精品解析：福建省福州市长乐区2024-2025学年八年级上学期11月期中数学试题

八年级数学 （全卷满分：150分．考试时间：120分钟） 友情提示：请将答案写在答题卡规定位置上，不得错位、越界答题． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面四个汉字中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 现有两根长度分别和的木棒，若要首尾相接钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（　　） A. B. C. D. 3. 若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 4. 如图，点在的边上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 6. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 7. 如图，蝴蝶剪纸是轴对称图形，点与点对应，点与点对应，将其放置在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 8. 点在的平分线上，点到边的距离等于6，点在边上，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 9. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 10. 如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 直播课期间，刘老师买了一个手机支架，如图所示，手机支架利用了三角形的______． 12. 如图，在中，，，则______． 13. 如图，，点、在线段上，，，则的长为_____． 14. 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙面的夹角，梯子的长为，则梯子底部与墙的距离为______． 15. 如图，两面镜子与的夹角为，光线经过镜子后反射，，，则_____．（用含的式子表示） 16. 如图，，，，与相交于点O，有以下结论：①；②；③点A在的平分线上；④是的平分线，其中结论正确的是_____．（填序号） 三、解答题（本题共9小题，满分86分） 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）写出关于轴对称的的各顶点坐标； （2）画出关于轴对称的． 18. 如图，点在线段上，，，．求证：是的中点． 19. 已知一个多边形的内角和比外角和多，并且这个多边形各个内角的度数都相等．这个多边形的每个内角是多少度？ 20. 如图，在中，，点在边上，交于点，，求的度数． 21. 如图，． （1）尺规作图：在上作点，使得，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的周长． 22. 如图，在和中，，，于，于，且．求证：． 23. 在一个三角形中如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为倍半角、这个三角形叫做倍半三角形．例如：在中，，，则与互为倍平角，为倍半三角形． （1）在中，，互为倍半角，，则________°； （2）若为倍半三角形，，求这个三角形中最小的内角度数； （3）已知是倍半三角形中最大的内角，并且都不与其它两个内角互为倍半角，试确定的取值范围，并说明理由． 24. 如图，在中，，，的平分线，相交于点．在边上截取，连接，． （1）求的度数； （2）求证：； （3）判断是不是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 25. 数学活动--折纸中的探索 【背景介绍】折纸艺术中蕴含着丰富的数学原理，通过折叠纸张，我们可以折出各种几何形状，并探索其中的数学关系． 【活动材料】长方形纸张、正方形纸张、尺子、铅笔． 【问题1】（1）如图1，把长方形的纸张沿对角线折叠，重合部分（）是一个等腰三角形吗？为什么？ 【问题2】（2）如图2，①对折长方形纸张，使与重合，得到折痕，把纸张展平；②再一次折叠纸张，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到线段．求证：； 【问题3】（3）如图3，要求在正方形中折出一个等边三角形，使点，分别在边，上，请画出折痕，并简要说明折叠过程． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 八年级数学 （全卷满分：150分．考试时间：120分钟） 友情提示：请将答案写在答题卡规定位置上，不得错位、越界答题． 一、选择题（本题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1. 下面四个汉字中属于轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】此题主要考查了轴对称图形，关键是掌握如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．利用轴对称图形定义进行解答即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴． 【详解】解：选项A、B、C的汉字均不能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以不是轴对称图形； 选项D的汉字能找到这样的一条直线，使这个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，所以是轴对称图形； 故选：D 2. 现有两根长度分别和的木棒，若要首尾相接钉成一个三角形木架，则应选取的第三根木棒长为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，根据三角形的三边关系求出第三边的范围，判断即可． 【详解】解：设第三根木棒长为x ， 由三角形三边关系可知：，即， 则应选取的第三根木棒长为， 故选：C． 3. 若一个三角形三个内角度数的比为，那么这个三角形是（ ） A. 直角三角形 B. 锐角三角形 C. 钝角三角形 D. 不能确定 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形的内角和定理以及三角形的分类．根据三角形的内角和是，列式即可求得最大内角的度数，然后判断三角形的形状． 【详解】解：∵一个三角形三个内角度数的比为， ∴最大内角的度数为， ∴该三角形是直角三角形， 故选：A． 4. 如图，点在的边上，，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了三角形外角的性质，熟记这个知识点是解题的关键．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，由此求解． 【详解】解：，， ， 故选：C． 5. 一个多边形每一个外角都等于，则这个多边形的边数为（ ） A. 12 B. 10 C. 8 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了多边形的外角和定理，理解多边形外角和中外角的个数与正多边形的边数之间的关系，是解题关键． 根据多边形的外角和是360度即可求得外角的个数，即多边形的边数． 【详解】解：多边形的边数是：， 故选：C． 6. 如图，在中，，是的中点，下列结论中不正确的是（ ） A. B. C. 平分 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，根据等腰三角形的“三线合一”“等边对等角”的性质解题是关键．由，是的中点，可得，平分，，即可作出判断． 【详解】解：对于选项B与C： ∵，是的中点， ∴，平分． ∴选项B与C正确． 对于选项A： ∵， ∴． ∴选项A正确． 对于选项D： 根据题目已知条件，无法得到． ∴选项D不正确． 故选：D． 7. 如图，蝴蝶剪纸是轴对称图形，点与点对应，点与点对应，将其放置在平面直角坐标系中，点，，的坐标分别为，，，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了轴对称的性质，由点与点对称，求得对称轴为直线，再根据点与点对称，即可求解，熟练掌握对称点到对称轴的距离相等是解答本题的关键. 【详解】解：由题意知，点与点对称， ∴对称轴为直线， ∵点与点也关于直线对称， ∴， ∴， ∴点的坐标为； 故选：A． 8. 点在的平分线上，点到边的距离等于6，点在边上，则下列选项正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，垂线段最短的性质，熟记性质是解题的关键．根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得点P到OB的距离为6，再根据垂线段最短解答． 【详解】解：∵点P在的平分线上，点P到边的距离等于6， ∴点P到的距离为6， ∵点Q是边上的任意一点， ． 故选：B． 9. 下面是“作一个角使其等于”的尺规作图方法. （1）如图，以点为圆心，任意长为半径画弧，分别交，于点，； （2）作射线，以点为圆心，长为半径画弧，交于点；以点为圆心，长为半径画弧，两弧交于点； （3）过点作射线，则. 上述方法通过判定得到，其中判定的依据是（ ） A. 三边分别相等的两个三角形全等 B. 两边及其夹角分别相等的两个三角形全等 C. 两角及其夹边分别相等的两个三角形全等 D. 两角分别相等且其中一组等角的对边相等的两个三角形全等 【答案】A 【解析】 【分析】根据基本作图中，判定三角形全等的依据是边边边，解答即可. 本题考查了作一个角等于已知角的基本作图，熟练掌握作图的依据是解题的关键. 【详解】解：根据上述基本作图，可得， 故可得判定三角形全等的依据是边边边， 故选A. 10. 如图，正六边形的边长是，点是上的一动点，则的最小值是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了正多边形，等边三角形的性质，轴对称的性质，两点之间线段最短，由点关于的对称点为点，连接交于点，根据轴对称的性质进行解答即可，掌握正六边形的性质以及轴对称路线最短问题的解题方法是正确解答的关键． 【详解】解：由正六边形的性质可得点关于的对称点为点，连接交于点， ∴，最小， ∵六边形是正六边形，对角线交于， ∴、、都是等边三角形， ∴， ∴， 故选：． 二、填空题（本题共6小题，每小题4分，共24分） 11. 直播课期间，刘老师买了一个手机支架，如图所示，手机支架利用了三角形的______． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查的是三角形的性质，根据三角形具有稳定性解答即可． 【详解】手机支架利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 12. 如图，在中，，，则______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质和三角形内角和定理，由，则，然后根据三角形的内角和定理即可求解，解题的关键是熟知等腰三角形的性质，准确进行计算． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， 故答案为：． 13. 如图，，点、在线段上，，，则的长为_____． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的性质，线段的和差，由全等三角形的性质可得，由线段的和差可得，进而即可求解，掌握全等三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，一架梯子斜靠在墙上，梯子与墙面的夹角，梯子的长为，则梯子底部与墙的距离为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了含角直角三角形所对直角边是斜边的一半，由题意得，，然后根据角直角三角形所对直角边是斜边的一半即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由题意得，，， ∵， ∴， ∴梯子底部与墙的距离为， 故答案为：． 15. 如图，两面镜子与的夹角为，光线经过镜子后反射，，，则_____．（用含的式子表示） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和与平角的含义，解决问题的关键是熟练掌握三角形内角和等于，平角度数等于．根据三角形内角和，得到，再根据平角的定义可推出，然后根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】解：如图所示， 由三角形内角和可得：， ∵，， ∴，， ∴， ∴． 故答案：． 16. 如图，，，，与相交于点O，有以下结论：①；②；③点A在的平分线上；④是的平分线，其中结论正确的是_____．（填序号） 【答案】①②③ 【解析】 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，三角形外角的性质，角平分线的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法． ①根据证明即可； ②根据，得出，根据三角形外角得出，变形求出结果即可； ③过点A作于点M，于点N，证明，根据角平分线的判定可得点A在的平分线上； ④根据已知条件无法证明是的平分线． 【详解】解：①∵， ∴， ∵，， ∴，故①正确； ②∵， ∴，， ∴ ，故②正确； ③过点A作于点M，于点N，如图所示： ∵， ∴，， ∴， ∴， ∴点A在的平分线上，故③正确； ④无法证明平分，故④错误； 综上分析可知：正确的有①②③． 故答案为：①②③． 三、解答题（本题共9小题，满分86分） 17. 如图，三个顶点的坐标分别为，，． （1）写出关于轴对称的的各顶点坐标； （2）画出关于轴对称的． 【答案】（1），， （2） 如图，即为所求作． 【解析】 【分析】本题考查作图，作轴对称图象和写出对称点的坐标． （1）根据关于轴对称的点的坐标横坐标相同，纵坐标互为相反数，即可求解； （2）根据关于轴对称的点的坐标纵坐标相同，横坐标互为相反数，确定对应点，再依次连接即可． 【小问1详解】 解：三个顶点的坐标分别为，，， 则关于轴对称的的各顶点坐标为，，； 【小问2详解】 略 18. 如图，点在线段上，，，．求证：是的中点． 【答案】 证明：在和中， ， ． ， 是的中点． 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质；根据证明和全等，进而利用全等三角形的性质解答即可，熟练掌握其性质并能正确证明是解决此题的关键． 【详解】略 19. 已知一个多边形的内角和比外角和多，并且这个多边形各个内角的度数都相等．这个多边形的每个内角是多少度？ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多边形内角和与外角和，熟练掌握多边形内角和的计算公式是解题的关键，根据题意，并结合多边形内角和公式，列出等式：，求出此多边形为八边形，再结合多边形的外角和为，即可得到答案． 【详解】解：设这个多边形的边数为， 由题意，得， 解得：， 这个多边形的各个内角的度数都相等， 这个多边形的每个内角度数为． 20. 如图，在中，，点在边上，交于点，，求的度数． 【答案】的度数为． 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的性质，由平行线的性质和等腰三角形的性质求出，则，从而求解，掌握平行线的性质，等腰三角形的性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的度数为． 21. 如图，． （1）尺规作图：在上作点，使得，连接；（不写作法，保留作图痕迹） （2）若，，求的周长． 