精品解析：广东省深圳市深圳大学附属中学2024—2025学年八年级上学期期末考试数学试卷

深大附中2024－2025学年度第一学期期末考试 初二数学试卷 说明：1.全卷分试卷和答题卡，共4页，考试时间90分钟，满分100分． 2.答题前，请将班级、考生号、姓名填（涂）写在答题卡．不得在答题卡其它区域做任何标记． 3.答题卡上的答案必须写在题目指定位置上．（选择题答案必须涂在答题卡上，凡答案写在试卷上不给分） 4.考试结束，请将答题卡上交． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在这些数中，无理数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了无理数的概念，掌握无理数的概念，常见无理数的形式是解题的关键． 无理数是无限不循环小数，常见的无理数有：含有的最简式子；开不尽方的数；特殊结构的数，如相邻两个之间的个数逐次增加，由此即可求解． 【详解】解：无理数有：，，，，共4个，   故选：C ． 2. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的加法，乘法和除法法则逐项计算即可判断，熟练掌握二次根式的运算法则是解题的关键． 【详解】解：、与不可以合并，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算正确，符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 、，原选项计算错误，不符合题意； 故选：． 3. 在一次投篮训练中，甲，乙，丙，丁四人各进行10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为，，，，成绩最稳定的是（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了方差的意义．直接利用方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好，进而分析即可． 【详解】解：∵，，，， ∴， ∴成绩最稳定的是乙， 故选：B． 4. 如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系的知识，解题的关键是掌握平面直角坐标系中点关于轴对称，纵坐标不变，横坐标互为相反数，求出，，即可． 【详解】解：∵图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为， ∴，， ∴． 故选：D． 5. 一次函数与正比例函数的图象在同一直角坐标系中的位置可能是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查的是一次函数和正比例函数的图象，应该熟记一次函数在不同情况下所在的象限． 【详解】解：A、由一次函数的图象可得，，则，而正比例函数图象可得，符合题意； B、由一次函数的图象可得，，则，而正比例函数图象可得，不符合题意； C、由一次函数的图象可得，，则，而正比例函数图象可得，不符合题意； D、由一次函数的图象可得，，则，而正比例函数图象可得，不符合题意； 故选：A． 6. 《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据“如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的三分之二，那么乙也共有钱50”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】解：依题意，得：， 故选：A． 【点睛】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 7. 下列命题：①没有公共点的两条直线平行；②若，则；③立方根等于本身的数有0和；④两直线平行，同旁内角相等．其中真命题有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了命题的真假．根据平行线的性质以及平行公理的推论，平方根与立方根的定义，逐项分析判断，即可求解． 【详解】解：①在同一平面内，没有公共点的两条直线平行；原命题是假命题； ②若，则，是真命题； ③立方根等于本身的数有0和，是真命题； ④两直线平行，同旁内角互补，原命题是假命题． 故选：B． 8. 如图，，，若，，则点到的距离是（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点，在中，利用勾股定理可求出的长，再利用等腰直角三角形的性质可得，，然后在中，利用锐角三角函数的定义求出的长，最后根据的面积的面积的面积的面积进行计算即可解答． 【详解】解：过点作，垂足为，过点作，交的延长线于点， ，，， ， ，， ，， ， ， ， 在中，， ， 的面积的面积的面积的面积， ， ， ， 点到的距离是， 故选：B． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形，点到直线的距离，利用了勾股定理，锐角三角函数，根据题目的已知条件结合图形添加适当的辅助线是解题的关键． 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若点在轴上，则点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】根据在轴上的点的纵坐标为0得到，解得m的值，即可得到答案． 【详解】解：∵点在轴上， ∴， ∴， ∴点的坐标为． 故答案为：． 【点睛】此题考查了点的坐标，熟知在轴上的点的纵坐标为0是解题的关键． 10. 如图，已知直线和直线交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则__________． 【答案】3 【解析】 【分析】此题考查一次函数与二元一次方程（组），解题关键在于理解两直线交点与两解析式组成的方程组的解之间的联系． 直接根据函数图象交点坐标为两函数解析式组成的方程组的解得到答案． 【详解】∵直线和直线交点P的坐标为， ∴二元一次方程组 解得， ∴． 故答案为：3． 11. 如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是_______厘米． 【答案】80 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程的应用． 设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米，由大长方形的宽为40厘米，即可得出，根据长方形的周长公式即可得出结论． 【详解】解：设小长方形纸片的长为厘米，宽为厘米， 根据题意得：， 则每个小长方形的周长（厘米）， 故答案为：80． 12. 如图，在的正方形网格中，点在格点上，要找一个格点，使为等腰三角形，则图中符合条件的格点有______个． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的判定以及勾股定理．首先由勾股定理可求得的长，然后分别从，，去分析求解即可求得答案． 【详解】解：如图， ∵， ∴①若，则符合要求的有：共4个点； ②若，则符合要求的有：共2个点； ③若，没有符合要求的点． ∴符合要求的C点有5个． 故答案为：5． 13. 新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图在长方形中，点，点，轴，轴，若长方形的边上存在不同的两个点、，这两个点为和等点，等和为，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数图象上点的特征、矩形的性质，平面直角坐标系中两点间距离公式，设点，点，由题意可得，，，，可知点均在直线上，在坐标系中可作出直线，则直线与矩形的交点即为点，求出的坐标即可得出求解． 【详解】解：设点，点， 由题意可得，， ∴，， ∴点均在直线上， 在平面直角坐标系中可作出直线，则直线与矩形的交点即为点， 令时，，令时，， ∴，或，， ∴， 故答案为：． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. （1）计算：； （2）解方程组：． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】此题考查了实数的运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键．也考查了解二元一次方程组． （1）原式利用零指数幂，负指数幂，立方根，以及绝对值的代数意义计算即可得到结果； （2）利用代入消元法解方程组． 【详解】解：（1） ； （2）原方程整理得， 由②得③， 把③代入①得， 解得， 把代入③得， 所以方程组的解为． 15. 已知，，． （1）在如图所示的平面直角坐标系中描出点，，并画出； （2）画出关于轴对称的； （3）点在轴上，并且使得的值最小，请标出点位置并写出最小值． 【答案】（1）图见解析 （2）图见解析 （3）点位置见解析，的值最小为 【解析】 【分析】本题考查平面直角坐标系中点的坐标，轴对称图形以及最短路径问题，根据轴对称的性质和“两点之间线段最短”找出最短路径是解题关键． （1）根据题目给出的坐标描点连线； （2）根据“关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标取相反数”的坐标变换规则，找出点、、，然后依次连线； （3）利用“轴对称的性质”，作点关于轴的对称点，连接与轴的交点即为，根据两点之间线段最短，即为的最小值，利用勾股定理计算的长度即可． 小问1详解】 解：已知，，， 如图，依次连接、、，得到． 【小问2详解】 解：根据轴对称的性质可知，关于轴对称的点，横坐标不变，纵坐标取相反数，可得： 的对应点为， 的对应点为， 的对应点为． 如图，依次连接、、，得到． 【小问3详解】 解：如图，作点关于轴的对称点． 连接，与轴交点即为点， 由两点之间线段最短，可知的最小值为， 根据勾股定理，可得． 答：的值最小为． 16. 某校组织全体1500名学生参加“强国有我”读书活动，要求每人必读本书，活动结束后从各年级学生中随机抽查了若干名学生了解读书数量情况，并根据A：1本；B：2本；C：3本；D：4本四种类型的人数绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．请根据统计图解答下列问题： （1）计算这次调查中D类型学生人数并补全条形统计图； （2）被调查学生读书数量的众数______和中位数______； （3）求被调查学生读书数量平均数，并估计全校1500名学生共读书多少本？ 【答案】（1）20人，图见解析 （2）2，2 （3）被调查学生读书数量平均数为本，估计全校1500名学生共读书3450本 【解析】 【分析】本题考查了条形统计图和扇形统计图、众数和中位数、平均数、利用样本估计总体等知识，熟练掌握统计调查的相关知识是解题关键． （1）先根据类型的条形统计图和扇形统计图求出这次调查抽取的总人数，再根据类型的扇形统计图求解，并补全条形统计图即可得； （2）根据众数和中位数的定义即可得； （3）根据加权平均数的计算公式可求出平均数，再利用全校学生总数乘以平均数即可得． 【小问1详解】 解：这次调查抽取的总人数为（人）， 则类型学生人数为（人）， 补全条形统计图如下： ． 【小问2详解】 解：因为类型（2本）的人数最多，即出现的次数最多， 所以被调查学生读书数量的众数为2， 将被调查学生读书数量按小到大排序后，第100个数和第101个数的平均数为中位数，且第100个数和第101个数都是2， 所以被调查学生读书数量的中位数为， 故答案为：2，2． 【小问3详解】 解：被调查学生读书数量的平均数为（本）， 则（本）， 答：被调查学生读书数量的平均数为本，估计全校1500名学生共读书3450本． 17. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形． （2）当时，求． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定，三角形内角和定理． （1）由，，，．利用边角边定理证明，然后即可求证是等腰三角形； （2）根据可求出，根据，利用三角形内角和定理即可求出的度数． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴是等腰三角形； 【小问2详解】 如图， ∵， ∴，， ∵，，， ∴， ∴， ∴， ∴． 18. 某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共 80 万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示； 甲 乙 成本（元/套） 25 28 售价（元/套） 30 38 （1）该工厂计划筹资金 2150 万元，且全部用于生产甲乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ （2）经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒万套，增加生产乙种礼盒万套（，都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为 690 万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的生产方案． （3）在（2）的情况下，设实际生产的两种礼盒的总成本为万元，请写出与的函数关系式，并求出当 为多少时成本有最小值，并求出成本的最小值为多少万元？ 【答案】（1）甲礼盒生产30万套，乙礼盒生产50万套；（2）方案如下：①；②；③；（3）时，最小值为万元． 【解析】 【分析】（1）设甲礼盒生产万套，乙礼盒生产万套，从而列出相应的方程，即可解答本题； （2）根据表格可以求得A的利润与B的利润，从而可以求得总利润，写出相应的关系式，再利用正整数的特性得出可行的生产方案； （3）根据表格的数据，列出相应的函数关系式，利用一次函数的增减性即可成本的最小值． 【详解】（1）设甲礼盒生产万套，乙礼盒生产万套， 依题意得：， 解得：， 答：甲礼盒生产30万套，乙礼盒生产50万套； (2)增加生产后，甲万套，乙万套， 依题意得： ， 化简得： ， ∴方案如下： ； ； ； 答：有三种方案，，，； （3）依题意得：， 化简得：， ∵， ∴随的增大而增大， ∴取最小值时最小， ∴时， （万元）． 答：当时，最小值为万元． 【点睛】本题考查一次函数的应用，一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系，列出相应的方程和一次函数关系式，利用数学中分类讨论的思想对问题进行解答． 19. 阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似 ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭 （1）填空：① ；② ； （2）若是的共轭复数，求的值； （3）已知，求的值． 【答案】（1）①5；② （2）1 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式，数字的变化，正确理解题意、熟练应用乘法公式是关键． （1）按照定义及乘法公式计算即可； （2）先按照完全平方式及定义展开运算，求出a和b的值，再代入要求的式子求解即可； （3）按照定义计算及的值，再利用配方法得出的值；由于，4个一组找到规律，从而可得答案． 【小问1详解】 解：①原式， ②原式． 故答案为：①5；②； 【小问2详解】 ∵，是的共轭复数， ∴，， ∴； 【小问3详解】 由条件可知：，即， ∴，， 解得：，， ∴， ∵， 有2024个加数，， ∴，则， ∴． 20. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，； ①直接写出______，______； ②点的坐标______； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，当时，直线：与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点的坐标． 【答案】（1）①3，6；② （2）的面积不变， （3）点的坐标为或． 【解析】 【分析】（1）①若，则直线与轴，轴分别交于，两点，即可求解；②过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质可得，，即可求解； （2）当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，过点作轴，垂足为，证明，由全等三角形的性质得，根据三角形的面积公式即可求解； （3）过点作轴于，过点作于，证明，可分两种情况讨论，由全等三角形的性质得，，进而可得点的坐标，然后将点的坐标代入求得的值，即可求解． 【小问1详解】 解：①当时，直线解析式为， 令，则，即， 令，则有， 解得，即， ，． 故答案为：3，6； ②过点作轴，垂足为，如下图， ∵为等腰直角三角形，， ∴，， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴． 故答案为：； 【小问2详解】 解：当的取值变化时，的面积是定值，，理由如下： 如下图，过点作轴，垂足， 则， ∵，， ∴， 又∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴当的取值变化时，的面积是定值，； 【小问3详解】 解：当时，如下图，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， 又∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴． ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得，， 解得， ∴，， ∴点的坐标为； 当时，过点作轴于，过点作于， ∴， ∵， ∵， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴点的坐标为， ∵， ∴直线，将点的坐标代入， 可得， 解得， ∴，， ∴点的坐标为． 综上所述，点的坐标为或． 