5.2.1基本初等函数的导数课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.2.1 基本初等函数的导数 5.2 导数的函数 复习引入 1、导数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到,当x=x0时,f′(x0) 是一个唯一确定的数. 这样,当x变化时,y=f′(x)就是x的函数,我们称它为y=f(x)的导函数(derived function) ( 简称导数). y=f(x)的导函数有时也记作y′,即 如果当∆x 0时,平均变化率 无限趋近于一个确定的值,即 有极限,则称y=f(x)在x=x0处可导,并把这个确定的值叫做y=f(x)在x=x0处的导数(也称为瞬时变化率),记作f′(x0)或 ,即 2、导数的几何意义 函数y=f (x)在x=x0处的导数 f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0,即 (2)求函数的增量与自变量的增量的比值: (3)求极限,得导函数: (1)求函数的增量: y=f(x+ x)-f(x); 3、如何求函数y=f (x)的导数? 复习引入 在必修第一册中,我们学过基本初等函数,并且知道,很多复杂的函数都是通过对这些函数进行加、减、乘、除等运算得到的. 由此自然想到,能否先求出基本初等函数的导数,然后研究出导数的“运算法则”,这样就可以利用导数的运算法则和基本初等函数的导数求出复杂函数的导数.本节课开始,我们就来研究这些问题. 这显然是比较麻烦的. 由导数的定义知,一个函数的导数是唯一确定的.我们今后遇到的求复杂函数的导数问题,是不是都要按照这三个步骤来完成呢? 下面,我们先来求几个常用函数的导数. 复习引入 探究新知 1、函数 y=f(x)=c 的导数 即c′=0 也就是说任意一个常数的导数是0. 追问:若y=c (如图示)表示路程关于时间的函数,则y′=0的物理意义是什么? 若y=c表示路程关于时间的函数,则y′=0可以解释为某物体的瞬时速度始终为0,即一直处于静止状态. 所以路程保持不变,是关于时间的常值函数. x y O y = c 探究新知 2、函数 y=f(x)=x 的导数 若y=x (如图示)表示路程关于时间的函数,则y′=1可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动.可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速直线运动. 追问:若y=x (如图示)表示路程关于时间的函数,则y′=1的物理意义是什么? 即x′=1 x y O y = x 探究新知 3、函数 y=f(x)=x2 的导数 即(x2)′=2x 追问1: y′= 2x的几何意义是什么? 表示函数y=x2的图象上点(x,y)处切线的斜率为2x,说明随着x的变化,切线的斜率也在变化. 另一方面,从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看, y′= 2x表明:当x<0时,随着x的增加,|y′|越来越小, y=x2减少得越来越慢;当x>0时,随着x的增加, |y′|越来越大, y=x2增加得越来越快. 追问2:若表示路程关于时间的函数,则它的物理意义是什么? 某物体做变速直线运动, 它在时刻x的瞬时速度为2x. x y O y = x2 探究新知 4、函数 y=f(x)=x3 的导数 追问1:y′=3x2的几何意义是什么? y′=3x2表示函数y=x3的图像上的点(x,y)处切线的斜率为3x2,这说明随x的变化,切线的斜率也在变化,且恒为非负数. 即(x3)′=3x2 y = x3 x y O 追问2:随着x的变化,函数y=x3的导数y′=3x2也在变化,导数随x的变化反映出了函数y=x3怎样的变化? 当x>0时,随着x的增加,|y′|越来越大,y=x3增增加得越来越快;当x<0时,随着x的增加,|y′|越来越小,y=x3增加得越来越慢. 从导函数的非负性来看,除x=0时函数的导数为0外,函数的导数恒为正,因此函数在定义域上恒为增函数. 探究新知 4、函数 y=f(x)=x3 的导数 y = x3 x y O 追问1:画出 的图象. 根据图象,结合函数的导数,描述它的变化情况. 结合函数图象及其导数 发现,当x<0时,随着x的增加,函数 减少得越来越快;当x>0时,随着x的增加,函数 减少得越来越慢. 追问2:求出曲线在点(1,1)处的切线方程. x+y-2=0 探究新知 5、函数 的导数 x y O y = 探究新知 6、函数 的导数 追问:该函数的定义域及其导数的定义域是否一样? 不一样, 原函数的定义域为{x|x ≥ 0} ,导数的定义域为{x|x > 0} . x y O y = 问题:前面几个函数都是我们学过的一类基本初等函数——幂函数,根据这些幂函数的导数结果, 你能总结出对于一般幂函数f(x)=x 的导函数公式吗? 探究新知 x′=1 (x2)′=2x (x3)′=3x2 (x )′= x -1 1、已知 , (1)求y′; (2)求曲线在点(1,1)处的切线方程. 例题解析 1、已知P(-1,1),Q(2,4)是曲线y=x2上的两点,求与直线PQ平行的曲线y=x2的切线方程。 随堂练习 2、已知点P是曲线y=x2上任意一点,求点P到直线2x-y-5=0的最小值。 随堂练习 解:设P(x0,y0) 由y=x2,得y′=(x2)′=2x 令k=2x0=2 解得x0=1 ∴y0=12=1 所以点P(1,1)到直线2x-y-5=0距离d即为所求 前面我们根据导数的定义求出了一些常用函数的导数.一般地,有下面的基本初等函数的导数公式表,这些公式可以直接使用. 基本初等函数的导数公式 必须熟记于心! 1、若f(x)=c(c为常数),则f ′(x)=0; 2、若f(x)=x ( ∈R,且 ≠0),则f ′(x)= x -1; 3、若f(x)=sinx,则f ′(x)=cosx; 4、若f (x)=cosx,则f ′(x)=-sinx; 5、若f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f ′(x)=axlna; 特别地,若f(x)=ex,则f ′(x)=ex; 6、若f(x)=logax(a>0,且a≠1),则 ; 特别地,若f(x)=lnx,则 . 解析:解答本题可先将解析式调整为基本初等函数的形式,再利用公式求导. 2、求下列函数的导数. 例题解析 解:(1)y′=(5x)′ =5xln5; =-3x-4; (4)y′=(log3x)′ 2、求下列函数的导数. 解:(1)y′=(3x)′=3xln3; 随堂练习 ∴y′=(cosx)′=-sinx; 提示:不正确. (2)求函数f(x)= +2的导数. [解析] ∵ +2为常数,∴f′(x)=0. 随堂练习 3、问题探究 【思维总结】 对于教材中出现的八个基本初等函数的导数公式,要在解题过程中应用自如,必须做到以下两点: 一是理解,如 是常数,而常数的导数一定为零,就不会出现 这样的错误结果. 二是准确记忆. 例3. 假设某地在20年间的年均通货膨胀率为5%,物价p(单位:元)与时间t(单位:年)之间的关系为p(t)=p0(1+5%)t,其中p0为t=0时的物价. 假定某种商品的p0=1,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01元/年)? 解:根据基本初等函数的导数公式表,有 所以,在第10个年头,这种商品的价格约以0.08元/年的速度上涨. 思考:如果某种商品的p0=5 ,那么在第10个年头,这种商品的价格上涨的速度大约是多少? 例题解析 p′(t)=1.05t ln1.05. ∴p′(10)=1.0510ln1.05. ≈0.08 问题:本节课主要讲了哪些内容? 主要内容:基本初等函数的导数的推导过程及公式. 课堂小结 1、若f(x)=c(c为常数),则f ′(x)=0; 2、若f(x)=x ( ∈R,且 ≠0),则f ′(x)= x -1; 3、若f(x)=sinx,则f ′(x)=cosx; 4、若f (x)=cosx,则f ′(x)=-sinx; 5、若f(x)=ax(a>0,且a≠1),则f ′(x)=axlna; 特别地,若f(x)=ex,则f ′(x)=ex; 6、若f(x)=logax(a>0,且a≠1),则 ; 特别地,若f(x)=lnx,则 . 基本初等函数的导数公式 $$