【答案】（1） 如图所示，点即为所求； （2） 【解析】 【分析】（）作线段的垂直平分线，交于点，则，故点即为所求； （）由可得的周长，据此即可求解； 本题考查了线段垂直平分线的作法和性质，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：， ∴的周长， 即的周长为． 22. 如图，在和中，，，于，于，且．求证：． 【答案】 证明：于，于， 与都是直角， 在和中， ， ， ． 在和中， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，先证明得到，再利用证明即可． 【详解】略 23. 在一个三角形中如果有一个角是另一个角的2倍，我们称这两个角互为倍半角、这个三角形叫做倍半三角形．例如：在中，，，则与互为倍平角，为倍半三角形． （1）在中，，互为倍半角，，则________°； （2）若为倍半三角形，，求这个三角形中最小的内角度数； （3）已知是倍半三角形中最大的内角，并且都不与其它两个内角互为倍半角，试确定的取值范围，并说明理由． 【答案】（1） （2）或 （3）且； ∵是倍半三角形中最大的内角，并且都不与其它两个内角互为倍半角， ∴另外两个角一定互为“倍半角”， 设，则另外两个角中较小的角为，则较大的一个为，根据题意得： ， 解得：且， ∴且． 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理、一元一次方程的应用，一元一次不等式组的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）根据，互为倍半角，，结合三角形内角和为，求解即可； （2）分两种情况：当是“倍半角”时，当不是“倍半角”时，分别求解即可； （3）设，则另外两个角中较小的角为，则较大的一个为，根据是倍半三角形中最大的内角，并且都不与其它两个内角互为倍半角，列出不等式组，求解即可． 【小问1详解】 解：∵，互为倍半角，， 又∵三角形内角和为， ∴， ∴。 故答案为：30； 【小问2详解】 解：∵为倍半三角形，， ∴当是“倍半角”中的其中一个角时， 另外一个角为，则第三个角为， 或另外一个角为，此时这两个角之和是，不合题意， ∴此时最小的角为； 当不是“倍半角”中的任何一个角时，设这个三角形中较小的“倍半角”为， 则， 解得：， 此时最小角为， 综上所述，这个三角形中最小的内角为或 【小问3详解】 略 24. 如图，在中，，，的平分线，相交于点．在边上截取，连接，． （1）求的度数； （2）求证：； （3）判断是不是定值？若是，请求出这个定值；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2） 证明：， ， 在和中， ， ， ， ， ； （3）是， 【解析】 【分析】（1）首先根据“直角三角形两锐角互余”可得，再结合角平分线的定义可得，然后结合三角形内角和定理求解即可； （2）首先结合（1）求得，再利用“”证明，易得，进而可得，即可证明结论； （3）在边上截取，连接，作于，于，结合（2）可得，，，进而可得，，易得，证明，由全等三角形的性质可得，再结合三角形面积公式可得，结合，，易得，即可获得答案． 【小问1详解】 解：在中，， ，是，的平分线， ，， ， ； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：是定值，理由如下： 在边上截取，连接，作于，于， 由（2）可得，，， ，， ， ， 在和中， ， ， ， ，， ， ，， ， ． 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形内角和定理、直角三角形两锐角互余、全等三角形的判定与性质等知识，熟练掌握相关知识并灵活运用是解题关键． 25. 数学活动--折纸中的探索 【背景介绍】折纸艺术中蕴含着丰富的数学原理，通过折叠纸张，我们可以折出各种几何形状，并探索其中的数学关系． 【活动材料】长方形纸张、正方形纸张、尺子、铅笔． 【问题1】（1）如图1，把长方形的纸张沿对角线折叠，重合部分（）是一个等腰三角形吗？为什么？ 【问题2】（2）如图2，①对折长方形纸张，使与重合，得到折痕，把纸张展平；②再一次折叠纸张，使点落在上，并使折痕经过点，得到折痕．同时，得到线段．求证：； 【问题3】（3）如图3，要求在正方形中折出一个等边三角形，使点，分别在边，上，请画出折痕，并简要说明折叠过程． 【答案】 （1）重合部分是等腰三角形． 理由：由沿折叠得到， ． ， ， ， ， 重合部分是等腰三角形； （2）证明：连接，如图； 由折叠可知，垂直平分， ， ， 是等边三角形， ． ， ； （3）解：如图3，折叠过程如下： ①对折正方形纸张，使与重合，得到折痕，把纸张展平； ②折叠纸张，使点B落在上，并使折痕经过点A，得到折痕，得到线段，把纸张展平； ③折叠纸张，使与重合，折痕交于点，得到折痕，把纸张展平； ④折叠纸张，使与重合，折痕交于点M，得到折痕，把纸张展平； ⑤过点，折叠，得到折痕； 就是折叠得到的等边三角形． 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质、等腰三角形的判定、等边三角形的性质等知识点． （1）由折叠的性质，再根据，得出角相等、边相等即可求解； （2）根据折叠的性质得出是等边三角形，再根据等边三角形的性质的出各角之间的等量关系，即可求证； （3）仿照问题2中折叠的方法，逐步折叠并画出折痕即可． 【详解】（1）略 （2）略 （3）略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $