专题7 矢量的合成与分解（1）-2025年高考物理冲刺解题方法与得分技巧（全国通用）

专题7 矢量的合成与分解（1） 考点一 用相似三角形解决平衡问题 2 考点二 ma看成惯性力的动静转换 9 考点三 小船渡河问题中运动的分解 12 考点四 两匀速直线运动速度的合成 17 考点五 匀速和变速运动的合成 21 考点六 匀速直线和圆周运动的合成 27 考点一 用相似三角形解决平衡问题 1．（2024·安徽六安·二模）如图所示，四分之一圆柱体P放在水平地面上，右侧与一块固定的竖直挡板接触；球心的正上方有一个大小可忽略的定滑轮，一根轻绳跨过定滑轮，一端和置于圆柱体P上的小球（质量为）连接，另一端系在固定竖直杆上的点，一钩码（质量为）挂在间的轻绳上，整个装置处于静止状态。不计一切摩擦。若在钩码下方再加挂一个钩码，整个装置再次处于静止状态时小球依然处于圆柱体P上，则此时与先前整个装置处于静止状态时相比（　　） A．轻绳的张力减小 B．P对小球的弹力增大 C．P对Q的压力增大 D．P对地面的压力减小 【答案】A 【详解】AB．小球受重力，P对它的支持力以及轻绳对它的拉力，其受力如图所示 由相似三角形可知 其中，为四分之一圆柱体的半径，为定滑轮左侧轻绳的长度，在钩码下方再加挂一个钩码，钩码下移，小球将沿圆柱体上移，小球再次静止时，由于、、不变，减少，则大小不变，减小，即轻绳的张力减小，P对小球的弹力大小不变，A正确，B错误； C．以小球和P为整体进行受力分析，根据水平方向受力平衡可得 为定滑轮左侧轻绳与竖直方向的夹角，由于减小，减小，可知Q对P的支持力减小，根据牛顿第三定律可知P对Q的压力减小，C错误； D．以圆柱体P对象进行受力分析，根据竖直方向受力平衡可得 为小球对圆柱体P压力与水平方向的夹角，由于大小不变，增大，可知地面对P支持力增大，根据牛顿第三定律可知P对地面的压力增大，D错误； 故选A。 2．（2021·山东济宁·一模）如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑的半球形容器底部O'处（O为球心），弹簧另一端与质量为m的小球相连，小球静止于P点。已知容器半径为R、与水平地面之间的动摩擦因数为μ，OP与水平方向的夹角为θ=30°。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．轻弹簧对小球的作用力大小为 B．容器相对于水平面有向右的运动趋势 C．容器和弹簧对小球的作用力的合力竖直向上 D．弹簧原长为 【答案】CD 【详解】A．对小球受力分析，小球受重力G、弹簧的弹力F和容器的支持力N，如图所示 根据平衡条件，容器和弹簧对小球的作用力的合力与重力平衡，竖直向上，结合几何关系可知容器对小球的作用力大小为 弹簧对小球的弹力为 故A错误； B．以容器和小球整体为研究对象，分析受力可知，竖直方向有总重力、地面的支持力，容器相对于水平面无滑动趋势，故B错误； C．容器和弹簧对小球的作用力的合力竖直向上，与重力等大反向，故C正确； D．由胡克定律，弹簧的压缩量为 故弹簧的原长为 故D正确。 故选CD。 3．（23-24高三上·重庆大足·开学考试）如图，不计重力的轻杆OP能以O为轴在竖直平面内自由转动，P端悬挂一重物，另用一根轻绳通过定滑轮系在P端。当OP和竖直方向的夹角缓慢增大时，OP杆的弹力和绳子的张力的大小变化是（    ）    A．先变小后变大 B．不变 C．先变大后变小 D．逐渐变大 【答案】BD 【详解】对点P受力分析，如图    根据平衡条件，合力为零，△AOP与图中矢量（力）三角形相似，故有 由图看出，OP、AO不变，则杆的支持力不变，AP变大，则绳子拉力变大； 故选BD。 4．（23-24高一上·山东烟台·期末）一竖直放置的轻质圆环静止于水平面上，质量为m的物体用轻绳系于圆环边缘上的A、B两点，结点恰位于圆环的圆心O点。已知物体静止时，AO绳水平，BO绳与AO绳的夹角为150°。轻推圆环使其向右缓慢滚动，重力加速度g，在AO绳由水平转动至竖直的过程中（　　） A．AO绳中最大拉力为2mg B．AO绳中最小拉力为mg C．BO绳中最大拉力为1.5mg D．BO绳中最小拉力为0 【答案】ABD 【详解】 A．如图所示，对O点进行受力分析，O受重力和两个绳子的拉力，轻推圆环使其向右缓慢滚动，在AO绳由水平转动至竖直的过程中，由动态平衡变化知，当重力与OB垂直时FOA最大，由几何关系知，最大值为 A正确； B．在AO绳由水平转动至竖直的过程中，由图知FOA先增大后减小，当AO在竖直方向时FOA最小，等于mg，B正确； C．由动态平衡变化知，当转动过程中，由图知FOB一直减小，所以刚转动时重力与OA垂直此时时FOB最大，由几何关系知，最大值为 C错误； D．在AO绳由水平转动至竖直的过程中，由图知FOB一直减小，当AO在竖直方向时FOA最小，此时FOB最小，等于0，D正确； 故选ABD。 5．（23-24高三上·四川眉山·期末）如图所示，为一儿童玩具的起吊部件，B处为一小型的电动机，OA是可自由转动的轻杆，电动机启动后可将OB绳缓慢的抽进内部，使OA杆从接近水平位置缓慢的逆时针转动，直到OA杆竖直为止，用这种方式把小物块C提起，物体的质量为m，此时OA与竖直方向的夹角为30°，OB与竖直方向的夹角为60°，下列说法中正确的是（　　） A．此时OA杆所承受的力为mg B．此时OB的力为2mg C．随着小物块缓慢抬起杆OA的力保持不变 D．随着小物块缓慢抬起绳OB的力越来越大 【答案】A 【详解】AB．对O点受力分析，受OA杆的支持力、OB绳的拉力、OC绳的拉力，由于O点处于平衡状态，由共点力的平衡条件可得三力围成一矢量三角形，如图所示，由几何关系可得 又有 解得 A正确，B错误； CD．随着小物块缓慢抬起，O点一直处于平衡状态，矢量三角形一直与相似，如图所示，由相似三角形的对应边关系可得 解得 在OA杆缓慢的逆时针转动时，几何的OA不变，OD变小，AD变大，由此可知随着小物块缓慢抬起时和都变小，CD错误。 故选A。 6．（23-24高三上·全国·阶段练习）如图所示，光滑定滑轮、位于同一水平线上，轻绳一端跨过定滑轮与水桶相连，另一端跨过定滑轮与轻弹簧的一端连接，轻弹簧的另一端连接带正电的小球B，带正电的小球A固定在定滑轮正下方，初始时水桶、小球B均处于静止状态，此刻，，小球A、B的电荷量保持不变，轻弹簧始终在弹性限度内，若向水桶内注入少量的水，并调整水桶的高度使系统再次平衡，则再次平衡时（　　）    A．小球A、B间的距离变小 B．小球B与间的距离不变 C．变大 D．小球A、B间的库仑力大小不变 【答案】D 【详解】A．对B球受力分析，如图所示，由几何知识则有    其中 可得 由于两小球所带电荷量不变，可知小球A、B间的距离不变，A错误；     B．若向水桶内注入少量的水，并调整水桶的高度使系统再次平衡，可知弹簧的弹力增大，则有小球B与间的距离增大，B错误； C．在△AO2B中，由于BO2增大，小球B沿圆弧移动，则变小，C错误； D．由于A、B间的距离不变，由库仑定律可知，小球A、B间的库仑力大小不变，D正确。 故选D。 考点二 ma看成惯性力的动静转换 7．（21-22高三上·湖北宜昌·阶段练习）某校学生乘坐高铁进行研学旅行，当列车做匀加速直线运动时，一学生观察置于车厢内水平桌面上一碗水的水面，观察到的情形与下图中相符的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】当火车向右做匀加速直线运动时，碗中水也向右做匀加速运动，加速度方向水平向右，根据牛顿第二定律可知水所受的合力水平向右，则碗对水的作用力的合力方向大致为斜向右上方； 故选B。 8．（20-21高一上·辽宁朝阳·阶段练习）如图所示，一小车水平向右运动，车厢内有一轻绳的上端固定在车厢的顶部，下端拴一小球，当小球相对车厢静止时，悬线与竖直方向夹角为，车厢底部放有一质量为m的木箱，与车厢相对静止，已知重力加速度为g，求： (1)小车运动时的加速度大小； (2)木箱受到的车厢底部的摩擦力的大小和方向。 【答案】(1)； (2)，方向水平向左。 【详解】(1)车厢与小球具有相同的加速度，对小球分析得 加速度 (2)对木块分析，根据牛顿第二定律得 方向水平向左。 9．（20-21高三上·湖南长沙·阶段练习）图甲是某人站在接有传感器的力板上做下蹲、起跳和回落动作的示意图，图中的小黑点表示人的重心。图乙是力板所受压力随时间变化的图像，取重力加速度。根据图像分析可知（　　） A．人的重力可由点读出，约为 B．到的过程中，人先处于超重状态再处于失重状态 C．点是人在双脚离开力板的过程中，上升最高的点 D．人在点对应时刻的加速度小于在点对应时刻的加速度 【答案】D 【详解】A．开始时人处于平衡状态，人对传感器的压力约为900N，人的重力也约为900N，故A错误； B．由图乙所示图象可知，从b到c的过程中，人对力板的压力先小于自身重力后大于自身重力，因此人先处于失重状态后处于超重状态，故B错误； C．若图中f点为双脚离开力板的过程中，上升最高的点，则此时双脚对板，故应该传感器显示为0，与图中所表述的力的大小不符，故C错误； D．由图乙所示图象可知，在b点人对力板的压力约为300N，力板对人的支持力约为300N，人所受合力约为 900N-300N=600N 在c点，人对力板的压力约为2000N，力板对人的支持力约为2000N，人受到的合力约为 2000N-900N=1100N 人在b点受到的合力小于在c点受到的合力，由牛顿第二定律可知，人在b点的加速度大小小于在c点的加速度大小，故D正确。 故选D。 10．（20-21高三上·湖南·阶段练习）如图所示，在以大小为，方向向右做匀加速直线运动的小车里，有一质量为m的小球与轻质弹簧的右端相连，弹簧左端与车壁连接，此时弹簧水平，细线与水平方向成夹角，细线、小球、弹簧相对静止。则下列判断正确的是（　　） A．细线对小球的拉力等于 B．弹簧对小球的弹力等于 C．弹簧对小球的弹力等于 D．剪断细绳的瞬间，小球的加速度大小为 【答案】C 【详解】A．对小球进行受力分析，竖直方向合力为0，可知细绳拉力 故A错误； BC．由牛顿第二定律得 弹簧弹力为 = 故B错误，C正确； D．如果小球处于平衡状态，剪断细绳后小球所受合外力才与拉力等大反向，故D错误。 故选C。 考点三 小船渡河问题中运动的分解 11．（2023高三·全国·考点练习）我国无人艇装上相控阵雷达．如图所示，某无人艇位于与对岸的最近距离为的O点处，从O点向下游20m处有一危险区，当时水流速度为，为了使无人艇避开危险区沿直线到达对岸，无人艇在静水中的速度大小至少是(　　) A．20m/s B． C．25.5m/s D．50m/s 【答案】C 【详解】若无人艇刚好避开危险区，无人艇应沿OP方向以速度v行驶，如图所示 由几何知识得 所以 v1为水流速度，当无人艇在静水中的速度时，v2最小 显然无人艇沿其他方向，如沿OQ以速度行驶时，在静水中的速度 则无人艇在静水中的速度至少为25.5m/s，C正确。 故选C。 12．（2019·全国·一模）如图所示，某河宽d=100m，水流速度v1=4 m/s，河中央处有一漂流物A（可视为质点）顺流而下， 观察点B发现漂流物时，其距观察点的平行河岸距离L= 100 m，值班员当即驾驶快艇去拦截漂流物，刚好在观察点正前方的C处拦截到漂流物，BC连线垂直河岸．此过程中快艇相对于水的速度恒定． 则下列说法中正确的是 A．快艇船头垂直河岸行驶，只要速度合适就可以完成任务 B．此过程中船行驶的速度可以小于4m/s C．此过程中船行驶的速度大小一定是2m/s D．若水流速度加倍后仅将船的行驶速度大小加倍不可完成任务 【答案】C 【详解】ABC．要刚好在C点完成拦截，漂流物到达C点的时间 t ==25s， 船的实际行驶速度方向必须是沿BC方向，因而 v== 2m/s， 由此可知 ，m/s>4m/s 方向与河岸成α角，有 tanα=， 因而快艇的速度大小和方向都是确定的．AB错误，C正确； D．当水速加倍后， t′==12.5s， 船的实际行驶速度方向必须是沿BC方向，因而 v′==4m/s， 由此可知 =+， 得 =4m/s， 方向与河岸成α′角， tanα′=， D错误． 13．（23-24高一下·重庆荣昌·期中）运动员在河面上做划船运动训练，河水流动的速度 v大小不变，方向沿河岸向下游方向， 运动员划船的速度方向沿船头方向，大小不变。如图所示，为五幅描述船过河的航线图，图中虚线表示船运动的实际航线。下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙三幅图描绘的航线都可能是符合实际的船过河的航线 B．甲图所绘航线是符合实际的，船头保持甲图所示方向航行，船过河时间最短 C．丙图所绘航线是符合实际的，船头保持丙图所示方向航行，船过河位移最小 D．乙图和戊图所绘航线都符合实际，船头保持图示方向航行，船过河位移都可能最小 【答案】BD 【详解】A．将船速和水速用平行四边形定则进行合成，会发现甲图中船速与水速的合速度沿河岸向下，乙图中当船速大于水速时，且满足 时，船会垂直河岸渡河，戊图中当船速小于水速时，其轨迹如图所示，因此甲、乙、戊三幅图描绘的航线是符合实际的，故A错误； B．甲图描绘的航线是符合实际的，而且因为船头垂直于河岸，使得在垂直河岸的方向上的分速度最大，所以过河时间最短，故B正确； C．丙图是船头垂直于河岸，有水流速度，由运动的合成可知此图描绘的航线是不符合实际的，故C错误； D．乙图和戊图航线都是符合实际的，当船速大于水速时， 乙图的航线位移是最短的，就等于河岸的宽度；当船速小于水速时，若船速和水速的合速度垂直于船速。则船过河的位移也可能最短，故D正确。 故选BD。 14．（19-20高三上·广东广州·阶段练习）如图所示，河宽为d，一小船从A码头出发渡河，小船船头垂直河岸，小船划水速度大小不变为v1，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸的距离x成正比，即ν2=kx（x≤，k为常量），要使小船能够到达距A正对岸为s的B码头，则（　　） A．v1应为 B．小船渡河的轨迹是直线 C．渡河时间为 D．渡河路程大于 【答案】ACD 【详解】A．将小船的运动分解为沿河岸方向和垂直河岸方向，小船在沿河岸方向的速度随时间先均匀增大后均匀减小，前和后内的平均速度为 则渡河的时间 划水速度 A正确； B．小船在垂直河岸方向上做匀速直线运动，在沿河岸方向上做变速运动，合加速度的方向与合速度方向不在同一条直线上，做曲线运动。B错误； C．渡河的时间 C正确； D．由于渡河的轨迹是曲线，则渡河路程 D正确。 故选ACD。 考点四 两匀速直线运动速度的合成 15．（24-25高二上·河南·阶段练习）如图所示，在竖直平面内，一半径为R的光滑绝缘圆弧轨道BCD和光滑绝缘水平轨道AB在B点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OC和OD之间的夹角，整个装置固定在水平向左的匀强电场中。一质量为m、带电荷量为+q的小滑块从A点由静止释放后沿水平轨道向左运动，经B点进入圆弧轨道，通过D点后落回水平轨道。已知滑块运动到D点时所受合力的方向指向圆心O，且此时滑块对圆弧轨道恰好没有压力。不计空气阻力，已知重力加速度为g，，求： (1)匀强电场电场强度的大小； (2)小滑块进入圆弧轨道前，沿水平轨道运动的距离； (3)小滑块落回水平轨道位置与B点之间的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）由题意可知，小滑块在D点所受合力指向圆心O，则 则匀强电场的电场强度为 （2）由题意可知，小滑块在D点所受合力为 根据牛顿第二定律可得 解得，小滑块在D点的速度为 小滑块从B点运动到D点，根据动能定理 小滑块从A点运动到B点，根据动能定理 解得 小滑块进入圆弧轨道前，沿水平轨道运动的距离为。 （3）将小滑块在D点的速度沿着水平方向和竖直方向分解，得 对应水平方向和竖直方向的加速度大小为 水平方向可以看成匀减速直线运动，根据匀变速直线运动的位移公式得 竖直方向可以看成匀加速直线运动，根据匀变速直线运动的位移公式得 其中 解得 则小滑块落回水平轨道位置与B点之间的距离为 16．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）“C919”是中国自行研制、具有自主知识产权的喷气式客机。