专题6-3 6.4.3 余弦定理、正弦定理(8大核心考点）-2024-2025学年高一数学人教A版2019必修第二册

专题6-3 6.4.3 余弦定理、正弦定理 题型一：借助正、余弦定理解三角形 典型例题 例题1．（24-25高三上·江苏·期末）在中，，，，则 . 例题2．（24-25高三上·山东日照·期末）在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则 . 例题3．（24-25高三上·北京房山·期末）在中，，，，则 ；若为边上一点，且，则 . 精练核心考点 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，若、、，则 . 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，若，则角等于 . 3．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）在中，若的面积为，，，则 ． 题型二：判断三角形的形状 典型例题 例题1．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 例题2．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 例题3．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 精练核心考点 1．（23-24高一下·山东滨州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，且，则是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 2．（23-24高一下·重庆·期末）记的内角的对边分别为，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 3．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在中，已知，则的形状一定为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 题型三：三角形解的个数问题 典型例题 例题1．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 例题2．（24-25高二上·重庆·开学考试）若满足的恰有一个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 例题3．（多选）（24-25高二上·广东汕头·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定2个三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 精练核心考点 1．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 2．（多选）（22-23高一下·江苏扬州·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（     ） A． B． C． D．4 3．（2023·河北·三模）在中，，设边长为，若满足条件的有且只有一个，则的取值范围是 . 题型四：三角形面积问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·辽宁锦州·期末）如图，在锐角中，为边上一点，，，． (1)若，求； (2)设，若，求的面积． 例题2．（广东省华附、省实、广雅、深中四校2025届高三上学期期末联考数学试题）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)已知为的中点，于于，若求的面积. 例题3．（24-25高三下·江西九江·阶段练习）如图，在中，内角的对边分别为，，过点作，交线段于点，且． (1)求的大小； (2)求的面积． 精练核心考点 1．（24-25高三上·山西·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)延长到，使得，，求的面积. 2．（24-25高三下·山西·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， (1)求A的大小； (2)设D为BC边上的点，AD平分，且，，求的面积. 3．（2025·山东潍坊·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若的角平分线AD与BC交于点D，且，．求的面积， 题型五：三角形周长问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角、、所对的边为、、，已知. (1)求角的值； (2)若，的面积为，求的周长. 例题2．（24-25高三上·福建·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求B； (2)设D为边的中点，若，且的面积为，求的周长. 例题3．（2024·河北·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 精练核心考点 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，设向量，，且. (1)求角： (2)若的面积为，求的周长. 2．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知三角形的内角的对边分别为，且这些边和角的关系满足． (1)求角的大小； (2)若的面积为，且，求的周长． 3．（2024·四川南充·一模）在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 题型六：距离测量问题 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）地动仪是古代人们用来测定地震方向的器具．地动仪有八个方位，分别是东、南、西、北、东南、西南、东北、西北，每个方位上均有含龙珠的龙头，在每个龙头的下方都有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠（铜丸）即落入蟾蜍口中，由此便可测出发生地震的方向．如图为地动仪的模型图，现要在相距150km的甲、乙两地各放置一个地动仪，乙在甲的北偏东30°方向，若甲地地动仪正东方位的铜丸落下，乙地地动仪东南方位的铜丸落下，则地震的位置距离甲地（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（    ） A．60 B． C．30 D． 例题3．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，是两个小区的所在地，，到一条公路的垂直距离分别为，，，两地之间的距离为．如图所示，某移动公司将在，之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对，的张角与对，的张角相等，试确定点到点的距离． 精练核心考点 1．（24-25高二上·重庆·期末）甲、乙两人在地平面上测得电线杆顶部的仰角分别为，，如果电线杆在地平面上的高度为6米，那么甲、乙两人在地平面上的最远距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．（2024高二上·江苏·学业考试）已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（    ） A．1 B． C．2 D． 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，已知船在灯塔北偏东的方向，且，间的距离为2km，船在灯塔北偏西的方向，且，两船间的距离为3km，则，间的距离为 km. 题型七：高度测量问题 典型例题 例题1．（24-25高三下·山东·开学考试）墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 例题2．（24-25高三上·海南·阶段练习）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 例题3．（24-25高三上·山东泰安·期中）某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，楼顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为，则估算黄鹤楼的高度CD为（   ）    A． B． C． D． 精练核心考点 1．（24-25高三上·江西·阶段练习）南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼，在大楼顶部处测得双子塔顶部的仰角为，底部的俯角为，则双子塔的高度为（   ） A． B． C． D． 2．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 3．（24-25高三上·江西南昌·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高 . 题型八：角度测量问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 例题2．（23-24高一下·全国·课后作业）已知岛南偏西方向，与岛距离为海里的处有一艘缉私艇．岛处的一艘走私船正以海里/时的速度向岛北偏西方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用小时能截住该走私船？（参考数据） 例题3．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行2到达海岛C. (1)求AC的长； (2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少？ 精练核心考点 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 2．（23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 3．（2024·福建福州）如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（角度精确到） 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题6-3 6.4.3 余弦定理、正弦定理 题型一：借助正、余弦定理解三角形 典型例题 例题1．（24-25高三上·江苏·期末）在中，，，，则 . 【答案】3 【知识点】已知正（余）弦求余（正）弦、正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】由同角三角函数的基本关系得，由正弦定理求得BC，再有余弦定理求得 【详解】在中，由，可得， 由正弦定理得，，即，解得， 由余弦定理得，，整理得，， 即， 解得舍去或， 故答案为: 例题2．（24-25高三上·山东日照·期末）在中，角的对边分别为，且，若点是的中点，，则 . 【答案】3 【知识点】余弦定理解三角形 【分析】根据题意利用余弦定理求，代入运算求解即可. 【详解】 在中，因，，由余弦定理可得：， 在中，由余弦定理可得： ， 因为，即， 可得，解得. 故答案为：3. 例题3．（24-25高三上·北京房山·期末）在中，，，，则 ；若为边上一点，且，则 . 【答案】 【知识点】正弦定理解三角形、余弦定理解三角形 【分析】空1使用余弦定理求解即可，空2使用正弦定理求解即可. 【详解】在中，由余弦定理得又则 在中，由正弦定理得：所以 故答案为：，. 精练核心考点 1．（24-25高三上·上海·阶段练习）在中，角、、的对边分别为、、，若、、，则 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、已知正（余）弦求余（正）弦 【分析】利用余弦定理可得，进而可求. 【详解】因为、、， 由余弦定理可得， 且，所以. 故答案为：. 2．（24-25高三上·北京·阶段练习）在中，若，则角等于 . 【答案】 【知识点】余弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用 【分析】先利用正弦定理化边为角，再结合已知可得，再利用余弦定理即可得解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 则，所以， 所以， 又，所以. 故答案为：. 3．（24-25高三上·安徽马鞍山·期中）在中，若的面积为，，，则 ． 【答案】 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】利用三角形的正弦面积公式和余弦定理即可求解. 【详解】由的面积为，可得：，化简得：， 再由，可得， 最后由余弦定理得：， 所以， 故答案为：. 题型二：判断三角形的形状 典型例题 例题1．（23-24高一下·江苏南通·阶段练习）在中，a、b、c分别为角A、B、C的对边，若，则的形状是（    ） A．等腰三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由正弦定理把已知的等式化边为角，结合两角和的正弦化简，求出，进一步求得，即可得解． 【详解】解：由，结合正弦定理可得：， ，可得：， ，则的形状为等腰三角形． 故选：A 例题2．（23-24高一下·安徽马鞍山·期末）在中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，若，则为（    ）. A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】C 【知识点】已知三角函数值求角、逆用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由正弦定理和正弦和角公式化简得到，求出，得到答案. 【详解】由正弦定理得， 其中， 所以， 因为，所以， 故， 因为，所以， 故为直角三角形. 故选：C 例题3．（23-24高一下·天津滨海新·期末）已知的三个内角的对边分别为，且满足，则的形状为（    ） A．直角三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．等腰或直角三角形 【答案】D 【知识点】余弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】由余弦定理化角为边，整理后得，即得结论. 【详解】由和余弦定理得，， 化简得，， 整理得，，则得，或， 即为等腰或直角三角形. 故选：D. 精练核心考点 1．（23-24高一下·山东滨州·期末）在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知，且，则是（    ） A．等边三角形 B．等腰直角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】A 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】边角互化求出角度，找出角之间的关系式即可解决. 【详解】由，得到， 化简，余弦定理得到， 而则. ， 化简得到，，则， 因此，则是等边三角形. 故选：A. 2．（23-24高一下·重庆·期末）记的内角的对边分别为，若，则是（    ） A．等腰三角形 B．等边三角形 C．直角三角形 D．等腰直角三角形 【答案】B 【知识点】正弦定理边角互化的应用、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】根据正弦定理和三角恒等变换的化简可得，即可求解. 【详解】， 由正弦定理得， 又，所以， 又，所以， 因为，所以， 即，得，故，则， 所以为正三角形. 故选：B 3．（23-24高一下·江苏苏州·期末）在中，已知，则的形状一定为（    ） A．等腰三角形 B．锐角三角形 C．直角三角形 D．钝角三角形 【答案】C 【知识点】二倍角的余弦公式、正、余弦定理判定三角形形状 【分析】利用二倍角公式及正弦定理将角化边，即可判断. 【详解】因为， 所以， 所以，由正弦定理可得， 所以为直角三角形. 故选：C 题型三：三角形解的个数问题 典型例题 例题1．（23-24高三下·江苏扬州·开学考试）在中，内角、、的对边分别为、、，根据下列条件解三角形，其中有两个解的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由条件利用正弦定理以及大边对大角，逐项判断解的个数即可得解． 【详解】对于A，若，，，由正弦定理可得，得， 得，再根据，可得，得可能是锐角也可能是钝角， 即角有个值，故有两解； 对于B，若，，，由正弦定理可得，得， 得，再根据，可得，只能是锐角，故有一个解； 对于C，若，，， 由正弦定理可得，得，得， 再根据，则只能是锐角，故有一解； 对于D，若，，， 则由正弦定理可得，得，求得，故无解，得不存在. 故选：A． 例题2．（24-25高二上·重庆·开学考试）若满足的恰有一个，则实数的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】由只有一个三角形的条件可得或，再由题意可得的取值范围. 【详解】 因为的恰有一个， 所以或， 即则，或者， 所以可得； 故选：B. 例题3．（多选）（24-25高二上·广东汕头·期中）在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，则下列条件能确定2个三角形的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】CD 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理逐项判断确定三角形的个数. 【详解】对于A：因为两边及其夹角唯一确定一个三角形，所以A选项的条件可确定1个三角形； 对于B：由正弦定理可知，，无解， 故B选项的条件不能确定三角形； 对于C：由正弦定理可知，，又，即， 所以或，故C选项的条件可确定2个三角形； 对于D：由正弦定理可知，， 又，即，又易知，则有两个解， 故D选项的条件可确定2个三角形. 故选：CD 精练核心考点 1．（24-25高三上·安徽阜阳·期末）已知中，，，有两解，则的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】数形结合即可得到答案. 【详解】如图， 要使有两解，则，即， 即． 故选：D． 2．（多选）（22-23高一下·江苏扬州·期中）在中，角、、所对的边分别为、、，，，若满足条件的三角形有且只有一个，则边的长可以是（     ） A． B． C． D．4 【答案】BCD 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】利用正弦定理判断出三角形有一解的条件，对照选项一一验证即可. 【详解】若满足条件的三角形有且只有一个，则或，即或. 故选：BCD. 3．（2023·河北·三模）在中，，设边长为，若满足条件的有且只有一个，则的取值范围是 . 【答案】或 【知识点】正弦定理判定三角形解的个数 【分析】根据给定条件，利用正弦定理列式求出范围. 【详解】在中，由正弦定理，得， 当时，只有一个解，； 当时，只有一个解，则，即，解得， 所以的取值范围是或. 故答案为：或 题型四：三角形面积问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·辽宁锦州·期末）如图，在锐角中，为边上一点，，，． (1)若，求； (2)设，若，求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】二倍角的正弦公式、正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用二倍角的正弦公式计算得解. （2）根据给定条件，在中利用余弦定理和正弦定理求出，进而求出三角形面积. 【详解】（1）在锐角中，由，得， 而，，则， 所以. （2）锐角中，由，得，， 由，得， 在中，设，则，， 由余弦定理得，解得，即， 由正弦定理，得，解得， 所以的面积. 例题2．（广东省华附、省实、广雅、深中四校2025届高三上学期期末联考数学试题）在中，角的对边分别为，且 (1)求； (2)已知为的中点，于于，若求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、用定义求向量的数量积 【分析】（1）根据正弦定理边角化，结合三角恒等变换可得，即可求解，或者利用余弦定理得求解， （2）根据数量积可得，即可利用等面积法得，进而求解，利用面积公式求解即可，或者利用锐角三角函数得，，进而结合正弦定理求解. 【详解】（1）方法一：由以及正弦定理可得． 因为，所以． 因为，所以． 因为，所以． 方法二：由余弦定理可得． 故有，所以． 因为，所以． （2）由题，并结合（1）的结论易得． 因为，所以． 方法一：因为为的中点，故与的面积相等，均为面积的一半． 即， 所以． 所以，解得． 所以面积． 方法二：在直角三角形中，．同理，． 故有，即． 由正弦定理可知． 所以面积． 例题3．（24-25高三下·江西九江·阶段练习）如图，在中，内角的对边分别为，，过点作，交线段于点，且． (1)求的大小； (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用 【分析】（1）利用正弦定理边化角求解即可； （2）利用正弦定理和三角形的面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 因为，，所以，解得， 又因为，所以. （2）因为，所以， 由第（1）问可知， 又因为，所以， 所以在中由正弦定理， 解得， 又因为，所以， 所以的面积． 精练核心考点 1．（24-25高三上·山西·期末）在中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且. (1)求角的大小； (2)延长到，使得，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）结合已知利用正弦定理得，然后利用余弦定理求得，再根据角的范围即可求解. （2）根据余弦定理及同角三角函数关系得，然后利用两角差的正弦公式求得，然后在中由正弦定理得，最后代入三角形面积公式求解即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得. 所以设，，则，， 由余弦定理得， 又，所以. （2）由（1）知， 所以，又， 所以， 所以 . 在中，由正弦定理得， 所以， 所以，，所以的面积. 2．（24-25高三下·山西·开学考试）在中，内角A，B，C所对的边分别是a，b，c， (1)求A的大小； (2)设D为BC边上的点，AD平分，且，，求的面积. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角恒等变换的化简问题、正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）运用正弦定理边角互化，结合恒等变换计算即可；（2）运用等面积法，结合余弦定理和面积公式计算即可. 【详解】（1）因为，由正弦定理得， 又， 所以， 即， 又因为，所以，整理可得， 因为.则，所以，解得. （2）因为，所以，即， 由余弦定理得， 所以，即，解得，所以. 3．（2025·山东潍坊·模拟预测）记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知． (1)求A； (2)若的角平分线AD与BC交于点D，且，．求的面积， 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）根据正弦定理，结合题意得到，然后根据余弦定理得到，即可求解A的值； （2）根据三角形面积公式得到，求得c的值，然后根据三角形面积公式求解即可 【详解】（1）因为， 由正弦定理得，整理得， 所以， 因为，所以； （2）因为的角平分线为AD，所以 ， 因为 ， 所以， 因为，，所以， 化简可得，解得， 所以 题型五：三角形周长问题 典型例题 例题1．（24-25高三上·广东湛江·期末）在中，角、、所对的边为、、，已知. (1)求角的值； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）由余弦定理求出的值，结合角的取值范围可求得角的值； （2）利用三角形的面积公式可求得的值，再利用余弦定理可求得的值，即可求得该三角形的周长. 【详解】（1）由余弦定理可得，且，故. （2）由三角形的面积公式可得，可得， 由余弦定理可得，故， 因此，的周长为. 例题2．（24-25高三上·福建·阶段练习）在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知 (1)求B； (2)设D为边的中点，若，且的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理解三角形、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】（1）由三角恒等变换和正弦定理得到，结合，得到，求出答案； （2）根据中点得到，两边平方得到，由余弦定理得到，联立求出，由三角形面积公式得到方程，求出，，进而求出，得到周长. 【详解】（1）依题意，， 即， 由正弦定理可得， 因为，， 所以， 故， 因为，所以， 所以，又因为，所以； （2）D为边的中点，故， 两边平方得， 即，故①， 由余弦定理可得，， 又，所以②， 联立①②得，， 因为的面积为，解得， 所以，解得， 因为， 所以，故，， 所以的周长为. 例题3．（2024·河北·模拟预测）在中，角，，所对的边分别为，，，且. (1)求角的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）将余弦定理代入已知式化简即可； （2）由三角形的面积公式求出，代入余弦定理可求出，即可求出的周长. 【详解】（1）， 由余弦定理得，， 所以，， . 又，. （2）因为的面积为，即， . 由余弦定理得. 解得. 所以周长为. 精练核心考点 1．（24-25高二上·贵州贵阳·阶段练习）已知的内角所对的边分别为，设向量，，且. (1)求角： (2)若的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形、数量积的运算律 【分析】（1）根据向量垂直的坐标表示并结合正、余弦定理即可得到答案； （2）利用三角形面积公式得到，再利用余弦定理求出，最后即可得到周长. 【详解】（1）因为，则， 由正弦定理得， ，， 则， 因为，则. （2）由三角形面积公式，得，故， ， ∴, 所以的周长为. 2．（24-25高三上·河北保定·阶段练习）已知三角形的内角的对边分别为，且这些边和角的关系满足． (1)求角的大小； (2)若的面积为，且，求的周长． 【答案】(1)； (2). 【知识点】正弦定理边角互化的应用、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）利用正弦定理，将已知条件进行转化，即可求得； （2）利用三角形面积公式，以及余弦定理，求得，即可求得三角形周长. 【详解】（1）对，由正弦定理可得：， 故，则，又，故，. （2）由三角形面积公式，结合可得：，即，解得：； 由余弦定理以及，可得，也即， 故，解得； 故的周长为. 3．（2024·四川南充·一模）在中，内角A，B，C所对边分别为a，b，c，已知. (1)求角A的大小； (2)若，的面积为，求的周长. 【答案】(1) (2) 【知识点】用和、差角的正弦公式化简、求值、三角形面积公式及其应用、余弦定理解三角形 【分析】（1）先根据两角和的正弦公式化简题干条件可得，进而得到，进而求解； （2）根据三角形的面积公式及余弦定理求解即可. 【详解】（1）因为， 在中，，即. （2）由（1）知，， 所以， 即，所以， 又，即， 所以的周长为. 题型六：距离测量问题 典型例题 例题1．（2025高三·全国·专题练习）地动仪是古代人们用来测定地震方向的器具．地动仪有八个方位，分别是东、南、西、北、东南、西南、东北、西北，每个方位上均有含龙珠的龙头，在每个龙头的下方都有一只蟾蜍与其对应，任何一方如有地震发生，该方向龙口所含龙珠（铜丸）即落入蟾蜍口中，由此便可测出发生地震的方向．如图为地动仪的模型图，现要在相距150km的甲、乙两地各放置一个地动仪，乙在甲的北偏东30°方向，若甲地地动仪正东方位的铜丸落下，乙地地动仪东南方位的铜丸落下，则地震的位置距离甲地（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】距离测量问题、正弦定理解三角形、求15°等特殊角的正弦 【分析】根据题意可知直线AC与BC的交点C即地震的位置，由此构建三角形，解三角形即可. 【详解】如图，A点为甲地，B点为乙地，C点为地震的位置， 依题意，，，，则， 由正弦定理，得 （） 所以地震的位置距离甲地． 故选：C 例题2．（24-25高一上·浙江湖州·阶段练习）如图，从无人机上测得正前方的峡谷的两岸的俯角分别为，若无人机的高度是，则此时峡谷的宽度是（    ） A．60 B． C．30 D． 【答案】A 【知识点】距离测量问题 【分析】利用锐角三角函数，得到，，进而利用，即可得到答案. 【详解】由已知得，得到，，所以. 故选：A 例题3．（24-25高一下·全国·单元测试）已知，是两个小区的所在地，，到一条公路的垂直距离分别为，，，两地之间的距离为．如图所示，某移动公司将在，之间找一点，在处建造一个信号塔，使得对，的张角与对，的张角相等，试确定点到点的距离． 【答案】 【知识点】距离测量问题、二倍角的正切公式 【分析】设，，则，，，依题意用表示出，由二倍角的正切公式求得，即可求解． 【详解】设，， 则，，． 依题意得，， 由得，，解得， 故点到点的距离为． 精练核心考点 1．（24-25高二上·重庆·期末）甲、乙两人在地平面上测得电线杆顶部的仰角分别为，，如果电线杆在地平面上的高度为6米，那么甲、乙两人在地平面上的最远距离为（   ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】C 【知识点】距离测量问题、高度测量问题 【分析】通过电线杆高度以及仰角的正切值来计算甲、乙两人到电线杆底部的距离，进而求出两人在地平面上的最远距离. 【详解】设甲到电线杆底部的距离为米. 已知电线杆高度为米，甲测得电线杆顶部仰角为. 根据正切函数，对于仰角，. 所以米.   同理，设乙到电线杆底部的距离为米. 已知电线杆高度为米，乙测得电线杆顶部仰角为. 对于仰角，. 所以米.   则两人在地平面上的最远距离为甲到电线杆底部的距离与乙到电线杆底部的距离之和. 即米. 故选：C. 2．（2024高二上·江苏·学业考试）已知甲船位于灯塔A的北偏东方向，且与A相距3的处.乙船位于灯塔的北偏西方向上的处.若两船相距，则乙船与灯塔A之间的距离（单位：）为（    ） A．1 B． C．2 D． 【答案】C 【知识点】余弦定理解三角形、距离测量问题 【分析】由图结合余弦定理可得答案. 【详解】由图可得，， 则由余弦定理可得： . 故选：C 3．（24-25高三上·湖南长沙·阶段练习）如图所示，已知船在灯塔北偏东的方向，且，间的距离为2km，船在灯塔北偏西的方向，且，两船间的距离为3km，则，间的距离为 km. 【答案】/ 【知识点】距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】根据已知数据应用余弦定理计算求解即可. 【详解】由题意可知，，， 在中，由余弦定理可得， ，解得（舍）或. 故答案为：. 题型七：高度测量问题 典型例题 例题1．（24-25高三下·山东·开学考试）墙上挂着一幅高为1m的画，画的上端到地面的距离为2m，某摄像机在地面上拍摄这幅画．将画上端一点A、下端一点B与摄像机连线的夹角称为视角（点A，B与摄像机在同一竖直平面内），且把最大的视角称为最佳视角．若墙与地面垂直且摄像机高度忽略不计，则当摄像机在地面上任意移动时，最佳视角的正弦值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】基本（均值）不等式的应用、高度测量问题 【分析】根据题意建立几何模型，求解正弦值最大转化成求解正切值最大，结合基本不等式求解最大值即可. 【详解】 如图所示：最佳视角,且当最大时，最大，     且最大，又， 又设所以 当且仅当时取等号， 此时 解得： 故选：A. 例题2．（24-25高三上·海南·阶段练习）如图，测量河对岸的塔高时，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与，现测得，，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】高度测量问题、正弦定理解三角形 【分析】利用正弦定理和锐角三角函数定义求解即可. 【详解】在中，由正弦定理可知： ，则，即， 在直角中， 由，得， 故选：A. 例题3．（24-25高三上·山东泰安·期中）某同学为了估算黄鹤楼的高度，在大楼的一侧找到一座高为的建筑物AB，在它们之间的地面上的点M（B，M，D三点共线）处测得楼顶A，楼顶C的仰角分别是和，在楼顶A处测得楼顶C的仰角为，则估算黄鹤楼的高度CD为（   ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】高度测量问题 【分析】利用正弦定理及直角三角形边界关系求得正确答案. 【详解】在中，， 在中，，， 所以， 由正弦定理， 得， 在中，. 所以估算黄鹤楼的高度CD为. 故选：C 精练核心考点 1．（24-25高三上·江西·阶段练习）南昌双子塔，坐落于红谷滩区赣江北岸，是南昌标志性建筑之一.如图，某人准备测量双子塔中其中一座的高度（两座双子塔的高度相同），在地面上选择了一座高为的大楼，在大楼顶部处测得双子塔顶部的仰角为，底部的俯角为，则双子塔的高度为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】正弦定理解三角形、高度测量问题 【分析】分别在与中用正弦定理，化简可得解. 【详解】由题意可得，，， 则在中，，即， 在中，， 由正弦定理得，即， 所以. 故选：D. 2．（23-24高一下·黑龙江大庆·期中）如图，无人机在离地面高的处，观测到山顶处的仰角为，山脚处的俯角为，已知，则山的高度为（    ）    A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】高度测量问题 【分析】根据题中条件，先得到，，在中，根据正弦定理可求得，进而在中，可求得. 【详解】因为，所以，又， 所以，所以，所以， 又，， 所以， 在中，由正弦定理可得， 所以， 在中，因为， 所以. 故选：B. 3．（24-25高三上·江西南昌·期中）如图，为了测量河对岸的塔高，可以选取与塔底在同一水平面内的两个测量基点与.现测得，，在点测得塔顶的仰角为，则塔高 . 【答案】 【知识点】高度测量问题 【分析】先利用两角差的正弦公式求出，再利用正弦定理求出，然后即可求解. 【详解】在中，则， 且， 由正弦定理得， 所以， 在中，，所以. 故答案为：. 题型八：角度测量问题 典型例题 例题1．（23-24高一下·广东茂名·阶段练习）一艘渔船航行到处时看灯塔在的南偏东，距离为海里，灯塔在的北偏东，距离为海里，该渔船由沿正东方向继续航行到处时再看灯塔在其南偏西方向，则此时灯塔位于渔船的（    ） A．南偏东方向 B．南偏西方向 C．北偏西方向 D．北偏西方向 【答案】D 【知识点】角度测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】由正弦定理可得，由余弦定理得，由正弦定理得，即可求. 【详解】如图，    由题意，在中，，，， 由正弦定理得， 所以， 在中，因为，， 由余弦定理得， 所以， 由正弦定理得， 所以， 因为，故为锐角， 故，此时灯塔C位于渔船的北偏西方向. 故选：D. 例题2．（23-24高一下·全国·课后作业）已知岛南偏西方向，与岛距离为海里的处有一艘缉私艇．岛处的一艘走私船正以海里/时的速度向岛北偏西方向行驶，问缉私艇朝何方向以多大速度行驶，恰好用小时能截住该走私船？（参考数据） 【答案】缉私艇朝正北方向，以海里/时的速度，恰好用小时能截住该走私船 【知识点】角度测量问题、距离测量问题 【分析】设缉私艇在处截住该走私船，依题意可得，，，利用余弦定理求出，即可求出速度，再求出，即可得到方向. 【详解】设缉私艇在处截住该走私船， 依题意， 由余弦定理得， 所以缉私艇速度为海里/时， 又，为锐角，所以， 所以缉私艇朝正北方向，以海里/时的速度，恰好用小时能截住该走私船. 例题3．（23-24高一下·湖南邵阳·期中）一艘海轮从A出发，沿北偏东的方向航行后到达海岛B，然后从B出发，沿北偏东的方向航行2到达海岛C. (1)求AC的长； (2)如果下次航行直接从A出发到达C，应沿什么方向航行多少？ 【答案】(1) (2)沿北偏东方向航行即可到达C处 【知识点】角度测量问题、距离测量问题、余弦定理解三角形 【分析】（1）先计算出，由余弦定理求出； （2）由余弦定理求出，从而得到答案. 【详解】（1）在中，，， 由余弦定理得： ，解得 （2）在中，由余弦定理得： ， 所以，又， 因此应沿北偏东方向航行即可到达C处. 精练核心考点 1．（24-25高一下·全国·随堂练习）如图所示，在坡度一定的山坡处测得山顶上一建筑物的顶端对于山坡的斜度为，向山顶前进100m到达处，又测得对于山坡的斜度为，若，，且山坡对于地平面的坡度为，则等于（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】正弦定理解三角形、角度测量问题 【分析】先求出，在中由正弦定理求出，在中由正弦定理求出，再由求得的值. 【详解】因为，所以， 在中，由正弦定理可得：，解得：， 在中，由正弦定理可得，解得：， 即，所以； 故选：C 2．（23-24高一下·河北唐山·期中）如图所示，有一艘缉毒船正在A处巡逻，发现在北偏东方向、距离为60海里处有毒贩正驾驶小船以每小时海里的速度往北偏东的方向逃跑，缉毒船立即驾船以每小时海里的速度前往缉捕． (1)求缉毒船经过多长时间恰好能将毒贩抓捕； (2)试确定缉毒船的行驶方向． 【答案】(1)缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕 (2)缉毒船的行驶方向为北偏东 【知识点】角度测量问题、距离测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕，可知，利用余弦定理运算求解； （2）根据（1）中结果，利用正弦定理可得，进而可得结果. 【详解】（1）设缉毒船经过t小时恰好能将毒贩抓捕， 由题意可知：， 由余弦定理可得， 即， 整理可得，解得， 所以缉毒船经过2小时恰好能将毒贩抓捕. （2）由（1）可知：， 由正弦定理可得， 且为锐角，则，可得， 所以缉毒船的行驶方向为北偏东. 3．（2024·福建福州）如图，当甲船位于处时获悉，在其正东方向相距20海里的处有一艘渔船遇险．甲船立即前往救援，同时把消息告知在甲船的南偏西，相距10海里处的乙船，试问乙船应朝北偏东多少度的方向沿直线前往处救援？（角度精确到） 【答案】乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援． 【知识点】角度测量问题、余弦定理解三角形、正弦定理解三角形 【分析】先由余弦定理得，再由正弦定理求解，即可求得乙船的方位. 【详解】根据题意，, 由余弦定理得 ， 由正弦定理得， 所以乙船应朝北偏东约的方向沿直线前往处救援． 学科网（北京）股份有限公司 $$