6.3.1平面向量基本定理课件-2024-2025学年高一下学期数学人教A版(2019）必修第二册

第六章 平面向量及其应用 6.3.1 平面向量基本定量 1 教学目标 了解平面向量基本定理(重点) 01 理解平面里的任何一个向量都可以用两个不共线的向量来表示(重点) 02 初步掌握应用向量解决实际问题的重要思想方法(难点) 03 能够在具体问题中适当地选取基底,使其他向量都能够用基底来表达. 04 2 学科素养 平面向量基本定理的理解 数学抽象 平面向量基本定理的理解 直观想象 用基底表示向量 逻辑推理 用基底表示向量 数学运算 数据分析 用向量解决实际问题 数学建模 3 O A B A C B 向量的加法:三角形法则中强调“首尾相连”;平行四边形法则中强调的是“共起点,不共线”. 向量的减法(三角形法则):(1)共起点,连终点;(2) 指向被减向量的终点. 知识回顾 4 一般地,我们规定实数 与向量的积是一个向量,这种运算叫做向量的数乘,记作,它的长度与方向规定如下∶ 设 、 为实数,那么 (1) ( ) = ( ) (2) (3) +) = + (2) >0时, 与方向相同; <0时, 与方向相反; (1) 向量的加、减、数乘运算统称为向量的线性运算.向量的线性运算的结果仍是向量. 5 我们学习了向量的运算,知道位于同一直线上的向量可以由位于这条直线上的一个非零向量表示. 类似地,平面内任一向量是否可以由同一平面内的两个不共线向量表示呢? 知识精讲 6 我们知道,已知两个力,可以求出它们的合力;反过来,一个力可以分解为两个力.我们可以根据解决实际问题的需要,通过作平行四边形,将力F分解为多组大小、方向不同的合力. 类似地,我们能否通过作平行四边形,将向量分解为两个向量,使向量是这两个向量的和呢? 7 探究.如图(1),设是同一平面内两个不共线的向量,是这一平面内与都不共线的向量. 如图(2),在平面内任取一点O,作, , .将按的方向分解,你有什么发现? 图(1) 图(2) 8 由向量共线定量可知,存在实数 ,使得: , 所以 即 如图,过点C作平行于直线OB的直线,与直线OA交于点M;过点C作平行于直线OA的直线,与直线OB交于点N,根据向量的平行四边形法则,有 也就是说,与都不共线的向量都可以表示成的形式. 9 当是与或共线的非零向量时,也可以表示成的形式吗? 当是零向量时, 同样可以表示成的形式吗? 10 思考.改变的位置如下图三种情况时,怎样构造平行四边形? O C 结论1:平面上任意一个向量都可以表示为: 思考.如果给定的两向量 共线,还能用来表示这一平面内的任何一个向量吗? 不能,此时与共线,当向量与它们不共线时,则无法表示. 结论2 只有不共线,才可以用来表示平面内的任意向量. 综上所述:平面内任一向量都可以按的方向分解,表示成 的形式,而且这种表示形式是唯一的. (为什么是唯一的?) 如果还可以表示成的形式,那么, 可得: 所以. 如果不全为0, 不妨设,那么 , 由此可得共线,这与已知不共线相矛盾. 所以, , 即有且只有一对实数, ,使 13 平面向量基本定理 如果是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任一向量,有且只有一对实数 1, 2,使. 如果不共线,我们把{}叫做表示这一平面内所有向量的一个基底. 由平面向量基本定理可知,任一向量都可以由同一个基底唯一表示,这为我们研究问题带来了极大的方便. 平面向量基本定理是建立在向量加法和数乘运算基础上的向量分解原理,同时又是向量坐标表示的理论依据,是一个承前起后的重要知识点。 14 思考.若基底选取不同,则表示同一向量的实数是否相同? B A O M O M A B 可以相同,也可以不同 关于平面向量基本定理的几点说明: (1)基底不唯一;(关键是不共线) (2)同一向量在选定基底后,是唯一存在的 (3)同一向量在选择不同基底时,可能相同也可能不同 (4) 零向量不可以作为基底 (5) 同一平面内的任一向量都可以由同一个基底唯一表示 (6) 是基底, 若,则有 (7)若 不共线,且,则. 练习.判断正误 (1)平面内不共线的任意两个向量都可作为一组基底.( ) (2)基底中的向量可以是零向量.( ) (3)平面内的基底一旦确定,该平面内的向量关于基底的线性分解形式也是唯一确定的.( ) (4)已知是平面 内两个不共线向量,若存在实数 , 使得, 则 = =0.( ) √ √ √ 17 平面向量相等的充要条件 如果不共线,且, ,那么 练习.已知不共线,且,,若// ,则实数k的值为: . 18 解: O B A P O B A P 结论 例1.如图, 不共线,且,用表示 . 思考1.当时,你有何发现? 例2.如图,CD是 ABC的中线,且CD= AB,用向量方法证明 ABC是直角三角形. C A D B 【证明】如图,设 所以 因为 ,所以CD=DA. 所以 . 因此CA⊥CB.结论成立. 则 因为 20 例3.已知是两个互相垂直的单位向量,若向量与的夹角为锐角,则k的取值范围为_. 例4.已知 ABC的重心为G,求证:. 21 达标检测 1.已知平行四边形ABCD,则下列各组向量中,是该平面内所有向量基底的是( ) A. , B. , C. , D. , 2.已知向量, ,其中不共线,则与的关系是( ) A. B. C. D. 3.如图在矩形ABCD中,若, ,则( ) A. B. C. D. 4.已知A,B,D三点共线,且对任一点C,有,则( ) 5.已知是平面内两个不共线的向量,, , ,试用向量和表示. 课堂小结 本节课你学会了哪些主要内容? 1.知识点: (1)平面向量基本定理. (2)用基底表示向量. (3)平面向量基本定理的应用. 2.方法归纳:数形结合法. 3.易错点:忽视基底中的向量必须是不共线的两个向量. 1.已知不共线,且, ,若// ,求实数k的值. 2.如图,矩形ABCD的对角线相交于点O,E为AO的中点,若, 则x2+y2 = . 课后作业 26 【解析】 ∵a+b=3e1-e2,∴c=2(a+b), ∴a+b与c共线. 【解析】 由于eq \o(AB,\s\up15( )),eq \o(DA,\s\up15( ))不共线,所以是一组基底. 【解析】 eq \o(OC,\s\up15( ))=eq \f(1,2) eq \o(AC,\s\up15( ))=eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up15( ))+eq \o(AB,\s\up15( )))=eq \f(1,2)(eq \o(BC,\s\up15( ))+eq \o(DC,\s\up15( )))=eq \f(1,2)(5e1+3e2). $$