2025年中考数学一轮复习测3.平方差公式与完全平方公式

3.平方差公式与完全平方公式——北师大版数学2025年中考一轮复习测 一、选择题(每题3分,共36分) 1.(2025七上 宝安期末)中国科学家利用嫦娥六号采回的月壤样品,取得了重要研究成果。其中一项研究表明,月球背面岩浆活动在4200000000年前就已存在,为月球演化研究提供了关键科学证据。其中"4200000000年"用科学记数法表示为( )年 A. B. C. D. 2.(2024八上 恩平期末)下列计算正确的是( ) A. B. C. D. 3.(2024七上 高州期中)南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下,后人也将其称为“杨辉三角” 则展开式中所有项的系数和是( ) A. B. C. D. 4.(2024八上 蓬江期中)下列二次三项式是完全平方式的是( ) A.x2−8x−16 B.x2+8x+16 C.x2−4x−16 D.x2+4x+16 5.(2024八上 东莞期中)如图,利用图中面积的等量关系可以得到的公式是( ) A. B. C. D. 6.(2024七下 禅城期中)观察图,用等式表示图中图形面积的运算为( ) A. B. C. D. 7.(2024八下 顺德期末)若,则( ) A. B. C. D. 8.(2024七下 福田期末)下列各式能直接用平方差公式计算的是( ) A. B. C. D. 9.(2024七下 兴宁月考)对于一个图形,通过两种不同的方法计算它的面积,可以得到一个数学等式例如利用图可以得到,那么利用图所得到的数学等式是( ) A. B. C. D. 10.(2024七下 揭西月考)如图,正方形的边长为,其中,,两个阴影部分都是正方形且面积和为60,则重叠部分的面积为( ) A.28 B.29 C.30 D.31 11.(2024八上 深圳开学考)如图,在一块边长为a的正方形花圃中,两纵两横的4条宽度为b的人行道把花圃分成9块,下面是四种计算种花部分土地总面积的代数式:①(a﹣2b)2;②a2﹣4ab;③a2﹣4ab+b2;④a2﹣4ab+4b2.其中正确的有( ) A.② B.①③ C.①④ D.④ 12.(2024七下 南海期中)如图,正方形与正方形的边长分别为,.若,,则图中阴影部分的面积为( ) A.5 B. C. D. 二、填空题(每题3分,共15分) 13.(2024八上 雷州期末)若是完全平方式,则 . 14.(2024八上 广州期中)若,那么多项式的值是 . 15.(2024七下 罗湖期末)如图, 两个正方形边长分别为m, n, 已知, , 则阴影部分的面积为 . 16.(2023八上 越秀期中)如图,从边长为(a+4)cm的正方形纸片中剪去一个边长为(a+1)cm的正方形(a>0),剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形(不重叠无缝隙),则矩形的面积为 . 17.(2023九上 福田开学考)若实数m满足(m-2023)2+(2024-m)2=2025,则(m-2023)(2024-m)= . 三、解答题(共7题,共49分) 18.(2024八上 恩平月考)先阅读下面的内容,再解决问题. 例题:若, 求m和n的值 解:∵ ∴ ∴ ∴, ∴, 问题:(1)若,求的值. (2)已知a,b,c是 ABC的三边长,满足,且c是 ABC中最长的边,求c的取值范围. 19.(2024八上 潮南月考)把几个图形拼成一个新的图形,通过图形面积的计算,常常可以得到一些等式,这是研究数学问题的一种常用方法.我们在学习“从面积到乘法公式”时,曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积,探索了完全平方公式:(如图1). (1)观察图2,请你写出、、之间的等量关系是_; 拓展应用:根据(1)中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识,解决如下问题: (2)若,且,求的值; (3)若,求的值; (4)如图3,在中,,点在边上,,在边上取一点,使,分别以为边在外部作正方形和正方形,连接,若的面积等于,设,求正方形和正方形的面积和. 20.(2024九上 越秀期中)(1)请同学们观察:用个长为宽为的长方形硬纸片拼成的图形(如图),根据图形的面积关系,我们可以写出一个代数恒等式为: ; (2)根据(1)中的等量关系,解决如下问题: ①若,,求−的值; ②已知,,请利用上述等式求值. 21.(2024八上 广州期中)现有长与宽分别为、的小长方形若干个,用两个这样的小长方形拼成如图的图形,用四个相同的小长方形拼成图的图形,请认真观察图形,解答下列问题: (1)根据图,教材已给出关于、的关系式:;根据图,关于、的关系式可表示为:_; 根据上面的思路与方法,解决下列问题: (2)①若,,则_; ②若,则_. (3)如图,点是线段上的一点,以,为边向两边作正方形,设,两正方形的面积和,求图中阴影部分面积. 22.(2024八上 东莞期中)如图,某市有一块长为米,宽为米的长方形地块,规划部门计划将阴影部分进行绿化,中间将修建一座雕像. (1)求出绿化的面积是多少平方米? (2)当,时,求出绿化面积. 23.(2024八上 佛山月考)在二次根式中,有些根式相乘,其结果是实数. 如,,它们的积不含根号,我们说这两个二次根式互为有理化因式,其中一个是另一个的有理化因式,于是,二次根式除法可以这样解:如,. 像这样,通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去,叫做分母有理化. (1)解决问题:分母有理化,得_,的有理化因式是_; (2)计算:; (3)化简:. 24.(2024八下 新会月考)图,分别以a,b,m,n为边长作正方形 . (1)若,,求图1中两个正方形的面积之和; (2)若,,求图2中的长; (3)已知且满足,.若图1中两个正方形的面积和为2,图2中四边形的面积为3,求的面积. 答案解析部分 1.【答案】B 【知识点】科学记数法表示大于10的数 【解析】【解答】解:4200000000=4.2 109. 故选:B. 【分析】科学记数法的表示形式为ax10n的形式,其中,n为整数.确定n的值时,要看把原数变成a时,小数点移动了多少位,n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时,n是正数;当原数的绝对值<1时,n是负数. 2.【答案】D 【知识点】同底数幂的除法;完全平方公式及运用;平方差公式及应用;合并同类项法则及应用 3.【答案】B 【知识点】完全平方公式及运用;探索数与式的规律 4.【答案】B 【知识点】完全平方公式及运用 5.【答案】D 【知识点】完全平方公式的几何背景 【解析】【解答】解:图中最大的正方形的边长为,则其面积为, ∵边长为的正方形面积, ∴, 故答案为:D. 【分析】利用不同的表达方法分别表示出图形的面积,即可得到. 6.【答案】B 【知识点】平方差公式的几何背景 7.【答案】C 【知识点】完全平方公式及运用 【解析】【解答】解:, , , , 故答案为:B 【分析】根据完全平方公式结合题意得到,进而即可求解。 8.【答案】B 【知识点】平方差公式及应用 【解析】【解答】解:A、,本选项主要运用完全平方公式计算,不符合题意; B、,能用平方差公式计算,符合题意; C、,本选项考查多项式乘以多项式,不能运用平方差公式计算,不符合题意; D、,本选项考查多项式乘以多项式,不能运用平方差公式计算,不符合题意; 故答案为:B. 【分析】本题主要考查整式的乘法与平方差公式,满足运用平方差公式的条件为. 9.【答案】B 【知识点】完全平方公式的几何背景 10.【答案】A 【知识点】完全平方公式的几何背景 11.【答案】C 【知识点】完全平方公式的几何背景 【解析】【解答】解:①种花部分土地总面积=大正方形的面积-4条小路的面积=a2-(4ab-4b2)=a2﹣4ab+4b2; ②由平移可得种花部分土地以(a-2b)为边长的正方形, ∴种花部分土地总面积=(a-2b)2; 故答案为:C. 【分析】①种花部分土地总面积=大正方形的面积-4条小路的面积,②由平移可得种花部分土地以(a-2b)为边长的正方形,据此判断即可. 12.【答案】B 【知识点】完全平方公式的几何背景 13.【答案】或 【知识点】完全平方式 【解析】【解答】解:∵是完全平方式, ∴|k-2|=|2 1 3|, 解得:k=8或k=-4, 故答案为:k=8或k=-4. 【分析】先利用完全平方式的特征可得|k-2|=|2 1 3|,再求出k的值即可. 14.【答案】8 【知识点】完全平方公式及运用;整式的混合运算;求代数式的值-整体代入求值 【解析】【解答】解:, . 故答案为:. 【分析】本题考查整式的混合运算,化简求值.先利用平方差公式和完全平方公式进行计算可得:原式=,再将括号进行展开,合并同类项可得:原式=,再将 的值代入式子进行计算可求出答案. 15.【答案】24 【知识点】完全平方公式及运用 【解析】【解答】解:由图可知,大正方形的面积为,空白小三角形的面积为,空白大三角形的面积为, 阴影部分的面积为: , 故答案为:24. 【分析】先根据阴影部分的面积等于大正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积,再利用完全平方公式的变形求解代数式的值即可. 16.【答案】(6a+15)(cm2) 【知识点】完全平方公式的几何背景 17.【答案】-1012 【知识点】完全平方公式及运用 【解析】【解答】解:设m-2023=a,2024-m=b,则a+b=1,a2+b2=2025, 所以(a+b)2=a2+2ab+b2=2025+2ab=1, 所以2ab=-2024, 所以ab=-1012, 即(m-2023)(2024-m)=-1012. 故答案为:-1012. 【分析】设m-2023=a,2024-m=b,则a+b=1,a2+b2=2025,将a+b=1两边平方后,左边展开,再整体代入计算可得答案. 18.【答案】(1)4;(2) 【知识点】完全平方公式及运用;三角形三边关系;有理数乘方的实际应用 19.【答案】(1) (2) (3) (4) 【知识点】完全平方公式及运用;完全平方公式的几何背景 20.【答案】(1);(2)①;②. 【知识点】完全平方公式及运用;完全平方公式的几何背景 21.【答案】(1);(2)①6;②13; (3)根据题意得:, , , , ; ; 图中阴影部分面积为16.5. 【知识点】完全平方公式及运用;完全平方公式的几何背景 【解析】【解答】解:(1)大正方形的面积用面积公式计算为,用小正方形面积加上4个长方形面积为, ∴关于、的关系式可表示为:; 故答案为:; (2)①, , , , , ; 故答案为:6; ②, , , , , 故答案为:13; 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景,完全平方公式的变形应用,整式化简求值. (1)先求出大正方形的面积和小正方形面积加上4个长方形面积,根据出大正方形的面积=小正方形面积加上4个长方形面积,可列出式子; (2)①由,等式两边同时进行平方可得:,再根据,可列出方程,解方程可求出mn的值; ②根据,利用完全平方公式变形可得:,又,代入进行计算可得; (3)由,等式两边同时进行平方可得:,再根据,可求出;利用三角形的面积计算公式可求出阴影部分面积. 22.【答案】(1)解: (平方米); 答:绿化的面积是平方米; (2)解:当,时,, ∴绿化面积为31平方米. 【知识点】多项式乘多项式;完全平方公式的几何背景;求代数式的值-直接代入求值 【解析】【分析】(1)利用长方形的面积公式及割补法求出绿化面积即可; (2)将a、b的值代入(1)中代数式,再计算即可. (1)解: (平方米); 答:绿化的面积是平方米; (2)解:当,时,, ∴绿化面积为31平方米. 23.【答案】(1), (2)2 (3) 【知识点】平方差公式及应用;分母有理化;二次根式的混合运算 24.【答案】(1)解:∵,, ∴图1中两个正方形的面积之和为:; (2)解:由题意知,,,∠B=∠E=90 , ∴, ∵,, ∴由勾股定理得:,, ∴, ∴的长为4; (3)解:∵图1中两个正方形的面积和为2, 图2中四边形的面积为3, ∴,, ∵,, ∴,, 整理得,, ∴, ∴, ∴, ∴的面积为1. 【知识点】完全平方公式及运用;勾股定理 【解析】【分析】(1)根据正方形面积计算公式即可求解; (2)根据题意求出∠ACF=∠B=∠E=90 ,然后利用勾股定理求出,的值,接下来继续由勾股定理得AF的值; (3)先得,,,,然后将整理可求,从而有,即可求出的值. 1 / 1 学科网(北京)股份有限公司 $$ 3.平方差公式与完全平方公式——北师大版数学2025年中考一轮复习测 一、选择题（每题3分，共36分） 1．（2025七上·宝安期末）中国科学家利用嫦娥六号采回的月壤样品，取得了重要研究成果。其中一项研究表明，月球背面岩浆活动在4200000000年前就已存在，为月球演化研究提供了关键科学证据。其中＂4200000000年＂用科学记数法表示为（　　）年 A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】科学记数法表示大于10的数 【解析】【解答】解：4200000000=4.2×109. 故选：B. 【分析】科学记数法的表示形式为ax10n的形式，其中，n为整数.确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同.当原数绝对值时，n是正数；当原数的绝对值<1时，n是负数. 2．（2024八上·恩平期末）下列计算正确的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】同底数幂的除法；完全平方公式及运用；平方差公式及应用；合并同类项法则及应用 3．（2024七上·高州期中）南宋数学家杨辉在其著作详解九章算法中揭示了(n为非负整数)展开式的项数及各项系数的有关规律如下，后人也将其称为“杨辉三角” 则展开式中所有项的系数和是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】完全平方公式及运用；探索数与式的规律 4．（2024八上·蓬江期中）下列二次三项式是完全平方式的是( ) A．x2−8x−16 B．x2+8x+16 C．x2−4x−16 D．x2+4x+16 【答案】B 【知识点】完全平方公式及运用 5．（2024八上·东莞期中）如图，利用图中面积的等量关系可以得到的公式是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】完全平方公式的几何背景 【解析】【解答】解：图中最大的正方形的边长为，则其面积为， ∵边长为的正方形面积， ∴， 故答案为：D． 【分析】利用不同的表达方法分别表示出图形的面积，即可得到. 6．（2024七下·禅城期中）观察图，用等式表示图中图形面积的运算为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方差公式的几何背景 7．（2024八下·顺德期末）若，则(　　) A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】完全平方公式及运用 【解析】【解答】解：， ， ， ， 故答案为：B 【分析】根据完全平方公式结合题意得到，进而即可求解。 8．（2024七下·福田期末）下列各式能直接用平方差公式计算的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】平方差公式及应用 【解析】【解答】解：A、，本选项主要运用完全平方公式计算，不符合题意； B、，能用平方差公式计算，符合题意； C、，本选项考查多项式乘以多项式，不能运用平方差公式计算，不符合题意； D、，本选项考查多项式乘以多项式，不能运用平方差公式计算，不符合题意； 故答案为：B． 【分析】本题主要考查整式的乘法与平方差公式，满足运用平方差公式的条件为． 9．（2024七下·兴宁月考）对于一个图形，通过两种不同的方法计算它的面积，可以得到一个数学等式例如利用图可以得到，那么利用图所得到的数学等式是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】完全平方公式的几何背景 10．（2024七下·揭西月考）如图，正方形的边长为，其中，，两个阴影部分都是正方形且面积和为60，则重叠部分的面积为（　　） A．28 B．29 C．30 D．31 【答案】A 【知识点】完全平方公式的几何背景 11．（2024八上·深圳开学考）如图，在一块边长为a的正方形花圃中，两纵两横的4条宽度为b的人行道把花圃分成9块，下面是四种计算种花部分土地总面积的代数式：①（a﹣2b）2；②a2﹣4ab；③a2﹣4ab+b2；④a2﹣4ab+4b2．其中正确的有（　　） A．② B．①③ C．①④ D．④ 【答案】C 【知识点】完全平方公式的几何背景 【解析】【解答】解：①种花部分土地总面积=大正方形的面积-4条小路的面积=a2-（4ab-4b2）=a2﹣4ab+4b2； ②由平移可得种花部分土地以（a-2b）为边长的正方形， ∴种花部分土地总面积=（a-2b）2； 故答案为：C. 【分析】①种花部分土地总面积=大正方形的面积-4条小路的面积，②由平移可得种花部分土地以（a-2b）为边长的正方形，据此判断即可. 12．（2024七下·南海期中）如图，正方形与正方形的边长分别为，．若，，则图中阴影部分的面积为（　　） A．5 B． C． D． 【答案】B 【知识点】完全平方公式的几何背景 二、填空题（每题3分，共15分） 13．（2024八上·雷州期末）若是完全平方式，则　 　． 【答案】或 【知识点】完全平方式 【解析】【解答】解：∵是完全平方式， ∴|k-2|=|2×1×3|， 解得：k=8或k=-4， 故答案为：k=8或k=-4. 【分析】先利用完全平方式的特征可得|k-2|=|2×1×3|，再求出k的值即可. 14．（2024八上·广州期中）若，那么多项式的值是　 　． 【答案】8 【知识点】完全平方公式及运用；整式的混合运算；求代数式的值-整体代入求值 【解析】【解答】解：， ． 故答案为：． 【分析】本题考查整式的混合运算，化简求值.先利用平方差公式和完全平方公式进行计算可得：原式=，再将括号进行展开，合并同类项可得：原式=，再将 的值代入式子进行计算可求出答案． 15．（2024七下·罗湖期末）如图， 两个正方形边长分别为m， n， 已知， ， 则阴影部分的面积为　 　． 【答案】24 【知识点】完全平方公式及运用 【解析】【解答】解：由图可知，大正方形的面积为，空白小三角形的面积为，空白大三角形的面积为， 阴影部分的面积为： ， 故答案为：24． 【分析】先根据阴影部分的面积等于大正方形的面积之和减去两个空白三角形的面积，再利用完全平方公式的变形求解代数式的值即可． 16．（2023八上·越秀期中）如图，从边长为（a+4）cm的正方形纸片中剪去一个边长为（a+1）cm的正方形（a＞0），剩余部分沿虚线又剪拼成一个矩形（不重叠无缝隙），则矩形的面积为　 　． 【答案】(6a＋15)(cm2) 【知识点】完全平方公式的几何背景 17．（2023九上·福田开学考）若实数m满足（m-2023）2+（2024-m）2＝2025，则（m-2023）（2024-m）＝　 　． 【答案】-1012 【知识点】完全平方公式及运用 【解析】【解答】解：设m-2023=a，2024-m=b，则a+b=1，a2+b2=2025， 所以(a+b)2=a2+2ab+b2=2025+2ab=1， 所以2ab=-2024， 所以ab=-1012， 即(m-2023)(2024-m)=-1012. 故答案为：-1012. 【分析】设m-2023=a，2024-m=b，则a+b=1，a2+b2=2025，将a+b=1两边平方后，左边展开，再整体代入计算可得答案. 三、解答题（共7题，共49分） 18．（2024八上·恩平月考）先阅读下面的内容，再解决问题． 例题：若， 求m和n的值 解：∵ ∴ ∴ ∴， ∴， 问题：(1)若，求的值． (2)已知a，b，c是△ABC的三边长，满足，且c是△ABC中最长的边，求c的取值范围． 【答案】（1）4；（2） 【知识点】完全平方公式及运用；三角形三边关系；有理数乘方的实际应用 19．（2024八上·潮南月考）把几个图形拼成一个新的图形，通过图形面积的计算，常常可以得到一些等式，这是研究数学问题的一种常用方法．我们在学习“从面积到乘法公式”时，曾用两种不同的方法计算同一个图形的面积，探索了完全平方公式：（如图1）． （1）观察图2，请你写出、、之间的等量关系是_____； 拓展应用：根据（1）中的等量关系及课本所学的完全平方公式知识，解决如下问题： （2）若，且，求的值； （3）若，求的值； （4）如图3，在中，，点在边上，，在边上取一点，使，分别以为边在外部作正方形和正方形，连接，若的面积等于，设，求正方形和正方形的面积和． 【答案】（1） （2） （3） （4） 【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景 20．（2024九上·越秀期中）（1）请同学们观察：用个长为宽为的长方形硬纸片拼成的图形（如图），根据图形的面积关系，我们可以写出一个代数恒等式为： ； （2）根据（1）中的等量关系，解决如下问题： ①若，，求−的值； ②已知，，请利用上述等式求值． 【答案】（1）；（2）①；②． 【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景 21．（2024八上·广州期中）现有长与宽分别为、的小长方形若干个，用两个这样的小长方形拼成如图的图形，用四个相同的小长方形拼成图的图形，请认真观察图形，解答下列问题： （1）根据图，教材已给出关于、的关系式：；根据图，关于、的关系式可表示为：______； 根据上面的思路与方法，解决下列问题： （2）①若，，则______； ②若，则______． （3）如图，点是线段上的一点，以，为边向两边作正方形，设，两正方形的面积和，求图中阴影部分面积． 【答案】（1）；（2）①6；②13； （3）根据题意得：， ， ， ， ； ； 图中阴影部分面积为16.5． 【知识点】完全平方公式及运用；完全平方公式的几何背景 【解析】【解答】解：（1）大正方形的面积用面积公式计算为，用小正方形面积加上4个长方形面积为， ∴关于、的关系式可表示为：； 故答案为：； （2）①， ， ， ， ， ； 故答案为：6； ②， ， ， ， ， 故答案为：13； 【分析】本题考查完全平方公式的几何背景，完全平方公式的变形应用，整式化简求值． （1）先求出大正方形的面积和小正方形面积加上4个长方形面积，根据出大正方形的面积=小正方形面积加上4个长方形面积，可列出式子； （2）①由，等式两边同时进行平方可得：，再根据，可列出方程，解方程可求出mn的值； ②根据，利用完全平方公式变形可得：，又，代入进行计算可得； （3）由，等式两边同时进行平方可得：，再根据，可求出；利用三角形的面积计算公式可求出阴影部分面积． 22．（2024八上·东莞期中）如图，某市有一块长为米，宽为米的长方形地块，规划部门计划将阴影部分进行绿化，中间将修建一座雕像． （1）求出绿化的面积是多少平方米？ （2）当，时，求出绿化面积． 【答案】（1）解： （平方米）； 答：绿化的面积是平方米； （2）解：当，时，， ∴绿化面积为31平方米． 【知识点】多项式乘多项式；完全平方公式的几何背景；求代数式的值-直接代入求值 【解析】【分析】（1）利用长方形的面积公式及割补法求出绿化面积即可； （2）将a、b的值代入（1）中代数式，再计算即可. （1）解： （平方米）； 答：绿化的面积是平方米； （2）解：当，时，， ∴绿化面积为31平方米． 23．（2024八上·佛山月考）在二次根式中，有些根式相乘，其结果是实数. 如，，它们的积不含根号，我们说这两个二次根式互为有理化因式，其中一个是另一个的有理化因式，于是，二次根式除法可以这样解：如，. 像这样，通过分子、分母同乘以一个式子把分母中的根号化去或把根号中的分母化去，叫做分母有理化. （1）解决问题：分母有理化，得_____________，的有理化因式是____________； （2）计算：； （3）化简：. 【答案】（1）， （2）2 （3） 【知识点】平方差公式及应用；分母有理化；二次根式的混合运算 24．（2024八下·新会月考）图，分别以a，b，m，n为边长作正方形 ． （1）若，，求图1中两个正方形的面积之和； （2）若，，求图2中的长； （3）已知且满足，．若图1中两个正方形的面积和为2，图2中四边形的面积为3，求的面积． 【答案】（1）解：∵，， ∴图1中两个正方形的面积之和为：； （2）解：由题意知，，，∠B=∠E=90°， ∴， ∵，， ∴由勾股定理得：，， ∴， ∴的长为4； （3）解：∵图1中两个正方形的面积和为2， 图2中四边形的面积为3， ∴，， ∵，， ∴，， 整理得，， ∴， ∴， ∴， ∴的面积为1． 【知识点】完全平方公式及运用；勾股定理 【解析】【分析】（1）根据正方形面积计算公式即可求解； （2）根据题意求出∠ACF=∠B=∠E=90°，然后利用勾股定理求出，的值，接下来继续由勾股定理得AF的值； （3）先得，，，，然后将整理可求，从而有，即可求出的值. 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$