2025年浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第12讲 反比例函数

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第三单元　函数及其图象 《第12讲 反比例函数》 【知识梳理】 1.反比例函数的概念 (1)定义:形如　y＝　(k为常数，k≠0)的函数叫做反比例函数，其中x是自变量，y是x的函数，k叫做　比例系数　.  (2)反比例函数y＝中，比例系数k≠0，自变量x≠0，函数值y≠0，且另外两种表达形式为y＝kx－1或xy＝k(k≠0). 2.反比例函数的图象与性质 (1)反比例函数的图象:反比例函数y＝(k≠0)的图象是由两个分支组成的　曲线　，且关于直角坐标系的　原点　成中心对称，关于第一、三象限(或第二、四象限)的坐标轴夹角平分线成轴对称.  (2)反比例函数y＝(k≠0)的图象与性质如下表: 函数 常数取值 图象 所在象限 性质 y＝ (k≠0) k＞0 第　一、三　象限(x，y同号)  在每一象限内，y随x的增大而减小 k＜0 第　二、四　象限(x，y异号)  在每一象限内，y随x 的增大而增大 3.反比例函数y＝(k≠0)中的比例系数k的意义 (1)代数意义:反比例函数图象上的点(x，y)具有横、纵坐标之积为常数的特点. (2)几何意义:①过反比例函数图象上的任意一点，向两坐标轴作垂线，两条垂线与坐标轴所围成的矩形的面积为常数　|k|　;②过反比例函数图象上的任意一点，向两坐标轴作垂线，一条垂线与坐标轴及该点与原点连线所围成的三角形的面积为常数 |k|　.  【考题探究】 类型一　反比例函数的概念及表达式 【例1】若反比例函数的图象经过点(1，－2)，则该反比例函数的表达式为　y＝－　.  变式1 若函数y＝是反比例函数，则常数a的取值范围是　a≠　.  类型二　反比例函数的图象与性质 【例2】[2024·浙江]反比例函数y＝的图象上有P(t，y1)，Q(t＋4，y2)两点.下列说法正确的是(　A　) A.当t＜－4时，y2＜y1＜0 B.当－4＜t＜0时，y2＜y1＜0 C.当－4＜t＜0时，0＜y1＜y2 D.当t＞0时，0＜y1＜y2 【解析】 当t＜－4时，t＋4＜0， ∴点P，Q都在反比例函数y＝第三象限的图象上，且y随x的增大而减小， ∴y2＜y1＜0，A正确; 同理可得，当－4＜t＜0时，y1＜0＜y2，B，C均错误; 当t＞0时，0＜y2＜y1，D错误. 故选A. 变式2－1 [2023·嘉兴、舟山]已知点A(－2，y1)，B(－1，y2)，C(1，y3)均在反比例函数y＝的图象上，则y1，y2，y3的大小关系是(　B　) A.y1＜y2＜y3 B.y2＜y1＜y3 C.y3＜y1＜y2 D.y3＜y2＜y1 变式2－2 设函数y1＝，y2＝－(k＞0). (1)当2≤x≤3时，函数y1的最大值是a，函数y2的最小值是a－4，求a和k的值. (2)设m≠0，且m≠－1，当x＝m时，y1＝p;当x＝m＋1时，y1＝q.圆圆说:“p一定大于q”.你认为圆圆的说法正确吗?为什么? 解:(1)∵k＞0，x＞0，∴y1随x的增大而减小， ∴当x＝2时，y1＝a，即k＝2a.① ∵－k＜0，x＞0，∴y2随x的增大而增大， ∴当x＝2时，y2＝a－4，即－k＝2a－8.② 联立①②，解得a＝2，k＝4. (2)圆圆的说法不正确.理由如下: 取m＝m0，满足－1＜m0＜0， 则m0＜0，m0＋1＞0， ∴当x＝m0时，y1＝p＝＜0; 当x＝m0＋1时，y1＝q＝＞0， 此时p＜0＜q，∴圆圆的说法不正确. 类型三　反比例函数y＝中|k|的意义 【例3】[2024·齐齐哈尔]如图，反比例函数y＝(x＜0)的图象经过平行四边形ABCO的顶点A，OC在x轴上，若点B(－1，3)，S▱ABCO＝3，则实数k的值为　－6　.  典例3图 典例3答图 【解析】 如答图，延长AB，交y轴于点D，则点D(0，3). ∵S▱ABCO＝3， ∴OC·OD＝3OC＝3，∴OC＝1. ∵ABCO是平行四边形， ∴AB＝OC＝1， ∴AD＝2，∴点A(－2，3). 又∵点A在反比例函数图象上， ∴k＝－6. 