10.1随机事件与概率教材课后练习及变式训练-2024-2025学年高一下学期数学人教A版（2019）必修第二册

10.1 随机事件与概率 ——高一数学人教A版（2019）必修第二册 【教材课后习题】 1.如图，抛掷一蓝、一黄两枚质地均匀的正四面体骰子，分别观察底面上的数字. （1）用表格表示试验的所有可能结果； （2）列举下列事件包含的样本点： “两个数字相同”，“两个数字之和等于5”，“蓝色骰子的数字为2”. 2.在某届世界杯足球赛上，a，b，c，d四支球队进入了最后的比赛.在第一轮的两场比赛中，a对b，c对d，然后这两场比赛的胜者将进入冠亚军决赛，这两场比赛的负者比赛，决出第三名和第四名.比赛的一种最终可能结果记为acbd（表示a胜b，c胜d，然后a胜c，b胜d）. （1）写出比赛所有可能结果构成的样本空间； （2）设事件A表示a队获得冠军，写出A包含的所有可能结果； （3）设事件B表示a队进入冠亚军决赛，写出B包含的所有可能结果， 3.抛郑两枚质地均匀的硬币，设事件“第一枚硬币正面朝上”，事件“第二枚硬币反面朝上”. （1）写出样本空间，并列举A和B包含的样本点； （2）下列结论中正确的是( ) A.A和B互为对立事件 B.A和B互斥 C.A和B相等 D. 4.判断下列说法是否正确.若错误，请举出反例. （1）互斥的事件一定是对立事件，对立事件不一定是互斥事件； （2）互斥的事件不一定是对立事件，对立事件一定是互斥事件； （3）事件A与事件B中至少有一个发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率大； （4）事件A与事件B同时发生的概率一定比A与B中恰有一个发生的概率小. 5.生产某种产品需要2道工序，设事件“第一道工序加工合格”，事件“第二道工序加工合格”，用A，B，，表示下列事件：“产品合格”，“产品不合格”. 6.下面的三个游戏都是在袋子中装球，然后从袋子中不放回地取球.分别计算三个游戏中甲获胜的概率.你认为哪个游戏是公平的？ 游戏1 游戏2 游戏3 袋子中球的数量和颜色 1个红球和1个白球 2个红球和2个白球 3个红球和1个白球 取球规则 取1个球 依次取出2个球 依次取出2个球 获胜规则 取到红球→甲胜 两个球同色→甲胜 两个球同色→甲胜 取到白球→乙胜 两个球不同色一乙胜 两个球不同色→乙胜 7.一个盒子中装有标号为1，2，3，4，5的5张标签，随机地选取两张标签，根据下列条件求两张标签上的数字为相等整数的概率： （1）标签的选取是不放回的； （2）标签的选取是有放回的. 8.从长度为1，3，5，7，9的5条线段中任取3条，求这三条线段能构成一个三角形的概率. 9.一个盒子中装有6支圆珠笔，其中3支一等品，2支二等品和1支三等品.若从中任取2支，那么下列事件的概率各是多少? （1）“恰有1支一等品”； （2）“两支都是一等品”； （3）“没有三等品”. 10.抛掷一红一绿两颗质地均匀的六面体骰子，记下骰子朝上面的点数.若用x表示红色骮子的点数，用y表示绿色骰子的点数，用表示一次试验的结果.设“两个点数之和等于. 11.某人有4把钥匙，其中2把能打开门.如果随机地取一把钥匙试着开门，把不能开门的钥匙扔掉，那么第二次才能打开门的概率有多大?如果试过的钥匙又混进去，第二次能打开门的概率又有多大? 12.假设有5个条件类似的女孩（把她们分别记为A，B，C，D，E）应聘秘书工作，但只有2个秘书职位，因此5个人中只有2人能被录用.如果5个人被录用的机会相等，分别计算下列事件的概率： （1）女孩A得到一个职位； （2）女孩A和B各得到一个职位； （3）女孩A或B得到一个职位. 13.某射击运动员平时训练成绩的统计结果如下： 命中环数 6 7 8 9 10 频率 0.1 0.15 0.25 0.3 0.2 如果这名运动员只射击一次，求下列事件的概率： （1）命中10环； （2）命中的环数大于8环； （3）命中的环数小于9环； （4）命中的环数不超过5环. 14.将一枚质地均匀的骰子连续抛掷3次，求下列事件的概率： （1）没有出现6点； （2）至少出现一次6点； （3）三个点数之和为9. 15.如图是某班级50名学生订阅数学、语文、英语学习资料的情况，其中A表示订阅数学学习资料的学生，B表示订阅语文学习资料的学生，C表示订阅英语学习资料的学生. （1）从这个班任意选择一名学生，用自然语言描述1，4，5，8各区域所代表的事件； （2）用A，B，C表示下列事件： ①至少订阅一种学习资料； ②恰好订阅一种学习资料： ③没有订阅任何学习资料. 16.从120这20个整数中随机选择一个数，设事件A表示选到的数能被2整除，事件B表示选到的数能被3整除.