精品解析：四川省成都市都江堰市四川育英医养科技技工学校2022年高三数学一诊数学试题

四川省成都市都江堰市四川育英医养科技技工学校2022年高考数学一诊试卷 一､选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请写入答题卡，未写入答题卡不得分!每小题4分，满分60分） 1. 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 4. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 5. 设，则是的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 6. 已知向量，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 7. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A B. C. D. 8. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 9. 双曲线的离心率为（ ） A. B. 1 C. D. 10. 已知角的终边过点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 11. 若二次函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 12. 从1、2、3、4、5中任取两个不同数字构成一个两位数，则这个两位数为偶数的概率是（ ） A B. C. D. 13. 数列，则数列前项和（ ） A. B. 1 C. D. 14. 下面命题中正确是（ ） ①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行. A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ③④ 15. 如果奇函数在区间上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（ ） A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为 二､填空题（每小题4分，满分20分） 16. __________. 17. 展开式中常数项是______. 18. 一长方体的长宽高分别为，则他的表面积为__________. 19. 某公司销售一种商品利润（单位：百元）是销售量（件）的函数，且，则该公司销售这种商品的最大利润是__________百元（数字作答）. 20. 已知定义在上的函数满足，当时，，则__________. 三､解答题（请写主出要的过程，6道题共70分）. 21. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）. 22. 已知数列是等差数列，；数列的前项和是，且. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列. 23. 为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀. （1）求的值； （2）求分数为优秀的人数. 24. 已知分别是的三个内角的三条对边，且. （1）求角的大小； （2）求的最大值. 25. 在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，. （1）求证：平面； （2）求四面体的体积. 26. 已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立. （1）判断在上的单调性，并证明； （2）解不等式：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 四川省成都市都江堰市四川育英医养科技技工学校2022年高考数学一诊试卷 一､选择题（下列各题的备选答案中，只有一个答案是正确的，请写入答题卡，未写入答题卡不得分!每小题4分，满分60分） 1 设集合，集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据集合并集的定义即可求解. 【详解】集合，集合， . 故选：C. 2. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据函数有意义得到并求解即可. 【详解】函数有意义， ，， 所以的定义域为. 故选：C. 3. 不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 或 【答案】B 【解析】 【分析】根据绝对值不等式解法求解即可. 【详解】， ， ， 故选：B. 4. 函数的最小正周期是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先利用三角公式对三角函数式进行化简，再研究函数的性质. 详解】∵ ∴函数的最小正周期为 故选:B. 5. 设，则是的（ ） A. 充分且不必要条件 B. 必要且不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分又不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】从充分必要的判定方法，结合不等式的性质即可得解. 【详解】由，不能得到，例如时，则充分性不成立； 由，可知，得，则必要性成立. 所以是的必要且不充分条件. 故选：B. 6. 已知向量，则等于（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据向量内积的坐标运算即可求解. 【详解】向量， . 故选：D. 7. 过点且与直线平行的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用两直线平行假设所求直线方程，再将点代入即可得解. 【详解】设过点且与直线平行的直线方程为， 则，解得， 因此所求的直线为. 故选：A. 8. 抛物线的焦点到准线的距离是（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的标准方程的基本性质，得到准线和焦点后，即可求解. 【详解】抛物线的标准方程为，可知焦点在x轴上，开口向左， 抛物线的焦点为，准线为， 抛物线的焦点到准线的距离是， 故选：B. 9. 双曲线的离心率为（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用双曲线的标准方程，求出双曲线的几何量，即可求解离心率. 【详解】双曲线，可得， . 故选：A. 10. 已知角的终边过点，且，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】化简点坐标，然后求出余弦函数值建立等式，即可求解. 【详解】因为角的终边过点，且，即， 所以 ， ，， ，即， 因为，则，则， 故选：B． 11. 若二次函数在上单调递增，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据二次函数在上单调递增可知对称轴，即可求解. 【详解】二次函数，开口向下，对称轴为， 在对称轴左侧单调递增，在对称轴右侧单调递减， 又因为函数在上单调递增， 对称轴， . 故选：B. 12. 从1、2、3、4、5中任取两个不同的数字构成一个两位数，则这个两位数为偶数的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先根据排列数的概念计算任取两个不同的数字构成两位数的情况，再求出这个两位数为偶数的情况，最后根据古典概型即可求解. 【详解】因为从中任取两个不同的数字构成一个两位数有种情况， 两位数为偶数有种情况， 故这个两位数为偶数的概率是. 故选：B. 13. 数列，则数列前项和（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据，裂项求和，即可. 【详解】， . 故选：D. 14. 下面命题中正确的是（ ） ①若一个平面内有两条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ②若一个平面内有无数条直线与另一个平面平行，则这两个平面平行； ③若一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行； ④若一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行. A. ①③ B. ②④ C. ②③④ D. ③④ 【答案】D 【解析】 【分析】分别根据面面平行的定义和面面平行的判定定理进行判定. 【详解】①根据面面平行的判定定理可知，一个平面内与另一个平面平行的两条直线必须是相交直线， 否则面面不平行，故①错误. ②根据面面平行的定义可知，必须是平面内的所有直线都与另外一个平面平行，否则面面不平行，故②错误. ③根据面面平行的定义可知，一个平面内任何一条直线都平行于另一个平面，则这两个平面平行，故③正确. ④根据面面平行的判定定理可知，一个平面内的两条相交直线分别与另一个平面平行，则这两个平面平行，故④正确. 故选：D. 15. 如果奇函数在区间上是增函数且最小值为5，那么在区间上是（ ） A. 增函数且最小值为 B. 增函数且最大值为 C. 减函数且最小值为 D. 减函数且最大值为 【答案】B 【解析】 【分析】根据奇函数关于原点对称且关于原点对称区间增减性相同判断即可. 【详解】因为奇函数在区间上增函数，所以在区间也为增函数， 因为在区间上的最小值为5，即， 所以，且其为最大值. 故选：B. 二､填空题（每小题4分，满分20分） 16. __________. 【答案】5 【解析】 【分析】根据实数指数幂和对数的运算法则求解即可. 详解】. 故答案为：5. 17. 展开式中常数项是______. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意结合二项展开式的通项公式分析运算. 【详解】二项式展开式的通项公式为， 要使得为常数项，则， 解得. 代入得到常数项为. 故答案为：. 18. 一长方体的长宽高分别为，则他的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据长方体的长宽高分别为以及长方体的表面积公式求解即可. 【详解】长方体的长宽高分别为， 长方体的表面积为， 故答案为：. 19. 某公司销售一种商品的利润（单位：百元）是销售量（件）的函数，且，则该公司销售这种商品的最大利润是__________百元（数字作答）. 【答案】9900 【解析】 【分析】根据二次函数的基本性质，结合实际应用，即可求解. 【详解】因为二次函数的对称轴为， ，二次函数开口向下， 当时，二次函数取得最大值， 最大值为. 所以该公司销售这种商品的最大利润是9900百元. 故答案为：9900. 20. 已知定义在上的函数满足，当时，，则__________. 【答案】1 【解析】 【分析】由函数满足得到，利用函数的周期性和函数解析式，即可求解. 【详解】定义在上的函数满足， ， ， 定义在上的函数满足， ， 当时，， . 故答案为：1. 三､解答题（请写主出要的过程，6道题共70分）. 21. 已知，求下列各式的值： （1）； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先利用诱导公式化简方程，求出的值，再将原式分子分母同时除以变成关于的式子进行求解即可. （2）利用，将原式构造成分式结构，将用二倍角公式展开，使得分子分母“齐次”，再将原式分子分母同时除以变成关于的式子进行求解即可. 【小问1详解】 因为， 所以， 整理得，所以，即， 即. 【小问2详解】 因为， 所以原式. 22. 已知数列是等差数列，；数列前项和是，且. （1）求数列的通项公式； （2）求证：数列是等比数列. 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）利用等差数列的通项公式即可得出. （2）根据与的递推关系，再利用等比数列的定义证明即可. 【小问1详解】 设的公差为，， 则，解得， . 【小问2详解】 当时，，由，得， 当时，， 得到，可化为 数列是以为首项，为公比的等比数列. 23. 为了了解某校高三400名学生的数学学业水平测试成绩，制成样本频率分布直方图如图，规定不低于60分为及格，不低于80分为优秀. （1）求的值； （2）求分数为优秀的人数. 【答案】（1） （2）80 【解析】 【分析】（1）根据频率分布直方图中各矩形的面积和为1，列式可求解； （2）先求频率分布直方图中后两组的频率，再利用频数等于频率乘以样本容量求出优秀人数． 【小问1详解】 由题中的频率分布直方图可得， ， ， ； 【小问2详解】 某校共高三400名学生， 不低于80分为优秀， 由题中的频率分布直方图可得， 分数为优秀的人数为. 24. 已知分别是的三个内角的三条对边，且. （1）求角的大小； （2）求的最大值. 【答案】（1） （2）1 【解析】 【分析】（1）根据余弦定理直接求解角的大小. （2）根据三角形内角和为消去，转化为三角函数的问题求解最大值即可. 【小问1详解】 ，即， 由余弦定理：， ，. 【小问2详解】 ， ，且 那么， ，， 故得当时，取得最大值为1. 25. 在如图所示的几何体中，面为正方形，面为等腰梯形，. （1）求证：平面； （2）求四面体的体积. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）推导出，由此能证明平面. （2）推导出平面，求出，由此能求出四面体的体积. 【小问1详解】 在中，， ， . 又，平面， 平面. 【小问2详解】 平面，平面， ， 面为正方形，， 平面， 平面. 在中，，得， 在等腰梯形中可得 ， . 的面积为， 四面体的体积为： . 26. 已知是定义在上的奇函数，且，若时，有成立. （1）判断在上的单调性，并证明； （2）解不等式：. 【答案】（1）在上单调递增，证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据时，有成立，利用函数单调性的定义，即可得出结论； （2）根据在上单调递增，建立不等式组，即可解不等式. 【小问1详解】 在上单调递增. 设， 时，有成立， 即对任意，有， 又， ， 在上单调递增. 【小问2详解】 在上单调递增， . 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$