精品解析：广东省梅州市平远县2024～2025学年上学期第一次月考八年级数学试题

2024～2025（一）实验中学初二级第一次学情监测数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 判断下列说法不正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 4是64的立方根 C. 是的立方根 D. 的平方根是 2. 在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A. 0.3，0.4，0.5 B. C. 1，2，3 D. 5，12，13 3. 下列各数中，是无理数的是（ ）． A. B. 1.0101··· C. D. 4. 如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 5. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 6. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 6和7之间 7. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 点在直角坐标系的轴上，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点A表示的实数是（ ）． A. B. C. D. 10. 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）． A. B. C. 4 D. 二，填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分） 11. 的平方根是 _____，的立方根是 _____． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 13. 已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为______． 14. 点A（1﹣a，5）和点B（3，b）关于y轴对称，则a+b＝___________． 15. 若，则______． 16. 在中，，，边上的高为，则的面积是___． 17. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为______． 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. 计算：． 19. 如图，写出的各顶点坐标，画出关于轴对称的． 20. 一个正数x的两个不同的平方根分别是和，求的立方根． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 如图，，，，，． （1）求的长度； （2）线段与线段的位置关系是什么？请说明理由． 22. 阅读下列材料，然后解答问题： 我们可以将其进一步化简：；， 以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化． （1）根据上面规律化简：______；______； （2）化简：． 23. 如图，在中，D是的中点，，垂足为D，交于点E，且． （1）求证：是直角三角形； （2）若，，求的长． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分） 24. 问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． （1）如图①，是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式：______； （2）如图②，是由两块全等的直角三角形拼接成的梯形，点B、E、C在同一条直线上，请根据图②证明勾股定理． （3）如图③，如果以的三边长a，b，c为直径向外作半圆，半圆的面积分别为、、，试猜想、、之间存在的等量关系______；并说明理由． （4）如图④，在中，，三边分别为5、12、13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图④中阴影部分的面积． 25. 如图1，在中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，，且满足． （1）写出a，b的值； （2）如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的形状大小不变，且边在射线上匀速向右运动，移动的速度为2个单位/秒，移动的时间为t秒，连接． ①若为等腰三角形，求t的值； ②在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025（一）实验中学初二级第一次学情监测数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分） 1. 判断下列说法不正确的是（ ） A. 的平方根是 B. 4是64的立方根 C. 是的立方根 D. 的平方根是 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平方根、立方根的定义，根据平方根、立方根的定义逐项判定即可，注意负数没有平方根． 【详解】A、负数没有平方根，故该选项错误； B、4是64的立方根，故该选项正确； C、是的立方根，故该选项正确； D、，16的平方根是，故该选项正确； 故选：A． 2. 在下列四组数中，属于勾股数的是（    ） A. 0.3，0.4，0.5 B. C. 1，2，3 D. 5，12，13 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了勾股数的定义，勾股数就是可以构成一个直角三角形三边的一组正整数，根据勾股数的定义逐项判断即可，熟练掌握勾股数的定义是解此题的关键． 【详解】解：A. 0.3，0.4，0.5不是整数，故不是勾股数，不符合题意； B.不是整数，故不是勾股数，不符合题意； C. ，不能够构成三角形，不符合题意； D.，故是勾股数，符合题意； 故选：D． 3. 下列各数中，是无理数的是（ ）． A. B. 1.0101··· C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】此题主要考查了无理数的定义，其中初中范围内学习的无理数有：；开方开不尽的数；以及像，等有这样规律的数．无理数就是无限不循环小数．由此即可判定选择项． 【详解】解：A、是有理数，故本选项不符合题意； B、是无限循环小数，属于有理数，故本选项不符合题意； C、，属于无理数，故本选项符合题意； D、是分数，属于有理数，故本选项不符合题意． 故选：C． 4. 如图，以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，，若，则的值为（ ） A. 20 B. 30 C. 40 D. 50 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，正方形的面积，熟练掌握该知识点是解题的关键．利用勾股定理可知，，即，结合，得到的值． 【详解】解：以的三边分别向外作正方形，它们的面积分别为，，， ,, 是直角三角形， 即 又 故选：C． 5. 下列二次根式中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的定义，逐项判断即可得到答案． 【详解】A、，不是最简二次根式，该选项不符合题意； B、， 不是最简二次根式，该选项不符合题意； C、是最简二次根式，该选项符合题意； D、，不是最简二次根式，该选项不符合题意． 故选：C． 【点睛】本题主要考查最简二次根式的定义，即被开方数不含分母，不含能开得尽方的因数或因式的二次根式称为最简二次根式．牢记最简二次根式的定义是解题的关键． 6. 估计的值应在（ ） A. 5和6之间 B. 3和4之间 C. 4和5之间 D. 6和7之间 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用估算无理数的方法分析得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∴估计的值在5和6之间， 故选：A． 【点睛】此题主要考查了估算无理数的大小，正确得出的取值范围是解题关键． 7. 下列各式计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据二次根式的加减运算对A、B进行判断；根据二次根式的乘除法法则对C、D进行判断． 【详解】解：A、，故选项的计算错误； B、不能合并，故选项的计算错误； C、，故选项的计算正确； D、，故选项的计算错误； 故选C． 【点睛】本题考查了二次根式的计算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． 8. 点在直角坐标系的轴上，则点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平面直角坐标系点的特点，根据直角坐标系中轴上点的纵坐标为的特征得，解出的值，再代入横坐标表达式即可确定点的坐标，熟练掌握平面直角坐标系里点的坐标特点是解题的关键． 【详解】解：∵点在直角坐标系的轴上， ∴， 解得， ∴， ∴点的坐标为， 故选：． 9. 如图，点A表示的实数是（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查勾股定理，实数与数轴，如图，利用勾股定理计算出的长，再根据，即可解答． 【详解】解：如图， 由勾股定理得， 则， 点A表示的实数是， 故选：D． 10. 在长方形中，，，是边上一点，连接，把沿翻折，点恰好落在边上的处，延长，与的平分线交于点，交于点，则的长度为（　　）． A. B. C. 4 D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查折叠的性质，勾股定理，角平分线的性质，过点作，可得，设，勾股定理求出的长，表示出的长，等积法列出方程求出的值即可． 【详解】解：过点作， ∵长方形， ∴， ∵平分， ∴， 由翻折可得， 由勾股定理，得：， 设， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴； 故选：B． 二，填空题（本大题7小题，每小题4分，共28分） 11. 的平方根是 _____，的立方根是 _____． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】分别根据平方根及立方根的定义解答即可． 【详解】解：，， 的平方根是； ， ． 故答案为：，． 【点睛】本题考查的是立方根、平方根及算术平方根，熟知以上知识是解题的关键． 12. 若式子在实数范围内有意义，则x的取值范围是_________． 【答案】x≥5 【解析】 【分析】先根据二次根式有意义的条件列出关于x的不等式，求出x的取值范围即可． 【详解】∵在实数范围内有意义， ∴x−5⩾0，解得x⩾5． 故答案为：x≥5 【点睛】此题考查了二次根式有意义的条件，二次根式有意义的条件是被开方数a⩾0，同时也考查了解一元一次不等式． 13. 已知a，b分别是的整数部分和小数部分，则2a﹣b的值为______． 【答案】． 【解析】 【分析】先求出介于哪两个整数之间，即可求出它的整数部分，再用减去它的整数部分求出它的小数部分，再代入即可. 【详解】∵9＜13＜16， ∴3＜＜4， ∴a=3，b=﹣3， ∴2a﹣b=2×3﹣（﹣3）=6﹣+3=． 故答案为． 【点睛】此题考查的是带根号的实数的整数部分和小数部分的求法，利用平方找到它的取值范围是解决此题的关键. 14. 点A（1﹣a，5）和点B（3，b）关于y轴对称，则a+b＝___________． 【答案】9 【解析】 【分析】关于y轴对称的点的坐标特征是，横坐标变为原数的相反数，纵坐标不变，据此解得a＝4，b＝5，再计算和． 【详解】解：∵点A（1﹣a，5）与B（3，b）关于y轴对称 ∴1-a=-3，b=5 ∴a＝4，b＝5 ∴a+b＝4+5＝9 故答案为：9． 【点睛】本题考查关于y轴对称的点的坐标特征，是基础考点，掌握相关知识是解题关键． 15. 若，则______． 【答案】1 【解析】 【分析】本题主要考查绝对值及算术平方根的非负性，熟练掌握绝对值及算术平方根的非负性是解题的关键．根据绝对值及算术平方根的非负性进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴， 解得， ∴． 故答案为：1． 16. 在中，，，边上的高为，则的面积是___． 【答案】126或66 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理;熟练掌握勾股定理，画出图形，分类讨论是解答此题的关键．分两种情况： ①为锐角， ②为钝角，利用勾股定理求出、，即可求出的长进而求得的面积． 【详解】解：分两种情况: ①为锐角时，如图，为边上的高， 在中， ， 在中， ， ， 的面积为：； ②当为钝角时，如图： 在中， ， 在中， ， ， 的面积为：； 故答案为：126或66． 17. 如图，透明的圆柱形容器（容器厚度忽略不计）的高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时一只蚂蚁正好在容器外壁，且离容器上沿的点A处，则蚂蚁吃到饭粒需爬行的最短路径为______． 【答案】 【解析】 【分析】将容器侧面展开，作出关于的对称点，根据两点之间线段最短可知 的长度即为所求，在中，根据勾股定理即可求出的长度； 【详解】解：如图：将容器侧面展开，作A关于EC的对称点，过作交B的延长线于D， 则四边形是矩形， ∴，， 连接，则即为最短距离， ∵高为，底面周长为，在容器内壁离容器底部的点B处有一饭粒，此时蚂蚁正好在容器外壁，离容器上沿与饭粒相对的点A处， ∴（），（）， 在中，（）． 【点睛】本题考查了平面展开-最短路径问题，将图形展开，利用轴对称的性质和勾股定理进行计算是解题的关键 三、解答题（一）（本大题3小题，每小题6分，共18分） 18. 计算：． 【答案】 【解析】 【分析】直接利用立方根的性质以及二次根式的性质、二次根式的乘法运算法则计算得出答案． 【详解】解： ． 【点睛】本题主要考查了实数的混合运算，正确化简各数是解题关键． 19. 如图，写出的各顶点坐标，画出关于轴对称的． 【答案】， 如图，即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图-轴对称变换，坐标与图形，熟练掌握轴对称变换的性质，正确得出对应点位置是解题关键．根据图象即可写出的各顶点坐标；直接利用关于y轴对称点的性质得出对应点位置即可得出答案． 【详解】解：根据图象可得 20. 一个正数x的两个不同的平方根分别是和，求的立方根． 【答案】3 【解析】 【分析】根据正数的两个平方根互为相反数求解，将a中结果代入求解． 【详解】解：由题意可知：， 解得：， ， ， ． 【点睛】本题考查了立方根，解题关键是掌握一个正数有两个平方根，且这两个平方根互为相反数． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题8分，共24分） 21. 