某次起飞时速度为v，方向与水平方向成θ角，如图所示，则此时它水平前进的速度大小为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】将飞机速度进行分解，如图所示 客机水平前进的速度大小为 故选B。 17．（22-23高三上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，煤矿车间有两个相互垂直且等高的水平传送带M和N（均在匀速传动）， 煤块与两传送带间的动摩擦因数均为μ=0.2，每隔 T=10s在传送带M左端轻放上一个质量为m=1kg的相同煤块（可视为质点），发现煤块离开传送带M前已经与M速度相等，且相邻煤块（已匀速）间的距离为x=6m，随后煤块平稳地传到传送带N上，N的宽度足够大、N以0.8m/s匀速传动， g取 10m/s2， 则下列说法正确的是（　　）    A．小煤块传送到传送带 N前的瞬间，相对传送带N的速度大小为1.4m/s B．小煤块传送到传送带N上后，经0.5s与传送带N保持相对静止 C．小煤块在传送带N上滑动的划痕是直线，其长度为0.25m D．小煤块在传送带N上滑动的过程中，因摩擦产生的热量为 1J 【答案】BC 【详解】A．小煤块在传送带M上，先做匀加速运动后做匀速运动，每隔 T=10s在传送带M左端轻放一小煤块，且相邻煤块（已匀速）间的距离为x=6m，可知小煤块的速度即为传送带M的速度，则有 可得小煤块传送到传送带 N前的瞬间，相对传送带N的速度大小为 A错误； B．小煤块传送到传送带N上后，其所受摩擦力大小为 方向如图所示，小煤块相对传送带N做匀减速运动，其加速度大小    小煤块滑上传送带N到与传送带相对静止的时间 B正确； C．小煤块相对传送带以1m/s的速度在N上做匀减速直线运动到静止，这段位移就是煤块在N传送带上留下的痕迹，因此小煤块在传送带N上滑动的划痕是直线，设小煤块在传送带N上滑动的划痕长度为s，由运动学公式可得 C正确； D．小煤块在传送带N上滑动的过程中，因摩擦产生的热量为 D错误。 故选BC。 考点五 匀速和变速运动的合成 18．（2025·全国·模拟预测）我国研制的爆轰驱动超高速高焓激波风洞各项性能指标领先国际。假设某风洞在竖直方向上可产生方向、大小均可调节的风。在竖直平面内建立平面直角坐标系轴沿竖直方向，从轴上点抛出一小球，小球运动轨迹如图所示。已知风只在小球经过点时改变，且、与、间高度差相等，、间水平距离大于、间水平距离，下列说法正确的是（    ） A．小球在点左右两侧所受风力方向不同 B．小球在点左侧时所受风力小于在点右侧时所受风力 C．小球在点左侧时的加速度大于在点右侧时的加速度 D．小球在竖直方向上的平均速度从到的小于从到的 【答案】D 【详解】AB．题意知风力在竖直方向，做曲线运动的物体合力在轨迹的凹侧，结合图像可知，小球在点左侧所受合力竖直向上，即风力大于重力，在点右侧所受合力竖直向下，合力方向与重力同向，因此点右侧风力的方向不能确定，方向可能向上，也可能向下，则小球在点左右两侧时所受风力大小关系无法判断，故AB错误； C．由于小球在水平方向不受力，所以小球在水平方向上的分速度不变，由于、间的水平距离大于、间的水平距离，可知小球在段的运动时间大于在段的运动时间，小球由到竖直方向的运动过程可看成由到的竖直方向的逆过程，从到和从到，小球竖直方向的初速度大小相同，竖直方向的位移大小相同，由于时间，根据匀变速直线运动位移时间公式易判断，小球在点左侧时的加速度小于在点右侧时的加速度，故C错误； D．平均速度公式 由于小球在段的运动时间大于在段的运动时间，且、与、间高度差相等，故小球从到在竖直方向上的平均速度小于从到的平均速度，D正确。 故选 D。 19．（24-25高一下·湖南永州·期末）某质点在Oxy平面上运动，时，质点位于y轴上。它在x方向运动的速度-时间图像如图甲所示，它在y方向的位移-时间图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．质点的运动轨迹为直线 B．时，质点的速度大小为6m/s C．质点在前2s内运动的位移大小为10m D．s时质点的位置坐标为 【答案】C 【详解】AB．由图甲可知，质点沿x轴做匀加速直线运动，初速度和加速度分别为 由图乙可知，沿y轴负方向做匀速直线运动，速度大小为 时，合初速度为 合初速度与加速度方向不在同一直线，所以质点匀变速曲线运动，故AB错误； C．质点在前2s内沿x轴的位移为 m=6m m 合位移为 m 故C正确； D．质点0.5s内在x轴、y轴的位移分别为 m m 初始时刻纵坐标为8m，则0.5s时位置坐标为（1.125m，6m），故D错误。 故选C。 20．（24-25高三上·云南红河·阶段练习）如图所示，直角坐标系在竖直平面内，第一象限内存在大小、方向均未知的匀强电场，第四象限内存在方向沿轴正方向、大小未知的匀强电场。小球a从点与轴负方向成角以速率射入第四象限，一段时间后从点经过，速度沿轴负方向；另一小球b从点与轴正方向成角以速率射入第一象限，一段时间后从点经过，速度方向沿轴正方向，大小为。已知a、b小球的质量均为，电荷量均为，重力加速度为，点坐标为，不考虑小球之间的相互作用力和空气阻力。若第一象限的电场强度大小是其可能的最小值，求： (1)第四象限内的匀强电场的大小； (2)第一象限内的匀强电场的大小； (3)M、N两点沿轴方向的距离。 