求下列事件的概率： （1）这个数既能被2整除也能被3整除； （2）这个数能被2整除或能被3整除； （3）这个数既不能被2整除也不能被3整除. 17.某品牌计算机售后保修期为1年，根据大量的维修记录资料，这种品牌的计算机在使用一年内需要维修1次的占15%，需要维修2次的占6%，需要维修3次的占4%. （1）某人购买了一台这个品牌的计算机，设“一年内需要维修k次”，，1，2，3，请填写下表： 事件 概率 事件，，，概率事件是否满足两两互斥？是否满足等可能性？ （2）求下列事件的概率： ①“在1年内需要维修”； ②“在1年内不需要维修”； ③“在1年内维修不超过1次” 【定点变式训练】 18.为了丰富高一学生的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要选报其中的2个，则包含的样本点共有( ) A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 19.抛掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则( ) A. B. C.表示向上的点数是1或2或3 D.AB表示向上的点数是1或2或3 20.对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设{两次都击中飞机}， {两次都没击中飞机}， {恰有一枚炮弹击中飞机}， {至少有一枚炮弹击中飞机}，下列关系不正确的是( ) A. B. C. D. 21.抛掷一枚质地均匀的骰子，记事件{出现的点数是1，2}，事件{出现的点数是2，3，4}，事件{出现的点数是2}，则下列关于事件A，B，C之间的关系的表示中，正确的有( ) A. B. C. D. 22.从分别写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回随机抽取2张，则抽到的2张卡片上的数字之积是4的倍数的概率为( ) A. B. C. D. 23.若A，B是互斥事件，，，则( ) A.0.3 B.0.7 C.0.1 D.1 24.《史记》中讲述了田忌与齐王赛马的故事：“田忌的上等马优于齐王的中等马，劣于齐王的上等马；田忌的中等马优于齐王的下等马，劣于齐王的中等马；田忌的下等马劣于齐王的下等马.”若双方各自拥有上等马、中等马、下等马各1匹，从中随机选1匹进行1场比赛，则齐王的马获胜的概率为( ) A. B. C. D. 25.下列说法错误的个数为( ) ①对立事件一定是互斥事件； ②若A，B为两个事件，则； ③若事件A，B，C两两互斥，则. A.0 B.1 C.2 D.3 26.中国乒乓球队中的甲、乙两名队员参加奥运会乒乓球女子单打比赛，甲夺得冠军的概率为，乙夺得冠军的概率为，那么中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为________. 27.从三男三女共6名学生中任选2名(每名同学被选中的概率均相等)，则2名都是女同学的概率等于________. 28.在抛掷一枚骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则事件发生的概率为_____________. 29.某人计划从3个亚洲国家，，和3个欧洲国家，，中选择2个国家去旅游.若他从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个，则这2个国家包括但不包括的概率为_______________. 30.若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且，，则实数a的取值范围是______________. 31.某校在教师外出培训学习活动中，在一个月派出的培训人数及其概率如下表所示： 派出人数 2人及以下 3 4 5 6人及 概率 0.1 0.46 0.3 0.1 0.04 (1)求有4个人或5个人培训的概率. (2)求至少有3个人培训的概率. 32.某校社团活动开展得有声有色，深受学生欢迎，每届高一新生都踊跃报名加入，极大地推动了学生的全面发展.现已知高一某班60名同学中有4名男同学和2名女同学参加心理社团，现从这6名同学中随机选取2名同学代表社团参加校际交流(每名同学被选到的可能性相同). (1)在该班随机选取1名同学，求该同学参加心理社团的概率； (2)求从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率. 33.黄种人人群中各种血型的人数所占的比例如表： 血型 A B AB O 该血型的人数所占的比例 28% 29% 8% 35% 已知同种血型的人可以互相输血，O型血的人可以给任何一种血型的人输血，任何人的血都可以输给AB型血的人，其他不同血型的人不能互相输血.小明是B型血，若他因病需要输血，问： (1)任找一个人，其血可以输给小明的概率是多少? (2)任找一个人，其血不能输给小明的概率是多少? 34.一个袋中装有四个形状、大小完全相同的球，球的编号分别为1，2，3，4. (1)从袋中随机取两个球，求取出的球的编号之和不大于4的概率. (2)先从袋中随机取一个球，该球的编号为m，将球放回袋中，然后再从袋中随机取一个球，该球的编号为n，求的概率. 答案以及解析 1.答案：（1）该试验的所有可能结果如下表： 1 2 3 4 1 2 3 4 （2）A包含的样本点：，，，； B包含的样本点：，，，； C包含的样本点：，，，. 解析： 2.答案：（1）该试验的样本空间可表示为； （2）事件A包含的所有结果acbd，acdb，adbc，adcb； （3）事件B包含的所有结果为acbd，acdb，adbc，adcb，cabd，cadb，dabc，dacb. 解析： 3.答案：（1）样本空间可表示为. A包含的样本点：（正，正），（正，反）. B包含的样本点：（正，反），（反，反）. （2）D 解析：（2），，故. 4.答案：（1）错误；（2）正确；（3）错误；（4）错误.反例见解析 解析：设某试验的样本空间为. （1）中反例.取，，则A，B互斥但不对立. （3）中反例.取则，，， . （4）中反例.取，，则， . 5.答案：产品合格即两道工序都合格，所以.产品不合格即两道工序至少有一道工序不合格，所以. 解析： 6.答案：游戏1中，甲获胜的概率为；游戏2中，甲获胜的概率为；游戏3中，甲获胜的概率为，所以游戏1和游戏3是公平的. 解析： 7.答案：（1）概率为0 （2）概率为 解析：（1）从5张标签中不放回地选取两张标签，用m表示第一张标签的标号，n表示第二张标签的标号，设“两张标签上的数字为相等整数”，则 （1）数组表示该试验的一个样本点，，且.因此该试验的样本空间，且中共有20个样本点，其中m，n为相等整数的样本点个数，故所求概率为0； （2）该试验的样本空间中共有25个样本点，各样本点出现的可能性相等，试验是古典概型，其中，所以，故所求概率为. 8”，“至少有一颗骰子的点数为5”，“红色骰子上的点数大于4”. （1）求事件A，B，C的概率； （2）求事件，的概率. 8.答案： 解析：该试验的样本空间可表示为，共有10个样本点，其中能构成三角形的样本点有，，，共3个，故所求概率. 9.答案：（1） （2） （3） 解析：用，，表示3支一等品，用，表示2支二等品，用表示三等品，则该试验的样本空间可表示为.共有15个样本点. （1），其中有9个样本点，所以； （2），其中有3个样本点，所以； （3），其中有10个样本点，所以. 10.答案：（1），， （2）， 解析：该试验的样本空间可表示为，共有36个样本点. （1），有5个样本点，所以； ，有11个样本点，所以； ，有12个样本点，所以. （2），有2个样本点，所以； 所以. 11.答案：若把不能开门的钥匙扔掉，此时的概率； 若试过的钥匙又混进去，此时的概率为 解析：用1，2表示能打开门的钥匙，用3，4表示不能打开门的钥匙.事件“第二次才打开门”包含的样本点有，，，，共4个. 若把不能开门的钥匙扔掉，则该试验的样本空间可表示为，共有12个样本点，所以此时的概率； 若试过的钥匙又混进去，则样本空间可表示为，共有16个样本点，所以此时的概率为. 12.答案：（1） （2） （3） 解析：5个人，2个职位，每个人被录用的机会相等，该试验的样本空间可表示为，共有10个样本点. （1）A得到一个职位包含4个样本点，故其概率为； （2）A，B各得到一个职位包含1个样本点，故其概率为； （3）A或B得到一个职位包含7个样本点，故其概率为. 13.答案：（1）0.2 （2）0.5 （3）0.5 （4）0 解析：用x表示命中的环数，由频率表可得. （1）； （2）（或） （3）； （4）. 14.答案：（1） （2） （3） 解析：该试验的样本空间表示为，共有（个）样本点. （1）事件“没有出现6点”包含的样本点满足，共有125个.所以其概率为； （2）事件“至少出现一次6点”与事件“没有出现6点”互为对立事件，故其概率为； （3）事件“三个点数之和为9”包含的样本点有25个，故其概率为. 15.答案：（1）这域1表示该生数学、语文、英语三种资料都订阅； 区域4表示该生只订阅数学、语文两种资料： 区域5表示该生只订阅了语文资料； 区域8表示该生三种资料都未订阅. （2）①； ②； ③. 解析： 16.答案：（1） （2） （3） 解析：1~20这20个整数中能被2整除的有10个，能被3整除的有6个，所以，. （1）1~20这20个整数中既能被2整除也能被3整除的有3个，所以； （2）； （3）. 17.答案：（1） 事件 概率 0.75 0.15 0.06 0.04 事件，，，满足两两互斥，不满足等可能性. （2）①0.25；②0.75；③0.9 解析：（2）①； ②； ③. 18.答案：C 解析：由题意可得，包含的样本点有“数学与计算机”“数学与航空模型”“计算机与航空模型”，共3个.故选C. 19.答案：C 解析：由题意可得，，则，，所以表示向上的点数是1或2或3.故选C. 20.答案：D 解析：“恰有一枚炮弹击中飞机”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，“至少有一枚炮弹击中”包含两种情况：一种是恰有一枚炮弹击中，一种是两枚炮弹都击中， ∴ .故选 D. 21.答案：B 解析：由题意得，，故A错误；{出现的点数是2}，故B正确；{出现的点数是1，2，3，4}，故C错误；显然D不正确，故选B. 22.答案：C 解析：从写有1，2，3，4，5，6的6张卡片中无放回地抽取2张，共有15种取法，它们分别是，，，，，，，，，，，，，，，其中卡片上的数字之积是4的倍数的是，，，，，，共6种取法，所以所求概率是.故选C. 23.答案：A 解析：，B是互斥事件，.，.故选A. 24.答案：A 解析：记田忌的上等马、中等马、下等马分别为a，b，c，齐王的上等马、中等马、下等马分别为A，B，C.由题意可知，所有的基本事件有aA，bA，cA，aB，bB，cB，aC，bC，cC，共9种，其中田忌可以获胜的事件有aB，aC，bC，共3种，则齐王的马获胜的概率.故选A. 25.答案：C 解析：互斥不一定对立，但对立必互斥，①正确；只有A与B是互斥事件时，才有，②错误；若事件A，B，C两两互斥，则，但不一定是必然事件，例如，设样本点空间是由两两互斥的事件A，B，C，D组成且事件D与为对立事件，当时，，③错误. 26.答案： 解析：由于事件“中国队夺得女子乒乓球单打冠军”包括事件“甲夺得冠军”和“乙夺得冠军”，但这两个事件不可能同时发生，即彼此互斥，所以可按互斥事件概率的加法公式进行计算，即中国队夺得女子乒乓球单打冠军的概率为. 27.答案： 解析：用A，B，C表示三名男同学，用a，b，c表示三名女同学，则从6名同学中选出2人的样本空间，其中事件“2名都是女同学”包含样本点的个数为3，故所求的概率为. 28.答案： 解析：由题意可知抛掷一枚骰子，基本事件的个数共有6个，则“不大于4的偶数点出现”的概率，“小于5的点数出现”的概率，则，因为A与互斥，所以. 29.答案： 解析：从3个非洲国家和3个欧洲国家中各任选1个，所有样本点为，，，，，，，，，共9种.其中包括但不包括的事件所包含的样本点有，，共2种，所以所求事件的概率. 30.答案： 解析：由题意可知所以所以所以.即. 31.答案：(1)概率为0.4 (2)概率为0.9 解析：(1)设有2人以下培训为事件A，有3人培训为事件B，有4人培训为事件C，有5人培训为事件D，有6人及以上培训川为事件E，所以有4个人或5个人培训的事件为事件C或事件D，A，B，C，D，E为互斥事件，根据互斥事件有一个发生的概率的加法公式可知. (2)至少有3个人培训的对立事件为有2人及以下培训，所以由对立事件的概率可知. 32.答案：(1)概率 (2)概率 解析：(1)由题知，该班60名同学中共有6名同学参加心理社团， 所以在该班随机选取1名同学，该同学参加心理社团的概率. (2)设A，B，C，D表示参加心理社团的男同学，a，b表示参加心理社团的女同学， 则从6名同学中选出的2名同学代表共有15种等可能的结果： ， 其中至少有1名女同学的结果有9种：， 根据古典概率计算公式，从6名同学中选出的2名同学代表至少有1名女同学的概率. 33.答案：(1)概率为0.64 (2)概率为0.36 解析：(1)任找一人，其血型为A，B，AB，O型血分别记为事件，它们是互斥的. 由已知，有. 因为B，O型血可以输给B型血的人，故“任找一个人，其血可以输给小明”为事件， 根据概率加法公式，得. (2)由于A，AB型血不能输给B型血的人，故“任找一个人，其血不能输给小明”为事件，且. 34.答案：(1). (2)概率为. 解析：(1)从袋中随机取两个球，其一切可能的结果组成的样本点有：1和2，1和3，1和4，2和3，2和4，3和4，共6个. 从袋中取出的两个球的编号之和不大于4的事件有：1和2，1和3，共2个， 因此所求事件的概率为. (2)先从袋中随机取一个球，记下编号为，放回后，再从袋中随机取一个球，记下编号为m， 试验的样本空间， 共16个样本点. 又满足条件的样本点有：，共3个. 所以满足条件的事件的概率为，故满足条件的事件的概率为. 学科网（北京）股份有限公司 $$