2025年浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第11讲 一次函数的应用

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第三单元　函数及其图象 《第11讲 一次函数的应用》 【知识梳理】 1.用一次函数的性质解决实际问题 (1)一次函数在现实生活中有着广泛的应用，在解答一次函数的应用题时，应从给定的信息中抽象出一次函数关系，理清哪个是自变量，哪个是自变量的函数，再利用一次函数的图象与性质求解，同时要注意自变量的取值范围. (2)常见类型:①求一次函数的表达式.②利用一次函数的图象与性质解决某些问题，如求最值等. 2.用一次函数的图象解决实际问题 一次函数图象的应用题是指用一次函数的图象来表示题中数量关系的应用题.解这类题的关键在于弄清横轴、纵轴各表示什么量，图象上的每一点表示什么实际意义，以及图象的变化趋势、倾斜度大小各有什么含义等. 【考题探究】 类型一　“一条直线”类应用题 【例1】一个深为6米的水池积存着少量水，现在打开水阀进水，下表记录了2小时内5个时刻的水位高度，其中x表示进水用时(单位:时)，y表示水位高度(单位:米). x 0 0.5 1 1.5 2 y 1 1.5 2 2.5 3 为了描述水池水位高度与进水用时的关系，现有以下三种函数模型供选择:y＝kx＋b(k≠0)，y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，y＝(k≠0). (1)在平面直角坐标系中描出表中数据对应的点，再选出最符合实际的函数模型，求出相应的函数表达式，并画出这个函数的图象. (2)当水位高度达到5米时，求进水用时. 例1图 例1答图 解:(1)描点如答图. 由描点可知，函数的图象为一条直线，故选择函数y＝kx＋b(k≠0)，把点(0，1)，(1，2)的坐标分别代入， 得解得 ∴函数的表达式为y＝x＋1(0≤x≤5)，函数图象如答图中线段所示. (2)当y＝5时，x＋1＝5，∴x＝4. 答:当水位高度达到5米时，进水用时为4小时. 变式1 [2024·吉林]综合与实践 某班同学分三个小组进行“板凳中的数学”的项目式学习研究.第一小组负责调查板凳的历史及结构特点;第二小组负责研究板凳中蕴含的数学知识;第三小组负责汇报和交流.下面是第三小组汇报的部分内容，请你阅读相关信息，并解答“建立模型”中的问题. [背景调查] 图1中的板凳又叫“四脚八叉凳”，是中国传统家具，其榫卯结构体现了古人含蓄内敛的审美观.榫眼的设计很有讲究，木工一般用铅笔画出凳面的对称轴，以对称轴为基准向两边各取相同的长度确定榫眼的位置，如图2所示.板凳的结构设计体现了数学的对称美. [收集数据] 小组收集了一些板凳并进行了测量.设以对称轴为基准向两边各取的相同长度为x(mm)，凳面的宽度为y(mm)，记录如下: 所取长度x(mm) 16.5 19.8 23.1 26.4 29.7 凳面的宽度y(mm) 115.5 132 148.5 165 181.5 [分析数据] 如图3，小组根据表中x，y的数值，在平面直角坐标系中描出了各点. [建立模型] 请你帮助小组解决下列问题: (1)观察上述各点的分布规律，它们是否在同一条直线上?如果在同一条直线上，求出这条直线所对应的函数表达式;如果不在同一条直线上，说明理由. (2)当凳面宽度为213 mm时，x的值是多少? 图1 图2 图3 解:(1)它们在同一条直线上， 设y＝kx＋b， 则 解得 ∴这条直线所对应的函数表达式为y＝5x＋33，代入其他值验证，均符合. (2)当y＝213 mm时，213＝5x＋33， 解得x＝36， ∴当凳面宽度为213 mm时，x的值是36. 类型二　“两条直线相交”类应用题 【例2】[2023·丽水]我市“共富工坊”问海借力，某公司产品销售量得到大幅提升.为促进生产，公司提供了两种付给员工月报酬的方案，如图所示，员工可以任选一种方案与公司签订合同.看图解答下列问题: (1)直接写出员工生产多少件产品时，两种方案付给的报酬一样多. (2)求方案二y关于x的函数表达式. (3)如果你是劳务服务部门的工作人员，你如何指导员工根据自己的生产能力选择方案? 例2图 解:(1)30件. (2)设方案二的函数表达式为y＝kx＋b，把(0，600)，(30，1 200)代入， 得解得 ∴方案二的函数表达式为y＝20x＋600. (3)若每月生产产品件数不足30件，则选择方案二; 若每月生产产品件数就是30件，则两种方案报酬相同，可以任选一种; 若每月生产产品件数超过30件，则选择方案一. 变式2 某校组织学生从学校出发，乘坐大巴前往基地进行研学活动.大巴出发1小时后，学校因事派人乘坐轿车沿相同路线追赶.已知大巴行驶的速度是40千米/时，轿车行驶的速度是60千米/时. (1)轿车出发后多少小时追上大巴?此时两车与学校相距多少千米? (2)如图，图中OB，AB分别表示大巴、轿车离开学校的路程s(千米)与大巴行驶的时间t(时)的函数关系的图象.试求点B的坐标和AB所在直线的函数表达式. (3)假设大巴出发a小时后轿车出发追赶，轿车行驶了1.5小时追上大巴，求a的值. 变式2图 解:(1)设轿车行驶的时间是x小时，则大巴行驶的时间是(x＋1)小时. 由题意，得60x＝40(x＋1)，解得x＝2， ∴60x＝120. 答:轿车出发后2小时追上大巴，此时两车与学校相距120千米. (2)易知点B的坐标为(3，120). 设AB所在直线的函数表达式为s＝kt＋b， 把点A(1，0)，B(3，120)的坐标分别代入， 得解得 ∴AB所在直线的函数表达式为s＝60t－60. (3)由题意，得40(a＋1.5)＝60×1.5， 解得a＝0.75. 类型三　方案选择 【例3】[2024·广安]某小区物管中心计划采购A，B两种花卉用于美化环境.已知购买2株A种花卉和3株B种花卉共需要21元;购买4株A种花卉和5株B种花卉共需要37元. (1)求A，B两种花卉的单价. (2)该物管中心计划采购A，B两种花卉共计10 000株，其中采购A种花卉的株数不超过B种花卉株数的4倍，当A，B两种花卉分别采购多少株时，总费用最少?请求出最少总费用. 解:(1)设A种花卉的单价为x元/株，B种花卉的单价为y元/株. 由题意，得解得 答:A种花卉的单价为3元/株，B种花卉的单价为5元/株. (2)设采购A种花卉m株，则B种花卉(10 000－m)株，总费用为w元. 由题意，得w＝3m＋5(10 000－m)＝－2m＋50 000. ∵m≤4(10 000－m)，解得m≤8 000. 在w＝－2m＋50 000中， ∵－2＜0，∴w随m的增大而减小， ∴当m＝8 000 时w的值最小， w最小＝－2×8 000＋50 000＝34 000， 此时10 000－m＝2 000. 答:当购进A种花卉8 000株，B种花卉2 000株时，总费用最少，最少总费用为34 000元. 变式3 [2023·遂宁]端午节是我国入选世界非物质文化遗产的传统节日，端午节吃粽子是中华民族的传统习俗.某超市为了满足人们的需求，计划在端午节前购进甲、乙两种粽子进行销售.经了解，每个乙种粽子的进价比每个甲种粽子的进价多2元，用1 000元购进甲种粽子的个数与用1 200元购进乙种粽子的个数相同. (1)甲、乙两种粽子每个的进价分别是多少元? (2)该超市计划购进这两种粽子共200个(两种都有)，其中甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍，若甲、乙两种粽子的售价分别为12元/个、15元/个，设购进甲种粽子m个，两种粽子全部售完时获得的利润为w元. ①求w关于m的函数表达式，并求出m的取值范围. ②超市应如何进货才能获得最大利润?最大利润是多少元? 解:(1)设每个甲种粽子的进价为x元，则每个乙种粽子的进价为(x＋2)元. 由题意，得， 解得x＝10. 经检验，x＝10是原方程的解，且符合题意， x＋2＝12. 答:每个甲种粽子的进价为10元，每个乙种粽子的进价为12元. (2)①设购进甲种粽子m个，则购进乙种粽子(200－m)个. 由题意，得w＝(12－10)m＋(15－12)(200－m)＝2m＋600－3m＝－m＋600， ∴w关于m的函数表达式为w＝－m＋600. ∵甲种粽子的个数不低于乙种粽子个数的2倍， ∴m≥2(200－m)， 解得m≥. 又∵m＜200，且m为正整数， ∴134≤m＜200. ②由①知，w＝－m＋600. ∵－1＜0， ∴当m＝134时，w有最大值，最大值为466， 此时200－134＝66， ∴购进甲种粽子134个，乙种粽子66个时利润最大，最大利润为466元. 类型四　分段函数 【例4】[2024·浙江]小浙和小江在跑步机上慢跑锻炼.小浙先跑，10分钟后小江才开始跑，小江跑步时中间休息了两次.跑步机上C档比B档快40米/分，B档比A档快40米/分.小浙与小江跑步的相关信息如下表所示，跑步累计里程s(米)与小浙跑步时间t(分)的函数关系如图所示. 时间 里程分段 速度档 跑步里程 小浙 16:00~16:50 不分段 A档 4 000米 小江 16:10~16:50 第一段 B档 1 800米 第一次休息 第二段 B档 1 200米 第二次休息 第三段 C档 1 600米 例4图 (1)求A，B，C各档速度. (2)求小江两次休息时间的总和. (3)小江第二次休息后，在a分钟时两人跑步累计里程相等，求a的值. 解:(1)由表可知小浙用A档跑4 000米需50分钟， ∴A档的速度为＝80(米/分). 又∵C档比B档快40米/分，B档比A档快40米/分， ∴B档速度为120米/分，C档速度为160米/分. (2)∵小江三段跑步共用时＝35(分)， ∴小江两次休息时间的总和为40－35＝5(分). (3)小江在第二次休息后，共用时＋5＝30(分)，跑步1 800＋1 200＝3 000(米). 此时小浙共跑步用时30＋10＝40(分)，跑步80×40＝3 200(米)， ∴小江跑步累计里程与小浙相等还需用时＝2.5(分)， ∴a＝40＋2.5＝42.5. 变式4－1 [2023·宁波]某校与部队联合开展红色之旅研学活动，上午7:00，部队官兵乘坐军车从营地出发，同时学校师生乘坐大巴从学校出发，沿公路(如图1)到爱国主义教育基地进行研学.上午8:00，军车在离营地60 km的地方追上大巴并继续前行，到达仓库后，部队官兵下车领取研学物资，然后乘坐军车按原速前行，最后和师生同时到达基地，军车和大巴离营地的路程s(km)与所用时间t(h)的函数关系如图2所示. (1)求大巴离营地的路程s关于所用时间t的函数表达式及a的值. (2)求部队官兵在仓库领取物资所用的时间. 图1 图2 变式4－1图 解:(1)设大巴离营地的路程s与所用时间t的函数表达式为s＝kt＋b(k≠0)， 将(1，60)，(0，20)两点的坐标代入， 得解得 ∴大巴离营地的路程s关于所用时间t的函数表达式为s＝40t＋20. 将点(a，100)的坐标代入函数表达式s＝40t＋20， 得100＝40a＋20，解得a＝2. (2)易知军车的速度为60 km/h， 部队官兵不领取物资直接到达基地所用的时间为100÷60＝(时)， 2－(时). 答:部队官兵在仓库领取物资所用的时间为小时. 变式4－2 [2023·金华]兄妹俩放学后沿图1中的马路从学校出发，到书吧看书后回家.哥哥步行先出发，途中速度保持不变;妹妹骑车，到书吧前的速度为200米/分.图2中的图象分别表示两人离学校的路程s(米)与哥哥离开学校的时间t(分)的函数关系. (1)求哥哥步行的速度. (2)已知妹妹比哥哥迟2分钟到书吧. ①求图中a的值. ②妹妹在书吧待了10分钟后回家，速度是哥哥的1.6倍，能否在哥哥到家前追上哥哥?若能，求追上时兄妹俩离家还有多远;若不能，说明理由. 图1 图2 变式4－2图 解:(1)由点A(8，800)，得v＝＝100， ∴哥哥步行速度为100米/分. (2)①设DE所在直线的表达式为s＝200t＋b，将点(10，800)代入， 得800＝200×10＋b，解得b＝－1 200， ∴DE所在直线的表达式为s＝200t－1 200. 