5.1.2导数的概念及其几何意义课件2-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第二册

5.1.2 导数的概念及其几何意义 5.1 导数的概念及其意义 复习回顾 函数y＝f(x) 从x0到x0＋∆x的平均变化率 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数(也称为瞬时变化率) 导数就是平均变化率的极限. 1、平均变化率 2、导数的定义 复习回顾 3、求函数y＝f(x)在x＝x0处导数的步骤 简单的说导数就是差商的极限. 注意：这里的增量不是一般意义上的增量，它可正也可负.自变量的增量Δx的形式是多样的，但不论Δx选择哪种形式，Δy也必须选择与之相对应的形式. (2)求平均变化率： (3)取极限，得导数： (1)求函数的增量：Δy=f(x0+Δx)-f(x0)； 探究新知 　　我们知道，导数f′(x0)表示y＝f (x)在x＝x0处的瞬时变化率，反映了函数y＝f(x)在x＝x0附近的变化情况．那么导数f′(x0)的几何意义是什么？ 思考：观察函数y＝f (x)的图象，平均变化率 表示什么？ 瞬时变化率 表示什么？ 容易发现，平均变化率 表示割线PP0的斜率． x y x0 x0+∆x f(x0) f(x0+∆x) y=f(x) O P • P0 T • f(x0+∆x)-f(x0) 探究新知 1、切线的定义 如图，在曲线y＝f (x)上任取一点P(x，f (x)) ，如果当点P(x，f (x))沿着曲线y＝f (x)无限趋近于点P0(x0，f (x0))时，割线P0P无限趋近于一个确定的位置，这个确定的位置的直线P0T 称为曲线y＝f (x)在点 P0 处的切线. x y O y＝f (x) f (x0) x0 T P0 P 割线 切线 探究新知 x y O l1 A 思考：此处的切线定义与初中学过的圆的切线定义有什么不同？ 　　这里曲线的切线是用曲线上的动点趋近于一个定点时，割线趋近的一个固定位置，是以逼近的方式对切线作出的定义．初中学过的圆的切线是从直线和圆的公共点个数的角度定义的． C l2 圆的切线定义并不适用于一般的曲线． 通过逼近的方法，将割线趋于的确定位置的直线定义为切线适用于各种曲线. 所以，这种定义才真正反映了切线的直观本质． B 要注意，曲线在某点处的切线： (1)与该点的位置有关； (2)要根据割线是否有极限位置来判断与求解．如有极限，则在此点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线； (3)曲线的切线，并不一定与曲线只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个. 探究新知 2、导数的几何意义 与问题2中抛物线的割线和切线之间关系类似，容易知道，割线P0P的斜率 记∆x=x-x0，当点P沿着曲线y＝f(x)无限趋近于点P0时，即当∆x→0 时， k无限趋近于函数y＝f(x)在x＝x0处的导数．因此，函数y＝f (x)在x＝x0处的导数 f ′(x0)就是切线P0T的斜率k0，即 这就是导数的几何意义． P0 P o x y y=f(x) 割线 切线 T ①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法; ②切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数. 探究新知 继续观察下图，可以发现P0点的切线比任何一条割线更贴近点P0附近的曲线.进一步地，利用信息技术工具将点附近的曲线不断放大(如图图)，可以发现点P0附近的曲线越来越接近于直线．因此，在点P0附近，曲线y＝f (x)可以用点P0处的切线P0T近似代替．➊ P0 P o x y y=f(x) 割线 切线 T ➊数学上常用简单的对象刻画复杂的对象，例如，用有理数3.1416近似代替无理数π，这里，我们用曲线上某点处的切线近似代替这一点附近的曲线，这是微积分中重要的思想方法——以直代曲． 典型例题 1、如图是跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+2.8t +11的图象. 根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0，t1，t2附近的变化情况. t1 h t0 O • • t2 • t l2 l1 l0 解：(1)当t=t0时，曲线h(t)在t=t0处的切线l0平行于t轴，h'(t0)=0. 这时，在t=t0附近曲线比较平坦，几乎没有升降. (2)当t=t1时，曲线h(t)在t=t1处的切线l1的斜率h'(1)<0. 这时，在t=t1附近曲线下降，即函数h(t)在t=t1附近单调递减. (3)当t=t2时，曲线h(t)在t=t2处的切线l2的斜率h′(t2)<0. 这时，在t=t2附近曲线下降，即函数h(t)在t=t2附近也单调递减. 从图中可以看出，直线l1的倾斜程度小于直线l2的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t1附近比在t=t2附近下降得缓慢. 斜率的正负：增减趋势 斜率的大小：增减快慢 巩固练习 1、根据图象，描述曲线h(t)在t=t3，t4附近增(减)以及增(减)快慢的情况. t4 h t3 O • • t • l3 l4 (2)当t=t4时，曲线h(t)在t=t4处的切线l4的斜率h′(t4)>0. 这时，在t=t4附近曲线上升，即函数h(t)在t=t2附近也单调递增. 解：(1)当t=t3时，曲线h(t)在t=t3处的切线l3的斜率h′(t3)>0. 这时，曲线在t=t3附近上升，即函数h(t)在t=t1附近单调递增. 从图中可以看出，直线l3的倾斜程度大于直线l4的倾斜程度，这说明曲线h(t)在t=t3附近比在t=t4附近递增快. 巩固练习 2、我市某家电制造集团为尽快实现家电下乡提出四种运输方案，据预测，这四种方案均能在规定时间T内完成预期的运输任务Q0，各种方案的运输总量Q与时间t的函数关系如图所示．