精品解析：辽宁省沈阳市回民中学2024-2025学年高一上学期期末质量监测数学试题

沈阳市回民中学2024级高一上学期期末质量监测 数 学 出题人：高一数学组 审题人：高一数学组 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（ ） A. B. C. D. 4. 设函数，则函数的零点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 5. 金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（ ） A. A与C是对立事件 B. C与D相互独立 C. A与D相互独立 D. B与D不互斥 6. 设均为正数，且，，，则（ ） A. B. C. D. 7. 已知为定义在上的偶函数，对于且，有，，，，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 8. 已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比例估计为6% B. 估计该地农户家庭年收入的85%分位数为10万元 C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 10. 在中，记为的重心，过的直线分别交边于两点，设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如.若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 在单调递减 D. 当时，函数的值域为 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则_________. 13. 甲说：在上单调递减，乙说：存在实数使得在成立，若甲，乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围是________. 14. 已知函数．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 三、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合 （1）求集合; （2）若，求实数的取值范围. 16. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 17. 某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立. （1）设. ①求甲答对一道题的概率； ②求甲、乙一共答对三道题的概率. （2）求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值. 18. 已知幂函数在上单调递减. （1）求函数的解析式； （2）解关于的不等式 （3）若对任意，都存在，使成立，求实数的取值范围. 19. 某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异.通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念.定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数.对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）.小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数. （1）设函数，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）试判断在上的凹凸性，并说明理由； （3）设，且，求的最小值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 沈阳市回民中学2024级高一上学期期末质量监测 数 学 出题人：高一数学组 审题人：高一数学组 试卷满分：150分 时间：120分钟 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由对数函数性质解对数不等式求出集合A，解绝对值不等式求出集合B，再根据交集定义直接计算即可得解. 【详解】因为函数是增函数，所以解得， 所以集合， 解不等式得即， 所以集合， 所以. 故选：B 2. 已知，，则“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 充分必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用共线向量的坐标表示，结合充分条件、必要条件的定义判断得解. 【详解】向量，，由，得，解得或， 反之，当时，共线， 所以“”是“”的充分不必要条件. 故选：A 3. 抛掷质地均匀的骰子两次，得到的点数分别为m，n．设平面向量，则向量不能作为平面内的一组基底的概率为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量平行的数量积得到，再由古典概率计算即可. 【详解】且不能作为基底，则，即， 当时，；当时，；当时，； 两次投掷得到点数的总可能性为种， 所以所求的概率. 故选：A． 4. 设函数，则函数的零点个数为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】设，先解出时的值，然后再根据的图象，判断时，的个数. 【详解】函数的零点个数与方程的解的个数相等， 令，则， 所以函数的零点个数与方程组的解的个数相同， 因为， 由， 可得当时，，当时，， 解得或或， 在同一平面直角坐标系中分别作出，，，的图象如图所示，    由图象可知与有个交点，即有个根， 与有个交点，即有个根， 与有个交点，即有个根， 所以函数的零点个数为个， 故选：C 5. 金秋十月，某校举行运动会，甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑这四个项目中选择两个项目参加.设事件 “甲、乙两人所选项目恰有一个相同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全不同”，事件 “甲、乙两人所选项目完全相同”，事件 “甲、乙两人均未选择100米跑项目”，则（ ） A. A与C是对立事件 B. C与D相互独立 C. A与D相互独立 D. B与D不互斥 【答案】C 【解析】 【分析】列举出甲、乙两名同学选择两个项目参加的所有情况，计算每个事件的概率，可得选项A错误；由相互独立的定义可知选项B错误，选项C正确；由互斥事件的概念可知选项D错误. 