当s＝0时，200t－1 200＝0，解得t＝6， ∴a＝6. ②能追上. 如答图，设BC所在直线的表达式为s1＝100t＋b1，将点B(17，800)代入， 得800＝100×17＋b1，解得b1＝－900， ∴s1＝100t－900. ∵妹妹的速度是160米/分， ∴设FG所在直线的表达式为s2＝160t＋b2，将点F(20，800)代入， 得800＝160×20＋b2，解得b2＝－2 400， ∴s2＝160t－2 400. 联立解得 ∴1 900－1 600＝300(米)，即追上时兄妹俩离家300米远. 变式4－2答图 【课后作业】 1.某物体在力F的作用下，沿力的方向移动的距离为s，力对物体所做的功W与s的对应关系如图所示，则下列结论正确的是(　C　) 第1题图 A.W＝s B.W＝20s C.W＝8s D.s＝ 【解析】 由图象得，W与s之间满足正比例函数关系， ∴可设W＝ks(k≠0). 把s＝20，W＝160代入，得160＝20k，解得k＝8， ∴W＝8s. 2.[2024·山西]生物学研究表明，某种蛇在一定生长阶段，其体长y(cm)是尾长x(cm)的一次函数，部分数据如下表所示，则y与x之间的关系式为(　A　) 尾长(cm) 6 8 10 体长y(cm) 45.5 60.5 75.5 A.y＝7.5x＋0.5 B.y＝7.5x－0.5 C.y＝15x D.y＝15x＋45.5 【解析】 设y＝kx＋b， 把x＝6，y＝45.5;x＝8，y＝60.5分别代入， 得解得 ∴y与x之间的关系式为y＝7.5x＋0.5. 3.[2023·山西]如图，一种弹簧秤最大能称10 kg的物体，不挂物体时弹簧的长为12 cm，每挂重1 kg物体，弹簧伸长0.5 cm.在弹性限度内，挂重后弹簧的长度y(cm)关于所挂物体的质量x(kg)的函数表达式为(　B　) 第3题图 A.y＝12－0.5x B.y＝12＋0.5x C.y＝10＋0.5x D.y＝0.5x 4.[2024·上海]某种商品的销售额y(万元)与广告投入x(万元)成一次函数关系.当投入为10万元时，销售额为1 000万元，当投入为90万元时，销售额为5 000万元.则投入80万元时，销售额为　4 500　万元.  【解析】 设y＝kx＋b， 由题意，得解得 ∴y＝50x＋500， 当x＝80时，y＝50×80＋500＝4 500， 即投入80万元时，销售额为4 500万元. 5.星期天，小明上午8:00从家里出发，骑车到图书馆去借书，再骑车回到家.他离家的距离y(km)与时间t(min)的关系如图所示，则上午8:45小明离家的距离是　1.5　km.  第5题图 【解析】 设当40≤t≤60时，小明离家的距离y(km)关于时间t(min)的函数表达式为y＝kt＋b. ∵图象经过点(40，2)，(60，0)， ∴解得 ∴y关于t的函数表达式为y＝－0.1t＋6. 当t＝45时，y＝－0.1×45＋6＝1.5. 6.[2023·陕西]经验表明，树在一定的成长阶段，其胸径(树的主干在地面以上1.3 m处的直径)越大，树就越高.通过对某种树进行测量研究，发现这种树的树高y(m)是其胸径x(m)的一次函数.已知这种树的胸径为0.2 m时，树高为20 m;这种树的胸径为0.28 m时，树高为22 m. (1)求y与x之间的函数表达式. (2)当这种树的胸径为0.3 m时，其树高是多少? 解:(1)设y＝kx＋b(k≠0)， 由题意，得解得 ∴y＝25x＋15. (2)当x＝0.3时，y＝25×0.3＋15＝22.5， ∴当这种树的胸径为0.3 m时，其树高为22.5 m. 7.[2024·温州模拟]小乐和小嘉同时从学校出发，分别骑自行车沿同一条路线到体育馆进行锻炼，图中折线O－A－B－C和线段OD分别表示小乐和小嘉离学校的距离y(米)与时间x(分)的函数关系的图象，且两人骑车速度均保持不变.根据图中信息，解答下列问题: (1)求出小嘉离学校的距离y(米)与时间x(分)的函数表达式，并直接写出图中a的值. (2)出发后经过15分钟，小乐和小嘉相距多少米? 第7题图 解:(1)设小嘉离学校的距离y(米)与时间x(分)的函数表达式为y＝kx， 把(6，1 200)代入，得6k＝1 200， 解得k＝200， ∴小嘉离学校的距离y(米)与时间x(分)的函数表达式为y＝200x. 由图象知，小乐的速度为＝300(米/分)， ∴小乐重新出发到到达体育馆所用时间为＝8(分)， ∴a＝20－8＝12. (2)15×200－1 200－300×(15－12)＝900(米). 答:出发后经过15分钟，小乐和小嘉相距900米. 8.[2023·随州]甲、乙两车沿同一路线从A城出发前往B城，在整个行程中，汽车离开A城的距离y(km)与时刻t的对应关系如图所示，有下列结论:①A，B两城相距300 km;②甲车的平均速度是60 km/h，乙车的平均速度是100 km/h;③乙车先出发，先到达B城;④甲车在9:30追上乙车.其中正确的是(　D　) 第8题图 A.①② B.①③ C.②④ D.①④ 【解析】 由图象可知，A，B两城相距300 km，乙车先出发，甲车先到达B城，①符合题意，③不符合题意. 甲车的平均速度是300÷3＝100(km/h)，乙车的平均速度是300÷5＝60(km/h)，②不符合题意. 设甲车出发后x小时追上乙车， 则100x＝60(x＋1)，解得x＝1.5， ∴甲车出发1.5小时追上乙车. 又∵甲车8:00出发， ∴甲车在9:30追上乙车，④符合题意. 综上所述，正确的有①④. 9.[2023·绍兴]一条笔直的路上依次有M，P，N三地，其中M，N两地相距1 000米.甲、乙两机器人分别从M，N两地同时出发，去目的地N，M，匀速而行.图中OA，BC分别表示甲、乙两机器人离M地的距离y(米)与行走时间x(分钟)的函数关系图象. (1)求OA所在直线的表达式. (2)出发后甲机器人行走多少时间，与乙机器人相遇? (3)甲机器人到P地后，再经过1分钟乙机器人也到P地，求P，M两地间的距离. 第9题图 解:(1)∵点O(0，0)，A(5，1 000)， ∴OA所在直线的表达式为y＝200x. (2)设BC所在直线的表达式为y＝kx＋b. ∵点B(0，1 000)，C(10，0)， ∴解得 ∴y＝－100x＋1 000. 甲、乙两机器人相遇时，即200x＝－100x＋1 000，解得x＝， ∴出发后甲机器人行走分钟，与乙机器人相遇. (3)设甲机器人行走t分钟时到P地，则P地与M地距离200t， 乙机器人(t＋1)分钟后到P地，P地与M地距离为－100(t＋1)＋1 000， 由200t＝－100(t＋1)＋1 000，得t＝3， ∴P地与M地距离200×3＝600(米). 答:P，M两地间的距离为600米. 10.[2024·德阳]罗江糯米咸鹅蛋是德阳市非物质文化遗产之一，为了迎接端午节，进一步提升糯米咸鹅蛋的销量，某超市将购进的糯米咸鹅蛋和肉粽进行组合销售，有A，B两种组合方式，其中A组合有4枚糯米咸鹅蛋和6个肉粽，B组合有6枚糯米咸鹅蛋和10个肉粽.A，B两种组合的进价和售价如表: 价格 A B 进价(元/件) 94 146 售价(元/件) 120 188 (1)求每枚糯米咸鹅蛋和每个肉粽的进价分别为多少元. (2)根据市场需求，超市准备的B种组合数量是A种组合数量的3倍少5件，且两种组合的总件数不超过95件.假设准备的两种组合全部售出，为使利润最大，该超市应准备多少件A种组合?最大利润为多少元? 解:(1)设每枚糯米咸鹅蛋的进价是x元，每个肉粽的进价是y元， 根据题意，得解得 答:每枚糯米咸鹅蛋的进价是16元，每个肉粽的进价是5元. (2)设该超市准备m件A种组合，则该超市准备(3m－5)件B种组合，根据题意，得m＋3m－5≤95，解得m≤25. 设该超市准备的两种组合全部售出后获得的总利润为w元， 则w＝(120－94)m＋(188－146)(3m－5)＝152m－210. ∵152＞0， ∴w随m的增大而增大， ∴当m＝25时，w取得最大值，最大值为152×25－210＝3 590. 答:为使利润最大，该超市应准备25件A种组合，最大利润为3 590元. 学科网（北京）股份有限公司 $$