2025年九年级数学中考填空题复习 图形的性质与判定之四边形

第 1页（共 35页） 解析答案 填空题 1．若一个 n边形的内角和是 900°，则 n＝ 7 ． 【解答】解：这个多边形的边数是 n， 则：（n﹣2）•180°＝900°， 解得 n＝7． 故答案为：7． 【点评】本题考查根据多边形的内角和计算公式求多边形的边数，解答时要会根据公式进行正确运算、 变形和数据处理． 2．矩形 ABCD的面积是 90，对角线 AC，BD交于点 O，点 E是 BC边的三等分点，连接 DE，点 P是 DE 的中点，OP＝3，连接 CP，则 PC+PE的值为 13或 109 ． 【解答】解：当 CE＞BE时，如图， ∵矩形 ABCD， ∴点 O是 BD的中点， ∵点 P是 DE的中点， ∴BE＝2OP＝6，CP＝PE＝PD， ∵点 E是 BC边的三等分点， ∴CE＝2BE＝12，BC＝3BE＝18， ∵矩形 ABCD的面积是 90， ∴BC×CD＝90， ∴CD＝5， ∴�� = 52 + 122 = 13， ∴PC+PE＝DE＝13； 当 CE＜BE时，如图 2， 第 2页（共 35页） ∵矩形 ABCD， ∴点 O是 BD的中点， ∵点 P是 DE的中点， ∴BE＝2OP＝6，CP＝PE＝PD， ∵点 E是 BC边的三等分点， ∴�� = 12�� = 3，BC＝3+6＝9， ∵矩形 ABCD的面积是 90， ∴BC×CD＝90， ∴CD＝10， ∴�� = 32 + 102 = 109， ∴�� + �� = �� = 109； 故答案为：13或 109． 【点评】本题考查了矩形的性质，三角形中位线定理，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用分类讨论 思想解决问题． 3．如图，在▱ ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，点 M为直线 BC上一动点，则 MA+MD的最小 值为 41 ． 【解答】解：如图，作 A关于直线 BC的对称点 A′，连接 A′D交 BC于 M′，则 AH＝A′H，AH⊥ BC，AM'＝A'M'， ∴当 M，M′重合时，MA+MD最小，最小值为 A′D， 第 3页（共 35页） ∵AB＝4，∠ABC＝30°，在▱ ABCD中， ∴�� = 12�� = 2，AD∥BC， ∴AA'＝2AH＝4，AA'⊥AD， ∵AD＝5， ∴�′� = 42 + 52 = 41， 故答案为： 41． 【点评】此题考查了平行四边形的性质，勾股定理，轴对称的性质，正确理解各性质及掌握各知识点是 解题的关键． 4．已知菱形 ABCD的两条对角线 AC、BD的长分别是 8cm和 6cm．则菱形的面积为 24 cm2． 【解答】解：∵菱形 ABCD的两条对角线 AC、BD的长分别是 8cm和 6cm， ∴菱形的面积是 8×6 2 =24（cm2）， 故答案为：24． 【点评】本题考查菱形的性质，解答本题的关键是明确菱形的面积＝对角线乘积的一半． 5．如图，O是矩形 ABCD的对角线 AC的中点，M是 AD的中点．若 AB＝5，AD＝12，则四边形 ABOM 的周长为 20 ． 【解答】解：∵O是矩形 ABCD的对角线 AC的中点，M是 AD的中点， ∴OM= 12CD= 1 2AB＝2.5， ∵AB＝5，AD＝12， ∴AC= 52 + 122 =13， ∵O是矩形 ABCD的对角线 AC的中点， ∴BO= 12AC＝6.5， 第 4页（共 35页） ∴四边形 ABOM的周长为 AB+AM+BO+OM＝5+6+6.5+2.5＝20， 故答案为：20． 【点评】本题考查了矩形的性质、三角形的中位线的性质以及直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 这一性质，题目的综合性很好，难度不大． 6．如图，菱形 ABCD中，BC＝10，面积为 60，对角线 AC与 BD相交于点 O，过点 A作 AE⊥BC，交边 BC于点 E，连接 EO，则 EO＝ 10 ． 【解答】 解：∵四边形 ABCD为菱形， ∴AC⊥BD，OA＝OC，OB＝OD，AB＝BC＝CD＝DA＝10， ∵S 菱形 ABCD= 1 2AC•BD＝60， ∴AC•BD＝120， ∴BO•OC＝30， ∵BO2+CO2＝BC2＝100， ∴（BO+OC）2﹣2BO•CO＝100， ∴BO+CO＝4 10 （负值已舍去）， ∴BO＝4 10 −OC， ∴BO2+CO2＝102， ∴（4 10 −OC）2+CO2＝100， ∴CO= 10，CO＝3 10（舍去）， ∵AE⊥BC，AO＝CO， ∴OE＝CO= 10， 故答案为： 10． 【点评】本题考查了菱形的性质，勾股定理以及直角三 角形的性质，解题的关键是利用菱形的性质求 出 AC、BD的长度．本题属于基础题，难度不 大，解决该题型题目时，根据菱形的性质结合 勾股定理求 第 5页（共 35页） 出对角线的长度是关键． 7．如图，正方形 ABCD的面积为 4，点 E，F，G，H分别为边 AB，BC，CD，AD的中点，则四边形 EFGH 的面积为 2 ． 