变式3 [2023·绍兴]如图，在平面直角坐标系xOy中，函数y＝(k为大于0的常数，x＞0)图象上的两点A(x1，y1)，B(x2，y2)满足x2＝2x1.△ABC的边AC∥x轴，边BC∥y轴，若△OAB的面积为6，则△ABC的面积是　2　.  变式3图 变式3答图 【解析】 如答图，延长CA交y轴于点E，延长CB交x轴于点F， ∴CE⊥y轴，CF⊥x轴， ∴四边形OECF为矩形. ∵x2＝2x1， ∴A为CE的中点. 由|k|的几何意义，得S△OAE＝S△OBF， ∴B为CF的中点， ∴S△OAB＝S矩形OECF＝6， ∴S矩形OECF＝16， ∴S△ABC＝×16＝2. 类型四　反比例函数与一次函数的综合 【例4】[2023·宁波]如图，一次函数y1＝k1x＋b(k1＞0)的图象与反比例函数y2＝(k2＞0)的图象相交于A，B两点，点A的横坐标为1，点B的横坐标为－2.当y1＜y2时，x的取值范围是(　B　) 典例4图 A.x＜－2或x＞1 B.x＜－2或0＜x＜1 C.－2＜x＜0或x＞1 D.－2＜x＜0或0＜x＜1 变式4－1 [2024·湖北]如图，一次函数y＝x＋m的图象经过点A(－3，0)，交反比例函数y＝(k≠0，x＞0)的图象于点B(n，4). (1)求m，n，k的值. (2)点C在反比例函数y＝第一象限的图象上，若S△AOC＜S△AOB，直接写出点C的横坐标a的取值范围. 变式4－1图 解:(1)由题意，得－3＋m＝0，n＋m＝4，k＝4n， 解得m＝3，n＝1，k＝4. (2)∵S△AOC＜S△AOB， ∴点B到x轴的距离大于点C到x轴的距离， ∴点C位于点B的右侧，∴a＞1. 变式4－2 [2023·杭州]在直角坐标系中，已知k1k2≠0，设函数y1＝与函数y2＝k2(x－2)＋5的图象相交于点A，B.已知点A的横坐标是2，点B的纵坐标是－4. (1)求k1，k2的值. (2)过点A作y轴的垂线，过点B作x轴的垂线，在第二象限相交于点C;过点A作x轴的垂线，过点B作y轴的垂线，在第四象限相交于点D.求证:直线CD经过原点. 变式4－2图 解:(1)由题意得，点A的坐标是(2，5)，∴k1＝2×5＝10， 即函数y1＝. 设点B的坐标是(m，－4)，∴－4＝， 解得m＝－， ∴点B的坐标是， ∴－4＝k2＋5，解得k2＝2. (2)由题意得，点C的坐标是，点D的坐标是(2，－4). 设图象经过C，D两点的一次函数的表达式为y＝kx＋b， ∴解得 即y＝－2x. ∵当x＝0时，y＝0， ∴点(0，0)在函数y＝－2x的图象上，即直线CD经过原点. 类型五　反比例函数在实际生活中的应用 【例5】[2023·台州]科学课上，同学用自制密度计测量液体的密度.密度计悬浮在不同的液体中时，浸在液体中的高度h(单位:cm)是液体的密度ρ(单位:g/cm3)的反比例函数，当密度计悬浮在密度为1 g/cm3的水中时，h＝20 cm. (1)求h关于ρ的函数表达式. (2)当密度计悬浮在另一种液体中时，h＝25 cm，求该液体的密度ρ. 　典例5图 解:(1)设h关于ρ的函数表达式为h＝， 把ρ＝1，h＝20代入表达式，得k＝1×20＝20， ∴h关于ρ的函数表达式为h＝. (2)把h＝25代入h＝，得25＝，解得ρ＝0.8. 答:该液体的密度ρ为0.8 g/cm3. 变式5－1 [2023·温州]在温度不变的条件下，通过一次又一次地对汽缸顶部的活塞加压，加压后气体对汽缸壁所产生的压强p(kPa)与汽缸内气体的体积V(mL)成反比例，p关于V的函数图象如图所示.若压强由75 kPa加压到100 kPa，则气体体积压缩了　20　mL.  变式5－1图 【解析】 设这个反比例函数的表达式为p＝. 当V＝100时，p＝60， ∴k＝pV＝6 000，∴p＝. 当p＝75时，V＝＝80， 当p＝100时，V＝＝60， ∴80－60＝20(mL)， ∴气体体积压缩了20 mL. 变式5－2 [2024·吉林]已知蓄电池的电压为定值，使用蓄电池时，电流I(A)与电阻R(Ω)是反比例函数关系，它的图象如图所示. (1)求这个反比例函数的表达式(不要求写出自变量R的取值范围). (2)当电阻R为3 Ω时，求此时的电流I. 变式5－2图 解:(1)设I＝，由题意得U＝RI＝9×4＝36， ∴这个反比例函数的表达式为I＝. (2)电阻R为3 Ω时，I＝＝12(A). 【课后作业】 1.[2024·重庆B卷]反比例函数y＝－的图象一定经过的点是(　B　) A.(1，10) B.(－2，5) C.(2，5) D.(2，8) 2.[2024·滨州]点M(x1，y1)和点N(x2，y2)在反比例函数y＝(k为常数)的图象上，若x1＜0＜x2，则y1，y2，0的大小关系为(　C　) A.y1＜y2＜0 B.y1＞y2＞0 C.y1＜0＜y2 D.y1＞0＞y2 【解析】 在反比例函数y＝中， (k－1)2＋2＞0， 反比例函数图象分布在第一、三象限. ∵x1＜0＜x2， ∴点M在第三象限的图象上，点N在第一象限的图象上， ∴y1＜0＜y2. 3.[2023·金华]如图，一次函数y＝ax＋b的图象与反比例函数y＝的图象相交于点A(2，3)，B(m，－2)，则不等式ax＋b＞的解是(　A　) 第3题图 A.－3＜x＜0或x＞2 B.x＜－3或0＜x＜2 C.－2＜x＜0或x＞2 D.－3＜x＜0或x＞3 【解析】 ∵点A(2，3)在反比例函数的图象上， ∴k＝6. 又∵点B(m，－2)在反比例函数的图象上， ∴m＝－3，∴点B(－3，－2). 结合图象，当ax＋b＞时，－3＜x＜0或x＞2. 4.[2023·丽水]若100 N的压力F作用于物体上，产生的压强p要大于1 000 Pa，则下列关于物体受力面积S的说法正确的是(　A　) A.S小于0.1 m2 B.S大于0.1 m2 C.S小于10 m2 D.S大于10 m2 【解析】 ∵p＝，F＝100 N， ∴p＝. ∵产生的压强p要大于1 000 Pa， ∴＞1 000，∴S＜0.1 m2. 5.在同一平面直角坐标系中，函数y＝kx＋1与y＝－(k为常数且k≠0)的图象可能是(　A　) A 　B　 C 　D 6.[2023·邵阳]如图，矩形OABC的顶点B和正方形ADEF的顶点E都在反比例函数y＝(k≠0)的图象上，点B的坐标为(2，4)，则点E的坐标为(　D　) 　第6题图 A.(4，4) B.(2，2) C.(8，1) D.(4，2) 【解析】 易求得反比例函数的表达式为y＝， ∴可设点E， ∴AD＝a－2＝ED＝， 解得a1＝4，a2＝－2. 又∵a＞0，∴a＝4，∴点E(4，2). 7.[2023·河北]如图，已知点A(3，3)，B(3，1)，反比例函数y＝(k≠0)图象的一支与线段AB有交点，写出一个符合条件的k的整数值:　k＝4(3≤k≤9即可)　.  第7题图 8.[2024·扬州]如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(1，0)，点B在反比例函数y＝(x＞0)的图象上，BC⊥x轴于点C，∠BAC＝30°，将△ABC纸片沿AB翻折，若点C的对应点D落在该反比例函数的图象上，则k的值为　2　.  第8题图 第8题答图 【解析】 设点B的横坐标为m＋1. ∵点A(1，0)，∴AC＝m. 又∵∠BAC＝30°， BC⊥x轴于点C， ∴BC＝m，∴k＝m(m＋1). 由轴对称可知，AD＝m，∠DAB＝∠CAB＝30°， ∴∠DAC＝60°. 如答图，过点D作DG⊥x轴，垂足为G， ∴AG＝，∴DG＝，∴点D. ∴·m(m＋1)，解得m＝2， ∴k＝m(m＋1)＝2. 9.[2024·内江]如图，一次函数y＝ax＋b(a≠0)的图象与反比例函数y＝(k≠0)的图象相交于A，B两点，其中点A的坐标为(－2，3)，点B的坐标为(3，n). (1)求这两个函数的表达式. (2)根据图象，直接写出关于x的不等式ax＋b＜的解. 第9题图 解:(1)由题意，得k＝－2×3＝3×n， ∴k＝－6，n＝－2， ∴反比例函数的表达式为y＝－. ∵点A(－2，3)，B(3，－2)在一次函数y＝ax＋b的图象上， ∴解得 ∴一次函数的表达式为y＝－x＋1. (2)由图象可知，关于x的不等式ax＋b＜的解为－2＜x＜0或x＞3. 10.[2023·连云港]如图，矩形OABC的顶点A在反比例函数y＝(x＜0)的图象上，顶点B，C在第一象限，对角线AC∥x轴，交y轴于点D.若矩形OABC的面积是6，cos∠OAC＝，则k＝　－　.  第10题图 第10题答图 【解析】 如答图，过点A作AE⊥x轴于点E. ∵矩形OABC的面积是6， ∴△AOC的面积是3. ∵∠AOC＝90°，cos∠OAC＝， ∴. ∵AC∥x轴，∴∠AOE＝∠OAC. 又∵∠OEA＝∠AOC＝90°， ∴△OEA∽△AOC， ∴，∴S△OEA＝. 易知S△OEA＝|k|，k＜0， ∴k＝－. 11.如图，四边形OABC为矩形，点A在第二象限，点A关于OB的对称点为点D，点B，D都在函数y＝(x＞0)的图象上，BE⊥x轴于点E.若DC的延长线交x轴于点F，当矩形OABC的面积为9 时，的值为 　，点F的坐标为 　.  第11题图 第11题答图 【解析】 如答图，连结BF，过点D作DH⊥x轴于点H，取OB中点为M，连结DM，BD，OD. ∵点A与点D关于OB对称，∴S△OBD＝S△OBA. 又易得S△OBA＝S△OBC，∴S△OBD＝S△OBC，∴CD∥OB， ∴S△OBF＝S△OBC＝S矩形OABC＝. 又易得S△OBE＝×6＝3， ∴，∴. 设点B，则点F. ∵CD∥OB，∴∠BOE＝∠DFH. 又易知∠BEO＝∠DHF＝90°，∴△OBE∽△FDH， ∴，即， 解得xD＝2a或xD＝－a(不合题意，舍去)， ∴点D. ∵M为OB的中点，∴点M， ∴MD＝a. 又∵∠ODB＝∠A＝90°，∴MD＝OB， 即a＝，解得a＝(负值舍去)， ∴a＝，即点F的坐标为. 12.[2024·温州校级模拟]如图，点A，B在x轴正半轴上(点B在点A的右边)，OA＝2AB，分别以OA，AB为边作等边三角形OAC，ABD，反比例函数y＝(k＞0)的图象经过AD的中点E，与边OC相交于点F.过点F作FM⊥x轴于点M，过点E作EN⊥y轴于点N.若阴影部分的面积为12，求k的值. 第12题图 第12题答图 解:如答图，过点E作EH⊥x轴于点H. 设AB＝4a，则OA＝2AB＝8a. ∵以AB为边作等边三角形ABD，且E是AD的中点. ∴AE＝AD＝AB＝2a，∠EAH＝60°，AH＝AE＝a，EH＝a， ∴OH＝OA＋AH＝9a， ∴点E的坐标为(9a，a). ∵阴影部分的面积等于12， ∴NO·OM＝12a·OM＝12， ∴OM＝. ∵以OA为边作等边三角形OAC， ∴∠FOM＝60°，OF＝2OM＝， ∴FM＝， ∴点F的坐标为. ∵反比例函数图象经过点E，F， ∴×＝9a×a， 解得a＝2(负值舍去)， ∴k＝36. 13.[2024·金华模拟]建筑是一门不断演化和创新的艺术，近年来，一种名为双曲铝单板的新兴材料以其独特的曲线和光泽，为建筑注入了新的时尚元素，同时也赋予了建筑创意更多的可能性.图1为某厂家设计制造的双曲铝单板建筑，其横截面(图2)由两条曲线EG，FH(反比例函数图象的一部分)和若干线段围成，为轴对称图形，其中四边形ABDC与四边形GMNH均为矩形，AB＝2 m，BE＝2 m，AC＝20 m，GM＝10 m，MN＝4 m.以AC的中点O为原点，AC所在直线为x轴建立平面直角坐标系. 请回答下列问题: (1)如图2，求EG所在曲线的函数表达式. (2)如图3，为在曲面实现自动化操作，工程师安装了支架EG，并加装了始终垂直于EG的伸缩机械臂PQ用来雕刻EG所在曲面的花纹，请问点P在EG上滑动过程中，PQ最长为多少米? 图1　　 图2 图3 第13题图 解:(1)∵AC＝20 m，AB＝2 m，BE＝2 m，O为AC的中点，AO＝10 m， ∴点E(－8，－2). 设EG所在反比例函数图象的表达式为y＝(k≠0)， 将点E(－8，－2)的坐标代入，得 －2＝，解得k＝16， ∴EG所在曲线的函数表达式为y＝. (2)由(1)易知点E与点G的坐标分别为(－8，－2)，(－2，－8)， 设EG所在直线的表达式为y＝k1x＋b1， 则 解得k1＝－1，b1＝－10， ∴EG所在直线的函数表达式为y＝－x－10. 根据反比例函数图象轴对称的性质，曲线EG关于直线y＝x对称， 联立，得 解得x＝y＝－5， ∴点P(－5，－5). 联立，得解得x＝y＝－4， ∴点Q(－4，－4)， ∴PQ的最大值为 ＝， 即PQ最长为米. 学科网（北京）股份有限公司 $$