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）小球a从点运动到点的过程中，沿轴方向做匀速直线运动，沿轴方向做匀减速直线运动，可得 ① ② 由牛顿第二定律得 ③ 联立解得 ④ （2）连接，由于小球b在P点和N点的速度大小相同，因此小球受到的合力方向与垂直，小球沿方向做匀速直线运动。设与轴正方向之间的夹角为，得 ⑤ 解得 匀强电场的电场强度最小值为 ⑥ 联立解得 ⑦ （3）小球b从P点运动到N点的过程中，沿轴方向由牛顿第二定律得 ⑧ 由匀变速直线运动的规律得 ⑨ 小球a从P点运动到M点的过程中 ⑩M、N两点沿轴方向的距离为 ⑪ 联立解得 ⑫ 21．（24-25高二上·重庆·期中）如题图所示，在竖直平面内建立平面直角坐标系 xOy，空间内存在范围足够大、方向水平向右的匀强电场。一质量为m、带正电的小球从坐标原点由静止释放，小球运动方向与y轴负方向成角。现将该小球从坐标原点沿y正方向以初速度抛出，则抛出后（已知重力加速度为g）有（　　） A．小球所受电场力大小为 B．小球运动过程中的最小动能为 C．小球经过x轴时，距离坐标原点 D．从抛出后到达最高点的过程中，小球机械能增加量为 【答案】BD 【详解】A．小球的受力情况如图所示 则小球所受电场力大小为 故A错误； B．将小球的初速度沿着合力F和垂直于合力F方向分解如图所示 小球做类斜上抛运动，当沿着合力F方向的分速度减小到零时动能最小，最小动能为 故B正确； C．小球竖直方向做竖直上抛运动，水平方向做初速度为零的匀加速直线运动，水平方向的加速度大小为 设从抛出开始经过的时间为t，则竖直方向和水平方向分别有 联立求得 故C错误； D．小球竖直方向的速度减小为零时到达最高点，设所用时间为，最高点的横坐标为，则有 联立求得 所以，从抛出后到达最高点的过程中，小球机械能增加量为 故D正确。 故选BD。 考点六 匀速直线和圆周运动的合成 22．（2023·河南安阳·二模）如图所示，直角坐标系中P点右方边长为正方形边界abcd中有垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，P为ad中点，P点左方第一象限有竖直向上的匀强电场，第二象限有沿x轴负方向的匀强磁场。一质量、电荷量的粒子（重力不计）从磁场边界ab上某点D（未画出）以速度大小射入后，从P点沿x轴负方向进入电场，经y轴上的Q点进入第二象限内，在以后的运动过程中恰好未从xOZ面上飞出磁场。 求： （1）D点的横坐标； （2）第一象限内电场强度的大小及粒子到达Q点时速度的大小； （3）第二象限匀强磁场的磁感应强度大小B； （4）粒子在第二象限中每次过x轴的位置的横坐标（结果可保留或根号）。 【答案】（1）；（2），；（3）；（4）粒子在第二象限中第n次过x轴的位置的横坐标为 （n=1，2，3…） 【详解】（1）粒子从D点进入磁场后做匀速圆周运动，之后从P点沿x轴负方向进入电场，则其轨迹的圆心点在直线da上，可大致画出其运动轨迹，如下图所示，对粒子有 解得其轨道半径为 则a点到D点的距离l为 D点的横坐标为 （2）粒子从P点到Q点做类平抛运动，设水平位移大小为x，竖直位移大小为y，到达Q点的竖直速度为，有 解得 则粒子到Q点时速度为 （3）（4）粒子进入第二象后的运动，可分解为沿x轴负方向的匀速直线运动（速度大小为），和在垂直于x轴的平面内的匀速圆周运动（线速度大小为，设其轨道半径为R），有 解得 粒子恰好未从x轴上飞出磁场，则其轨迹和x轴相切，根据左手定则，粒子在第二象限中从Q点第一次经过x轴时所用的时间为，由几何关系知Q点到O点的距离等于R，有 解得 之后粒子做周期性运动，每次经过x轴所间隔的时间都是T，沿x轴负方向前进的距离都为 所以，粒子在第二象限中第n次过x轴的位置的横坐标为 （n=1，2，3…） 23．（22-23高三上·江苏南通·阶段练习）如图所示，磁控管内局部区域分布有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从点由静止释放，沿图中轨迹依次经过、两点，且点离虚线最远。已知磁感应强度为，电场强度为，电子质量为、电荷量为，点为零电势点，电子重力不计，则（　　） A．电子在点的速率为 B．点离虚线的距离为 C．电子在点的电势能为 D．、两点的距离为 【答案】C 【详解】方法一：配速法 电子在M点静止释放，可以看作电子分别以速度向左运动，以速度向右运动。 , 则电子的运动可以分解为以向左做匀速直线运动和在竖直面上的速度为的匀速圆周运动。 AB．点离虚线最远,则电子圆周运动速度方向同时水平向左，则电子在点的速率为 点离虚线的距离 故AB错误。 C．粒子从M点到N点，在电场方向上运动了d，则电势能为 故C正确。 D．粒子做圆周运动的周期 粒子从M点到P点，运动了两个圆周，则、两点的距离为 故D错误。 故选C。 方法二： AB．设电子在运动过程中的任意一点Q的速度为v，则该速度可以分解为水平速度vx和竖直速度vy，M点到Q点的竖直距离为d，我们选水平向左为x轴正方向，竖直向下为y轴正方向，对电子从M点到Q点用动能定理有 对电子从M点到Q点水平方向用动量定理有 则当Q点为N点时，有 联立以上数据解得 ， 故AB错误。 C．由以上分析得电子在N点的动能为 设电子在N点的电势能为，从M到N对电子用能量守恒定律得 则得N点电子的电势能为 C正确； D．如下图设P、M中间点为O点，对电子从M点到O点竖直方向用动量定理有 由图得电子的运动具有周期性，也可认为电子的运动为一个竖直平面的匀速圆周运动和一个水平方向的匀速直线运动的合运动。对于匀速圆周运动有 得运动周期为 即电子从M点到O点的运动时间为 所以 由周期性得、两点的距离为 故D错误。 故选C。 24．（20-21高二上·江苏扬州·期中）如图所示，匀强电场场强E=4V/m，方向水平向左，匀强磁场的磁感应强度B=2T，方向垂直纸面向里。质量m=1kg、q=2.5C的带正电小物体A，从M点沿粗糙、绝缘的竖直墙壁无初速下滑，它滑行h=0.8m到N点时脱离墙壁做曲线运动，在通过P点瞬时，此时其速度第一次与水平方向成=45°角，当地重力加速度g取10m/s2。求： （1）A沿墙壁下滑时，克服摩擦力做的功Wf； （2）P点与M点的水平距离s。 【答案】（1）6J；（2） 【详解】（1）设物体滑到N点时速度为v1，由题意分析物体受力情况，物体在N点恰脱离墙面，有 从M到N的过程中，由动能定理 联解上式并代入数据，解得 即克服摩擦力做功6J （2）重力和电场力的合力大小为 方向与竖直方向夹角为45°，斜向左下。 将小物体在N点的速度v1分解为v11和v12，其中v11大小等于方向与竖直方向夹角为45°，斜向右下，通过矢量计算可得v12大小等于2m/s，方向水平向左。小物体以v11在磁场中运动，受到的洛伦兹力和重力、电场力的合力平衡。则小物体离开竖直墙壁的运动，可以视为沿与竖直方向夹角为45°，斜向右下的直线运动和速度为2m/s的匀速圆周运动。小物体以速度为2m/s在磁场中做匀速圆周运动， 则， 小物体通过P点时，此时其速度第一次与水平方向成=45°角，则小物体做匀速圆周运动的速度方向与v11相同。则 小物块在水平方向上的位移为 25．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）经常可以看到老人在打陀螺，以此锻炼身体。某次一老人用鞭子抽打陀螺后一方面使其以角速度在水平地面上匀速转动，另一方面使陀螺获得一水平方向的速度，当陀螺运动到某个台阶（上表面光滑）时沿垂直于台阶边缘的速度掉下去，发现陀螺的上边缘恰好不与台阶相碰，如图所示。已知陀螺上表面的半径和高度均为r，陀螺的旋转轴始终竖直，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．陀螺刚离开台阶时的水平速度大小为 B．陀螺刚离开台阶时的水平速度大小为 C．陀螺在台阶上运动时，上边缘的点相对台阶的最大速度为 D．陀螺在台阶上运动时，上边缘的点相对台阶的最大速度为 【答案】BC 【详解】AB．陀螺离开桌面后做平抛运动，设其边缘恰好运动到桌子的边缘的时间为t，则水平方向有 竖直方向有 代入得 A错误，B正确； CD．陀螺上的点当转动的线速度与陀螺的水平分速度的方向相同时，对应的速度最大，则最大速度为 C正确，D错误； 故选BC。 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题7 矢量的合成与分解（1） 考点一 用相似三角形解决平衡问题 2 考点二 ma看成惯性力的动静转换 4 考点三 小船渡河问题中运动的分解 6 考点四 两匀速直线运动速度的合成 8 考点五 匀速和变速运动的合成 9 考点六 匀速直线和圆周运动的合成 11 考点一 用相似三角形解决平衡问题 1．（2024·安徽六安·二模）如图所示，四分之一圆柱体P放在水平地面上，右侧与一块固定的竖直挡板接触；球心的正上方有一个大小可忽略的定滑轮，一根轻绳跨过定滑轮，一端和置于圆柱体P上的小球（质量为）连接，另一端系在固定竖直杆上的点，一钩码（质量为）挂在间的轻绳上，整个装置处于静止状态。不计一切摩擦。若在钩码下方再加挂一个钩码，整个装置再次处于静止状态时小球依然处于圆柱体P上，则此时与先前整个装置处于静止状态时相比（　　） A．轻绳的张力减小 B．P对小球的弹力增大 C．P对Q的压力增大 D．P对地面的压力减小 2．（2021·山东济宁·一模）如图所示，将一劲度系数为k的轻弹簧一端固定在内壁光滑的半球形容器底部O'处（O为球心），弹簧另一端与质量为m的小球相连，小球静止于P点。已知容器半径为R、与水平地面之间的动摩擦因数为μ，OP与水平方向的夹角为θ=30°。已知重力加速度为g，下列说法正确的是（　　） A．轻弹簧对小球的作用力大小为 B．容器相对于水平面有向右的运动趋势 C．容器和弹簧对小球的作用力的合力竖直向上 D．弹簧原长为 3．（23-24高三上·重庆大足·开学考试）如图，不计重力的轻杆OP能以O为轴在竖直平面内自由转动，P端悬挂一重物，另用一根轻绳通过定滑轮系在P端。当OP和竖直方向的夹角缓慢增大时，OP杆的弹力和绳子的张力的大小变化是（    ）    A．先变小后变大 B．不变 C．先变大后变小 D．逐渐变大 4．（23-24高一上·山东烟台·期末）一竖直放置的轻质圆环静止于水平面上，质量为m的物体用轻绳系于圆环边缘上的A、B两点，结点恰位于圆环的圆心O点。已知物体静止时，AO绳水平，BO绳与AO绳的夹角为150°。轻推圆环使其向右缓慢滚动，重力加速度g，在AO绳由水平转动至竖直的过程中（　　） A．AO绳中最大拉力为2mg B．AO绳中最小拉力为mg C．BO绳中最大拉力为1.5mg D．BO绳中最小拉力为0 5．（23-24高三上·四川眉山·期末）如图所示，为一儿童玩具的起吊部件，B处为一小型的电动机，OA是可自由转动的轻杆，电动机启动后可将OB绳缓慢的抽进内部，使OA杆从接近水平位置缓慢的逆时针转动，直到OA杆竖直为止，用这种方式把小物块C提起，物体的质量为m，此时OA与竖直方向的夹角为30°，OB与竖直方向的夹角为60°，下列说法中正确的是（　　） A．此时OA杆所承受的力为mg B．此时OB的力为2mg C．随着小物块缓慢抬起杆OA的力保持不变 D．随着小物块缓慢抬起绳OB的力越来越大 6．（23-24高三上·全国·阶段练习）如图所示，光滑定滑轮、位于同一水平线上，轻绳一端跨过定滑轮与水桶相连，另一端跨过定滑轮与轻弹簧的一端连接，轻弹簧的另一端连接带正电的小球B，带正电的小球A固定在定滑轮正下方，初始时水桶、小球B均处于静止状态，此刻，，小球A、B的电荷量保持不变，轻弹簧始终在弹性限度内，若向水桶内注入少量的水，并调整水桶的高度使系统再次平衡，则再次平衡时（　　）    A．小球A、B间的距离变小 B．小球B与间的距离不变 C．变大 D．小球A、B间的库仑力大小不变 考点二 ma看成惯性力的动静转换 7．（21-22高三上·湖北宜昌·阶段练习）某校学生乘坐高铁进行研学旅行，当列车做匀加速直线运动时，一学生观察置于车厢内水平桌面上一碗水的水面，观察到的情形与下图中相符的是（　　） A． B． C． D． 8．（20-21高一上·辽宁朝阳·阶段练习）如图所示，一小车水平向右运动，车厢内有一轻绳的上端固定在车厢的顶部，下端拴一小球，当小球相对车厢静止时，悬线与竖直方向夹角为，车厢底部放有一质量为m的木箱，与车厢相对静止，已知重力加速度为g，求： (1)小车运动时的加速度大小； (2)木箱受到的车厢底部的摩擦力的大小和方向。 9．（20-21高三上·湖南长沙·阶段练习）图甲是某人站在接有传感器的力板上做下蹲、起跳和回落动作的示意图，图中的小黑点表示人的重心。图乙是力板所受压力随时间变化的图像，取重力加速度。根据图像分析可知（　　） A．人的重力可由点读出，约为 B．到的过程中，人先处于超重状态再处于失重状态 C．点是人在双脚离开力板的过程中，上升最高的点 D．人在点对应时刻的加速度小于在点对应时刻的加速度 10．（20-21高三上·湖南·阶段练习）如图所示，在以大小为，方向向右做匀加速直线运动的小车里，有一质量为m的小球与轻质弹簧的右端相连，弹簧左端与车壁连接，此时弹簧水平，细线与水平方向成夹角，细线、小球、弹簧相对静止。则下列判断正确的是（　　） A．细线对小球的拉力等于 B．弹簧对小球的弹力等于 C．弹簧对小球的弹力等于 D．剪断细绳的瞬间，小球的加速度大小为 考点三 小船渡河问题中运动的分解 11．（2023高三·全国·考点练习）我国无人艇装上相控阵雷达．如图所示，某无人艇位于与对岸的最近距离为的O点处，从O点向下游20m处有一危险区，当时水流速度为，为了使无人艇避开危险区沿直线到达对岸，无人艇在静水中的速度大小至少是(　　) A．20m/s B． C．25.5m/s D．50m/s 12．（2019·全国·一模）如图所示，某河宽d=100m，水流速度v1=4 m/s，河中央处有一漂流物A（可视为质点）顺流而下， 观察点B发现漂流物时，其距观察点的平行河岸距离L= 100 m，值班员当即驾驶快艇去拦截漂流物，刚好在观察点正前方的C处拦截到漂流物，BC连线垂直河岸．此过程中快艇相对于水的速度恒定． 则下列说法中正确的是（ ） A．快艇船头垂直河岸行驶，只要速度合适就可以完成任务 B．此过程中船行驶的速度可以小于4m/s C．此过程中船行驶的速度大小一定是2m/s D．若水流速度加倍后仅将船的行驶速度大小加倍不可完成任务 13．（23-24高一下·重庆荣昌·期中）运动员在河面上做划船运动训练，河水流动的速度 v大小不变，方向沿河岸向下游方向， 运动员划船的速度方向沿船头方向，大小不变。如图所示，为五幅描述船过河的航线图，图中虚线表示船运动的实际航线。下列说法正确的是（　　） A．甲、乙、丙三幅图描绘的航线都可能是符合实际的船过河的航线 B．甲图所绘航线是符合实际的，船头保持甲图所示方向航行，船过河时间最短 C．丙图所绘航线是符合实际的，船头保持丙图所示方向航行，船过河位移最小 D．乙图和戊图所绘航线都符合实际，船头保持图示方向航行，船过河位移都可能最小 14．（19-20高三上·广东广州·阶段练习）如图所示，河宽为d，一小船从A码头出发渡河，小船船头垂直河岸，小船划水速度大小不变为v1，河水中各点水流速度大小与各点到较近河岸的距离x成正比，即ν2=kx（x≤，k为常量），要使小船能够到达距A正对岸为s的B码头，则（　　） A．v1应为 B．小船渡河的轨迹是直线 C．渡河时间为 D．渡河路程大于 考点四 两匀速直线运动速度的合成 15．（24-25高二上·河南·阶段练习）如图所示，在竖直平面内，一半径为R的光滑绝缘圆弧轨道BCD和光滑绝缘水平轨道AB在B点相切，BC为圆弧轨道的直径，O为圆心，OC和OD之间的夹角，整个装置固定在水平向左的匀强电场中。一质量为m、带电荷量为+q的小滑块从A点由静止释放后沿水平轨道向左运动，经B点进入圆弧轨道，通过D点后落回水平轨道。已知滑块运动到D点时所受合力的方向指向圆心O，且此时滑块对圆弧轨道恰好没有压力。不计空气阻力，已知重力加速度为g，，求： (1)匀强电场电场强度的大小； (2)小滑块进入圆弧轨道前，沿水平轨道运动的距离； (3)小滑块落回水平轨道位置与B点之间的距离。 16．（2024高二下·湖南娄底·学业考试）“C919”是中国自行研制、具有自主知识产权的喷气式客机。某次起飞时速度为v，方向与水平方向成θ角，如图所示，则此时它水平前进的速度大小为（　　） A． B． C． D． 17．