【解答】解：连接 HF、EG， ∵正方形 ABCD的面积为 4， ∴BC∥AD，BC＝AD， ∵H、F分别为边 AD、BC的中点， ∴四边形 BFHA是平行四边形， ∴AB＝HF，AB∥HF， 同理 BC＝EG，BC∥EG， ∵AB⊥BC， ∴HF⊥EG， ∴四边形 EFGH的面积是 1 2 EG×HF= 12 ×2×2＝2． 故答案为：2． 【点评】本题主要考查中点四边形的性质，平行四边形的性质和判定，三角形的面积等知识点的理解和 掌握，能求出 HF、EG的长和 HF⊥EG是解此题的关键． 8．如图，在平面直角坐标系 xOy中，正方形 ABCD的对角线 AC、BD相交于原点 O．若点 A的坐标是（2， 1），则点 C的坐标是 （﹣2，﹣1） ． 第 6页（共 35页） 【解答】解：过点 A，C分别作 x轴的垂线 AE，CF，如图， ∴∠AEO＝∠CFO＝90°， ∵四边形 ABCD是正方形， ∴OA＝OC， ∵∠AOE＝∠COF， ∴△AOE≌△COF（AAS）， ∴OE＝OF，AE＝CF， ∵点 A的坐标是（2，1）， ∴OE＝OF＝2，AE＝CF＝1， ∴点 C的坐标为：（﹣2，﹣1）， 故答案为：（﹣2，﹣1）． 【点评】本题考查正方形的性质，坐标与图形，全等三角形的判定和性质，正确作出辅助线构造全等三 角形是解题关键． 9．如图，在正方形 ABCD中，点 E在 AB上，AF⊥DE于点 F，CG⊥DE于点 G．若 AD＝5，CG＝4，则 △AEF的面积为 27 8 ． 第 7页（共 35页） 【解答】解：∵四边形 ABCD是正方形， ∴AD＝CD，∠ADC＝DAE＝90°， ∵AF⊥DE，CG⊥DE， ∴∠AFD＝∠CGD＝90°， ∵∠ADF+∠CDG＝∠ADF+∠DAF， ∴∠CDG＝∠DAF， ∴△CDG≌△DAF（AAS）， ∴AF＝DG= ��2 − ��2 =3，DF＝CG＝4， 同理可得∠EAF＝∠ADF， 又∠AFE＝∠AFD， ∴△AFE∽△DFA， ∴ �� �� = �� �� ，即 3 4 = �� 3 ， ∴EF= 94， ∴S△AEF= 1 2AF•EF= 27 8 ． 故答案为： 27 8 ． 【点评】本题主要考查正方形的性质、全等三角形的判定和性质、相似三角形的判定和性质，熟练掌握 相关知识是解题的关键． 10．如图，在正五边形 ABCDE的内部，以 CD边为边作正方形 CDFH，连接 BH，则∠BHC＝ 81 °． 【解答】解：∵在正五边形 ABCDE， ∴∠BCD＝180°﹣（360°÷5）＝108°， ∵∠HCD＝90°， ∴∠BCH＝∠BCD﹣∠HCD＝18°， ∵BC＝HC， 第 8页（共 35页） ∴∠BHC＝∠CBH= 12（180°﹣∠BCH）＝81°． 故答案为：81． 【点评】本题主要考查多边形内角和外角，熟练掌握多边形的外角和公式是解题的关键． 11．如图，在边长为 10的菱形 ABCD中，对角线 AC，BD相交于点 O，点 E在 BC延长线上，OE与 CD 相交于点 F．若∠ACD＝2∠OEC， �� �� = 5 6 ，则菱形 ABCD的面积为 96 ． 【解答】解：作 OH∥BC交 CD于点 H，则△DOH∽△DBC， ∵四边形 ABCD是边长为 10的菱形，对角线 AC，BD相交于点 O， ∴BC＝10，OD＝OB= 12BD，OA＝OC，AC⊥BD， ∴ �� �� = �� �� = 1 2 ，∠BOC＝90°， ∴OH= 12BC＝5， ∵OH∥EC， �� �� = 5 6 ， ∴△OFH∽△EFC， ∴ �� �� = �� �� = 5 6 ， ∴EC= 65OH= 6 5 ×5＝6， ∵BC＝DC，AC⊥BD，∠ACD＝2∠OEC， ∴∠ACB＝∠ACD＝2∠OEC＝∠COE+∠OEC， ∴∠OEC＝∠COE， ∴OC＝EC＝6， ∴OB= ��2 − ��2 = 102 − 62 =8， ∴BD＝2OB＝16，AC＝2OC＝12， ∴S 菱形 ABCD= 1 2BD•AC= 1 2 ×16×12＝96， 故答案为：96． 第 9页（共 35页） 【点评】此题重点考查菱形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识，正确地作出辅助线是 解题的关键． 12．如图，▱ ABCD中，BC＝2，点 E在 DA的延长线上，BE＝3，若 BA平分∠EBC，则 DE＝ 5 ． 【解答】解：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AD＝BC＝2， ∴∠EAB＝∠CBA， ∵BA平分∠EBC， ∴∠EBA＝∠CBA， ∴∠EAB＝∠EBA， ∴AE＝BE＝3， ∴DE＝AD+AE＝2+3＝5， 故答案为：5． 【点评】此题重点考查平行四边形的性质、角平分线的定义、“等角对等边”等知识，推导出∠EAB＝ ∠EBA是解题的关键． 13．如图，正方形 ABCD的面积为 50，以 AB为腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交 DC于点 G， 交 BF的延长线于点 E，连接 DE．若 BF＝2，则 DG＝ 15 4 2 ． 第 10页（共 35页） 【解答】解：设∠CBE＝x，则∠ABF＝∠AFB＝90°﹣x， ∴∠AFE＝90°+x，∠BAF＝180°﹣2（90°﹣x）＝2x， ∵AF＝AB＝AD，AE＝AE，∠EAF＝∠EAD＝45°﹣x， ∴△AEF≌△AED（SAS）， ∴∠ADE＝∠AFE＝90°+x， ∴∠CDE＝x， ∴∠DEB＝90°， ∴∠AED＝∠AEB＝45°， 过点 A作 AM⊥BE于点 M，过点 D作 DN⊥AE于点 N， ∴∠EAM＝45°﹣x+x＝45°， ∴△AEM是等腰直角三角形， ∵AM= ��2 − ��2 = 7， ∴EM＝AM＝7， ∴EF＝6， ∴DE＝EF＝6， ∴DN= 22 �� = 3 2， ∴AN= ��2 − ��2 = 4 2， 由射影定理得：NG= 94 2， ∴DG= ��2 + ��2 = 154 2， 故答案为： 15 4 2． 【点评】本题考查了正方形的性质，等腰三角形的性质，角平分线的性质，掌握等腰三角形的性质是解 题的关键． 第 11页（共 35页） 14．如图，矩形 ABCD的对角线 AC与 BD交于点 O，DE⊥AC于点 E，延长 DE与 BC交于点 F．若 AB ＝3，BC＝4，则点 F到 BD的距离为 21 20 ． 【解答】解：如图，过点 F作 FH⊥DB，垂足为 H， ∵四边形 ABCD为矩形， ∴∠BAD＝∠BCD＝90°，AC＝BD， ∵AB＝3，BC＝4， ∴AC＝BD= ��2 + ��2 = 32 + 42 =5， ∴S△ADC= 1 2AD•DC= 1 2AC•DE，即 1 2 ×4×3= 12 ×5×DE， 解得：DE= 125 ， ∴cos∠EDC= ���� = �� ��，即 12 5 3 = 3 �� ， 解得：DF= 154 ， ∴FC= ��2 − ��2 = ( 154 ) 2 − 32 = 94， ∴BF＝BC−FC＝4− 9 4 = 7 4 ， ∴S△BDF= 1 2BD•FH= 1 2BF•DC，即 1 2 ×5×FH= 12 × 7 4 ×3， 解得：FH= 2120， 故答案为： 21 20 ． 【点评】本题考查了矩形的性质，勾股定理，解直角三角形的相关知识，熟练掌握各知识点是解题的关 键． 第 12页（共 35页） 15．如图，正方形 ABCD的边长为 3 2，对角线 AC，BD相交于点 O，点 E在 CA的延长线上，OE＝5， 连接 DE． （Ⅰ）线段 AE的长为 2 ； （Ⅱ）若 F为 DE的中点，则线段 AF的长为 10 2 ． 【解答】解：（Ⅰ）∵四边形 ABCD是正方形， ∴OA＝OC＝OD＝OB，∠DOC＝90°， ∴在 Rt△DOC中，OD2+OC2＝DC2， ∵DC＝3 2， ∴OA＝OD＝OC＝OB＝3， ∵OE＝5， ∴AE＝OE﹣OA＝2； 故答案为：2． （Ⅱ）延长 DA到点 G，使 AG＝AD，连接 EG，过 E作 EH⊥AG于 H， ∵F为 DE中点，A为 DG中点， ∴AF为△DGE中位线， ∴AF= 12EG， 在 Rt△EAH中，∠EAH＝∠DAC＝45°， ∴AH＝EH， ∵AH2+EH2＝AE2， 第 13页（共 35页） ∴AH＝EH= 2， ∴GH＝AG﹣AH＝3 2 − 2 =2 2， 在 Rt△EGH中，EG2＝EH2+GH2＝10， ∴EG= 10， ∴AF= 12EG= 10 2 ． 故答案为： 10 2 ． 【点评】本题主要考查正方形的性质、三角形中位线定理，熟练运用三角形中位线定理是解题的关键． 16．如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形 ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰 Rt△ABE和等腰 Rt△BCF，③和④分 别是 Rt△CDG和 Rt△DAH，⑤是正方形 EFGH，直角顶点 E，F，G，H分别在边 BF，CG，DH，AE 上． （1）若 EF＝3cm，AE+FC＝11cm，则 BE的长是 4 cm． （2）若 �� �� = 5 4 ，则 tan∠DAH的值是 3 ． 【解答】解：（1）∵Rt△ABE和 Rt△BCF都是等腰直角三角形， ∴AE＝BE，BF＝CF， ∵AE+FC＝11cm， ∴BE+BF＝11cm， 即 BE+BE+EF＝11cm， 即 2BE+EF＝11cm， ∵EF＝3cm， ∴2BE+3cm＝11cm， ∴BE＝4cm， 故答案为：4； 第 14页（共 35页） （2）设 AH＝x， ∵ �� �� = 5 4 ， ∴可设 DG＝5k，GH＝4k， ∵四边形 EFGH是正方形， ∴HE＝EF＝FG＝GH＝4k， ∵Rt△ABE和 Rt△BCF都是等腰直角三角形， ∴AE＝BE，BF＝CF，∠ABE＝∠CBF＝45°， ∴CG＝CF+GF＝BF+4k＝BE+8k＝AH+12k＝x+12k， ∠ABC＝∠ABE+∠CBF＝45°+45°＝90°， ∵四边形 ABCD对角互补， ∴∠ADC＝90°， ∴∠ADH+∠CDG＝90°， ∵四边形 EFGH是正方形， ∴∠AHD＝∠CGD＝90°， ∴∠ADH+∠DAH＝90°， ∴∠DAH＝∠CDG， ∴tan∠DAH＝tan∠CDG， ∴ �� �� = �� �� ，即 5�+4� � = �+12� 5� ， 整理得：x2+12kx﹣45k2＝0， 解得 x1＝3k，x2＝﹣15k（舍去）， ∴tan∠DAH= ���� = 9� 3� =3． 故答案为：3． 【点评】本题考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，三角函数定义，一元二次方程的解法等，弄 清图中线段间的关系是解题的关键． 17．如图，点 O是正方形 ABCD的中心，AB＝3 2．Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF过点 D，BE，BF分 别交 AD，CD于点 G，M，连接 OE，OM，EM．若 BG＝DF，tan∠ABG= 13，则△OEM的周长为 3+3 5 ． 第 15页（共 35页） 【解答】解：如图，连接 BD，过点 F作 FH⊥CD于点 H． ∵四边形 ABCD是正方形， ∴AB＝AD＝3 2，∠A＝∠ADC＝90°， ∵tan∠ABG= ���� = 1 3， ∴AG= 2，DG＝2 2， ∴BG= ��2 + ��2 = (3 2)2 + ( 2)2 =2 5， ∵∠BAG＝∠DEG＝90°，∠AGB＝∠DGE， ∴△BAG∽△DEG， ∴ �� �� = �� �� = �� �� ，∠ABG＝∠EDG， ∴ 3 2 �� = 2 �� = 2 5 2 2 ， ∴DE= 6 55 ，EG= 2 5 5 ， ∴BE＝BG+EG＝2 5 + 2 55 = 12 5 5 ， ∵∠ADH＝∠FHD＝90°， ∴AD∥FH， ∴∠EDG＝∠DFH， ∴∠ABG＝∠DFH， ∵BG＝DF＝2 5，∠A＝∠FHD＝90°， ∴△BAG≌△FHD（AAS）， ∴AB＝FH， ∵AB＝BC， ∴FH＝BC， ∵∠C＝∠FHM＝90°， 第 16页（共 35页） ∴FH∥CB， ∴ �� �� = �� �� =1， ∴FM＝BM， ∵EF＝DE+DF= 6 55 +2 5 = 16 5 5 ， ∴BF= ��2 + ��2 =4 5， ∵∠BEF＝90°，BM＝MF， ∴EM= 12BF＝2 5， ∵BO＝OD，BM＝MF， ∴OM= 12DF= 5， ∵OE= 12BD= 1 2 ×6＝3， ∴△OEM的周长＝3+ 5 +2 5 =3+3 5， 解法二：辅助线相同． 证明△BAG≌△FHD，推出 AB＝HF＝3 2， 再证明△FHM≌△BCM，推出 CM＝HM= 2， 求出 BD，DF，BF，利用直角三角形斜边中线的性质，三角形中位线定理，可得结论． 故答案为：3+3 5． 【点评】本题考查正方形的性质，解直角三角形，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质， 三角形中位线定理，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线构造全等三 角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 18．图 1是邻边长为 2和 6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如 图 2），则图 1中所标注的 d的值为 6﹣2 3 ；记图 1中小正方形的中心为点 A，B，C，图 2中的对 应点为点 A′，B′，C′．以大正方形的中心 O为圆心作圆，则当点 A′，B′，C′在圆内或圆上时， 圆的最小面积为 （16﹣8 3）π ． 第 17页（共 35页） 【解答】解：如图，连接 FW，由题意可知点 A′，O，C′在线段 FW上，连接 OB′，B′C′，过点 O作 OH⊥B′C′于 H． ∵大正方形的面积＝12， ∴FG＝GW＝2 3， ∵EF＝WK＝2， ∴在 Rt△EFG中，tan∠EGF= ���� = 2 2 3 = 33 ， ∴∠EGF＝30°， ∵JK∥FG， ∴∠KJG＝∠EGF＝30°， ∴d＝JK= 3GK= 3（2 3 −2）＝6﹣2 3， ∵OF＝OW= 12FW= 6，C′W= 2， ∴OC′= 6 − 2， ∵B′C′∥QW，B′C′＝2， ∴∠OC′H＝∠FWQ＝45°， ∴OH＝HC′= 3 −1， ∴HB′＝2﹣（ 3 −1）＝3− 3， ∴OB′2＝OH2+B′H2＝（ 3 −1）2+（3− 3）2＝16﹣8 3， ∵OA′＝OC′＜OB′， 第 18页（共 35页） ∴当点 A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为（16﹣8 3）π． 故答案为：6﹣2 3，（16﹣8 3）π． 【点评】本题考查正方形的性质，矩形的性质，解直角三角形，圆等知识，解题的关键是读懂图象信息， 推出∠EGF＝30°，学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 19．如图，在边长为 2 的正方形 ABCD中，点 E，F分别为 AD，CD边上的动点（不与端点重合），连接 BE，BF，分别交对角线 AC于点 P，Q．点 E，F在运动过程中，始终保持∠EBF＝45°，连接 EF，PF， PD．下列结论：①PB＝PD；②∠EFD＝2∠FBC；③PQ＝PA+CQ；④△BPF为等腰直角三角形； ⑤若过点 B作 BH⊥EF，垂足为 H，连接 DH，则 DH的最小值为 2 2 −2，其中所有正确结论的序号 是 ①②④⑤ ． 【解答】解：如图，∵四边形 ABCD是正方形， ∴CB＝CD，∠BCP＝∠DCP＝45°， 在△BCP和△DCP中， �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△BCP≌△DCP（SAS）， ∴PB＝PD，故①正确， ∵∠PBQ＝∠QCF＝45°，∠PQB＝∠FQC， ∴△PQB∽△FQC， ∴ �� �� = �� �� ，∠BPQ＝∠CFQ， ∴ �� �� = �� �� ， ∵∠PQF＝∠BQC， ∴△PQF∽△BQC， ∴∠QPF＝∠QBC， ∵∠QBC+∠CFQ＝90°， 第 19页（共 35页） ∴∠BPF＝∠BPQ+∠QPF＝90°， ∴∠PBF＝∠PFB＝45°， ∴PB＝PF， ∴△BPF是等腰直角三角形，故④正确， ∵∠EPF＝∠EDF＝90°， ∴E，D，F，P四点共圆， ∴∠PEF＝∠PDF， ∵PB＝PD＝PF， ∴∠PDF＝∠PFD， ∵∠AEB+∠DEP＝180°，∠DEP+∠DFP＝180°， ∴∠AEB＝∠DFP， ∴∠AEB＝∠BEH， ∵BH⊥EF， ∴∠BAE＝∠BHE＝90°， ∵BE＝BE， ∴△BEA≌△BEH（AAS）， ∴AB＝BH＝BC， ∵∠BHF＝∠BCF＝90°，BF＝BF， ∴Rt△BFH≌Rt△BFC（HL）， ∴∠BFC＝∠BFH， ∵∠CBF+∠BFC＝90°， ∴2∠CBF+2∠CFB＝180°， ∵∠EFD+∠CFH＝∠EFD+2∠CFB＝180°， ∴∠EFD＝2∠CBF，故②正确， 将△ABP绕点 B顺时针旋转 90°得到△BCT，连接 QT， ∴∠ABP＝∠CBT， ∴∠PBT＝∠ABC＝90°， ∴∠PBQ＝∠TBQ＝45°， ∵BQ＝BQ，BP＝BT， ∴△BQP≌△BQT（SAS）， 第 20页（共 35页） ∴PQ＝QT， ∵QT＜CQ+CT＝CQ+AP， ∴PQ＜AP+CQ，故③错误， 连接 BD，DH， ∵BD＝2 2，BH＝AB＝2， ∴DH≥BD﹣BH＝2 2 −2， ∴DH的最小值为 2 2 −2，故⑤正确， 故答案为：①②④⑤． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质等知识，解题关 键是学会添加常用辅助线吗，构造全等三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 20．如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点 A在 OB上，四边形 ABCD是矩形，连接 AC，BD交于点 E，连 接 OE交 AD于点 F．下列 4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB＝30°；③DF= 2AF；④若点 G是线 段 OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是 ①③④ ．（填序号） 【解答】解：①∵四边形 ABCD是矩形， ∴EB＝ED， ∵BO＝DO， ∴OE⊥BD 故①正确； ②∵∠BOD＝45°，BO＝DO， ∴∠ABD= 12（180°﹣45°）＝67.5°， 第 21页（共 35页） ∴∠ADB＝90°﹣67.5°＝22.5°，故②错误； ③∵四边形 ABCD是矩形， ∴∠OAD＝∠BAD＝90°， ∴∠ABD+∠ADB＝90°， ∵OB＝OD，BE＝DE， ∴OE⊥BD， ∴∠BOE+∠OBE＝90°， ∴∠BOE＝∠BDA， ∵∠BOD＝45°，∠OAD＝90°， ∴∠ADO＝45°， ∴AO＝AD， ∴△AOF≌△ADB（ASA）， ∴OF＝BD， ∴AF＝AB， 连接 BF，如图 1， ∴BF= 2AF， ∵BE＝DE，OE⊥BD， ∴DF＝BF， ∴DF= 2AF，故③正确； ④根据题意作出图形，如图 2， ∵G是 OF的中点，∠OAF＝90°， 第 22页（共 35页） ∴AG＝OG， ∴∠AOG＝∠OAG， ∵∠AOD＝45°，OE平分∠AOD， ∴∠AOG＝∠OAG＝22.5°， ∴∠FAG＝67.5°，∠ADB＝∠AOF＝22.5°， ∵四边形 ABCD是矩形， ∴EA＝ED， ∴∠EAD＝∠EDA＝22.5°， ∴∠EAG＝90°， ∵∠AGE＝∠AOG+∠OAG＝45°， ∴∠AEG＝45°， ∴AE＝AG， ∴△AEG为等腰直角三角形，故④正确； ∴判断正确的是①③④． 故答案为：①③④． 【点评】本题属于四边形的综合题，主要考查了矩形的性质，等腰三角形的性质，等腰直角三角形，全 等三角形的判定与性质，线段垂直平分线的性质，关键是熟记这些图形的性质． 21．如图，在矩形 ABCD中，点 E在边 AB上，△BEC与△FEC关于直线 EC对称，点 B的对称点 F在边 AD上，G为 CD中点，连结 BG分别与 CE，CF交于 M，N两点．若 BM＝BE，MG＝1，则 BN的长为 2 ，sin∠AFE的值为 2 −1 ． 【解答】解：∵BM＝BE， ∴∠BEM＝∠BME， ∵AB∥CD， ∴∠BEM＝∠GCM， 又∵∠BME＝∠GMC， 第 23页（共 35页） ∴∠GCM＝∠GMC， ∴MG＝GC＝1， ∵G为 CD中点， ∴CD＝AB＝2． 连接 BF，FM， 由翻折可得∠FEM＝∠BEM，BE＝EF， ∴BM＝EF， ∵∠BEM＝∠BME， ∴∠FEM＝∠BME， ∴EF∥BM， ∴四边形 BEFM为平行四边形， ∵BM＝BE， ∴四边形 BEFM为菱形， ∵∠EBC＝∠EFC＝90°，EF∥BG， ∴∠BNF＝90°， ∵BF平分∠ABN， ∴FA＝FN， ∴Rt△ABF≌Rt△NBF（HL）， ∴BN＝AB＝2． ∵FE＝FM，FA＝FN，∠A＝∠BNF＝90°， ∴Rt△AEF≌Rt△NMF（HL）， ∴AE＝NM， 设 AE＝NM＝x， 则 BE＝FM＝2﹣x，NG＝MG﹣NM＝1﹣x， ∵FM∥GC， 第 24页（共 35页） ∴△FMN∽△CGN， ∴ �� �� = �� �� ， 即 1 2−� = 1−� � ， 解得 x＝2+ 2（舍）或 x＝2− 2， ∴EF＝BE＝2﹣x= 2， ∴sin∠AFE= ���� = 2− 2 2 = 2 −1． 方法 2：∵BM＝BE， ∴∠BEM＝∠BME， ∵AB∥CD， ∴∠BEC＝∠GCM， ∴∠GMC＝∠GCM， ∴MG＝CG＝1， ∵G是 CD的中点， ∴DC＝2， 设∠BCE＝α， 由折叠可知，∠ECF＝α，∠FEC＝∠BEC， ∴∠FCD＝90°﹣2α， ∴∠AFE＝90°﹣2α，∠BEC＝90°﹣α， ∴∠CBG＝90°﹣2α， ∴BC＝CF， ∴△BNC≌△CDF（AAS）， ∴BN＝CD＝2， 设 BM＝x，则 BG＝x+1， ∴sin∠CBG= 11+� =sin∠DCF， ∴NG= 11+�， ∴MN= �1+�， ∴x+ �1+� =2， 第 25页（共 35页） 解得 x= 2， ∴sin∠AFE= ���� = 2− 2 2 = 2 −1． 故答案为：2； 2 −1． 【点评】本题考查矩形的翻折问题，解题关键是连接辅助线通过全等三角形及相似三角形的判定及性质 求解． 22．如图，在正方形 ABCD中，点 M、N分别为边 CD、BC上的点，且 DM＝CN，AM与 DN交于点 P， 连接 AN，点 Q为 AN的中点，连接 PQ，BQ，若 AB＝8，DM＝2，给出以下结论：①AM⊥DN；②∠ MAN＝∠BAN；③△PQN≌△BQN；④PQ＝5．其中正确的结论有 ①④ （填上所有正确结论的 序号） 【解答】解：∵四边形 ABCD是正方形， ∴AD＝DC，∠ADM＝∠DCN＝90°， 在△ADM和△DCN， �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△ADM≌△DCN（SAS）， ∴∠DAM＝∠CDN， ∵∠CDN+∠ADP＝90°， ∴∠ADP+∠DAM＝90°， ∴∠APD＝90°， ∴AM⊥DN，故①正确， 不妨假设∠MAN＝∠BAN， 在△APN和△ABN中， ∠��� = ∠��� = 90° ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△PAN≌△ABN（AAS）， 第 26页（共 35页） ∴AB＝AP， ∵这个与 AP＜AD，AB＝AD，矛盾， ∴假设不成立，故②错误， 不妨假设△PQN≌△BQN， 则∠ANP＝∠ANB，同法可证△APN≌△ABN， ∴AP＝AB， ∵这个与 AP＜AD，AB＝AD，矛盾， ∴假设不成立，故③错误， ∵DM＝CN＝2，AB＝BC＝8， ∴BN＝6， ∵∠ABN＝90°， ∴AN= ��2 + ��2 = 82 + 62 =10， ∵∠APN＝90°，AQ＝QN， ∴PQ= 12AN＝5．故④正确， 故答案为：①④． 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，直角三角形斜边中线的性质，勾股定理等 知识，解题的关键是学会用反证法解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 23．如图，在正方形 ABCD中，点 O是对角线 BD的中点，点 P在线段 OD上，连接 AP并延长交 CD于 点 E，过点 P作 PF⊥AP交 BC于点 F，连接 AF、EF，AF交 BD于 G，现有以下结论：①AP＝PF； ②DE+BF＝EF；③PB﹣PD= 2BF；④S△AEF为定值；⑤S 四边形 PEFG＝S△APG．以上结论正确的有 ① ②③⑤ （填入正确的序号即可）． 