在这四种方案中，运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高的是(　　) 解析：从函数图象上看，要求图象在[0，T]上越来越陡峭，在各选项中，只有B选项中图象的切线斜率在不断增大，即运输效率(单位时间内的运输量)逐步提高． B 感悟提升 函数f(x)在x=x0处求导数反映了函数在点(x0，y0 )附近的变化规律: (1) |f′(x0)|越大，则f(x)在(x0，y0)附近就越“陡”. (2) |f′(x0)|越小，则f(x)在(x0，y0)附近就越“平缓”. 切线斜率的本质——函数在x=x0处的导数 典型例题 2、下图中是人体血管中药物浓度c=f(t) (单位：mg/mL)随时间t (单位:min)变化的函数图象. 根据图象，估计t=0.2，0.4，0.6，0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1). 解：血管中药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度. 函数f(t)在此时刻的导数，从图象上看，它表示曲线f (t)在该点处的切线的斜率. 数形结合以直代曲 如图，画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药物浓度瞬时变化率的近似值． 作t=0.8处的切线，并在切线上取两点，如(0.7，0.91)，(1.0，0.48)，则该切线的斜率 c t O 0.1 0.2 0.5 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 0.1 0.2 0.5 0.3 0.4 0.6 0.7 0.8 0.9 1.0 1.1 同理可得 f ′(0.2)≈0.4，f ′(0.4)≈0，f ′(0.6)≈-0.7. 以简单对象刻画复杂的对象 探究新知 3、导函数的定义 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f′(x0) 是一个唯一确定的数. 这样，当x变化时，y=f′(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(derived function) ( 简称导数). y=f(x)的导函数有时也记作y′，即 典型例题 3、已知 ，求y′. 归纳总结 如何求函数y=f (x)的导数? (2)求函数的增量与自变量的增量的比值： (3)求极限，得导函数： (1)求函数的增量：Δy=f(x+Δx)-f(x)； 巩固练习 3、求函数 在x=2处的导数. 解：方法一(导数定义法)： 巩固练习 3、求函数 在x=2处的导数. 解：方法二(导函数的函数值法)： 感悟提升 在不致发生混淆时，导函数也简称导数． 由函数f(x)在x=x0处求导数的过程可以看到，当时，函数f′(x0) 是一个确定的数. 那么，当x变化时，f′(x) 便是x的一个函数，我们叫它为f(x)的导函数.即： f(x)在x=x0处的导数 f(x)的导函数 x=x0时的函数值 关系 f(x)=3x2 f′(x)=6x f′(x0)=6x0 延伸拓展 “函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 (1)“函数f(x)在点x0处的导数”，就是在该点的函数值的改变量与自变量的改变量的比的极限，它是一个数值，不是变数． (2)“导函数”：如果对于函数f(x)在开区间(a，b)内每一个确定的值x0，都对应着一个导数f′(x0)，这样就在开区间(a，b)内构成一个新的函数，我们把这一新函数叫做f(x)在开区间(a，b)内的导函数，记作f′(x)或y′. 延伸拓展 “函数f(x)在点x0处的导数”“导函数”“导数”三者之间的区别与联系 (3)导函数也简称导数，所以 (4)函数y＝f(x)在点x0处的导数f′(x0)就是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值，即 “导数” f(x)在点x0处的导数 导函数 个别与一般 典型例题 4、已知曲线方程y＝x2. (1)求点A(2，4)处与曲线相切的直线方程； (2)求过点B(3，5)且与曲线相切的直线方程． 解：(1)∵A(2，4)在y＝x2上，由y＝x2，得 ∴切线方程为y－4＝4(x－2)，即4x－y－4＝0. ∴f′(2)＝4. 典型例题 4、已知曲线方程y＝x2. (1)求点A(2，4)处与曲线相切的直线方程； (2)求过点B(3，5)且与曲线相切的直线方程． 解：(2)设切点坐标为(x0，x02)． 由(1)得y′＝2x，∴f′(x0)＝2x0. ∴切线方程为y－x02＝2x0(x－x0)． ∵点(3，5)在切线上， ∴5－x02＝2x0(3－x0)， 即x02－6x0＋5＝0.解得x0＝1或x0＝5， ∴切线方程为2x－y－1＝0或10x－y－25＝0. 感悟提升 利用导数的几何意义求切线方程的分类 (1)当已知的点在曲线上且切于该点时，直接利用导数求切线的斜率，写出直线方程． (2)当已知点不在曲线上，设出切点，利用导数表示出切线斜率，写出切线方程，代入点的坐标，求出切点坐标，写出直线方程． 巩固练习 4、已知曲线C：f(x)＝x3. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程； (2)求过点(1，1)与f(x)＝x3相切的直线方程． ∴f′(1)＝3×12＝3，又f(1)＝13＝1， ∴切线方程为y－1＝3(x－1)， 即3x－y－2＝0. 巩固练习 4、已知曲线C：f(x)＝x3. (1)求曲线C上横坐标为1的点处的切线的方程； (2)求过点(1，1)与f(x)＝x3相切的直线方程． 解：(2)设切点为P(x0，x03)， 由(1)知切线斜率为k＝f′(x0)＝3x02， 故切线方程为y－x03＝3x02(x－x0)． 又点(1，1)在切线上，将其代入切线方程得1－x03＝3x02(1－x0)， 即2x03－3x02＋1＝0， 故所求的直线方程为y－1＝3(x－1)或 即3x－y－2＝0或3x－4y＋1＝0. 课堂小结 (3)利用导数的几何意义解释实际生活问题，体会“数形结合”、“以直代曲”的数学思想方法. (1)f(x)在x=x0处的导数就是切线的斜率，即 (2)f′(x)是f(x)的导函数(简称导数)，即 $$