如图，，，，，． （1）求的长度； （2）线段与线段的位置关系是什么？请说明理由． 【答案】（1） （2） ；理由如下： ∵，， ∴， ∴为直角三角形， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理和逆定理，解题的关键是熟练掌握勾股定理，在一个直角三角形中，两条直角边分别为a、b，斜边为c，那么．如果一个三角形的三条边a、b、c满足，那么这个三角形为直角三角形． （1）在中，直接利用勾股定理即可求出的长； （2）利用勾股定理的逆定理判断出为直角三角形，其中，即可得证． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∵，， ∴； 【小问2详解】 解：略． 22. 阅读下列材料，然后解答问题： 我们可以将其进一步化简：；， 以上将分母中的根号化去的过程，叫做分母有理化． （1）根据上面规律化简：______；______； （2）化简：． 【答案】（1）； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算：先把二次根式化为最简二次根式，然后进行二次根式的乘除运算，再合并即可．在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能事半功倍． （1）根据分母有理化的方法，进行解答即可； （2）根据分母有理化的方法进行化简，然后根据二次根式加减运算法则进行计算即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解： ． 23. 如图，在中，D是的中点，，垂足为D，交于点E，且． （1）求证：是直角三角形； （2）若，，求的长． 【答案】（1） 证明：∵D是的中点，， ∴ ∵， ∴，即， ∴是直角三角形． （2） 【解析】 【分析】（1）先证，然后由可得，然后根据勾股定理逆定理即可证明结论； （2）先用勾股定理求得，由（1）可得，再由勾股定理可得，最后联立求得即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵， ∴， 在中，，， ∴， ∴， 由（1）可知为直角三角形，， ∴. ∵D是的中点， ∴， 在中，，由勾股定理得， ∴， 解得：． 【点睛】本题主要考查了勾股定理、勾股定理逆定理、线段垂直平分线的性质，熟练掌握勾股定理和逆定理，是解答本题的关键． 五、解答题（三）（本大题2小题，每小题10分，共20分） 24. 问题再现： 数形结合是解决数学问题的一种重要的思想方法，借助这种方法可将抽象的数学知识变得直观，从而可以帮助我们快速解题．初中数学里的一些代数公式，很多都可以通过表示几何图形面积的方法进行直观推导和解释． （1）如图①，是一个重要公式的几何解释．请你写出这个公式：______； （2）如图②，是由两块全等的直角三角形拼接成的梯形，点B、E、C在同一条直线上，请根据图②证明勾股定理． （3）如图③，如果以的三边长a，b，c为直径向外作半圆，半圆的面积分别为、、，试猜想、、之间存在的等量关系______；并说明理由． （4）如图④，在中，，三边分别为5、12、13，分别以它的三边为直径向上作半圆，求图④中阴影部分的面积． 【答案】（1） （2） （3） 理由如下：∵， ∴ ∵，，， ∴． 故 （4）30 【解析】 【分析】（1）图形面积可表示为或，从而可得公式； （2）先证明，再利用图形面积证明勾股定理即可； （3）由，再利用半圆的面积证明即可； （4）由两个半圆面积加上三角形面积减去大的半圆面积即可得到答案． 【小问1详解】 解：由图形面积可得： ． 【小问2详解】 ∵与全等， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 【小问3详解】 略 【小问4详解】 ∵， ∴， ； 【点睛】本题考查的是图形面积与代数公式之间的关系，勾股定理的证明方法，熟练的利用割补法结合勾股定理求解不规则图形的面积是解本题的关键． 25. 如图1，在中，，直角边在射线上，直角顶点C与射线端点O重合，，，且满足． （1）写出a，b的值； （2）如图2，向右匀速移动，在移动的过程中的形状大小不变，且边在射线上匀速向右运动，移动的速度为2个单位/秒，移动的时间为t秒，连接． ①若为等腰三角形，求t的值； ②在移动的过程中，能否使为直角三角形？若能，求出t的值；若不能，说明理由． 【答案】（1）， （2）①或； ②能． ∵，点C在上，， ∴只能是 ∴， 即，解得 ∴在移动的过程中，能使为直角三角形，此时． 【解析】 【分析】（1）根据非负数的性质分别求出 、； （2）①分、、三种情况，根据等腰三角形的概念、勾股定理计算； ②根据勾股定理列出方程，解方程即可得出答案； 【小问1详解】 ∵，，且 ∴，， ∴，； 【小问2详解】 ①∵，， ∴， ∵， ∴，， 当时，， 解得或（舍去）； 当时，， 解得； 当时，， 解得（舍去）． 综上所述，或； ②略 【点睛】本题考查的是勾股定理的应用以及等腰三角形的概念，掌握非负数的性质、勾股定理、灵活运用分情况讨论思想是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $