精品解析：湖北省武汉市青山区2024-2025学年九年级上学期11月期中考试数学试题

2024～2025学年度青山区第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 （请将答案写在答题卡上满分：120分时间：120分钟）第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为正，则一次项系数是（ ） A. 1 B. 6 C. D. 2. 下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（） A. B. C. D. 4. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）． A. B. C. D. 5. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 6. 若，是方程的两个根，则的值为（） A. B. C. 5 D. 7. 如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，点B的坐标为，将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（） A. B. C. D. 8. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由48元降为27元，设平均每次降价的百分率是x，则可列方程为（） A. B. C. D. 9. 如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E在上，连接．若，，则的长为（ ） A. B. 13 C. 26 D. 24 10. 定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置． 11. 点关于原点对称的点是，则__________． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 __________． 13. 如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以为圆心的圆的一部分，，垂足为，路面宽为，若圆的半径为，则隧道的最大高度______． 14. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．则门高_______尺． 15. 如图，在中，，，，点E是边上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转到，连接和，则的最小值为_______． 16. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．则下列四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点，在抛物线上，当时，总有，则． 其中一定正确的是________．（填写正确序号）． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解方程：． 18. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点D恰好落在边上． （1）求a的值； （2）点F是边上一点，，连接．当_________时，四边形为平行四边形． 19. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，求降价多少元，可使每星期获得的总利润为6120元？ 20. 如图，内接于，，于点E，交于点D．连接并延长分别交，于点F，G． （1）若，求的度数； （2）若，，求的半径． 21. 如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A，C都是格点，顶点B是网格线上的一点，点M是边与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先将线段绕点A顺时针旋转得到线段，再在线段上画点N，使得； （2）在图2中，先画点P，使得点A绕点P逆时针旋转得到点C，再画点B关于直线的对称点Q． 22. 综合与实践 如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为． （1）如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，请问当水位处于正常水位（即水面为）时，游船是否能够通过？并说明理由； （3）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 23. 【问题背景】如图1，和都是等边三角形，求证：； 【尝试运用】如图2，在中，，，边绕点C逆时针旋转到，E为边上不与点C重合的点，且，M为的中点，连接，．求的度数； 【拓展创新】如图3，在和中，，，，连接，，点F，G分别为，的中点，若，请直接写出线段的长（用含a和b的式子表示）． 24. 已知，抛物线与x轴交于点A，B，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，且抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线DE：交y轴于点D，交第一象限的抛物线于点E． ①如图1，当时，连接BC，CE，BE，求的面积； ②如图2，直线DE：交抛物线于另一点T，P为抛物线上一点，直线PE，PT分别与y轴交于点M，N，求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024～2025学年度青山区第一学期期中质量检测 九年级数学试卷 （请将答案写在答题卡上满分：120分时间：120分钟）第I卷（选择题，共30分） 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分）下列各题有且只有一个正确答案，请在答题卡上将正确答案的标号涂黑． 1. 将一元二次方程化成一般形式后，二次项系数为正，则一次项系数是（ ） A. 1 B. 6 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的一般形式：（a、b、c是常数且）．在一般形式中叫二次项，叫一次项，c是常数项．其中a、b、c分别叫二次项系数，一次项系数，常数项．根据相关定义求解即可． 【详解】解：一元二次方程化成一般形式为：或， 若二次项系数为正，则一次项系数是， 故选：C． 2. 下列用七巧板拼成的图案中，为中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：选项A、B、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形， 选项C能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形， 故选：C． 3. 用配方法解一元二次方程，此方程可化为（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法．配方法的一般步骤：（1）把常数项移到等号的右边； （2）把二次项的系数化为1；（3）等式两边同时加上一次项系数一半的平方．先移项得到，再把方程两边加上9，然后把方程左边用完全平方形式表示即可． 【详解】解：， 故选：D． 4. 将抛物线向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度，所得到的抛物线为（ ）． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据抛物线平移的性质计算即可． 【详解】∵抛物线的顶点坐标为（0，0） 又∵向下平移3个单位长度，再向右平移5个单位长度 ∴此时顶点坐标为（5，-3） ∴移动后抛物线方程为 故选：D． 【点睛】本题考查了抛物线的移动，抛物线在平移的过程中，a的值不发生变化，变化的只是顶点的位置，且与平移方向有关．抛物线的移动主要看顶点的移动，的顶点是（0，0），抛物线的平移口诀：自变量加减左右移，函数值加减上下移 5. 如图，是的直径，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．先根据邻补角的定义得，再根据圆周角定理． 【详解】解：，， 故选：C． 6. 若，是方程的两个根，则的值为（） A. B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了根与系数的关系：若是一元二次方程的两根时，．先利用根与系数的关系得到，再通分得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：是方程的两个根， 故选：D． 7. 如图，矩形的顶点A，C分别在y轴和x轴上，点B的坐标为，将矩形绕点O逆时针旋转，得到矩形，则点的坐标为（） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了矩形的性质，坐标与图形性质，旋转的性质，熟练掌握矩形的性质是解题的关键，根据矩形的性质和旋转的性质即可得到结论． 【详解】解：点的坐标为， 将矩形绕点逆时针旋转得到矩形， 故选：B． 8. 为执行国家药品降价政策，给人民群众带来实惠，某药品经过两次降价，每盒零售价由48元降为27元，设平均每次降价的百分率是x，则可列方程为（） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．利用该药品经过两次降价后的价格该药品的原价平均每次降价的百分率，即可列出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：根据题意得：． 故选：A． 9. 如图，内接于，将绕点A逆时针旋转得到，点C的对应点E在上，连接．若，，则的长为（ ） A. B. 13 C. 26 D. 24 【答案】A 【解析】 【分析】连接，根据旋转的性质得到，，，推出，是等腰直角三角形，得到，求得，根据勾股定理即可得到结论． 【详解】解：连接， 将绕点逆时针旋转得到， ，，， ，是等腰直角三角形， ，， ， ，，三点共线， ， ， ， ， ， ， ， 故选：A． 【点睛】本题考查了三角形的外接圆与外心，等腰三角形的判定与性质，旋转的性质，勾股定理，正确地作出辅助线是解题的关键． 10. 定义：若二次函数的图象上有一点的横坐标与纵坐标相等，则称这个点是这个函数的不动点．