备战2025年中考——几何图形初步+相交线与平行线（综合压轴题分类专题）（5）-2024-2025学年九年级数学下册基础知识专项突破讲与练（人教版）

备战2025中考——几何图形初步+相交线与平行线（综合压轴题分类专题）（5） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】几何图形初步 【考点1】几何体几种展开图的识别...............................................1 【考点2】正方体相对两面上的字.................................................2【考点3】几何图形中角度计算问题+对顶角相等....................................3 【考点4】角平分线的有关计算+根据平行线的性质求角的度数........................4 【考点5】三角板中角度计算问题+根据平行线的性质求角的度数......................5 【考点6】与余角、补角有关的计算+对顶角相等+根据平行线的性质探究角的关系.......6 【知识点2】相交线与平行线 【考点7】垂线段最短+两点确定一条直线..........................................6 【考点8】方向角有关的计算+平行公理应用+根据平行线的性质求角的度数.............7 【考点9】平行公理推论的应用+根据平行线的性质求角的度数........................8 【考点10】折叠问题+平行线的判定+平行线有关的三角形内角和问题..................9 【考点11】平行线性质与判定综合................................................9 篇二：压轴部分（备注：知识点与八九年级知识点综合） 【考点12】计算推理求值.......................................................11 【考点13】求最值.............................................................11 【考点14】推理证明与解答.....................................................12 篇一：综合部分 【知识点1】几何图形初步 【考点1】几何体几种展开图的识别 1．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 2．（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（    ） A． B． C． D． 3．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 【考点2】正方体相对两面上的字 1．（2023·山东青岛·中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）    A．31 B．32 C．33 D．34 2．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，在其中的三个正方形a，b，c内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两数满足下列条件：①a面上的数与它对面的数互为倒数；②b面上的数等于它对面的数的绝对值；③c面上的数与它对面的数互为相反数．下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 3．（2024·河北廊坊·二模）如图是一个边长为2的正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“真”相对的面上的汉字是 ．把正方体展开图放在平面直角坐标系xOy中，其中“考”字左上角的顶点A坐标为．若双曲线在第一象限的部分过该图形的对称中心，则双曲线的函数解析式为 ． 【考点3】几何图形中角度计算问题+对顶角相等 2.（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，直线相交于点，垂足为O，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·浙江衢州·中考真题）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，是两侧山脚的入口，从出发任作线段，过作，然后依次作垂线段，直到接近点，作于点．每条线段可测量，长度如图所示．分别在，上任选点，作，，使得，此时点共线．挖隧道时始终能看见处的标志即可． （1） km． （2）= ． 【考点4】角平分线的有关计算+根据平行线的性质求角的度数 1．（2024·河北邢台·一模）综合实践课上，嘉嘉画出，如图1，利用尺规作图作的角平分线．其作图过程如下： （1）如图2，在射线上取一点D（不与点O重合），作，且点C落在内部； （2）如图3，以点D为圆心，以长为半径作弧，交射线于点P，作射线，射线就是的平分线． 在嘉嘉的作法中，判断射线是的平分线过程中不可能用到的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．等边对等角 D．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 2．（2019·陕西·中考真题）如图，OC是∠AOB的角平分线，l//OB，若∠1=52°，则∠2的度数为（    ） A．52° B．54° C．64° D．69° 3.（2018·江苏镇江·一模）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则 ． 【考点5】三角板中角度计算问题+根据平行线的性质求角的度数 1．（2022·山东德州·中考真题）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2017·四川内江·中考真题）如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（ ） A．19° B．38° C．42° D．52° 3．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，，把如图所示放置，直角顶点在直线上， ，若，则等于的度数为 ． 4.（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C放在一起，，，．点E在直线的上方，且，当这两块三角板有一组边互相平行时，的度数是 ． 【考点6】与余角、补角有关的计算+对顶角相等+根据平行线的性质探究角的关系 1．（2024·甘肃·模拟预测）如图，直线a，b被直线c所截，，，则的余角为（    ） A． B． C． D． 2．（22-23七年级下·上海虹口·期末）若的对顶角是，的邻补角是，的余角是，若，则 ． 3．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，在等腰三角形中，．现将一含角的三角板的直角顶点与点A重合，并绕着点A在平面内顺时针转动，当时，的度数为 ． 【知识点2】相交线与平行线 【考点7】垂线段最短+两点确定一条直线 1．（22-23七年级下·山东济南·期中）用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A．   测量跳远成绩 B．   木板上弹墨线 C．   两钉子固定木条 D．  弯曲河道改直 2．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．    3．（2020·天津河西·二模）如图，正方形的边长为，分别为边上的动点，且，则的最小值为 【考点8】方向角有关的计算+平行公理应用+根据平行线的性质求角的度数 1．（2024·河南·中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是 ． 3．（2023·山东东营·中考真题）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km． 【考点9】平行公理推论的应用+根据平行线的性质求角的度数 1．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·山东临沂·模拟预测）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，，．已知与平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（22-23七年级下·山西吕梁·期中）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 【考点10】折叠问题+平行线的判定+平行线有关的三角形内角和问题 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 2．（2025·山西长治·模拟预测）如图，将一张两边平行的纸条按如图所示的方式折叠，点A，D的对应点分别为为折痕，与交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在中，，，点D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则 ． 【考点11】平行线性质与判定综合 1.（2023·河北·中考真题）如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（    ）    A． B． C． D． 2.（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3.（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 篇二：压轴部分（备注：知识点与八九年级知识点综合） 【考点12】计算推理求值 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束CH与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中度数是多少（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，，在的两边上分别过点和点向同方向作射线和，且． （1）若，则的度数为 ． （2）若和的平分线所在的直线交于点（与不重合），则的度数为 ． 【考点13】求最值 1．（22-23七年级下·陕西西安·期中）已知：如图，，，且，点是线段上的一个动点，则的最大值与最小值的差是 ．    2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为 ． 3．（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）如图1，有一个足够长的矩形纸片，、分别是、上的点，．将纸片含的部分沿折叠，称为第1次操作；继续将纸片含的部分沿折叠，称为第2次操作；以后，重复上述这两步操作，分别记作第3次，第4次，第5次……第操作，则的最大值为 ． 【考点14】推理证明与解答 1（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． （1）______，______； （2）若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． （3）若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．   （1）①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； （2）在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； （3）将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 备战2025中考——几何图形初步+相交线与平行线（综合压轴题分类专题）（5） 考点目录 篇一：综合部分 【知识点1】几何图形初步 【考点1】几何体几种展开图的识别...............................................1 【考点2】正方体相对两面上的字.................................................3【考点3】几何图形中角度计算问题+对顶角相等....................................6 【考点4】角平分线的有关计算+根据平行线的性质求角的度数........................8 【考点5】三角板中角度计算问题+根据平行线的性质求角的度数.....................11 【考点6】与余角、补角有关的计算+对顶角相等+根据平行线的性质探究角的关系......13 【知识点2】相交线与平行线 【考点7】垂线段最短+两点确定一条直线.........................................15 【考点8】方向角有关的计算+平行公理应用+根据平行线的性质求角的度数............18 【考点9】平行公理推论的应用+根据平行线的性质求角的度数.......................20 【考点10】折叠问题+平行线的判定+平行线有关的三角形内角和问题.................23 【考点11】平行线性质与判定综合...............................................26 篇二：压轴部分（备注：知识点与八九年级知识点综合） 【考点12】计算推理求值.......................................................28 【考点13】求最值.............................................................33 【考点14】推理证明与解答.....................................................36 篇一：综合部分 【知识点1】几何图形初步 【考点1】几何体几种展开图的识别 1．（2022·湖南益阳·中考真题）如图1所示，将长为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图2所示的三棱柱形物体，则图中a的值可以是（　　） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】本题实际上是长为6的线段围成一个等腰三角形，求腰的取值范围． 解：长为6的线段围成等腰三角形的两腰为a．则底边长为6﹣2a． 由题意得，， 解得＜a＜3， 所给选项中分别为：1，2，3，4． ∴只有2符合上面不等式组的解集， ∴a只能取2． 故选：B． 【点拨】本题考查了三角形三边之间的关系、解不等式组，解题的关键是把把三棱柱的问题转化为三角形三边的问题． 2．（2024·江苏常州·中考真题）下列图形中，为四棱锥的侧面展开图的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查几何体的展开图，熟练掌握几何体的展开图是解题的关键．根据棱锥的侧面展开图的特征即可得到答案． 解：棱锥的侧面是三角形，故四棱锥的侧面展开图的是 故选：B． 3．（2024·山东青岛·中考真题）如图①，将边长为的正方形纸板沿虚线剪掉边长为的小正方形，得到如图②的“纸板卡”，若用这样完全相同的“纸板卡”拼成正方形，最少需要 块；如图③，将长、宽、高分别为的长方体砖块，切割掉长、宽、高分别为的长方体，得到如图④的“直角砖块”，若用这样完全相同的“直角砖块”拼成正方体，最少需要 块． 【答案】 12 144 【分析】本题考查展开图折叠成几何体，最小公倍数等知识，先拼成一个基础图形（体），再根据正方形（体）的特征，即可解答． 解：先用2个图②拼成一个长为3，宽为2的长方形，面积为6， 的最小公倍数是6， 如图， 6个这样的长方形拼成一个面积为36的正方形，此时边长为6， 需图②的个数：（个）； 同理用2个图④拼成长，宽，高分别为4, 3, 2的长方体， 用个这样的长方体拼成一个长，宽，高为12，12，2的长方体，用6个这样的长方体可以拼成长，宽，高为12，12，12的正方体， 此时需要：（个）． 故答案为：12；144． 【考点2】正方体相对两面上的字 1．（2023·山东青岛·中考真题）一个不透明小立方块的六个面上分别标有数字1，2，3，4，5，6，其展开图如图①所示．在一张不透明的桌子上，按图②方式将三个这样的小立方块搭成一个几何体，则该几何体能看得到的面上数字之和最小是（　　）    A．31 B．32 C．33 D．34 【答案】B 【分析】根据正方体展开图的特征，得出相对面上的数字，再结合正方体摆放方式，得出使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大，即可解答． 解：由图①可知：1的相对面是3，2的相对面是4，5的相对面是6， 由图2可知： 要使该几何体能看得到的面上数字之和最小，则看不见的面数字之和要最大， 上面的正方体有一个面被遮住，则这个面数字为6， 能看见的面数字之和为：； 左下的正方体有3个面被遮住，其中两个为相对面，则这三个面数字分别为4，5，6， 能看见的面数字之和为：； 右下的正方体有2个面被遮住，这两个面不是相对面，则这两个面数字为4，6， 能看见的面数字之和为：； ∴能看得到的面上数字之和最小为：， 故选：B． 【点拨】本题主要考查了正方体的相对面，掌握正方体展开图中“相间一行是相对面”，是解题的关键． 2．（2024九年级下·浙江·专题练习）如图是一个正方体纸盒的表面展开图，在其中的三个正方形a，b，c内分别填入适当的数，使得折成正方体后相对面上的两数满足下列条件：①a面上的数与它对面的数互为倒数；②b面上的数等于它对面的数的绝对值；③c面上的数与它对面的数互为相反数．下列选项正确的是（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了正方体相对两个面上的文字和实数运算，倒数，绝对值，相反数的定义，根据正方体展开图的特征可以求出“a”的对面是，“b”的对面是，“c”的对面是2，进而求出a，b，c的值． 解：由图形可知“a”的对面是，“b”的对面是，“c”的对面是2， ∵a面上的数与它对面的数互为倒数， ，故选项A错误； ∵b面上的数等于它对面上的数的绝对值， ； ∵c面上的数与它对面的数互为相反数， ， 故选：C． 3．（2024·河北廊坊·二模）如图是一个边长为2的正方体的一种平面展开图，它的每个面上都有一个汉字，那么在原正方体的表面上，与汉字“真”相对的面上的汉字是 ．把正方体展开图放在平面直角坐标系xOy中，其中“考”字左上角的顶点A坐标为．若双曲线在第一象限的部分过该图形的对称中心，则双曲线的函数解析式为 ． 【答案】 查 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式及正方体相对两个面上的文字，熟知反比例函数的图象和性质是解题的关键．根据正方体的表面展开图与原正方体之间的关系，可得出汉字“真”对面的汉字，再求出该图形的对称中心即可解决问题． 解：解∶根据正方体的表面展开图与原正方体之间的关系可知，汉字“真”的对面是汉字“查”． 因为正方体的棱长为2，且点A的坐标为 ， 所以点B的坐标为， 所以AB的中点坐标为． 令反比例函数解析式为． 将点坐标代入反比例函数解析得，， 所以双曲线的函数解析式为， 故答案为∶查， 【考点3】几何图形中角度计算问题+对顶角相等 2.（2024·河南省直辖县级单位·模拟预测）如图，直线相交于点，垂足为O，如果，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了垂直的定义，对顶角的性质，角的计算，准确识图，熟练掌握垂直的定义，对顶角的性质，角的计算是解决问题的关键．根据，得，再根据对顶角的性质可得的度数． 解：， ， ， ， 直线，相交于点， ， 故选：B． 2．（2022·浙江衢州·中考真题）希腊数学家海伦给出了挖掘直线隧道的方法：如图，是两侧山脚的入口，从出发任作线段，过作，然后依次作垂线段，直到接近点，作于点．每条线段可测量，长度如图所示．分别在，上任选点，作，，使得，此时点共线．挖隧道时始终能看见处的标志即可． （1） km． （2）= ． 【答案】 1.8 【分析】（1）由图可知CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km，代入CD－EF－GJ计算即可得到答案； （2）连接AB，过点A作AT⊥CB，交CB的延长线于点T，∠ATB＝90°，共线,得到∠MBQ＝∠ABT，由题意可知BT和AT的长度，即可求得∠ABT的正切，进一步即可得到答案． 解：（1）由图可知，CD＝5.5km，EF＝1km，GJ＝2.7km， ∴CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8（km）； 故答案为：1.8 （2）连接AB，过点A作AT⊥CB，交CB的延长线于点T，∠ATB＝90°， ∵点共线, ∴∠MBQ＝∠ABT， 由题意可知，BT＝DE＋FG－CB－AJ＝4.9＋3.1－3－2.4＝2.6, AT＝CD－EF－GJ＝5.5－1－2.7＝1.8， ∴tan∠ABT＝， ∴tan∠MBQ ＝＝， ∴k＝． 故答案为： 【点拨】此题考查了锐角三角函数、对顶角相等知识，数形结合是解题的关键． 【考点4】角平分线的有关计算+根据平行线的性质求角的度数 1．（2024·河北邢台·一模）综合实践课上，嘉嘉画出，如图1，利用尺规作图作的角平分线．其作图过程如下： （1）如图2，在射线上取一点D（不与点O重合），作，且点C落在内部； （2）如图3，以点D为圆心，以长为半径作弧，交射线于点P，作射线，射线就是的平分线． 在嘉嘉的作法中，判断射线是的平分线过程中不可能用到的依据是（    ） A．同位角相等，两直线平行 B．两直线平行，内错角相等 C．等边对等角 D．到角两边距离相等的点在这个角的角平分线上 【答案】D 【分析】本题考查平行线性质和判定，等腰三角形性质，角平分线判定，熟练掌握相关性质并灵活运用得到其证明过程，根据其过程判断不可能用到的依据即可． 解：， （同位角相等，两直线平行）， （两直线平行，内错角相等）， 故A、B会用到，不符合题意； 以点D为圆心，以长为半径作弧，交射线于点P， ， （等边对等角）， ， 射线就是的平分线． 故C会用到，不符合题意； 综上所述，D不可能用到， 故选：D． 2．（2019·陕西·中考真题）如图，OC是∠AOB的角平分线，l//OB，若∠1=52°，则∠2的度数为（    ） A．52° B．54° C．64° D．69° 【答案】C 【分析】先根据两直线平行，同旁内角互补求出∠AOB=128°，再根据角平分线的定义得到∠BOC=64°，继而根据平行线的性质即可求得答案. 解：∵l//OB， ∴∠1+∠AOB=180°， ∴∠AOB=128°， ∵OC平分∠AOB， ∴∠BOC=64°， 又∵l//OB， ∴∠2=∠BOC=64°， 故选：C. 【点拨】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，熟练掌握平行线的性质是解本题的关键. 3.（2018·江苏镇江·一模）如图，，的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点，，则 ． 【答案】/82度 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，四边形内角和定理等．过F作，则，根据平行线的性质和角平分线的定义，可得，，进而可得，，利用四边形内角和为360度，可得，再结合即可求出的度数． 解：如图，过F作， ∵， ∴， ∵的角平分线的反向延长线和的角平分线交于点F， ∴可设，， ∴，， ∴四边形中， ， 即，① 又∵， ∴，② ∴， 解得， 故答案为：． 【考点5】三角板中角度计算问题+根据平行线的性质求角的度数 1．（2022·山东德州·中考真题）将一副三角板（厚度不计）如图摆放，使含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据平行线的性质可得的度数，再根据三角形内角和定理可得的度数． 解：∵含角的三角板的斜边与含角的三角板的一条直角边平行，如图所示： ∴， ∵， ∴， 故选：B． 【点拨】本题考查了平行线的性质，直角三角形的性质，三角形内角和定理等，熟练掌握这些知识是解题的关键． 2．（2017·四川内江·中考真题）如图，直线m∥n，直角三角板ABC的顶点A在直线m上，则∠α的余角等于（ ） A．19° B．38° C．42° D．52° 【答案】D 解：试题分析：过C作CD∥直线m，∵m∥n，∴CD∥m∥n，∴∠DCA=∠FAC=52°，∠α=∠DCB，∵∠ACB=90°，∴∠α=90°﹣52°=38°，则∠a的余角是52°．故选D． 考点：平行线的性质；余角和补角． 3．（2024·湖北恩施·模拟预测）如图，，把如图所示放置，直角顶点在直线上， ，若，则等于的度数为 ． 【答案】/48度 【分析】本题主要考查了平行线的性质、对顶角、三角形外角的定义和性质等知识，熟练掌握平行线的性质是解题关键．首先根据“对顶角相等”可得，再根据“三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角和”可得，然后根据“两直线平行，同位角相等”，即可获得答案． 解：如下图， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故答案为：． 4.（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，将一副三角板中的两个直角顶点C放在一起，，，．点E在直线的上方，且，当这两块三角板有一组边互相平行时，的度数是 ． 【答案】或 【分析】分两种情况讨论：①当时，②当时,根据平行线的性质即可求解． 本题主要考查了平行线的性质，分类讨论是解题的关键． 解：①当时，， 则， 则； ②当时, ． 故答案为：或． 【考点6】与余角、补角有关的计算+对顶角相等+根据平行线的性质探究角的关系 1．（2024·甘肃·模拟预测）如图，直线a，b被直线c所截，，，则的余角为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查平行的性质，余角的定义，熟练掌握平行的性质是解题的关键．根据平行的性质求出的补角，即可求出，即可求出答案． 解：设的邻补角为， ，， ， ， 故的余角为． 故选A． 2．（22-23七年级下·上海虹口·期末）若的对顶角是，的邻补角是，的余角是，若，则 ． 【答案】145 【分析】根据余角、邻补角、对顶角的性质进行求解，即可得到答案． 解：的余角是，， ， 的邻补角是， ， 的对顶角是， ， 故答案为：145． 【点拨】本意考查了余角、邻补角、对顶角，熟练掌握相关性质是解题关键． 3．（23-24八年级上·河南开封·期末）如图，在等腰三角形中，．现将一含角的三角板的直角顶点与点A重合，并绕着点A在平面内顺时针转动，当时，的度数为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了平行线性质、等腰三角形的性质，三角形内角和定理，熟练掌握等腰三角形的性质和三角形内角和定理是解答本题的关键，先利用等腰三角形的性质和三角形内角和定理可得，利用平行线的性质得，再根据三角形内角和得出，进而计算即可得到答案． 解：延长交于点F，如图： ，， ， ， ， ， ， ， ． ∵ ∴ ∴ ∴ 故答案为：或． 【知识点2】相交线与平行线 【考点7】垂线段最短+两点确定一条直线 1．（22-23七年级下·山东济南·期中）用“垂线段最短”来解释的现象是（　　） A．   测量跳远成绩 B．   木板上弹墨线 C．   两钉子固定木条 D．  弯曲河道改直 【答案】A 【分析】本题考查了线段的性质，根据给出的现象逐一分析即可，解题时注意：两点的所有连线中可以有无数种连法，如折线、曲线、线段等，这些所有的线中，线段最短，从直线外一点引一条直线的垂线，这点和垂足之间的线段叫做垂线段，垂线段的性质是垂线段最短． 解：A、测量跳远成绩是利用了“垂线段最短”，故选项符合题意； B、木板上弹墨线是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； C、两钉子固定木条是利用了“两点确定一条直线”，故选项不符合题意； D、把弯曲的河道改直，就能缩短路程是利用了“两点之间，线段最短”，故选项不符合题意； 故选：A． 2．（2023·四川雅安·中考真题）如图，在中，．P为边上一动点，作于点D，于点E，则的最小值为 ．    【答案】 【分析】连接，利用勾股定理列式求出，判断出四边形是矩形，根据矩形的对角线相等可得，再根据垂线段最短可得时，线段的值最小，然后根据直角三角形的面积公式列出方程求解即可． 解：如图，连接，    ∵， ∴， ∵于点D，于点E，， ∴四边形是矩形， ∴， 由垂线段最短可得时，线段的值最小，此时线段的值最小， 此时，， 代入数据：， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题考查了矩形的判定与性质，垂线段最短的性质，勾股定理，判断出时，线段的值最小是解题的关键． 3．（2020·天津河西·二模）如图，正方形的边长为，分别为边上的动点，且，则的最小值为 【答案】 【分析】连接，根据正方形的性质，可得到，则，将问题转化为“将军饮马”类型，作点关于的对称点，连接，用勾股定理即可求解． 解：连接， ∵且四边形为正方形， ∴，即，， 在和中， ∴， ∴； ∴， 以为对称轴，作点关于的对应点连接，与交点即为点， ∵点和点关于对称， ∴， ， 由勾股定理可得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了正方形的性质，三角形的全等，最短路径问题，勾股定理．熟练地掌握正方形的性质得出判定三角形全等的条件，将最短路径问题转化为“将军饮马”类型的问题是解题的关键． 【考点8】方向角有关的计算+平行公理应用+根据平行线的性质求角的度数 1．（2024·河南·中考真题）如图，乙地在甲地的北偏东方向上，则∠1的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了方向角，平行线的性质，利用平行线的性质直接可得答案． 解：如图， 由题意得，，， ∴， 故选：B． 2．（2022·湖北宜昌·中考真题）如图，岛在A岛的北偏东方向，岛在岛的北偏西方向，则的大小是 ． 【答案】/85度 【分析】过作交于，根据方位角的定义，结合平行线性质即可求解． 解：岛在A岛的北偏东方向， ， 岛在岛的北偏西方向， ， 过作交于，如图所示： ， ， ， 故答案为：． 【点拨】本题考查方位角的概念与平行线的性质求角度，理解方位角的定义，并熟练掌握平行线的性质是解决问题的关键． 3．（2023·山东东营·中考真题）一艘船由A港沿北偏东60°方向航行30km至B港，然后再沿北偏西30°方向航行40km至C港，则A，C两港之间的距离为 km． 【答案】50 【分析】根据题意画出图形，易证是直角三角形，利用勾股定理即可求解． 解：如图，根据题意，得，，，，    ∵ ∴ ∴ ∴在中， 即A，C两港之间的距离为50 km． 故答案为：50 【点拨】本题考查方位角，勾股定理，根据题意画出图形，证明是直角三角形是解题的关键． 【考点9】平行公理推论的应用+根据平行线的性质求角的度数 1．（2024·山东潍坊·中考真题）一种路灯的示意图如图所示，其底部支架与吊线平行，灯杆与底部支架所成锐角．顶部支架与灯杆所成锐角，则与所成锐角的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线性质，平行公理的推论，过点作，可得，即得，，根据求出即可求解，正确作出辅助线是解题的关键． 解：过点作， ∵， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴与所成锐角的度数为为， 故选：． 2．（2024·山东临沂·模拟预测）绿色出行，健康出行，你我同行．某市为了方便市民绿色出行，推出了共享单车服务．图是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图是其示意图，其中，都与地面平行，，．已知与平行，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了平行公理，平行线的性质，三角形的内角和定理等知识点，熟练掌握平行线的判定与性质是解题的关键． 首先根据平行公理可证得，于是根据平行线的性质可求得，由三角形的内角和定理可求得，最后根据平行线的性质即可求得的度数 解：，都与地面平行， ， ， ， ， 又， ， 故选：． 3．（22-23七年级下·山西吕梁·期中）如图是一款长臂折叠护眼灯示意图，与桌面垂直，当发光的灯管恰好与桌面平行时，，，则的度数为 【答案】/110度 【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的意义；分别过点D、E作的平行线，则可得，利用平行线的性质即可求解． 解：如图，分别过点D、E作的平行线， ∵，， ∴， ∴，， ∴，； ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴ 故答案为：． 【考点10】折叠问题+平行线的判定+平行线有关的三角形内角和问题 1．（2024·黑龙江大庆·中考真题）如图，在一次综合实践课上，为检验纸带①、②的边线是否平行，小庆和小铁采用了两种不同的方法：小庆把纸带①沿折叠，量得；小铁把纸带②沿折叠，发现与重合，与重合．且点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上．则下列判断正确的是（    ） A．纸带①、②的边线都平行 B．纸带①、②的边线都不平行 C．纸带①的边线平行，纸带②的边线不平行 D．纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行 【答案】D 【分析】对于纸带①，根据对顶角相等可得，利用三角形内角和定理求得，再根据折叠的性质可得，由平行线的判定即可判断；对于纸带②，由折叠的性质得，，，由平角的定义从而可得，，再根据平行线的判定即可判断． 解：对于纸带①， ∵， ∴， ∴， 由折叠的性质得，， ∴， ∴与不平行， 对于纸带②，由折叠的性质得，，， 又∵点C，G，D在同一直线上，点E，H，F也在同一直线上， ∴，， ∴，， ∴， ∴， 综上所述，纸带①的边线不平行，纸带②的边线平行， 故选：D． 【点拨】本题考查平行线的判定、对顶角相等、三角形内角和定理、折叠的性质，熟练掌握平行线的判定和折叠的性质是解题的关键． 2．（2025·山西长治·模拟预测）如图，将一张两边平行的纸条按如图所示的方式折叠，点A，D的对应点分别为为折痕，与交于点E，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了平行线的性质和折叠的性质等知识．根据平行线的性质和对顶角相等得到，由折叠得到，再由平行线的性质即可得到的度数． 解：∵， ∴， 由折叠可知，， ∵， ∴， 故选：C 3．（23-24八年级上·北京西城·期中）如图，在中，，，点D，E分别在，上，将沿折叠得，且满足，则 ． 【答案】/74度 【分析】此题主要考查了图形的折叠变换及其性质，三角形的内角和定理，平行线的性质． 先根据三角形的内角和定理求出，根据折叠的性质得，再根据得，然后根据平角的定义得，据此可得的度数． 解：∵在中，，， ， 由折叠的性质得：， ∵， ， ， ， ． 故答案为：． 【考点11】平行线性质与判定综合 1.（2023·河北·中考真题）如图，直线，菱形和等边在，之间，点A，F分别在，上，点B，D，E，G在同一直线上：若，，则（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，由平角的定义求得，由外角定理求得，，根据平行性质，得，进而求得． 解：如图，∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴ ∵ ∴     故选：C．    【点拨】本题考查平行线的性质，平角的定义，等边三角形的性质，三角形外角定理，根据相关定理确定角之间的数量关系是解题的关键． 2.（2024·山东青岛·中考真题）为筹备运动会，小松制作了如图所示的宣传牌，在正五边形和正方形中，，的延长线分别交，于点M，N，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是正多边形内角和问题，熟记正多边形的内角的计算方法是解题的关键． 根据正五边形的内角的计算方法求出、，根据正方形的性质分别求出、，根据四边形内角和等于计算即可． 解：∵五边形是正五边形， ∴， ∵四边形为正方形， ∴，， ∴，， ∴， 故选：B． 3.（2024·宁夏·中考真题）如图，在中，，，，点在直线上，点，在直线上，，动点从点出发沿直线以的速度向右运动，设运动时间为．下列结论： ①当时，四边形的周长是； ②当时，点到直线的距离等于； ③在点运动过程中，的面积随着的增大而增大； ④若点，分别是线段，的中点，在点运动过程中，线段的长度不变．其中正确的是（　　） A．①④ B．②③ C．①③ D．②④ 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中位线定理，矩形的判定与性质，解题的关键是掌握相关知识．①当时，得到四边形是矩形，即可求解；②根据“平行线间的距离处处相等”，即可判断；③根据②中的发现即可判断；④利用三角形的中位线定理即可判断． 解：①当时，， ， ，， 四边形是矩形， ， ，四边形的周长是，故①正确； ②，，， 直线与直线之间的距离是， 当时，点到直线的距离等于，故②错误； ③由②可知点到的距离为定值，即的边上的高为， 又， 的面积为定值，故③错误； ④点，分别是线段，的中点， 是的中位线， ， 即线段的长度不变，故④正确； 故选：A． 篇二：压轴部分（备注：知识点与八九年级知识点综合） 【考点12】计算推理求值 1．（24-25七年级上·江苏镇江·期末）如图，在科学《光的反射》活动课中，小明同学将支架平面镜放置在水平桌面上，镜面的调节角的调节范围为，激光笔发出的光束射到平面镜上，若激光笔与水平天花板（直线）的夹角，则反射光束CH与天花板所形成的角（）不可能取到的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了平行线的性质，正确作出辅助线和利用分类讨论的思想是解题的关键． 分和，分别利用平行线的性质求解即可． 解：当时，如图1所示，过点C作， ∵， ∴， ∴， ∴， 由反射定理可知，， ∴， ∴， ∴， ∴； 当时，如图2所示，过点C作， 同理可得， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 综上所述，或． 故选B． 2．（24-25七年级上·山东泰安·期中）如图是长方形纸带，，将纸带沿折叠成图，再沿折叠成图，则图中度数是多少（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了平行线的性质、折叠—有关角的计算、角的和与差．首先根据四边形是长方形纸带，可得，根据平行线的性质可得，根据邻补角的定义可以求出，从而可求，再根据角之间的关系可以求出的度数． 解：四边形是长方形纸带， ， ， 如图所示， ， ， 如图所示， ． 故选：A． 3．（24-25七年级上·河南新乡·期末）如图，，在的两边上分别过点和点向同方向作射线和，且． （1）若，则的度数为 ． （2）若和的平分线所在的直线交于点（与不重合），则的度数为 ． 【答案】 或 【分析】本题考查平行线的性质，角平分线的定义，掌握平行线的性质是解决问题的关键． （1）过点作，而，可得，证明，，再进一步解答即可； （2）分两种情况当为锐角时，过点作，过点作，利用平行线的性质可得，，再结合角平分线即可求得；当为钝角时，，，再根据角平分线及平行线性质得． 解：（1）过点作，而， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴； 故答案为： （2）①当为锐角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ，即， ，， ，， ，即， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， ②当为钝角时，如图所示： 过点作，过点作， ， ， ，， ，， ， ， ， ，， ，， 又点为和的角平分线所在的直线的交点， ，， ， 综上所述或 故答案案为：或． 【考点13】求最值 1．（22-23七年级下·陕西西安·期中）已知：如图，，，且，点是线段上的一个动点，则的最大值与最小值的差是 ．    【答案】 【分析】当点M与点A重合时，取最大值，此时，当时，取最小值，根据，求出最小值，即可求解． 解：∵，， ∴， 当点M与点A重合时，取最大值，此时， 当时，取最小值， ∵， ∴，解得：， ∴的最大值与最小值的差是， 故答案为：． 【点拨】本题主要考查了平行线的性质，垂线段最短，解题的关键是掌握两直线平行，内错角相等；垂线段最短． 2．（23-24七年级上·四川宜宾·期末）如图，直角三角形中，，，，，点D是边上一动点，作直线经过点C、点D，分别过点A，B作与垂直，与垂直，垂足分别为点F，E．设线段，的长度分别为，，则的最大值为 ． 【答案】10 【分析】此题考查了三角形面积的求解，垂线段最短，解题的关键是得出，确定取最大值时，取最小值，并掌握垂线段最短的性质． 根据，即得到，则的最大值就是的最小值，由垂线段最短可得当时，最小，即可求解． 解：由题意可得：，即 化简可得： 解得， 则取最大值时，取最小值， 由垂线段最短可得当时，最小， 由可得， ∴的最大值为． 故答案为：10． 3．（22-23七年级下·广东佛山·阶段练习）如图1，有一个足够长的矩形纸片，、分别是、上的点，．将纸片含的部分沿折叠，称为第1次操作；继续将纸片含的部分沿折叠，称为第2次操作；以后，重复上述这两步操作，分别记作第3次，第4次，第5次……第操作，则的最大值为 ． 【答案】6 【分析】观察可得，第2次操作比第1次操作减少一个，根据此规律可得出的最大值． 解：∵矩形纸片，∴， ∴， ∵将纸片含的部分沿折叠， 图2中，， 图3中，， ∴， 观察可得，第2次操作比第1次操作减少一个，以后每次重复操作，都减少， ∴每次重复操作后的角的度数为， 由题意得， 解得， ∵n为正整数， ∴的最大值为6， 故答案为：6． 【点拨】本题考查折叠的综合应用，平行线的性质，熟练掌握折叠的性质和平行线的性质是解题关键． 【考点14】推理证明与解答 1（24-25七年级上·江苏扬州·期末）如图，，、分别为直线、上两点，且，若射线绕点顺时针旋转至后立即回转，射线绕点逆时针旋转至后立即回转，两射线分别绕点、点不停地旋转，若射线转动的速度是秒，射线转动的速度是秒，且、满足． （1）______，______； （2）若射线、射线同时旋转，问至少旋转多少秒时，射线、射线互相垂直． （3）若射线绕点顺时针先转动15秒，射线才开始绕点逆时针旋转，在射线第一次到达之前，问射线再转动多少秒时，射线、射线互相平行？ 【答案】（1）8；2；（2）9秒；（3）6秒或10秒 【分析】本题主要考查了平行线的性质，非负数的性质以及角的和差关系的运用，解方程的运用，解决问题的关键是运用分类思想进行求解，解题时注意：若两个非负数的和为0，则这两个非负数均等于0． （1）依据非负数的性质即可得到，的值； （2）依据，，即可得到射线、射线第一次互相垂直的时间； （3）分两种情况讨论，依据时，，列出方程即可得到射线、射线互相平行时的时间． 解：（1）解：∵，， ∴ ，， ，， 故答案为：8；2； （2）解：设至少旋转秒时，射线、射线互相垂直． 如图，设旋转后的射线、射线交于点，则， ， ， ， ， 又，， ， ， ∴至少旋转9秒时，射线、射线互相垂直； （3）解：设射线再转动秒时，射线、射线互相平行． 如图，射线绕点顺时针先转动15秒后，转动至的位置，则， ∴； 分两种情况： ①当时，，， ∵， ∴， ，， 当时，， ∴， 解得； ②当时，，， ，， 当时，， 此时，， 解得； 综上所述，射线再转动6秒或10秒时，射线、射线互相平行． 2．（24-25七年级上·江苏泰州·期末）如图1，在一张正方形纸片（正方形的两组对边分别平行）的两边上分别有A，B两点，连接，点P是正方形纸片上一点，过点P翻折纸片，使点B落在直线上的点处，折痕交于点Q．   （1）①判断折痕与的位置关系，并说明理由； ②通过不断地尝试，除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是_______； （2）在图1的基础上，展平纸片，得到图2，在图2中过点P折出并画出与平行的折痕（折痕左端点记为点D，右端点记为点E），请简要阐述折叠方法并说明理由； （3）将图2的纸片展平得到图3，点S是线段上一动点（不与点E重合），若，，，请直接写出的度数．（用、β的代数式表示） 【答案】（1）①，理由见分析；②在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直；（2）折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，理由见分析；（3）或 【分析】（1）①根据折叠的性质得出，根据，求出，即可得出结论； ②根据在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直进行解答即可； （2）过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为，根据平行线的判定进行证明即可； （3）分两种情况进行讨论：当点S在线段上时，当点S在线段上时，分别画出图形，进行求解即可． 解：（1）解：①；理由如下： 根据折叠可知：， ∵， ∴， ∴； ②除了上面的折法，过点P再也折不出其它折痕与有①中的位置关系，其中的数学道理是在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直； （2）解：折叠方法：过点P翻折纸片，使点M落在直线上，折痕为；如图所示：    理由：根据解析（1）可得：， ∵， ∴， ∴； （3）解：当点S在线段上时，如图所示：      ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴ ， ∴ ； 当点S在线段上时，如图所示：    ∵正方形纸片中， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴ ； 综上分析可得：或． 【点拨】本题主要考查了折叠的性质，平行线的性质和判定，三角形内角和定理应用，解题的关键是熟练掌握平行线的判定和性质，注意分类讨论． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$