(m，－m2－m＋2). ∵△PAB的面积为6，AB＝1－(－2)＝3， ∴S△PAB＝AB·|yP|＝×3×|－m2－m＋2|＝6， ∴|m2＋m－2|＝4，即m2＋m－2＝4或m2＋m－2＝－4， 解得m＝－3或m＝2， ∴点P(－3，－4)或(2，－4). 10.已知二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象经过A(－1，0)，B(2，3)两点. (1)求二次函数的表达式及顶点坐标. (2)如果将此二次函数的图象向上平移n个单位后过点P(m，4)，再将点P向右平移3个单位后得点Q，点Q恰好落在原二次函数y＝－x2＋bx＋c的图象上，求n的值. 解:(1)将A，B两点的坐标代入y＝－x2＋bx＋c， 得解得 ∴二次函数表达式为y＝－x2＋2x＋3. ∵y＝－x2＋2x＋3＝－(x－1)2＋4， ∴顶点坐标为(1，4). (2)将此二次函数的图象向上平移n个单位后得到y＝－(x－1)2＋4＋n. ∵平移后函数图象过点P(m，4)， ∴4＝－(m－1)2＋4＋n， ∴n＝(m－1)2. ∵将点P向右平移3个单位后得点Q， ∴点Q(m＋3，4). ∵点Q恰好落在原二次函数y＝－(x－1)2＋4的图象上， ∴4＝－(m＋3－1)2＋4， 解得m＝－2， ∴n＝(m－1)2＝9. 11.已知二次函数y＝x2＋ax＋b(a，b为常数).命题①:该函数的图象经过点(1，0);命题②:该函数的图象经过点(3，0);命题③:该函数的图象与x轴的交点位于y轴的两侧;命题④:该函数的图象的对称轴为直线x＝1.若这四个命题中只有一个命题是假命题，则这个假命题是(　A　) A.命题① B.命题② C.命题③ D.命题④ 【解析】 易知①②③不可能同时成立，故①②③中有假命题， ④是真命题. 又∵①②④不可能同时成立，∴①②中有假命题， ③是真命题. 又∵①③④不可能同时成立， ∴①是假命题. 12.[2023·陕西]在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2＋mx＋m2－m(m为常数)的图象经过点(0，6)，其对称轴在y轴左侧，则该二次函数有(　D　) A.最大值5 B.最大值 C.最小值5 D.最小值 【解析】 由题意，得6＝m2－m，解得m1＝3，m2＝－2. ∵二次函数y＝x2＋mx＋m2－m的图象的对称轴在y轴左侧， ∴m＞0，∴m＝3， ∴y＝x2＋3x＋6， ∴二次函数有最小值，为. 13.[2024·拱墅区模拟]已知点A(x1，t)，B(x2，t)在二次函数y＝x2＋bx＋c(b，c为常数)的图象上，设该二次函数的最小值为k.若x2－x1＝6，则t－k的值为　9　.  【解析】 令x2＋bx＋c＝t， 则x2＋bx＋c－t＝0， ∴x1＋x2＝－b，x1·x2＝c－t， ∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1·x2， ∴b2－4(c－t)＝36， ∴t＝. 又∵k＝－，∴t－k＝9. 14.[2024·安徽]已知抛物线y＝－x2＋bx(b为常数)的顶点横坐标比抛物线y＝－x2＋2x的顶点横坐标大1. (1)求b的值. (2)点A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋2x上，点B(x1＋t，y1＋h)在抛物线y＝－x2＋bx上. ①若h＝3t，且x1≥0，t＞0，求h的值. ②若x1＝t－1，求h的最大值. 解:(1)∵抛物线y＝－x2＋bx的顶点横坐标为，y＝－x2＋2x的顶点横坐标为1， ∴－1＝1，∴b＝4. (2)∵点A(x1，y1)在抛物线y＝－x2＋2x上， ∴y1＝－＋2x1. ∵点B(x1＋t，y1＋h)在抛物线y＝－x2＋4x上， ∴y1＋h＝－(x1＋t)2＋4(x1＋t)， ∴h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t. ①∵h＝3t， ∴3t＝－t2－2x1t＋2x1＋4t， ∴t(t＋2x1)＝t＋2x1. ∵x1≥0，t＞0， ∴t＋2x1＞0，∴t＝1，∴h＝3. ②将x1＝t－1代入h＝－t2－2x1t＋2x1＋4t， ∴h＝－3t2＋8t－2，h＝－3. 又∵－3＜0，∴当t＝，即x1＝时，h取最大值. 15.[2024·广西]课堂上，数学老师组织同学们围绕关于x的二次函数y＝x2＋2ax＋a－3的最值问题展开探究. [经典回顾]二次函数求最值的方法. (1)老师给出a＝－4，求二次函数y＝x2＋2ax＋a－3的最小值. ①请你写出对应的函数表达式. ②求当x取何值时，函数y有最小值，并写出此时y的值. [举一反三]老师给出更多a的值，同学们求出对应的函数在x取何值时，y取最小值，将记录的结果整理成下表: a … －4 －2 0 2 4 … x … * 2 0 －2 －4 … y的最小值 … * －9 －3 －5 －15 … 注:*为②的计算结果. [探究发现]老师:“请同学们结合学过的函数知识，观察表格，谈谈你的发现.” 甲同学:“我发现，老师给了a的值后，我们只要取x＝－a，就能得到y的最小值.” 乙同学:“我发现，y的最小值随a值的变化而变化，当a由小变大时，y的最小值先增大后减小，∴我猜想y的最小值中存在最大值.” (2)请结合函数表达式y＝x2＋2ax＋a－3，解释甲同学的说法是否合理. (3)你认为乙同学的猜想是否正确?若正确，请求出此最大值;若不正确，请说明理由. 解:(1)①y＝x2＋2ax＋a－3＝x2－8x－7. ②当x＝－＝4时，y取得最小值，为16－32－7＝－23. (2)合理.理由如下: ∵1＞0，故函数有最小值， 当x＝－＝－a时，y取得最小值， 故甲同学的说法合理. (3)正确. 当x＝－a时，y＝x2＋2ax＋a－3＝－a2＋a－3. ∵－1＜0，∴y有最大值， ∴当a＝时，y取最大值，为－－3＝－. 学科网（北京）股份有限公司 $$