比如，函数图象上的点，都是的不动点，若函数在的范围内总有两个不同的不动点，则m的取值范围是（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数与一次函数的图象性质，函数图象的交点问题，函数与方程的关系，本题恰当地运用转化思想是解题关键．由不动点的定义可令，即求在内函数与函数有两个不同交点，即，整理后即可转化为与在内有两个不同交点的问题，又恒过点，画出两个函数与的图象，分类讨论即可得到答案． 【详解】解：由不动点的定义可令， 即求在内函数与函数有两个不同交点， ， ①， 即可转化为与在内有两个不同交点， 又恒过点， 画出两个函数与的图象如图所示， 当过点时，，可得，此时符合题意， 对①方程整理可得，令△， 即，从而可得， 解得：，又此时， 故． 当时，无法满足题意，即与在内不能产生两个交点． 故的范围为． 故选：D． 第Ⅱ卷（非选择题，共90分） 二、填空题（共6小题，每小题3分，共18分） 下列各题不需要写出解答过程，请将结论直接填写在答题卡的指定位置． 11. 点关于原点对称的点是，则__________． 【答案】2 【解析】 【分析】本题考查关于原点对称的点的坐标，熟练掌握关于原点对称的点的坐标特征是解答本题的关键．关于原点对称的点的横坐标互为相反数，纵坐标互为相反数，由此可得a，b的值，进而可得答案． 【详解】解：点关于原点对称的点是， 故答案为：2． 12. 若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则实数 __________． 【答案】16 【解析】 【分析】本题主要考查根据一元二次方程根的情况求参数，由有两个相等的实数根，可得，进而可解答． 【详解】解：∵一元二次方程有两个相等的实数根， ∴， 解得：， 故答案为：． 13. 如图，是一个隧道的横截面，它的形状是以为圆心的圆的一部分，，垂足为，路面宽为，若圆的半径为，则隧道的最大高度______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了垂径定理的应用、勾股定理，理解题意，正确作出辅助线是解题关键．连接，先根据垂径定理可得，在中，利用勾股定理求出，进一步计算即可求解． 【详解】解：如图，连接， 垂足为，且， 是中的弦的中点， ∴， ∵的半径长为，则， 在中，， 则． 故答案为：9． 14. 《九章算术》是我国古代数学名著，有题译文如下：今有门，不知其高宽；有竿，不知其长短．横放，竿比门宽长出4尺；竖放，竿比门高长出2尺；斜放，竿与门对角线长恰好相等．则门高_______尺． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及勾股定理，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．今设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺，利用勾股定理，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值，再结合和均为正数即可得出结论． 【详解】解：设竿的长度为尺，则门高为尺，门宽为尺， 依题意得：， 化简得：， 解得：，． 当时，，，不合题意，舍去； 当时，． 门高为8尺． 故答案为：8． 15. 如图，在中，，，，点E是边上的动点，连接，将绕点E顺时针旋转到，连接和，则的最小值为_______． 【答案】 【解析】 【分析】由平行四边形的性质得，，而，则，在上截取，连接，，，则是等边三角形，由旋转得，，则是等边三角形，可证明，得，则，所以，取的中点L，连接交于点I，连接，，则，所以垂直平分，则，，求得，，进而求得，由，得，即可得到问题的答案． 【详解】解：∵四边形是平行四边形，，，， ∴，， ∴， 在上截取，连接，，，则是等边三角形，， ∴，， 由旋转得，， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴点F在经过点H且与直线所夹的锐角为的直线上运动，， ∴， 取的中点L，连接交于点I，连接，，则， ∴， ∵平分， ∴垂直平分， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】此题重点考查旋转的性质、平行四边形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质、两点之间线段最短、勾股定理等知识，正确的作出辅助线是解题的关键． 16. 如图，抛物线与x轴交于点，点，与y轴交于点C．则下列四个结论： ①； ②； ③当时，； ④点，在抛物线上，当时，总有，则． 其中一定正确的是________．（填写正确序号）． 【答案】②③④ 【解析】 【分析】根据抛物线的开口方向、对称轴、特殊点的位置、以及与x轴y轴的交点，综合判断即可． 【详解】解：①由抛物线的开口向下知， ∵对称轴位于y轴的右侧， ∴， ∴， ∵抛物线与y轴交于正半轴， ∴， ∴，故错误； ②∵图象经过， ∴， ∴， ∵当时，， ∴， ∴， ∴， 即，故正确． ③∵抛物线与x轴交于点，点， ∴二次函数的图象与x轴交于点，， ∵， ∴， ∴当时，，故正确． ④∵抛物线与x轴交于点，点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点在抛物线上，总有， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，故正确． 故答案为：②③④． 【点睛】本题考查抛物线与x轴的交点坐标，二次函数图象与函数系数之间的关系，二次函数图象上点的坐标特征，二次函数的性质，二次函数的平移等知识，解题的关键是掌握数形结合思想的应用． 三、解答题（共8小题，共72分） 下列各题需要在答题卷的指定位置写出文字说明、证明过程、演算步骤或画出图形． 17. 解方程：． 【答案】，． 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，利用公式法求解即可，解题的关键在于灵活选取适当的方法解方程． 【详解】解：， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，． 18. 如图，在中，，，将绕点C顺时针旋转得到，点D恰好落在边上． （1）求a的值； （2）点F是边上一点，，连接．当_________时，四边形为平行四边形． 【答案】（1）60 （2）2 【解析】 【分析】（1）先根据旋转的性质得到，，再证明为等边三角形得到，从而得的值； （2）先根据旋转的性得到，，再证明，根据平行四边形的判定方法，当时，四边形为平行四边形，接着中利用含30度角的直角三角形三边的关系得到，所以，从而得到的值． 【小问1详解】 解：绕点顺时针旋转得到，点恰好落在边上， ，， ， 为等边三角形， ， 即的值为60； 【小问2详解】 解：绕点顺时针旋转得到， ，，， ， ， 当时，四边形为平行四边形， 在中，，， ， ， ， ． 故答案为：2． 【点睛】本题考查了旋转的性质：对应点到旋转中心的距离相等；对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角；旋转前、后的图形全等．也考查了含30度角的直角三角形三边的关系和平行四边形的判定． 19. 某商品现在的售价为每件60元，每星期可卖出300件．市场调查反映：每降价1元，每星期可多卖出20件．已知商品的进价为每件40元，求降价多少元，可使每星期获得的总利润为6120元？ 【答案】2元或3元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．设降价x元，则每星期可卖出件，根据使每星期获得的总利润为6120元，列出一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】解：设降价x元，可使每星期获得的总利润为6120元． ， 整理得： 解得：，． 答：降价2元或3元时，可使每星期获得的总利润为6120元． 20. 如图，内接于，，于点E，交于点D．连接并延长分别交，于点F，G． （1）若，求的度数； （2）若，，求的半径． 【答案】（1）52° （2） 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理，垂径定理，垂直平分线基本性质，能够正确做出辅助线是解题关键． （1）连接，，先通过“到线段两端的距离相等的点在垂直平分线上”，得到垂直平分，再通过三角形的内角和定理计算即可； （2）延长CG交于点H，连接，先证得，再通过勾股定理算出，再在中利用勾股定理计算即可． 【小问1详解】 解：连接，． ∵，经过点， ∴，，且． ∴， ∵， ∴， ∴． 【小问2详解】 解：延长交于点H，连接． ∵，， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵， ∴． 在中 由勾股定理得：， ∵， ∴． 设的半径为r， 在中，， ∴． 解得：． 21. 如图，是由边长为1的小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点A，C都是格点，顶点B是网格线上的一点，点M是边与网格线的交点．仅用无刻度的直尺在给定的网格中完成画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示． （1）在图1中，先将线段绕点A顺时针旋转得到线段，再在线段上画点N，使得； （2）在图2中，先画点P，使得点A绕点P逆时针旋转得到点C，再画点B关于直线的对称点Q． 【答案】（1） 如图1中，线段，点即为所求； （2）如图2中，点，点即为所求． 【解析】 【分析】本题考查作图旋转变换，轴对称变换，解题的关键是理解题意，正确作出图形． （1）利用旋转变换的性质作出点的对应点即可．利用网格特征构造等腰直角三角形，交于点，点即为所求； （2）利用网格特征作出等腰直角三角形即可，线段交网格线于点，连接，延长交网格线于点，连接，线段交直线于点，连接延长交于点，点即为所求． 【小问1详解】 解：如图1中，线段，点即为所求； 由旋转的性质可得， 点分别是的中点， 是等腰直角三角形， ； 【小问2详解】 解：如图2中，点，点即为所求． 由作图可得， ， ， 点A绕点P逆时针旋转得到点C， 由作图可得， ，， 垂直平分， ， ， ， ， 点B与点Q关于直线的对称． 22. 综合与实践 如图，是某公园的一座抛物线形拱桥，夏季正常水位时拱桥的拱顶到水面的距离为，秋季水位会下降约，此时水面宽度约为． （1）如图1，以的中点O为原点，所在的直线为x轴，建立平面直角坐标系，求抛物线的解析式； （2）一天小明妈妈带着小明乘坐脚踏游船想要从桥下通过，已知游船的宽度约为，船顶高出水面约为，为保证安全，游船要尽量从桥下正中间通过，且船顶与拱桥至少要间隔，请问当水位处于正常水位（即水面为）时，游船是否能够通过？并说明理由； （3）如图2，国庆节期间为装点节日的气氛，公园决定在拱桥上挂一串小彩灯，这串彩灯在拱桥中间部分与水面接近平行，两边自然垂下且关于抛物线的对称轴对称，彩灯两端的最低点到水面的距离为，求这串彩灯的最大长度． 【答案】（1）如图， （2） 游船能够通过， 理由：由（1）得：抛物线解析式为：； 当时，， ， ∴游船能够通过； （3）米 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的应用． （1）利用待定系数法求解即可； （2）求出当时的的值，比较即可得解； （3）设彩灯的长度为w，求出关于的关系式，再根据二次函数的性质即可得解． 【小问1详解】 解：设抛物线的解析式为：， 由题意得：拱顶的坐标为，点D的坐标为， ， 解得：， ∴抛物线的解析式为：； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：设此时彩灯右边与抛物线交于点， ， ∵彩灯两端的最低点到水面的距离为米，秋季水位会下降约米， ∴彩灯的最低点Q在直线上， ∴点N为， ， 设彩灯的长度为w， ， ， 时，w最大，． 答：这串彩灯的最大长度为米． 23. 【问题背景】如图1，和都是等边三角形，求证：； 【尝试运用】如图2，在中，，，边绕点C逆时针旋转到，E为边上不与点C重合的点，且，M为的中点，连接，．求的度数； 【拓展创新】如图3，在和中，，，，连接，，点F，G分别为，的中点，若，请直接写出线段的长（用含a和b的式子表示）． 【答案】 问题背景：证明：∵和都是等边三角形， ， ， ， ， ， 在和中 ， （）， ； 尝试应用：； 拓展创新： 【解析】 【分析】问题背景∶由判定，由全等三角形的性质即可得证； 尝试应用：延长至，使得，连接，，由判定，由全等三角形的性质得，，再由 判定，由全等三角形的性质得，由等腰三角形的性质即可求解； 拓展创新：连接并延长至，使，连接、，过作交于，由直角三角形的特征及勾股定理得，由三角形中位线定理得，由可判定，由全等三角形的性质得，，同理可判定，由全等三角形的性质得，即可求解． 【详解】问题背景∶略 尝试应用：延长至点，使得，连接，， ，， ， 边绕点C逆时针旋转到， ， ， ， ， ， ， ， ， 是的中点， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ； 拓展创新：如图，连接并延长至，使，连接、，过作交于， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 点F，G分别为，的中点， ， ， 在和中 ， （）， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， （）， ， ， ． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，三角形中位线定理，全等三角形的判定及性质，直角三角形的特征等；能根据题意添加适当的辅助线构建全等三角形，并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 24. 已知，抛物线与x轴交于点A，B，其中点A的坐标为，与y轴交于点C，且抛物线的对称轴为直线． （1）求抛物线的解析式； （2）若直线DE：交y轴于点D，交第一象限的抛物线于点E． ①如图1，当时，连接BC，CE，BE，求的面积； ②如图2，直线DE：交抛物线于另一点T，P为抛物线上一点，直线PE，PT分别与y轴交于点M，N，求证：． 【答案】（1） （2）①3； ②证明：设点，， 如图， 联立直线与抛物线的解析式， 则，是方程：的两根， ∴，． 设直线：； 联立直线与抛物线的解析式． 则，是方程：的两根， ∴①， 同理：设直线：； 联立直线与抛物线的解析式， 则，是方程：的两根， ∴② ①+②得： ∴ ∵，，， ∴． 【解析】 【分析】主要考查了二次函数的解析式的求法和与几何图形结合的综合能力的培养．要会利用数形结合的思想把代数和几何图形结合起来，利用点的坐标的意义表示线段的长度，从而求出线段之间的关系． （1）由待定系数法即可求解； （2）①先求出点，再求出点和点，用待定系数法求出直线的解析式为：，过E作轴交BC于点F，则点，则，最后由求解即可； ②设点，，联立直线与抛物线的解析式，则，是方程：的两根，求出，．设直线：，联立直线PE与抛物线的解析式．则，是方程：的两根，则①，设直线：，联立直线与抛物线的解析式，则，是方程：的两根，②，再求解即可． 【小问1详解】 解：∵抛物线过点，且抛物线的对称轴为直线． ∴ 解得：． ∴抛物线的解析式为：． 【小问2详解】 ①当时，联立直线与抛物线的解析式得： ∴ 整理得： ∴， ∴点， ∵抛物线与x轴交于点A，B，与y轴交于点C， 令，得，解得，， 令，得， 点和点， 设直线的解析式为：（，且k，b为常数） 则有：，解得：． ∴直线的解析式为：， 过E作轴交BC于点F，则点， ， ∴ ， ， ； ②略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $