6.2.3组合课件-2024-2025学年高二下学期数学人教Ａ版(2019)选择性必修第三册

6.2.3组合 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，并按照一定的顺序排成一列，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个排列(arrangement). 1.排列的定义 我们把从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素的所有不同排列的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用符号 表示. 2.排列数的定义 3.排列数的计算 （1）排列数公式(1)： （3）全排列数: （2）排列数公式(2)： 复习回顾 3 问题1：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天的一项活动，其中1名同学参加上午的活动, 1名同学参加下午的活动，有多少种不同的选法？（6.2.1问题1） 问题2：从甲、乙、丙3名同学中选出2名去参加某天一项活动，有多少种不同的选法？ 追问： 这两个问题有什么异同点？ 相同点：都是从3个不同的元素中取出2个 不同点：问题1要考虑顺序,问题2不要考虑顺序 列举：甲乙、甲丙、乙丙，共有3种. 列举：甲乙、甲丙、乙丙、乙甲、丙甲、丙乙、6种. 新知引入 与元素顺序有关称为：排列问题 与元素顺序无关称为什么问题呢？ 组合问题 3 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 1.组合定义: 注意： (1)组合的特点：组合要求n个元素是不同的，取出的m个元素也是不同的，即从n个不同的元素中进行m次不放回地取出. (2)组合的特性：元素的无序性. 取出的m个元素不讲究顺序，即元素没有位置的要求. 问题2：你能说一说排列与组合之间的联系与区别吗？ 新知生成 4 一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素，按照一定的顺序排成一列，叫做从 n 个不 同元素中取出 m 个元素的一个排列. 组合定义:一般地，从n个不同元素中取出m(m≤n)个元素并成一组，叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合． 排列定义: 排列、组合的联系与区别： 排列 组合 相同点 不同点 完成这件事情共分几步 从n个不同元素中取出m个元素 元素的顺序有关 元素的顺序无关 第一步、取 第二步、排 仅一步、取 组合 甲乙 甲丙 乙丙 甲乙，乙甲 甲丙，丙甲 乙丙，丙乙 排列 问题1和问题2中“排列”和“组合”的对应关系： 新知生成 5 思考1：校门口停放着9辆共享自行车，其中黄色、红色和绿色的各有3辆. 下面的问题是排列问题，还是组合问题? (1) 从中选3辆，有多少种不同的方法? (2) 从中选3辆给3位同学，有多少种不同的方法? 解： (1) 是组合问题， (2) 是排列问题，不同的选法有 不同的选法有84种. 判断一个计数问题是排列问题还是组合问题的方法： 排列问题 组合问题 若交换某两个元素的位置对结果有影响，则是排列问题，即排列问题与选取的顺序有关. 若交换任意两个元素的位置对结果没有影响，则是组合问题，即组合问题与选取的顺序无关. 新知探究 6 1、 判断下列事件是排列问题还是组合问题． (1) 从10个人里选3个代表去开会，有多少种选法？ (2) 从10个人里选出3个做不同学科的课代表，有多少种选法？ (3) 有10个车站，则这条铁路线上共需准备多少种车票? (4) 有10个车站，共需要多少种不同的票价？ (5) 设集合A={a,b,c,d,e}，则集合A的子集中含有3个元素的有多少个？ (6) 3人去干5种不同的工作，每人干1种，有多少种分工方法？ (7) 把3本相同的书分给5个学生，每人最多得1本，有几种分配方法？ (8) 10人聚会，见面后每两人之间要握手相互问候, 共需握手多少次? (1)组合 (2) 排列 (3) 排列 (4)组合 (5)组合 (6) 排列 (7)组合 (8)组合 新知应用 7 例5 平面内有共4个点. (1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条？ (2)以其中2个点为端点的线段共有多少条？ 分析: (1)确定一条有向线段 , 不仅要确定两个端点 , 还要考虑他们的顺序 , 是排列问题 (2) 确定一条线段, 只需确定两个端点，而不需要考虑它们的顺序, 是组合问题. 新知应用 8 解：(1)一条有向线段的两个端点，要分起点和终点，以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数，就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数即有向线段条数为=4×3=12 这12条有向线段分别为 , , , , , , , , , , , (2)由于不考虑两个端点的顺序，因此将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段, 就是以平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数，共有如下6条： AB , AC , AD , BC , BD , CD. 新知应用 9 思考2：利用排列和组合之间的关系，以“元素相同”为标准分类，你能建立起例5(1)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗？ 进一步地，能否从这种对应关系出发，由排列数求出组合的个数? 结论：取出2个元素的组合的个数是排列数的一半. 新知探究 10 1.(多选)下列问题是组合问题的是(　　) A.从甲、乙、丙3名同学中选出2名分别去参加2个乡镇的社会调查，有多少种不同的选法 B.有4张电影票，要在7人中选出4人去观看，有多少种不同的选法 C.某人射击8枪，击中4枪，且命中的4枪均为2枪连中，有多少种不同的结果 D.从10个里选3个人去开会，有多少种选法 BCD　 巩固练习 2.从5人中选3人参加座谈会，其中甲必须参加，则不同的选法有(　　) A.60种 B.36种 C.10种 D.6种 D 解：甲必须参加，因此只要从除甲之外的4人(设为乙1，乙2，乙3，乙4)中选2人即可，有乙1乙2，乙1乙3，乙1乙4，乙2乙3，乙2乙4，乙3乙4，共6种不同的选法． 巩固练习 1. 甲、乙、丙、丁4支足球队举行单循环赛. (1) 列出所有各场比赛的双方； (2) 列出所有冠、亚军的可能情况. 解：(1) 甲乙 甲丙 甲丁 乙丙 乙丁 丙丁. (2) 冠军 甲 甲 甲 乙 乙 乙 丙 丙 丙 丁 丁 丁 亚军 乙 丙 丁 甲 丙 丁 甲 乙 丁 甲 乙 丙 巩固练习 课本练习P22 13 解：△ABC，△ABD，△ACD，△BCD共4个. 2. 已知平面内A, B, C, D这4个点中任何3个点都不在一条直线上，写出以其中任意3个点为顶点的所有三角形. 3. 现有1, 3, 7, 13这4个数. (1) 从这4个数中任取2个相加，可以得到多少个不相等的和? (2) 从这4个数中任取2个相减，可以得到多少个不相等的差? 解：(1) 不相等的和为4, 8, 14, 10, 16, 20，共6个. (2) 不相等的差为－2, －6, －12, 2, －4, －10, 6, 4, 12, 10，共10个. 巩固练习 课本练习P22 14 1.组合的概念： 2.“组合”与“排列”的联系与区别 一般地, 从个不同元素中取出个元素作为一组, 叫做从个不同元素中取出个元素的一个组合. 排列 组合 相同点 不同点 完成这件事情共分几步 从n个不同元素中取出m个元素 元素的顺序有关 元素的顺序无关 第一步、取 第二步、排 仅一步、取 15 $$