专题12 割补法-2025年高考物理冲刺解题方法与得分技巧（全国通用）

专题12割补法 考点一 利用割补法求万有引力 2 考点二 利用割补法求电场强度 3 考点三 利用割补法求变化电压或电流 的有效值 6 考点一 利用割补法求万有引力 1．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）有一质量为M，半径为R，密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为的球体，如图所示，然后又在挖空部分填满另外一种密度为原来3倍的物质，如图所示。则填充后的实心球体对m的万有引力为（　　） A． B． C． D． 2．（22-23高一下·四川成都·阶段练习）如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（　　） A． B． C． D．0 3．（22-23高三上·江苏徐州·期末）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。假设火星是半径为R的质量分布均匀的球体，在火星内挖一半径为r（）的球形内切空腔，如图所示。现将一小石块从切点处由静止释放，则小石块在空腔内将做（　　） A．匀加速直线运动 B．加速度变大的直线运动 C．匀加速曲线运动 D．加速度变大的曲线运动 4．（20-21高一上·江西景德镇·期末）若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为（质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零）（　　） A． B． C． D． 5．（20-21高一下·辽宁大连·阶段练习）如图所示，O为地球的球心，A为地球表面上的点，B为O、A连线上的一点，，将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R，设想挖掉以B为球心、以半径的球。若忽略地球的自转，球的体积公式。求： （1）若已知万有引力常量为G，地球的密度为，挖去球体前地球表面A点的重力加速度大小； （2）挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比。 考点二 利用割补法求电场强度 6．（2024·广东揭阳·二模）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布着总电荷量为q的正电荷，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，，已知M点的电场强度大小为E，静电力常量为k，则N点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 7．（2023·河北·模拟预测）已知均匀带电薄壳外部空间电场与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样，内部空间的电场处处为0．如图所示为一带电量为，半径为r的均匀带电球壳，以球心为坐标原点，建立轴，其中A点为壳内一点，B点坐标为，静电力常量为k，下列说法正确的是（    ） A．将的试探电荷由壳内A点移到O点，试探电荷的电势能减小 B．在圆心O处放一个电量为的点电荷，球壳外表面带电量仍为 C．在处取走极小的一块面积，O点场强大小为 D．在圆心O正上方处取走极小一块面积，B点场强大小为 8．（2023·江苏·一模）如图所示，半径为R的绝缘细圆环上均匀分布着电荷量为Q的正电荷，A、B、C三点将圆周三等分。取走A、B处弧长均为ΔL的圆弧上的电荷（），静电力常量为k，此时圆心O处电场强度（　　） A．方向沿CO，大小为 B．方向沿OC，大小为 C．方向沿CO，大小为 D．方向沿OC，大小为 9．（22-23高二上·吉林长春·期末）如图所示，正电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线．P、M为CD轴线上的两点，距球心O的距离均为，在M右侧轴线上点固定正点电荷Q，点、M间距离为R，已知P点的场强为零，若带电均匀的封闭球壳内部电场强度处处为零，则M点的场强大小为（　　） A．0 B． C． D． 10．（20-21高二上·广东深圳·阶段练习）已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体均匀分布着电荷量为Q的电荷，AB为球的一条直径，A点恰好位于球的外部。现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为，则A点处场强的大小为（　　） A． B． C． D． 11．（20-21高二上·安徽蚌埠·期中）已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、带电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A，B两个点，O和B，B和A间的距离均为R。现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V=πr3，则A点处电荷量为q的检验电荷所受到的电场力的大小为（　　） A． B． C． D． 12．（2020·新疆·一模）如图甲所示，光滑绝缘细杆处于静电场中，沿细杆建立坐标x轴，取x=0处的点电势为零，细杆上各处电场方向沿x轴正方向，其电场强度E随x的分布如图乙所示。细杆上套有可视为质点的带电圆环，其质量为m=0.2kg，电荷量为q=2.0×10-6C。将带电圆环自O点由静止释放，下列说法中正确的是（　　） A．带电圆环在0~3m区间内做匀变速直线运动 B．带电圆环在x=1m处的加速度为2m/s2 C．绝缘细杆上x=1m处的电势为2.5×105V D．在x=2m位置时，带电圆环的速度大小为2m/s 考点三 利用割补法求变化电压或电流 的有效值 13．（20-21高三下·重庆·阶段练习）匝数为100的线圈通有如图所示的交变电流（图中曲线为余弦曲线的一部分），单匝线圈电阻，则在内线圈产生的焦耳热为（　　） A．80J B．85J C．90J D．125J 14．（20-21高二下·江西新余·阶段练习）如图是某一线圈通过的交流电的电流—时间关系图像（前半个周期为正弦波形的），则一个周期内该电流的有效值为（　　） A． B． C． D． 15．（20-21高二下·云南曲靖·阶段练习）如图所示的交变电流由正弦交变电的一半和反向脉冲电组合而成，则这种交变电流的有效值为（　　） A． B． C． D． 16．（20-21高二上·辽宁丹东·期末）如图所示，图甲是某燃气灶点火装置的原理图。转换器将干电池提供的直流电压转换为图乙所示的正弦交流电压，并加在理想变压器的原线圈上，变压器原、副线圈的匝数分别为n1、n2，电压表为交流电表。当变压器副线圈电压的瞬时值大于5000V时，就会在钢针和金属板间引发电火花进而点燃气体，下列说法中正确的是（　　） A．开关闭合时电压表V的示数为5V B．开关闭合时电压表V的示数V C．实现点火的条件是 D．实现点火的条件是 17．（2020·全国·一模）利用半导体二极管的单向导电性，可以对交变电流进行整流，将交变电流变为直流，一种简单的整流电路如图甲所示，ab为交变电流信号输入端，D为半导体二极管，R为定值电阻。信号输入后，电阻R两端输出的电压信号如图乙所示，则关于该输出信号，下列说法正确的是（   ）   A．频率为100Hz B．电压有效值为 C．一个标有“90V，30μF”的电容器并联在电阻R两端，可以正常工作 D．若电助理R=10Ω，则1min内R产生的热量为1.5×104 J 18．（2020高三·全国·考点练习）一个半径为R的绝缘球壳上均匀地带有电荷量为+Q的电荷，另一个电荷量为+q的点电荷放在球心O上，由于对称性，点电荷受到的电场力为零.现在球壳上挖去一个半径为r的小孔，r<<R，静电力常量为k，如图所示，求此时置于球心的点电荷受到的电场力的大小和方向. 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题12割补法 考点一 利用割补法求万有引力 2 考点二 利用割补法求电场强度 6 考点三 利用割补法求变化电压或电流 的有效值 13 考点一 利用割补法求万有引力 1．（23-24高一下·山东聊城·阶段练习）有一质量为M，半径为R，密度均匀的球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为的球体，如图所示，然后又在挖空部分填满另外一种密度为原来3倍的物质，如图所示。则填充后的实心球体对m的万有引力为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由万有引力公式得，没挖空前，球体对质点m的万有引力为 根据 可知，挖去部分的质量是球体质量的，则挖去部分对质点m的引力为 则剩下部分对m的万有引力为 若挖去的小球中填满原来球的密度的3倍的物质，该物质的质量为，则该物质对质点m的万有引力 所以则填充后的实心球体对m的万有引力为 故选B。 2．（22-23高一下·四川成都·阶段练习）如图所示，有一个质量为M、半径为R、密度均匀的大球体，从中挖去一个半径为的小球体，并在空腔中心放置一质量为m的质点，则大球体的剩余部分对该质点的万有引力大小为（已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零）（　　） A． B． C． D．0 【答案】C 【详解】若将挖去的小球体用原材料补回，可知剩余部分对m的吸引力等于完整大球体对m的吸引力与挖去小球体对m的吸引力之差，挖去的小球体球心与m重合，对m的万有引力为零，则剩余部分对m的万有引力等于完整大球体对m的万有引力；以大球体球心为中心分离出半径为的球，易知其质量为M，则剩余均匀球壳对m的万有引力为零，故剩余部分对m的万有引力等于分离出的球对其的万有引力，根据万有引力定律 故选C。 3．（22-23高三上·江苏徐州·期末）已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零。假设火星是半径为R的质量分布均匀的球体，在火星内挖一半径为r（）的球形内切空腔，如图所示。现将一小石块从切点处由静止释放，则小石块在空腔内将做（　　） A．匀加速直线运动 B．加速度变大的直线运动 C．匀加速曲线运动 D．加速度变大的曲线运动 【答案】A 【详解】已知质量分布均匀的球壳对壳内物体的万有引力为零，那么在火星内挖一球形内切空腔后，小石块的受力等于火星对小石块的万有引力减去空腔球体的万有引力；设火星密度为，空腔半径为，两球心的距离为，那么小石块受到的合外力为 则小石块的加速度为 所以小石块向球心运动，加速度不变，即小石块在空腔内将做匀加速直线运动。 故选A。 4．（20-21高一上·江西景德镇·期末）若地球半径为R，把地球看作质量分布均匀的球体。“蛟龙号”下潜深度为d，“天宫一号”轨道距离地面高度为h，“蛟龙”号所在处与“天宫一号”所在处的加速度大小之比为（质量分布均匀的球壳对内部物体的万有引力为零）（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设地球的密度为ρ，则在地球表面，物体受到的重力和地球的万有引力大小相等，有 由于地球的质量为 所以重力加速度的表达式可写成 质量分布均匀的球壳对壳内物体的引力为零，故在深度为d的地球内部，受到地球的万有引力即为半径等于（R－d）的球体在其表面产生的万有引力，故“蛟龙号”的重力加速度 所以有 根据万有引力提供向心力有 G＝ma “天宫一号”所在处的重力加速度为 a＝ 所以 ， 故选C。 5．（20-21高一下·辽宁大连·阶段练习）如图所示，O为地球的球心，A为地球表面上的点，B为O、A连线上的一点，，将地球视为质量分布均匀的球体，半径为R，设想挖掉以B为球心、以半径的球。若忽略地球的自转，球的体积公式。求： （1）若已知万有引力常量为G，地球的密度为，挖去球体前地球表面A点的重力加速度大小； （2）挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比。 【答案】（1）；（2） 【详解】（1）在地球表面，对质量为m的物体有 联立解得 （2）设想没有挖掉以B为球心、以为半径的球。则在A点物体所受到的引力是以B为球心、以为半径的球的引力和剩余部分的引力的矢量和，设地球的质量为M。以B为球心、以为半径的球的质量为。则 根据万有引力定律，对质量为m的物体 所以 根据牛顿第二定律得，挖出球体后A点的重力加速度与挖去球体前的重力加速度之比为 考点二 利用割补法求电场强度 6．（2024·广东揭阳·二模）均匀带电的球壳在球外空间产生的电场等效于电荷集中于球心处产生的电场。如图所示，在半球面AB上均匀分布着总电荷量为q的正电荷，球面半径为R，CD为通过半球顶点与球心O的轴线，在轴线上有M、N两点，，已知M点的电场强度大小为E，静电力常量为k，则N点的电场强度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】右边补齐半球面，电荷量为2q的球型在N点产生的电场强度大小为 由于对称性可得，N点实际的电场强度大小 故选A。 7．（2023·河北·模拟预测）已知均匀带电薄壳外部空间电场与其上电荷全部集中在球心时产生的电场一样，内部空间的电场处处为0．如图所示为一带电量为，半径为r的均匀带电球壳，以球心为坐标原点，建立轴，其中A点为壳内一点，B点坐标为，静电力常量为k，下列说法正确的是（    ） A．将的试探电荷由壳内A点移到O点，试探电荷的电势能减小 B．在圆心O处放一个电量为的点电荷，球壳外表面带电量仍为 C．在处取走极小的一块面积，O点场强大小为 D．在圆心O正上方处取走极小一块面积，B点场强大小为 【答案】C 【详解】A．壳内场强处处为0，故移动试探电荷不做功，A错误； B．在圆心O处放一个电量为的点电荷，由于静电感应，球壳内表面感应出的电荷，则球壳外表面的电荷量为，B错误； C．在处取走极小一块面积，根据对称性，在处极小一块面积的电荷产生的电场 C正确； D．整个球壳在B点的电场 水平向右，在圆心O正上方处取走极小一块面积在B点的场强为 方向斜向右下，与矢量作差即为B点电场强度，D错误。 故选C。 8．（2023·江苏·一模）如图所示，半径为R的绝缘细圆环上均匀分布着电荷量为Q的正电荷，A、B、C三点将圆周三等分。取走A、B处弧长均为ΔL的圆弧上的电荷（），静电力常量为k，此时圆心O处电场强度（　　） A．方向沿CO，大小为 B．方向沿OC，大小为 C．方向沿CO，大小为 D．方向沿OC，大小为 【答案】A 【详解】ABCD．由于圆环所带电荷量均匀分布，所以长度为的小圆弧所带电荷量 没有取走电荷时圆心O点的电场强度为零，取走A、B两处的电荷后，圆环剩余电荷在O点产生的电场强度大小等于A、B处弧长为的小圆弧所带正电荷在O点产生的场强的叠加，方向相反，即有 解得 方向沿CO，故A正确；BCD错误。 故选A。 9．（22-23高二上·吉林长春·期末）如图所示，正电荷q均匀分布在半球面ACB上，球面半径为R，CD为通过半球顶点C和球心O的轴线．P、M为CD轴线上的两点，距球心O的距离均为，在M右侧轴线上点固定正点电荷Q，点、M间距离为R，已知P点的场强为零，若带电均匀的封闭球壳内部电场强度处处为零，则M点的场强大小为（　　） A．0 B． C． D． 【答案】C 【详解】设另一半球面带电荷量也为q，由对称性可知，半球面ACB上电荷q在P点的场强与另一半球面上电荷在M点形成的场强大小相等、方向相反，由带电均匀的封闭球壳内部电场强度处处为零可知，半球面ACB上电荷q在M点的场强与在P点的场强相同。由于P点场强为零，故半球面ACB上电荷q在P点的场强与正点电荷Q在P点的场强大小相等、方向相反，故半球面ACB上电荷q在M点的场强为 （方向向右） 点固定正点电荷Q在M点的场强为 （方向向左） 则M点场强为 （方向向左） C正确，A、B、D错误。 故选C。 10．（20-21高二上·广东深圳·阶段练习）已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体均匀分布着电荷量为Q的电荷，AB为球的一条直径，A点恰好位于球的外部。现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为，则A点处场强的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，半径为R的均匀带电体在A点产生场强为 同理割出的小球半径为，因为电荷平均分布，其带电荷量 则其在A点产生的场强为 则剩余部分电荷在A点产生的场强为 联立解得，故选B。 11．（20-21高二上·安徽蚌埠·期中）已知均匀带电球体在球的外部产生的电场与一个位于球心的、带电荷量相等的点电荷产生的电场相同。如图所示，半径为R的球体上均匀分布着电荷量为Q的电荷，在过球心O的直线上有A，B两个点，O和B，B和A间的距离均为R。现以OB为直径在球内挖一球形空腔，若静电力常量为k，球的体积公式为V=πr3，则A点处电荷量为q的检验电荷所受到的电场力的大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知，半径为R的均匀带电体可以看成是点电荷存在O点，根据库仑定律可知对在A点的电荷的电场力为 同理割出的小球，因为电荷均匀分布其带电荷量 同理对A处点电荷的电场力为 所以剩余空腔部分电荷在A处点电荷的电场力 F=F1-F2= 故选B。 12．（2020·新疆·一模）如图甲所示，光滑绝缘细杆处于静电场中，沿细杆建立坐标x轴，取x=0处的点电势为零，细杆上各处电场方向沿x轴正方向，其电场强度E随x的分布如图乙所示。细杆上套有可视为质点的带电圆环，其质量为m=0.2kg，电荷量为q=2.0×10-6C。将带电圆环自O点由静止释放，下列说法中正确的是（　　） A．带电圆环在0~3m区间内做匀变速直线运动 B．带电圆环在x=1m处的加速度为2m/s2 C．绝缘细杆上x=1m处的电势为2.5×105V D．在x=2m位置时，带电圆环的速度大小为2m/s 【答案】BD 【详解】A．带电圆环在0~3m区间的加速度为 因电场强度在不断改变，故圆环的加速度也在不断改变，A错误； B．由图可知，圆环在时，电场强度为，可得加速度为 故B正确； C．圆环从x=0处运动到x=1m处电场力做功为 其电势能减少量为 则其在x=1m处的电势为 故C错误； D．圆环从x=0处运动到x=2m位置时，电场力做功为 电场力做功全部转化为圆环的动能，故其速度大小为 故D正确； 故选BD。 考点三 利用割补法求变化电压或电流 的有效值 13．（20-21高三下·重庆·阶段练习）匝数为100的线圈通有如图所示的交变电流（图中曲线为余弦曲线的一部分），单匝线圈电阻，则在内线圈产生的焦耳热为（　　） A．80J B．85J C．90J D．125J 【答案】B 【详解】根据有效值的定义方法可知 解得 总电阻为 则10s内产生的焦耳热 故选B。 14．（20-21高二下·江西新余·阶段练习）如图是某一线圈通过的交流电的电流—时间关系图像（前半个周期为正弦波形的），则一个周期内该电流的有效值为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】设该电流的有效值为I，由 解得 故B正确。 故选B。 15．（20-21高二下·云南曲靖·阶段练习）如图所示的交变电流由正弦交变电的一半和反向脉冲电组合而成，则这种交变电流的有效值为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设交流电电流的有效值为I，周期为T，电阻为R，则根据有效值的定义可得 解得 故选C。 16．（20-21高二上·辽宁丹东·期末）如图所示，图甲是某燃气灶点火装置的原理图。转换器将干电池提供的直流电压转换为图乙所示的正弦交流电压，并加在理想变压器的原线圈上，变压器原、副线圈的匝数分别为n1、n2，电压表为交流电表。当变压器副线圈电压的瞬时值大于5000V时，就会在钢针和金属板间引发电火花进而点燃气体，下列说法中正确的是（　　） A．开关闭合时电压表V的示数为5V B．开关闭合时电压表V的示数V C．实现点火的条件是 D．实现点火的条件是 【答案】BD 【详解】AB．根据图乙得到原线圈输入电压的最大值 根据正弦式交变电流最大值和有效值的关系可知，原线圈输入电压的有效值 则电压表的示数为。故A错误，B正确； CD．分析题意可知，瞬时电压大于5000V即火花放电，即副线圈输出电压最大值 根据变压比可知 解得实现点火的条件是 故C错误，D正确； 故选BD。 17．（2020·全国·一模）利用半导体二极管的单向导电性，可以对交变电流进行整流，将交变电流变为直流，一种简单的整流电路如图甲所示，ab为交变电流信号输入端，D为半导体二极管，R为定值电阻。信号输入后，电阻R两端输出的电压信号如图乙所示，则关于该输出信号，下列说法正确的是（   ）   A．频率为100Hz B．电压有效值为 C．一个标有“90V，30μF”的电容器并联在电阻R两端，可以正常工作 D．若电助理R=10Ω，则1min内R产生的热量为1.5×104 J 【答案】D 【详解】A．由图乙可知，该电压的周期为0.02s，故频率为 50Hz A不符合题意； B．由图可知前半个周期内的最大电压V，后半个周期没有电压，根据电流的热效应知，一个周期内电阻产生的热量 得电压有效值为50V，B不符合题意； C．电容器两端的瞬时电压不应超过标称电压，C不符合题意； D．电阻R产生的热量应使用电压的有效值进行计算，故产生的热量为 D符合题意。 故选D。 18．（2020高三·全国·考点练习）一个半径为R的绝缘球壳上均匀地带有电荷量为+Q的电荷，另一个电荷量为+q的点电荷放在球心O上，由于对称性，点电荷受到的电场力为零.现在球壳上挖去一个半径为r的小孔，r<<R，静电力常量为k，如图所示，求此时置于球心的点电荷受到的电场力的大小和方向. 【答案】，方向指向小孔. 【详解】将带电球壳分割成无数小块（如该题中半径为r的小圆），当r<<R时，每一小块均可看成一个点电荷.根据场强叠加原理，整个带电球壳所带电荷量Q在球心处产生的电场其合场强为零. 当球壳上挖去半径为r的小孔时，被挖去的小孔在球心产生的场强与剩余的球壳在球心处产生的场强大小相等，方向相反.欲求置于球心的点电荷所受力的大小，只要知道被挖去的小孔所对的那个小孔在球心处产生的场强即可.如图所示，由题意知球壳所带电荷的面密度（单位面积上的电荷量）为 正对小孔的那一小块球壳的带电荷量为 q’在球心处产生的电场的场强 则球心处的点电荷所受的电场力 方向指向小孔。 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$