第 27页（共 35页） 【解答】解：取 AF的中点 T，连接 PT，BT． ∵AP⊥PF，四边形 ABCD是正方形， ∴∠ABF＝∠APF＝90°，∠ABD＝∠CBD＝45°， ∵AT＝TF， ∴BT＝AT＝TF＝PT， ∴A，B，F，P四点共圆， ∴∠PAF＝∠PBF＝45°， ∴∠PAF＝∠PFA＝45°， ∴PA＝PF，故①正确， 将△ADE绕点 A顺时针旋转 90°得到△ABM， ∵∠ADE＝∠ABM＝90°，∠ABC＝90°， ∴∠ABC+∠ABM＝180°， ∴C，B，M共线， ∵∠EAF＝45°， ∴∠MAF＝∠FAB+∠BAM＝∠FAB+∠DAE＝45°， ∴∠FAE＝∠FAM， 在△FAM和△FAE中， �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△FAM≌△FAE（SAS）， ∴FM＝EF， ∵FM＝BF+BM＝BF+DE， ∴EF＝DE+BF，故②正确， 第 28页（共 35页） 连接 PC，过点 P作 PQ⊥CF于 Q，过点 P作 PW⊥CD于 W，则四边形 PQCW是矩形， 在△PBA和 PCB中， �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△PBA≌△PBC（SAS）， ∴PA＝PC， ∵PF＝PA， ∴PF＝PC， ∵PQ⊥CF， ∴FQ＝QC， ∵PB= 2BQ，PD= 2PW= 2CQ= 2FQ， ∴PB﹣PD= 2（BQ﹣FQ）= 2BF，故③正确， ∵△AEF≌△AMF， ∴S△AEF＝S△AMF= 1 2FM•AB， ∵FM的长度是变化的， ∴△AEF的面积不是定值，故④错误， ∵A，B，F，P四点共圆， ∴∠APG＝∠AFB， ∵△AFE≌△AFM， ∴∠AFE＝∠AFB， ∴∠APG＝∠AFE， ∵∠PAG＝∠EAF， ∴△PAG∽△FAE， ∴ �△��� �△��� =（ �� �� ）2＝（ �� 2�� ）2= 12， ∴S 四边形 PEFG＝S△APG，故⑤正确， 故答案为：①②③⑤． 第 29页（共 35页） 【点评】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，四点共圆，圆 周角定理，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形 或相似三角形解决问题，属于中考填空题中的压轴题． 24．如图，在正方形 ABCD中，点 E、F分别在边 BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交 BD于 M点，AF 交 BD于 N点． （1）若正方形的边长为 2，则△CEF的周长是 4 ． （2）下列结论：①BM2+DN2＝MN2；②若 F是 CD的中点，则 tan∠AEF＝2；③连接 MF，则△AMF 为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 ①③ （把你认为所有正确的都填上）． 【解答】解：（1）过 A作 AG⊥AE，交 CD延长线于 G，如图： ∵四边形 ABCD是正方形， ∴AB＝AD，∠BAD＝∠ABC＝∠ADC＝90°， ∴∠BAE＝90°﹣∠EAD＝∠DAG，∠ABE＝∠ADG＝90°， 第 30页（共 35页） 在△ABE和△ADG中， ∠��� = ∠��� �� = �� ∠��� = ∠��� ， ∴△ABE≌△ADG（ASA）， ∴BE＝DG，AG＝AE， ∵∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠GAF＝45°， 在△EAF和△GAF中， �� = �� ∠��� = ∠��� �� = �� ， ∴△EAF≌△GAF（SAS）， ∴EF＝GF， ∴△CEF的周长：EF+EC+CF ＝GF+EC+CF ＝（DG+DF）+EC+CF ＝DG+（DF+EC）+CF ＝BE+CD+CF ＝CD+BC， ∵正方形的边长为 2， ∴△CEF的周长为 4； 故答案为：4； （2）①将△ABM绕点 A逆时针旋转 90°得到△ADH，连接 NH， ∵∠EAF＝45°， ∴∠EAF＝∠HAF＝45°， 中考数学第一轮复习 填空题练习 图形的性质与判定之四边形 填空题： 1．若一个n边形的内角和是900°，则n＝　 　． 2．矩形ABCD的面积是90，对角线AC，BD交于点O，点E是BC边的三等分点，连接DE，点P是DE的中点，OP＝3，连接CP，则PC+PE的值为 　 　． 3．如图，在▱ABCD中，AB＝4，AD＝5，∠ABC＝30°，点M为直线BC上一动点，则MA+MD的最小值为 　 　． 4．已知菱形ABCD的两条对角线AC、BD的长分别是8cm和6cm．则菱形的面积为 　 　cm2． 5．如图，O是矩形ABCD的对角线AC的中点，M是AD的中点．若AB＝5，AD＝12，则四边形ABOM的周长为 　 　． 6．如图，菱形ABCD中，BC＝10，面积为60，对角线AC与BD相交于点O，过点A作AE⊥BC，交边BC于点E，连接EO，则EO＝ 　 　． 7．如图，正方形ABCD的面积为4，点E，F，G，H分别为边AB，BC，CD，AD的中点，则四边形EFGH的面积为 　 　． 8．如图，在平面直角坐标系xOy中，正方形ABCD的对角线AC、BD相交于原点O．若点A的坐标是（2，1），则点C的坐标是 　 　． 9．如图，在正方形ABCD中，点E在AB上，AF⊥DE于点F，CG⊥DE于点G．若AD＝5，CG＝4，则△AEF的面积为 　 　． 10．如图，在正五边形ABCDE的内部，以CD边为边作正方形CDFH，连接BH，则∠BHC＝　 　°． 11．如图，在边长为10的菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E在BC延长线上，OE与CD相交于点F．若∠ACD＝2∠OEC，，则菱形ABCD的面积为 　 　． 12．如图，▱ABCD中，BC＝2，点E在DA的延长线上，BE＝3，若BA平分∠EBC，则DE＝ 　 　． 13．如图，正方形ABCD的面积为50，以AB为腰作等腰△ABF，AB＝AF，AE平分∠DAF交DC于点G，交BF的延长线于点E，连接DE．若BF＝2，则DG＝　 　． 14．如图，矩形ABCD的对角线AC与BD交于点O，DE⊥AC于点E，延长DE与BC交于点F．若AB＝3，BC＝4，则点F到BD的距离为 　 　． 15．如图，正方形ABCD的边长为，对角线AC，BD相交于点O，点E在CA的延长线上，OE＝5，连接DE． （Ⅰ）线段AE的长为 　 　； （Ⅱ）若F为DE的中点，则线段AF的长为 　 　． 16．如图，标号为①，②，③，④的四个直角三角形和标号为⑤的正方形恰好拼成对角互补的四边形ABCD，相邻图形之间互不重叠也无缝隙，①和②分别是等腰Rt△ABE和等腰Rt△BCF，③和④分别是Rt△CDG和Rt△DAH，⑤是正方形EFGH，直角顶点E，F，G，H分别在边BF，CG，DH，AE上． （1）若EF＝3cm，AE+FC＝11cm，则BE的长是 　 　cm． （2）若，则tan∠DAH的值是 　 　． 17．如图，点O是正方形ABCD的中心，AB＝3．Rt△BEF中，∠BEF＝90°，EF过点D，BE，BF分别交AD，CD于点G，M，连接OE，OM，EM．若BG＝DF，tan∠ABG，则△OEM的周长为 　 　． 18．图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的d的值为 　 　；记图1中小正方形的中心为点A，B，C，图2中的对应点为点A′，B′，C′．以大正方形的中心O为圆心作圆，则当点A′，B′，C′在圆内或圆上时，圆的最小面积为 　 　． 19．如图，在边长为2的正方形ABCD中，点E，F分别为AD，CD边上的动点（不与端点重合），连接BE，BF，分别交对角线AC于点P，Q．点E，F在运动过程中，始终保持∠EBF＝45°，连接EF，PF，PD．下列结论：①PB＝PD；②∠EFD＝2∠FBC；③PQ＝PA+CQ；④△BPF为等腰直角三角形；⑤若过点B作BH⊥EF，垂足为H，连接DH，则DH的最小值为22，其中所有正确结论的序号是 　 　． 20．如图，∠BOD＝45°，BO＝DO，点A在OB上，四边形ABCD是矩形，连接AC，BD交于点E，连接OE交AD于点F．下列4个判断：①OE⊥BD；②∠ADB＝30°；③DFAF；④若点G是线段OF的中点，则△AEG为等腰直角三角形，其中，判断正确的是 　 　．（填序号） 21．如图，在矩形ABCD中，点E在边AB上，△BEC与△FEC关于直线EC对称，点B的对称点F在边AD上，G为CD中点，连结BG分别与CE，CF交于M，N两点．若BM＝BE，MG＝1，则BN的长为 　 　，sin∠AFE的值为 　 　． 22．如图，在正方形ABCD中，点M、N分别为边CD、BC上的点，且DM＝CN，AM与DN交于点P，连接AN，点Q为AN的中点，连接PQ，BQ，若AB＝8，DM＝2，给出以下结论：①AM⊥DN；②∠MAN＝∠BAN；③△PQN≌△BQN；④PQ＝5．其中正确的结论有 　 　（填上所有正确结论的序号） 23．如图，在正方形ABCD中，点O是对角线BD的中点，点P在线段OD上，连接AP并延长交CD于点E，过点P作PF⊥AP交BC于点F，连接AF、EF，AF交BD于G，现有以下结论：①AP＝PF；②DE+BF＝EF；③PB﹣PDBF；④S△AEF为定值；⑤S四边形PEFG＝S△APG．以上结论正确的有 　 　（填入正确的序号即可）． 24．如图，在正方形ABCD中，点E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，AE交BD于M点，AF交BD于N点． （1）若正方形的边长为2，则△CEF的周长是 　 　． （2）下列结论：①BM2+DN2＝MN2；②若F是CD的中点，则tan∠AEF＝2；③连接MF，则△AMF为等腰直角三角形．其中正确结论的序号是 　 　（把你认为所有正确的都填上）． 25．如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，F是线段OD上的动点（点F不与点O，D重合），连接CF，过点F作FG⊥CF分别交AC，AB于点H，G，连接CG交BD于点M，作OE∥CD交CG于点E，EF交AC于点N．有下列结论：①当BG＝BM时，AGBG；②；③当GM＝HF时，CF2＝CN•BC；④CN2＝BM2+DF2．其中正确的是 　 　（填序号即可）． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$