【详解】设跳高、跳远、100米跑和200米跑分别为1，2，3，4，则甲、乙两名同学均从跳高、跳远、100米跑和200米跑中选择两个项目参加的情况有： （1212），（1312），（1412），（2312），（2412），（3412），（1213）， （1313），（1413），（2313），（2413），（3413），（1214），（1314），（1414），（2314）， （2414），（3414），（1223），（1323），（1423），（2323），（2423），（3423），（1224）， （1324），（1424），（2324），（2424），（3424），（1234），（1334），（1434），（2334），（2434），（3434），共36种， 其中A有24种情况，B有6种情况，C有6种情况，D有9种情况，则，，，. 由可得A与C不是对立事件，选项A错误. ，C与D不相互独立，选项B错误. ，A与D相互独立，选项C正确. 由B与D不可能同时发生可知B与D互斥，选项D错误. 故选：C. 6. 设均为正数，且，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】通过化简利用中间量1即可比较大小． 【详解】因为 所以,可得 ； 因为 所以,可得 ； 因为 所以,可得,所以， 故选：A． 【点睛】方法点睛：解答比较大小问题：当底数与指数都不相同时，选取适当的“媒介”数（通常以“0”或“1”为媒介），分别与要比较的数比较，从而可间接地比较出要比较的数的大小． 7. 已知为定义在上的偶函数，对于且，有，，，，不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】构造函数，结合已知判断其单调性以及奇偶性，继而讨论的正负，从而将转化为利用的单调性求解不等式. 【详解】设，则，由可得，即. 令，则当时，有，故函数在上单调递增. 又为定义在上的偶函数，则为上的奇函数，且在上单调递增. 因，，则，则， 当时，，则，即不成立； 当时，由可得，即，由函数单调性，可得； 当时，由可得，即，由函数单调性，可得. 综上可得：不等式的解集为. 故选：B. 【点睛】关键点点睛：解题的关键在于利用考虑构造函数，再将所求不等式转化成用构造函数表示的不等式，利用其单调性求解. 8. 已知奇函数的定义域为R，对于任意的，总有成立，当时，，函数，对任意，存在，使得成立，则满足条件的实数构成的集合为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由已知得出函数的周期性，再结合奇函数的性质得出函数的值域，从而不等式恒成立转化为新不等式有解，再根据和分类讨论可得． 【详解】由函数是奇函数得函数的图象关于原点对称， 由任意的x，总有成立，即恒成立， 于是得函数的周期是4，又当时，， 而是奇函数，当时，， 又，，从而行， 即时，，而函数的周期是4， 于是得函数在R上的值域是， 因为对任意，存在，使得成立， 从而得不等式在R上有解，当时，显然成立， 当时，在R上有解，必有，解得， 则有. 综上得. 故选：B． 【点睛】结论点睛：不等式恒成立问题的转化：的定义域是，的定义域是， （1）对任意的，存在，使得成立； （2）对任意的，任意的，恒成立； （3）存在，对任意的，使得成立； 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 为了解某地农村经济情况，对该地农户家庭年收入进行抽样调查，将农户家庭年收入的调查数据整理得到如下频率分布直方图： 根据此频率分布直方图，下面结论中正确的是（ ） A. 该地农户家庭年收入低于4.5万元的农户比例估计为6% B. 估计该地农户家庭年收入的85%分位数为10万元 C. 估计该地农户家庭年收入的平均值不超过6.5万元 D. 估计该地有一半以上的农户，其家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据频率分布直方图进行数据分析，确定85%分位数，平均值判断各选项． 【详解】对于A，由频率分布直方图低于4.5万元的农户比例约为，A正确； 对于B，由频率分布直方图知收入超过10.5万元的有，收入在之间的有．低于9.5万元有80%， 而因此85%分位数，B正确； 对于C，平均值约为，C错； 对于D，家庭年收入介于4.5万元至8.5万元之间的有，D正确． 故选：ABD． 10. 在中，记为的重心，过的直线分别交边于两点，设，则下列说法正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由三点共线，得到；再结合基本不等式判断BCD即可. 【详解】 设为的中点，则， 又因为，所以， 因为三点共线，所以，所以；A错， 所以，所以，当且仅当时取等号；B对， 所以， 当且仅当时取等号；C对， ，当且仅当时取等号；D对， 故选：BCD 11. 高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其名字命名的“高斯函数”为：设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数，如.若，则下列说法正确的是（ ） A. B. 函数的值域为 C. 在单调递减 D. 当时，函数的值域为 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据高斯函数的定义分析AB选项；举例判断C；分析易得，进而得到，可判断D. 【详解】，，使得，则， 因为，所以，所以， 即的值域为，故B正确， 又因为，所以， 所以，故A正确； 因为，， 显然不可能在上单调递减，故C错误； 由上述可知，则，即， 所以当时，， 则当时，函数的值域为，故D正确. 故选：ABD. 【点睛】思路点睛：本题是以高斯函数为背景，考查属于函数新定义内容，一方面可以从函数定义角度分析的函数性质，还可以从函数图象的角度来分析. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分 12. 如图，在中，为线段AC上靠近点的三等分点，若，则_________. 【答案】## 【解析】 【分析】结合图形由向量的减法和三点共线可求； 【详解】， 因为为线段AC上靠近点的三等分点，所以， 所以， 又三点共线，所以， 故答案为：. 13. 甲说：在上单调递减，乙说：存在实数使得在成立，若甲，乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围是________. 【答案】 【解析】 【分析】若甲对，根据对数型函数单调性求得；若乙对，分析可得，，结合函数单调性可得；取反面，结合集合间的运算求解即可. 【详解】若甲对，则在上单调递减，且在上恒成立，则，解得， 若乙对，由，，可得，， 因为在内单调递减，在内单调递增， 且，可知在内的最大值为， 可得，解得； 若甲、乙说的均不对，且或与的交集为， 若甲、乙两人至少有一人说的话是对的，则的取值范围. 故答案为：. 14. 已知函数．若，不等式恒成立，则实数的取值范围是______． 【答案】 【解析】 【分析】令，分析函数的奇偶性与单调性，将所求不等式变形为，可得出，分、、三种情况讨论，在第一种情况下，直接验证即可，在第二、三种情况下，求出函数的最小值，可得出关于实数的不等式，综合可得出实数的取值范围. 【详解】设， 对任意的，， 故对任意的，，故函数的定义域为， 因为 ， 所以，，函数为奇函数， 令，则函数在上为增函数， 函数为增函数，所以，函数在上为增函数， 由， 可得， 所以， 所以，即， 令， 当时，则有，显然成立； 当时，则， 所以，函数在、上单调递减，在上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，则，解得，此时，； 当时，则， 所以，函数在上单调递减，在、上单调递增， 又因为函数在上连续，所以，函数在上单调递减，在上单调递增， 所以，，所以，，解得， 综上所述，实数的取值范围是. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：利用函数的奇偶性与单调性求解抽象函数不等式，要设法将隐性划归为显性的不等式来求解，方法是： （1）把不等式转化为； （2）判断函数的单调性，再根据函数的单调性把不等式的函数符号“”脱掉，得到具体的不等式（组），但要注意函数奇偶性的区别. 三、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知全集，集合 （1）求集合; （2）若，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）分别计算集合，再利用集合交集求解即可. （2）由（1）可得，再由列式即可. 【小问1详解】 由题意，集合， 集合， 所以. 【小问2详解】 由（1）可知， 因为, 所以，解得，即， 故实数的取值范围为. 16. 如图，在中，.设. （1）用表示； （2）若为内部一点，且.求证：三点共线. 【答案】（1）， （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）借助向量加法法则与减法法则计算即可得； （2）借助向量线性运算法则可用表示出，再利用向量共线定理推导即可得证. 【小问1详解】 ， ； 【小问2详解】 ， 又，故， 故三点共线. 17. 某场知识答题活动的参赛规则如下：在规定时间内每位参赛选手对两道不同的题作答，每题只有一次作答机会，每道题是否答对相互独立，每位选手作答的题均不相同.已知甲答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为；乙答对第一道题的概率为，答对第二道题的概率为.甲、乙每次作答正确与否相互独立. （1）设. ①求甲答对一道题的概率； ②求甲、乙一共答对三道题的概率. （2）求甲、乙一共答对三道题的概率的最小值. 【答案】（1）①② （2） 【解析】 【分析】（1）设出事件，①根据独立事件概率乘法公式运算求解；②分析可知，结合独立事件概率乘法公式以及互斥事件概率求法运算求解； （2）由已知，整理得，即可得当时，概率最小，求解可得. 【小问1详解】 ①设“甲答对一道题”为事件，则， 则甲答对一道题的概率为； ②设“甲答对两道题”为事件，“乙答对一道题”为事件， “乙答对两道题”为事件，“甲、乙一共答对三道题”为事件， 则， ， ， ， 故甲、乙一共答对三道题的概率为； 【小问2详解】 由题知，， 设“甲、乙一共答对三道题”为事件， 则 ， 当时，甲、乙一共答对三道题的概率最小，且最小值为. 18. 已知幂函数在上单调递减. （1）求函数的解析式； （2）解关于的不等式 （3）若对任意，都存在，使成立，求实数的取值范围. 【答案】（1） （2）答案见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由幂函数的定义结合单调性即可求解； （2）通过和两类情况讨论即可； （3）由题意得到，再得到存在，使得，进而可求解. 【小问1详解】 由幂函数在上单调递减， 可得，解得，所以 【小问2详解】 当时，，解集为， 当时，，得， ， 当时，， 方程的两根为 所以不等式的解为， 当时， ，不等式的解集为， 综上可知，当时，解集为， 当0≤a<1时，解集为. 【小问3详解】 由（1）知，因为对，使得都成立， 所以，易知， 所以， 因为存在，使得成立， 可得， 因为，所以是关于的单调递增函数， 所以， 解得：或， 所以的取值范围为. 19. 某中学的数学小组在探究函数的性质时，发现函数和，它们虽然都是增函数，但是图象上却有很大的差异.通过观察图象和阅读数学文献，该小组了解到了函数的凹凸性的概念.定义：设连续函数的定义域为，若对于内任意两数，都有，则称为上的凹函数；若，则称为上的凸函数.对于函数的凹凸性，通过查阅资料，小组成员又了解到了琴生不等式（Jensen不等式）：若是区间上的凹函数，则对任意的，有不等式恒成立（当且仅当时，等号成立）.小组成员询问老师，得到了如下评注：在运用琴生不等式求多元最值问题时，关键是构造函数. （1）设函数，且当时，不等式恒成立，求实数的取值范围； （2）试判断在上的凹凸性，并说明理由； （3）设，且，求的最小值. 【答案】（1） （2）凹函数，理由见解析 （3）. 【解析】 【分析】（1）结合单调性化简不等式得，由条件可得，由此确定结论； （2）判断函数的凹凸性，结合凹函数的定义证明结论； （3）结合（2）判断为凹函数，结合琴生不等式求的最值. 【小问1详解】 已知，所以在上单调递增. 要使不等式恒成立，即不等式恒成立， 即， 所以，即. ①当时，因为，所以，所以； ②当时，，又，所以，则，所以. 综上，实数的取值范围是. 【小问2详解】 因为，， 所以，故判断在上为凹函数， 证明如下： ，可知， 则 ， 所以在上为凹函数. 【小问3详解】 令. 由（2）可知在上为凹函数， 所以在上为凹函数. 由， 得. 由琴生不等式可得， 即， 可得，当且仅当时，等号成立. 故的最小值为. 【点睛】方法点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $