2025年浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第10讲 一次函数的图象与性质

浙教版中考数学第一轮专题复习讲义 第三单元　函数及其图象 《第10讲 一次函数的图象与性质》 【知识梳理】 1.一次函数与正比例函数的概念 一般地，函数y＝kx＋b(k，b都是常数，且k≠0)叫做　一次　函数.当b＝0时，y＝kx＋b就成为　y＝kx　，叫做　正比例　函数，常数k叫做　比例系数　.  2.一次函数的图象与性质 (1)一次函数的图象:一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象是经过点(0，　b　)和点(　－　，0)的一条　直线　.正比例函数y＝kx(k≠0)的图象是经过点(0，0)和点(1，　k　)的一条直线.  (2)一次函数的性质: 函数 常数取值 大致图象 经过的象限 性质 y＝kx (k≠0) k＞0 　第一、三象限　  y随x的增 大而增大 k＜0 　第二、四象限　  y随x的增 大而减小 y＝kx＋b (k≠0) k＞0， b＞0 　第一、二、三象限　  y随x的增 大而增大 k＞0， b＜0 　第一、三、四象限　  k＜0， b＞0 　第一、二、四象限　  y随x的增 大而减小 k＜0， b＜0 　第二、三、四象限　  (3)拓展:已知直线l1:y＝k1x＋b1，l2:y＝k2x＋b2，若k1＝k2≠0且b1≠b2，则两直线平行;若k1·k2＝－1，则两直线垂直. 3.一次函数与一次方程(组)、一次不等式(组) (1)方程kx＋b＝0的解是直线y＝kx＋b与x轴的交点的横坐标. (2)方程组的解是直线y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2的交点的坐标. (3)一元一次不等式(组)的解可由一次函数的图象观察得出. 【考题探究】 类型一　一次函数的图象与性质 【例1】[2023·临沂]对于某个一次函数y＝kx＋b(k≠0)，根据两位同学的对话得出的结论，错误的是(　C　) 例1图 A.k＞0 B.kb＜0 C.k＋b＞0 D.k＝－b 【解析】 ∵一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象不经过第二象限， ∴b≤0，k＞0. ∵函数图象经过点(2，0)，∴0＝2k＋b， ∴k＝－b，b＜0， ∴kb＜0，k＋b＝b＜0.故选C. 变式1－1 [2024·山西]已知点A(x1，y1)，B(x2，y2)都在正比例函数y＝3x的图象上，若x1＜x2，则y1与y2的大小关系是(　B　) A.y1＞y2 B.y1＜y2 C.y1＝y2 D.y1≥y2 变式1－2 [2024·自贡]一次函数y＝(3m＋1)x－2的值随x的增大而增大，请写出一个满足条件的m的值　1(答案不唯一)　.  【解析】 ∵y＝(3m＋1)x－2的值随x的增大而增大， ∴3m＋1＞0，∴m＞－，∴m可以为1. 变式1－3 [2024·通辽]如图，在同一平面直角坐标系中，一次函数y＝k1x＋b1与y＝k2x＋b2(其中k1k1≠0，k1，k2，b1，b2为常数)的图象分别为直线l1，l2.下列结论正确的是(　A　) 变式1－3图 A.b1＋b2＞0 B.b1b2＞0 C.k1＋k2＜0 D.k1k2＜0 【解析】 由图象可得，b1＝2，b2＝－1，k1＞0，k2＞0， ∴b1＋b2＞0，b1b2＜0，k1＋k2＞0，k1k2＞0. 类型二　用待定系数法求一次函数的表达式 【例2】[一题多解][2023·杭州]在“探索一次函数y＝kx＋b的系数k，b与图象的关系”的活动中，老师给出了直角坐标系中的三个点:A(0，2)，B(2，3)，C(3，1).同学们画出了经过这三个点中每两个点的一次函数的图象，并得到对应的函数表达式y1＝k1x＋b1，y2＝k2x＋b2，y3＝k3x＋b3.分别计算k1＋b1，k2＋b2，k3＋b3的值，其中最大的值等于　5　.  例2图 【解析】 方法一:设直线AB的函数表达式为y1＝k1x＋b1，将点A(0，2)，B(2，3)代入， 得解得 ∴k1＋b1＝. 设直线AC的函数表达式为y2＝k2x＋b2，将点A(0，2)，C(3，1)代入， 得解得 ∴k2＋b2＝. 设直线BC的函数表达式为y3＝k3x＋b3， 将点B(2，3)，C(3，1)代入， 得解得 ∴k3＋b3＝5， ∴k1＋b1，k2＋b2，k3＋b3的值中最大的值等于5. 方法二:在图中分别作出直线AB，BC，AC和直线x＝1，易知直线BC与直线x＝1的交点(1，5)位置最高，故k1＋b1，k2＋b2，k3＋b3的值中最大的值等于5. 变式2－1 如图，在平面直角坐标系中，已知点P(0，2)，点A(4，2).以点P为旋转中心，把点A按逆时针方向旋转60°，得点B. 在M1，M2(－，－1)，M3(1，4)，M4四个点中，直线PB经过的点是(　B　) 变式2－1图 A.M1 B.M2 C.M3 D.M4 【解析】 ∵点A(4，2)，P(0，2)， ∴PA⊥y轴，PA＝4. 由旋转，得∠APB＝60°，PB＝PA＝4. 如答图，过点B作BC⊥y轴于点C，则∠BPC＝30°， 变式2－1答图 ∴BC＝2，PC＝2，∴点B(2，2＋2). 由点P，B的坐标得，直线PB的函数表达式为y＝x＋2. 当x＝－时，y＝－1＋2＝1， ∴点M1不在直线PB上; 当x＝－时，y＝－3＋2＝－1， ∴点M2在直线PB上; 当x＝1时，y＝＋2， ∴点M3(1，4)不在直线PB上; 当x＝2时，y＝2＋2， ∴点M4不在直线PB上. 综上所述，直线PB经过的点是M2. 变式2－2 [2024·苏州]直线l1:y＝x－1与x轴相交于点A，将直线l1绕点A逆时针旋转15°，得到直线l2，则直线l2对应的函数表达式为　y＝x－　.  【解析】 如答图，将x＝0代入y＝x－1，得y＝－1， ∴点B(0，－1). 变式2－2答图 将y＝0代入y＝x－1，得x＝1， ∴点A(1，0)，∴OA＝OB＝1， ∴∠OBA＝∠OAB＝45°. 由旋转可知，∠BAC＝15°， ∴∠OAC＝45°＋15°＝60°. 在Rt△AOC中，tan∠OAC＝， ∴OC＝， 则点C的坐标为(0，－). 设直线l2的函数表达式为y＝kx＋b， 则解得 ∴直线l2的函数表达式为y＝x－. 类型三　一次函数与一次方程(组)、一次不等式(组) 【例3】已知一次函数y＝3x－1与y＝kx(k是常数，k≠0)的图象的交点坐标为(1，2)，则方程组的解是 　.  变式3 [2024·广东]已知不等式kx＋b＜0的解是x＜2，则一次函数y＝kx＋b的图象可以是(　B　) A B C D 类型四　一次函数的图象与坐标轴所围图形的面积问题 【例4】[2024·凉山州]如图，一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过A(3，6)，B(0，3)两点，交x轴于点C，则△AOC的面积为　9　.  例4图 【解析】 ∵一次函数y＝kx＋b的图象经过A(3，6)，B(0，3)两点， ∴解得 ∴一次函数的表达式为y＝x＋3. 当y＝0时，x＝－3， ∴点C(－3，0)， ∴S△AOC＝×3×6＝9. 变式4 直线y＝kx＋b经过点A(－5，0)，B(－1，4). (1)求直线AB的函数表达式. (2)求直线CE:y＝－2x－4与直线AB及y轴所围图形的面积. 解:(1)把点A(－5，0)，B(－1，4)的坐标分别代入y＝kx＋b， 得解得 ∴直线AB的函数表达式为y＝x＋5. (2)对于函数y＝x＋5，取x＝0，得y＝5，得到点(0，5); 对于函数y＝－2x－4，取x＝0，得y＝－4，得到点(0，－4). 联立解得 ∴直线AB与直线CE的交点坐标为(－3，2)， ∴直线CE与直线AB及y轴所围图形是以(0，5)，(0，－4)，(－3，2)为顶点的三角形，其面积为×[5－(－4)]×|－3|＝. 类型五　一次函数的综合 【例5】[2023·温州]如图，在平面直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝2x－上，过点A的直线交y轴于点B(0，3). (1)求m的值和直线AB的函数表达式. (2)若点P(t，y1)在线段AB上，点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－上，求y1－y2的最大值. 例5图 解:(1)把点A(2，m)代入y＝2x－，得m＝. 设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b，把点A，B(0，3)代入，得 解得 ∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋3. (2)∵点P(t，y1)在线段AB上，点Q(t－1，y2)在直线y＝2x－上， ∴y1＝－t＋3(0≤t≤2)，y2＝2(t－1)－＝2t－， ∴y1－y2＝－t＋3－＝－t＋. ∵－＜0，∴y1－y2的值随t的增大而减小， ∴当t＝0时，y1－y2取最大值. 变式5 [2024·北京]在平面直角坐标系xOy中，函数y＝kx＋b(k≠0)与y＝－kx＋3的图象相交于点(2，1). (1)求k，b的值. (2)当x＞2时，对于x的每一个值，函数y＝mx(m≠0)的值既大于函数y＝kx＋b的值，也大于函数y＝－kx＋3的值，请直接写出m的取值范围. 解:(1)∵直线y＝－kx＋3过点(2，1)， ∴－2k＋3＝1，解得k＝1. 将点(2，1)代入y＝x＋b，得2＋b＝1， 解得b＝－1. (2)如答图，m≥1. 变式5答图 【课后作业】 1.[2023·新疆]一次函数y＝x＋1的图象不经过(　D　) A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 2.[2023·上海]下列函数中，函数值y随x的增大而减小的是(　B　) A.y＝6x B.y＝－6x C.y＝ D.y＝－ 3.[2024·德阳]正比例函数y＝kx(k≠0)的图象如图所示，则k的值可能是(　A　) 第3题图 A. B.－ C.－1 D.－ 4.如图，直角坐标系中有矩形AOBC，其中点A(－2，0)，B(0，1)，O是原点.若正比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点C，则k的值为(　A　) 第4题图 A.－ B. C.－2 D.2 5.[2023·陕西]在同一平面直角坐标系中，函数y＝ax和y＝x＋a(a为常数，a＜0)的图象可能是(　D　) A B C D 6.[2024·上海]若正比例函数y＝kx(k≠0)的图象经过点(7，－13)，则y的值随x的增大而　减小　(填“增大”或“减小”).  7.[2024·扬州]如图，已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象分别与x轴、y轴相交于A，B两点.若OA＝2，OB＝1，则关于x的方程kx＋b＝0的解为　x＝－2　.  第7题图 8.在同一平面直角坐标系中，直线y＝－x＋4与y＝2x＋m相交于点P(3，n)，则关于x，y的方程组的解为 　.  9.[2023·苏州]已知一次函数y＝kx＋b的图象经过点(1，3)，(－1，2)，则k2－b2＝　－6　.  【解析】 将点(1，3)，(－1，2)代入y＝kx＋b，得 ∴k2－b2＝(k＋b)(k－b)＝－(k＋b)(－k＋b)＝－3×2＝－6. 10.已知一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象经过(0，2)，(1，3)两点. (1)求k，b的值. (2)若该函数的图象与x轴的交点为A(a，0)，求a的值. 解:(1)把点(0，2)，(1，3)的坐标代入y＝kx＋b， 得解得 (2)由(1)，得y＝x＋2. 令y＝0，得x＝－2，∴a＝－2. 11.已知(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y＝－2x＋3上的三个点，且x1＜x2＜x3，则下列判断中，正确的是(　D　) A.若x1x2＞0，则y1y3＞0 B.若x1x3＜0，则y1y2＞0 C.若x2x3＞0，则y1y3＞0 D.若x2x3＜0，则y1y2＞0 【解析】 在y＝－2x＋3中，y随x的增大而减小，当y＝0时，x＝1.5. ∵(x1，y1)，(x2，y2)，(x3，y3)为直线y＝－2x＋3上的三个点，且x1＜x2＜x3， ∴若x1x2＞0，则x1，x2同号，但不能确定y1y3的正负，A不符合题意. 若x1x3＜0，则x1＜0，x3＞0，但不能确定y1y2的正负，B不符合题意. 若x2x3＞0，则x2，x3同号，但不能确定y1y3的正负，C不符合题意. 若x2x3＜0，则x1＜x2＜0，x3＞0，∴y1＞y2＞0， ∴y1y2＞0，D符合题意. 12.[2023·南充]如图，直线y＝kx－2k＋3(k为常数，k＜0)与x，y轴分别相交于点A，B，则的值是　1　.  第12题图 【解析】 在y＝kx－2k＋3中， 令x＝0，则y＝－2k＋3;令y＝0，则x＝， ∴点A的坐标为，点B的坐标为(0，－2k＋3)， ∴OA＝，OB＝－2k＋3， ∴ ＝ ＝ ＝1. 13.如图，将八个边长为1的小正方形摆放在平面直角坐标系中.若过原点的直线l将图形分成面积相等的两部分，则直线l的函数表达式为　y＝x　.  第13题图 【解析】 设直线l与图形上边界的交点坐标为(a，3)， 则由题意，得a·3－1＝4，解得a＝. 设直线l的函数表达式为y＝kx， 则3＝k·，解得k＝， ∴直线l的函数表达式为y＝x. 14.如图，在平面直角坐标系中，以原点O为圆心，3为半径作圆，直线y＝mx－m＋2与☉O相交于A，B两点，则AB的最小长度是　4　.  第14题图 【解析】 ∵直线y＝mx－m＋2＝m(x－1)＋2， ∴直线必过点C(1，2)， ∴最短的弦AB是过点C且与OC垂直的弦. 如答图，连结OC，过点C(1，2)作AB⊥OC，交☉O于点A，B，连结OB，则AB＝2BC. 第14题答图 ∵点C(1，2)，∴OC＝. ∵☉O的半径为3，∴OB＝3， ∴BC＝＝2，∴AB＝2BC＝4， 即AB的最小长度为4. 15.如图所示为一个“函数求值机”的示意图，其中y是x的函数.下面表格中的数据是通过该“函数求值机”得到的几组x与y的对应值. 输入x … －6 －4 －2 0 2 … 输出y … －6 －2 2 6 16 … 根据以上信息，解答下列问题: (1)当输入的x值为1时，输出的y值为　8　.  (2)求k，b的值. (3)当输出的y值为0时，求输入的x值. 第15题图 解:(2)把点(－2，2)，(0，6)的坐标分别代入y＝kx＋b， 得解得 (3)令y＝0，由y＝8x，得0＝8x， ∴x＝0＜1(舍去). 由y＝2x＋6，得0＝2x＋6，∴x＝－3＜1，∴当输出的y值为0时，输入的x值为－3. 16.如图，在直角坐标系中，点A(2，m)在直线y＝2x－3上，过点A的直线交y轴于点B(0，3). (1)求m的值和直线AB的函数表达式. (2)若点P(t，y1)在线段AB上，点Q(t＋1，y2)在直线y＝2x－3上，判断2y1＋y2的值是否随t的变化而变化，若不变，求出这个值;若变化，求出它的取值范围. 第16题图 解:(1)∵点A(2，m)在直线y＝2x－3上， ∴m＝2×2－3＝1. 设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b， 则解得 ∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋3. (2)2y1＋y2的值不会随t的变化而变化. ∵点P(t，y1)在线段AB上，∴y1＝－t＋3. ∵点Q(t＋1，y2)在直线y＝2x－3上， ∴y2＝2(t＋1)－3＝2t－1， ∴2y1＋y2＝2(－t＋3)＋(2t－1)＝5， ∴2y1＋y2的值不会随t的变化而变化，始终等于5. 17.[2024·镇海区模拟节选]如图，在平面直角坐标系中，点A(0，4)，B(4，0)，C是y轴负半轴上一点，连结BC，将线段BC绕着点B逆时针旋转90°得到线段BD，连结AD交x轴于点E，若点E的横坐标为3.求: (1)直线AB的函数表达式. (2)点C的坐标. 第17题图 解:(1)设直线AB的函数表达式为y＝kx＋b， 将点A(0，4)，B(4，0)代入， 得解得 ∴直线AB的函数表达式为y＝－x＋4. (2)如答图，过点D作DF⊥x轴于点F. 第17题答图 ∵点A(0，4)，B(4，0)，E是AD与x轴的交点，且横坐标为3， ∴OA＝OB＝4，点E(3，0). 设直线AE的函数表达式为y＝mx＋n， 将点A(0，4)，E(3，0)代入， 得 解得 ∴直线AE的函数表达式为y＝－x＋4. ∵DF⊥x轴于点F， ∴∠COB＝∠BFD＝90°， ∴∠OBC＋∠OCB＝90°. 由旋转的性质，得BC＝DB，∠CBD＝90°， ∴∠OBC＋∠FBD＝90°， ∴∠OCB＝∠FBD. 在△OCB和△FBD中， ∵ ∴△OCB≌△FBD(AAS)， ∴OC＝BF，OB＝FD＝4. 令y＝－4，得x＝6， ∴OF＝6，∴BF＝OF－OB＝2， ∴OC＝BF＝2， ∴点C的坐标为(0，－2). 学科网（北京）股份有限公司 $$