精品解析：江苏省如皋第一中等专业学校2021届高三三轮数学模拟数学试题

江苏省南通市如皋市第一中等专业学校2021年高考数学三模试卷 一､单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满､涂黑） 1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 10 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据交集的概念可得，再根据对数的运算即可求解. 【详解】因集合，，且， 所以，则， 解得. 故选：C. 2. 等比数列中，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】先根据，求解得到，当时，， 再分别求解和，利用和求解数列的公比和首项即可. 【详解】数列为等比数列， 当时，，当时， ， ， ， ， ， ， 故选：A. 3. 在逻辑运算中“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】利用充分必要的判定方法，结合逻辑运算即可得解. 【详解】， 当时，，充分性成立； 当，得不到，必要性不成立. 故选：A. 4. 已知是实系数一元二次方程的一个根，则方程另一个根的三角形式为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据已知条件求出另一个根，转化为三角形式即可. 【详解】， 是实系数一元二次方程的一个根， 方程的另一个根为， ， 故选：C. 5. 若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A. 210 B. 180 C. 160 D. 175 【答案】B 【解析】 【分析】根据的展开式中只有第六项的二项式系数最大可知，再结合二项式展开式的通项公式，即可求解. 【详解】的展开式中只有第六项的二项式系数最大， ， 二项式为， ， 当时，， 有常数项， 故选：B. 6. 已知关于直线l的对称点为，则直线l的方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由题意可得直线l为线段AB的中垂线，求得AB的中点为，求出AB的斜率可得直线l的斜率，由点斜式求得直线l的方程，化简可得结果. 【详解】由题意可得直线AB的中点为，， 又直线l为线段AB的中垂线，所以，则， 又直线l过点， 由点斜式方程可得，化简得. 故选：B. 7. 若一个底面边长为，高为2的正四棱锥的体积与一个正方体的体积相等，则正方体的棱长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】先求出正四棱锥的体积，由此容易得到正方体的棱长. 【详解】该正四棱锥的体积为， 设正方体的棱长为，则，解得. 故选：B. 8. 题图是某项工程的网路图，若最短总工期是13天，则图中x的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】C 【解析】 【详解】①④⑤⑦⑧的工期为天， 要使x最大，则①②④⑤⑦⑧的工期也为天， 此时，解得. 故选：C. 9. 若复数满足，则复数的轨迹是（ ） A. 线段 B. 双曲线一支 C. 双曲线 D. 椭圆 【答案】B 【解析】 【分析】先假设复数，再根据可得，再根据双曲线的定义即可做出选择. 【详解】设复数， ， ， ， 即点到的距离减点到的距离为， 复数轨迹为以为焦点的双曲线的左半只， 故选：B. 10. 若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数，如果实数满足，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由对数运算可转化为，由偶函数的性质可转化为，由函数的单调性可得，进而得解. 【详解】由题意，，即， 又为定义在上的偶函数， 则等价为， 即， 则， 又在上单调递增， 则， 所以， 解得， 故的取值范围是. 故选：C 二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如果执行如图的程序框图，那么输出的__________. 【答案】0 【解析】 【分析】根据框图，模拟运行程序，依次循环，直到满足条件后输出所求值即可. 【详解】第一次循环，，继续循环； 第二次循环，，继续循环； 第三次循环，，继续循环； 第四次循环，，继续循环； 第五次循环，，退出循环， 故输出的值为0. 故答案为：0. 12. 已知，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】将左右平方即可得到的值，则即为的值. 【详解】将左右平方， 得，解得， ， 故答案为：. 13. 在等差数列中，，则数列的前11项和__________. 【答案】66 【解析】 【分析】根据，可得出与的关系，再根据等差数列的前项和公式以及等差数列的性质即可求解. 【详解】因为在等差数列中，， ，，， . 故答案为：66. 14. 若双曲线的两条渐近线均与圆，（为参数）相切，则该双曲线的离心率是__________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线和离心率的基本概念，结合圆的参数方程和标准方程，以及圆与直线的位置关系，即可得出答案. 【详解】双曲线的渐近线方程为， 圆的参数方程，为参数化为标准方程可得， 因为两条渐近线均与圆相切，所以圆心到渐近线的距离， 所以，所以，则，即， 所以，则离心率， 故答案为：. 15. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为________. 【答案】 【解析】 【分析】将方程根的个数转化为不同函数图像的交点问题，数形结合可得答案. 【详解】 由 因为方程有三个不同的实数根， 即与有三个不同的交点， 结合图像， ， 故答案为：. 三､解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知不等式的解集为，求函数的定义域. 【答案】 【解析】 【分析】由的解集为求出，，代入函数即可求解定义域. 【详解】因为不等式的解集为 由得， 即，解得， 将，代入得 ， 则， 所以， 解得或， 所以函数的定义域为. 17. 已知是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 【答案】(1) ；(2)单调递减函数，证明见解析；(3). 【解析】 【分析】(1)根据函数是上的奇函数，可知 ，把代入，即可得到结果； (2)利用减函数的定义即可证明． (3)根据奇函数的性质，可得成立，等价于成立，再根据在上是减函数，可得，由此即可求出结果． 【详解】(1)因为是奇函数，所以，解得， (2)证明：由(1)可得： ． 设 ，∴， 则， ∴． ∴在上是减函数． (3)∵函数是奇函数． ∴成立，等价于成立， ∵在上是减函数，∴， 所以. 【点睛】本题主要考查了奇函数的性质，定义法证明函数的单调性，以及利用函数的单调性和奇偶性求参数的值，属于函数性质的应用；属于基础题． 18. 已知在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量，，. （1）求角C的大小； （2）若，且，求边c的长和的面积. 【答案】（1） （2）， 【解析】 【分析】（1）利用两个向量的内积公式求得，再根据二倍角的正弦公式得，从而求得C的值． （2）由条件利用内积运算公式，正弦定理、余弦定理、三角形得面积公式求得c边的长和的面积． 【小问1详解】 ， ， 即， ， ∵，，解得， ∵C是的内角， ， 【小问2详解】 若，由正弦定理可知：， ， ，解得，即， ； 由余弦定理得： 则 整理得，解得：. 所以边c的长为6和的面积为. 19. 已知. （1）若，三角形三边边长分别为，且，求事件三角形为直角三角形的概率； （2）求事件恒成立的概率. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意可得，再求出满足事件的基本事件，结合古典概型的概率公式即可得解；. （2）先根据恒成立得到，即，再利用几何概型的概率公式即可得解. 【小问1详解】 ， ，，又， 以为边长的三角形为直角三角形时，， 或， ； 【小问2详解】 恒成立， ，， 又，，如图， 联立，解得，所以， 四边形面积， 面积， . 20. 某农夫计划种植丝瓜和豇豆，种植面积不超过50亩，投入资金不超过72万元，假设种植丝瓜和豇豆的产量、成本和售价如表： 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 丝瓜 5吨 1.8万元 0.8万元 豇豆 6吨 1.2万元 0.5万元 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么丝瓜和豇豆的种植面积（单位：亩）分别是多少，最大利润是多少？ 【答案】当丝瓜和豇豆的种植面积分别是20亩和30亩时，利润最大，最大利润是98万元. 【解析】 【分析】根据线性规划的基本概念，结合绘图，即可求解. 【详解】设丝瓜和豇豆的种植面积（单位：亩）分别是和， 种植面积不超过50亩，投入资金不超过72万元， ， 种植总利润， ， ， 绘制可行域如下， 当时，，当时，， 由平移可知，当时（图中红点），取得最大值，为， 当丝瓜和豇豆的种植面积分别是20亩和30亩时，利润最大，最大利润是98万元. 21. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数，当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． （1）当时，求关于函数解析式； （2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值． 【答案】21. 22. 当养殖密度尾/立方米时，鱼的年生产量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 【解析】 【分析】（1）根据题意，分与两种情况，得到函数解析式； （2）在（1）的基础上，结合函数单调性得到最值，比较后求出最大值. 【小问1详解】 由题意得当时，， 当时，设， 由已知得，解得， 故， 故； 【小问2详解】 设鱼的年生长量为千克/立方米，由（1）可得 ， 当时，单调递增，故； 当时，， 故当时，取得最大值，最大值为， 由于，故当养殖密度尾/立方米时，鱼的年生产量可以达到最大，最大值为12.5千克/立方米. 22. 已知数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的通项公式； （3）令，求数列的前n项和. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）根据与之间的关系即可解得. （2）表示出，将与相减即可解得. （3）由题列出，根据错位相减和等差数列前项和即可解得. 【小问1详解】 当时， 当时，， ∴， 令，则经检验成立， 故 【小问2详解】 由题① 则② ①②两式相减，得：，即， ∴， 当时，， ，即经检验成立， 则. 【小问3详解】 ， 则， 令， 则， 作差，得：，即， ∴，∴. 23. 已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率为，是椭圆上的动点 （1）求椭圆方程； （2）若的坐标分别是，求的最大值； （3）若点的坐标为，是过点且相互垂直的两条直线，其中交椭圆的另一交点为，与圆相交于两点，求面积取最大值时直线的方程. 【答案】（1） （2）最大值为4. （3）或 【解析】 【分析】（1）根据椭圆准线设出椭圆方程，根据准线和离心率列式求出，再根据关系求出，即可得到方程. （2）由（1）可知为椭圆的焦点，由椭圆的定义可得，再利用基本不等式的变式即可求解. （3）设出两条直线，分别与椭圆联立方程并结合韦达定理得到弦长与，代入面积公式后根据换元法和配方法求出最值即可. 【小问1详解】 因为椭圆的准线为， 所以椭圆的焦点在轴上， 设椭圆的方程为， 所以准线①， 又椭圆的离心率②， 由①②可得， 所以， 所以椭圆的方程为. 小问2详解】 由（1）可知为椭圆的焦点， 所以， 所以， 当且仅当，即时，取等号， 所以最大值为4. 【小问3详解】 易知直线斜率存在，设直线的方程为， 联立，得，且恒成立， 所以， 所以，， 所以， 因为，且垂足为， 所以直线的方程为， 联立，得， 所以， 所以， ， 所以， 所以， 令，则 ，（当时，等号成立）， 所以，即时，此时时，即时，最大， 此时直线的方程为或 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省南通市如皋市第一中等专业学校2021年高考数学三模试卷 一､单项选择题（本大题共10小题，每小题4分，共40分.在下列每小题中，选出一个正确答案，将答题卡上对应选项的方框涂满､涂黑） 1. 已知集合，，若，则实数的值为（ ） A. 1 B. 4 C. 10 D. 2. 等比数列中，，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 3 3. 在逻辑运算中“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 4. 已知是实系数一元二次方程的一个根，则方程另一个根的三角形式为（ ） A. B. C. D. 5. 若的展开式中只有第六项的二项式系数最大，则展开式中的常数项是（ ） A 210 B. 180 C. 160 D. 175 6. 已知关于直线l的对称点为，则直线l的方程是（ ） A. B. C. D. 7. 若一个底面边长为，高为2的正四棱锥的体积与一个正方体的体积相等，则正方体的棱长为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 8. 题图是某项工程的网路图，若最短总工期是13天，则图中x的最大值为（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 9. 若复数满足，则复数的轨迹是（ ） A. 线段 B. 双曲线一支 C. 双曲线 D. 椭圆 10. 若函数是定义在上的偶函数，且在区间上是单调增函数，如果实数满足，那么的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本大题共5小题，每小题4分，共20分） 11. 如果执行如图的程序框图，那么输出的__________. 12. 已知，则__________. 13. 在等差数列中，，则数列的前11项和__________. 14. 若双曲线两条渐近线均与圆，（为参数）相切，则该双曲线的离心率是__________. 15. 已知函数，若方程有三个不同的实数根，则实数的取值范围为________. 三､解答题（本大题共8小题，共90分） 16. 已知不等式的解集为，求函数的定义域. 17. 已知是定义在上的奇函数. (1)求的值； (2)判断在上的单调性，并用定义证明； (3)若，求实数的取值范围. 18. 已知在中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，且向量，，. （1）求角C的大小； （2）若，且，求边c的长和的面积. 19. 已知. （1）若，三角形三边边长分别为，且，求事件三角形为直角三角形的概率； （2）求事件恒成立的概率. 20. 某农夫计划种植丝瓜和豇豆，种植面积不超过50亩，投入资金不超过72万元，假设种植丝瓜和豇豆的产量、成本和售价如表： 年产量/亩 年种植成本/亩 每吨售价 丝瓜 5吨 1.8万元 0.8万元 豇豆 6吨 1.2万元 0.5万元 为使一年的种植总利润（总利润=总销售收入-总种植成本）最大，那么丝瓜和豇豆的种植面积（单位：亩）分别是多少，最大利润是多少？ 21. “活水围网”养鱼技术具有养殖密度高、经济效益好的特点，研究表明：“活水围网”养鱼时，某种鱼在一定的条件下，每尾鱼的平均生长速度（单位：千克/年）是养殖密度（单位：尾/立方米）的函数．当不超过4尾/立方米时，的值为2千克/年；当时，是的一次函数，当达到20尾/立方米时，因缺氧等原因，的值为0千克/年． （1）当时，求关于的函数解析式； （2）当养殖密度为多大时，鱼的年生长量（单位：千克/立方米）可以达到最大？并求出最大值． 22. 已知数列的前n项和为，且 （1）求数列的通项公式； （2）若数列满足：，求数列的通项公式； （3）令，求数列前n项和. 23. 已知以原点为中心的椭圆的一条准线方程为，离心率为，是椭圆上的动点 （1）求椭圆方程； （2）若坐标分别是，求的最大值； （3）若点坐标为，是过点且相互垂直的两条直线，其中交椭圆的另一交点为，与圆相交于两点，求面积取最大值时直线的方程. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$