（22-23高三上·四川绵阳·阶段练习）如图所示，煤矿车间有两个相互垂直且等高的水平传送带M和N（均在匀速传动）， 煤块与两传送带间的动摩擦因数均为μ=0.2，每隔 T=10s在传送带M左端轻放上一个质量为m=1kg的相同煤块（可视为质点），发现煤块离开传送带M前已经与M速度相等，且相邻煤块（已匀速）间的距离为x=6m，随后煤块平稳地传到传送带N上，N的宽度足够大、N以0.8m/s匀速传动， g取 10m/s2， 则下列说法正确的是（　　）    A．小煤块传送到传送带 N前的瞬间，相对传送带N的速度大小为1.4m/s B．小煤块传送到传送带N上后，经0.5s与传送带N保持相对静止 C．小煤块在传送带N上滑动的划痕是直线，其长度为0.25m D．小煤块在传送带N上滑动的过程中，因摩擦产生的热量为 1J 考点五 匀速和变速运动的合成 18．（2025·全国·模拟预测）我国研制的爆轰驱动超高速高焓激波风洞各项性能指标领先国际。假设某风洞在竖直方向上可产生方向、大小均可调节的风。在竖直平面内建立平面直角坐标系轴沿竖直方向，从轴上点抛出一小球，小球运动轨迹如图所示。已知风只在小球经过点时改变，且、与、间高度差相等，、间水平距离大于、间水平距离，下列说法正确的是（    ） A．小球在点左右两侧所受风力方向不同 B．小球在点左侧时所受风力小于在点右侧时所受风力 C．小球在点左侧时的加速度大于在点右侧时的加速度 D．小球在竖直方向上的平均速度从到的小于从到的 19．（24-25高一下·湖南永州·期末）某质点在Oxy平面上运动，时，质点位于y轴上。它在x方向运动的速度-时间图像如图甲所示，它在y方向的位移-时间图像如图乙所示，下列说法正确的是（　　） A．质点的运动轨迹为直线 B．时，质点的速度大小为6m/s C．质点在前2s内运动的位移大小为10m D．s时质点的位置坐标为 20．（24-25高三上·云南红河·阶段练习）如图所示，直角坐标系在竖直平面内，第一象限内存在大小、方向均未知的匀强电场，第四象限内存在方向沿轴正方向、大小未知的匀强电场。小球a从点与轴负方向成角以速率射入第四象限，一段时间后从点经过，速度沿轴负方向；另一小球b从点与轴正方向成角以速率射入第一象限，一段时间后从点经过，速度方向沿轴正方向，大小为。已知a、b小球的质量均为，电荷量均为，重力加速度为，点坐标为，不考虑小球之间的相互作用力和空气阻力。若第一象限的电场强度大小是其可能的最小值，求： (1)第四象限内的匀强电场的大小； (2)第一象限内的匀强电场的大小； (3)M、N两点沿轴方向的距离。 21．（24-25高二上·重庆·期中）如题图所示，在竖直平面内建立平面直角坐标系 xOy，空间内存在范围足够大、方向水平向右的匀强电场。一质量为m、带正电的小球从坐标原点由静止释放，小球运动方向与y轴负方向成角。现将该小球从坐标原点沿y正方向以初速度抛出，则抛出后（已知重力加速度为g）有（　　） A．小球所受电场力大小为 B．小球运动过程中的最小动能为 C．小球经过x轴时，距离坐标原点 D．从抛出后到达最高点的过程中，小球机械能增加量为 考点六 匀速直线和圆周运动的合成 22．（2023·河南安阳·二模）如图所示，直角坐标系中P点右方边长为正方形边界abcd中有垂直纸面向里、磁感应强度大小为的匀强磁场，P为ad中点，P点左方第一象限有竖直向上的匀强电场，第二象限有沿x轴负方向的匀强磁场。一质量、电荷量的粒子（重力不计）从磁场边界ab上某点D（未画出）以速度大小射入后，从P点沿x轴负方向进入电场，经y轴上的Q点进入第二象限内，在以后的运动过程中恰好未从xOZ面上飞出磁场。 求： （1）D点的横坐标； （2）第一象限内电场强度的大小及粒子到达Q点时速度的大小； （3）第二象限匀强磁场的磁感应强度大小B； （4）粒子在第二象限中每次过x轴的位置的横坐标（结果可保留或根号）。 23．（22-23高三上·江苏南通·阶段练习）如图所示，磁控管内局部区域分布有竖直向上的匀强电场和垂直纸面向里的匀强磁场。电子从点由静止释放，沿图中轨迹依次经过、两点，且点离虚线最远。已知磁感应强度为，电场强度为，电子质量为、电荷量为，点为零电势点，电子重力不计，则（　　） A．电子在点的速率为 B．点离虚线的距离为 C．电子在点的电势能为 D．、两点的距离为 24．（20-21高二上·江苏扬州·期中）如图所示，匀强电场场强E=4V/m，方向水平向左，匀强磁场的磁感应强度B=2T，方向垂直纸面向里。质量m=1kg、q=2.5C的带正电小物体A，从M点沿粗糙、绝缘的竖直墙壁无初速下滑，它滑行h=0.8m到N点时脱离墙壁做曲线运动，在通过P点瞬时，此时其速度第一次与水平方向成=45°角，当地重力加速度g取10m/s2。求： （1）A沿墙壁下滑时，克服摩擦力做的功Wf； （2）P点与M点的水平距离s。 25．（23-24高一下·山西运城·阶段练习）经常可以看到老人在打陀螺，以此锻炼身体。某次一老人用鞭子抽打陀螺后一方面使其以角速度在水平地面上匀速转动，另一方面使陀螺获得一水平方向的速度，当陀螺运动到某个台阶（上表面光滑）时沿垂直于台阶边缘的速度掉下去，发现陀螺的上边缘恰好不与台阶相碰，如图所示。已知陀螺上表面的半径和高度均为r，陀螺的旋转轴始终竖直，重力加速度大小为g，下列说法正确的是（　　） A．陀螺刚离开台阶时的水平速度大小为 B．陀螺刚离开台阶时的水平速度大小为 C．陀螺在台阶上运动时，上边缘的点相对台阶的最大速度为 D．陀螺在台阶上运动时，上边缘的点相对台阶的最大速度为 试卷第1页，共3页 原创精品资源学科网独家享有版权，侵权必究！ 1 学科网（北京）股份有限公司 $$