【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了一次函数的图像及性质、坐标与图形、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握一次函数的图像及性质，正确作出辅助线构造全等三角形解题是关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 深大附中2024－2025学年度第一学期期末考试 初二数学试卷 说明：1.全卷分试卷和答题卡，共4页，考试时间90分钟，满分100分． 2.答题前，请将班级、考生号、姓名填（涂）写在答题卡．不得在答题卡其它区域做任何标记． 3.答题卡上的答案必须写在题目指定位置上．（选择题答案必须涂在答题卡上，凡答案写在试卷上不给分） 4.考试结束，请将答题卡上交． 第一部分 选择题 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 在这些数中，无理数的个数为（ ） A. 2 B. 3 C. 4 D. 5 2. 下列计算正确是（ ） A B. C. D. 3. 在一次投篮训练中，甲，乙，丙，丁四人各进行10次投篮，每人投篮成绩的平均数都是8，方差分别为，，，，成绩最稳定的是（ ）． A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 如图，蝴蝶剪纸是一幅轴对称图形，将其放在平面直角坐标系中，如果图中点的坐标为，其关于轴对称的点的坐标为，则的值为（ ） A. B. C. D. 5. 一次函数与正比例函数的图象在同一直角坐标系中的位置可能是（　　） A B. C. D. 6. 《九章算术》卷八方程第十题原文为：“今有甲、乙二人持钱不知其数甲得乙半而钱五十，乙得甲太半而亦钱五十．问：甲、乙持钱各几何？”题目大意是：甲、乙两人各带了若干钱．如果甲得到乙所有钱的一半，那么甲共有钱50；如果乙得到甲所有钱的，那么乙也共有钱50，问：甲、乙两人各带了多少钱？设甲、乙两人持钱的数量分别为x，y，则可列方程组为（ ） A B. C. D. 7. 下列命题：①没有公共点的两条直线平行；②若，则；③立方根等于本身的数有0和；④两直线平行，同旁内角相等．其中真命题有（ ）个 A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 如图，，，若，，则点到的距离是（　　） A. B. C. D. 第二部分 非选择题 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 若点在轴上，则点的坐标为______． 10. 如图，已知直线和直线交于点P，若二元一次方程组的解为x、y，则__________． 11. 如图，用12块形状和大小均相同的小长方形纸片拼成一个宽是40厘米的大长方形，则每个小长方形的周长是_______厘米． 12. 如图，在的正方形网格中，点在格点上，要找一个格点，使为等腰三角形，则图中符合条件的格点有______个． 13. 新定义：若点，点，如果，那么点与点就叫作“和等点”，，称为等和．例如：点，点，因，则点与点就是和等点，为等和．如图在长方形中，点，点，轴，轴，若长方形的边上存在不同的两个点、，这两个点为和等点，等和为，则的长为______． 三、解答题（本题共7小题，共61分） 14. （1）计算：； （2）解方程组：． 15. 已知，，． （1）在如图所示的平面直角坐标系中描出点，，并画出； （2）画出关于轴对称的； （3）点在轴上，并且使得的值最小，请标出点位置并写出最小值． 16. 某校组织全体1500名学生参加“强国有我”读书活动，要求每人必读本书，活动结束后从各年级学生中随机抽查了若干名学生了解读书数量情况，并根据A：1本；B：2本；C：3本；D：4本四种类型的人数绘制了不完整的条形统计图（图1）和扇形统计图（图2）．请根据统计图解答下列问题： （1）计算这次调查中D类型学生人数并补全条形统计图； （2）被调查学生读书数量的众数______和中位数______； （3）求被调查学生读书数量的平均数，并估计全校1500名学生共读书多少本？ 17. 如图，在中，，点D、E、F分别在、、边上，且，． （1）求证：是等腰三角形． （2）当时，求． 18. 某工厂准备在春节前生产甲、乙两种型号的新年礼盒共 80 万套，两种礼盒的成本和售价如下表所示； 甲 乙 成本（元/套） 25 28 售价（元/套） 30 38 （1）该工厂计划筹资金 2150 万元，且全部用于生产甲乙两种礼盒，则这两种礼盒各生产多少万套？ （2）经过市场调查，该厂决定在原计划的基础上增加生产甲种礼盒万套，增加生产乙种礼盒万套（，都为正整数），且两种礼盒售完后所获得的总利润恰为 690 万元，请问该工厂有几种生产方案？并写出所有可行的生产方案． （3）在（2）的情况下，设实际生产的两种礼盒的总成本为万元，请写出与的函数关系式，并求出当 为多少时成本有最小值，并求出成本的最小值为多少万元？ 19. 阅读材料：如果一个数的平方等于，记为，这个数i叫做虚数单位，那么形如（a，b为实数），a叫这个复数的实部，b叫做这个复数的虚部． 它有如下特点： ①它的加，减，乘法运算与整式的加，减，乘法运算类似 ；． ②若两个复数，它们的实部和虚部分别相等，则称这两个复数相等，虚部互为相反数，则称这两个复数共轭 （1）填空：① ；② ； （2）若是的共轭复数，求的值； （3）已知，求值． 20. 【探索发现】如图1，等腰直角三角形中，，，直线经过点，过作于点．过作于点，则，我们称这种全等模型为“型全等”．（不需要证明） 【迁移应用】已知：直线的图像与轴、轴分别交于、两点． （1）如图2，当时，在第一象限构造等腰直角，； ①直接写出______，______； ②点的坐标______； （2）如图3，当的取值变化，点随之在轴负半轴上运动时，在轴左侧过点作，并且，连接，问的面积是否发生变化？若不变，求出面积；若变，请说明理由； （3）【拓展应用】如图4，当时，直线：与轴交于点，点、分别是直线和直线上的动点，点在轴上的坐标为，当是以为斜边的等腰直角三角形时，求点的坐标． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $