压轴专题04 抽象函数核心应用（9大题型）-2025年高考数学压轴题专项训练（新高考通用）

压轴题04 抽象函数核心应用 总论： 一、解决抽象函数的求解优先策略： 1.联系函数模型：化抽象为具体 2.通过变量赋值解题：掌握常见的变量赋值规律和技巧。 3.运用函数性质解题：一般情况下，抽象函数都有可能具有函数的三大性质，周期性、奇偶性、单调性 4.借助数形结合解题：结合对应模型函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，来求解 二、抽象函数求解的重要技巧：赋值法 1.赋值法使用，注意和题目条件作适当的联系；比如，涉及到奇偶行时候，可以考虑设字母为x和-x，或者取值为a和-a。等等 2.转化过程要以相关定义为目的，不断转变；比如，涉及到单调性，欲寻找单调性证明和推导，可以设变量为x1与x2两个变量，寻找f（x1）与f（x2）的大小关系。 3.还要学会用反例作论证，推出矛盾，可以直接排除对应的性质关系。 压轴题型一：抽象函数模型：过原点型 √满分技法 满足形如 型抽象函数性质，可以用“过原点直线型f（x）=kx”来替换： 1．已知定义在上的函数满足对任意实数，都有，设，若，则的值为． A．-2219 B．-2019 C．-1919 D．-1819 2．设是奇函数，对任意的实数，，有，且当时，，则在区间，上　　 A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 3．定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 4．设是定义域为的单调函数，对，则（    ） A． B． C．是减函数 D．当时， 5．若对于，，令，则在上的最大值和最小值之和为 压轴题型二：抽象函数模型：一般式直线 √满分技法 1．已知连续函数对任意实数恒有，当时，，，则（   ） A． B．在上的最大值是4 C．图像关于中心对称 D．不等式的解集为 2．若对，，有，则函数在上的最大值和最小值的和为（    ） A．4 B．8 C．6 D．12 3．若对，，有，函数，则的值　　 A．0 B．4 C．6 D．9 4．已知定义域为正整数集的函数满足，则数列的前项和为 A． B． C． D． 5．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y都有，且当x＞0时，，若数列满足，且（），则 ． 压轴题型三：抽象函数模型：一元二次型 √满分技法 1．已知函数的定义域为，且满足，，则（    ） A．4 B．8 C．14 D．16 2．已知连续函数的定义域为，若，且，则函数的图象的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 3．已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，，则（   ） A．0 B．1 C． D． 4．已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A．的图像关于点成中心对称 B． C． D． 5．已知函数满足：对任意实数、，都有成立，且，则 ． 压轴题型四：抽象函数模型：一元三次型 √满分技法 1．已知函数对任意的实数都有，且，若当，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2．已知定义在上的函数，其导数为，且满足，，，给出下列四个结论：①为奇函数；②；③：④在上单调递减.其中所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 3．已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．在上单调递增 D． 4．已知函数是定义域为R的可导函数，若，且，则（    ） A．是奇函数 B．是减函数 C． D．是的极小值点 5．已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（    ） A．是奇函数 B．是减函数 C． D．是的极大值点 压轴题型五：抽象函数模型：正切型 √满分技法 1．给出下列三个等式：，，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（   ） A． B． C． D． 2．下列指定的函数中，一定有的有（    ） A．指定的函数是奇函数； B．指定的函数满足：，都有； C．指定的函数满足：，都有且当时，； D．设，指定的函数满足：都有. 3．已知函数满足有定义，，当时，，且当都有意义时，，则以下说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．在上是增函数 D．的图象关于直线对称 4．已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．为偶函数 C．为周期函数，且4为的周期 D． 5．已知函数满足，，则（    ） A． B． C．的定义域为R D．的周期为4 压轴题型六：抽象函数模型：双曲余弦与余弦型 √满分技法 1．定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法错误的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 2．定义在上的函数满足对任意都有，且，，则下列命题错误的是（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C． D．的图象关于点对称 3．设函数的定义域为R，且，，若对于任意实数x，y，恒有则下列说法中不正确的是 A． B． C． D． 4．已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是 A． B． C．为奇函数 D． 4．已知函数的定义域为，不恒为0，且，则（   ） A．可以等于零 B．的解析式可以为： C．曲线为轴对称图形 D．若，则 压轴题型七：抽象函数模型：正弦与双曲正弦型 √满分技法 1．已知函数的定义域为，且，的图像关于直线对称，，在上单调递增，则下列说法中错误的是（    ） A． B．的一条对称轴是直线 C． D． 2．已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（    ） A． B．是偶函数 C．关于点对称 D． 3．已知定义在上的函数满足：对，，且，函数为偶函数，则（    ） A． B． C．为偶函数 D． 4．定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D．在上单调递增 5．已知集合,有下列命题 ①若　则； ②若则； ③若则的图象关于原点对称； ④若则对于任意不等的实数，总有成立. 其中所有正确命题的序号是 . 压轴题型八：抽象函数模型：对数反比例型 √满分技法 1．已知函数满足对任意的且都有，若，，则（    ） A． B． C． D． 2．已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，恒成立.若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 3．定义在的函数，当时，若，，，则P，Q，R的大小为　　 A． B． C． D． 4．若定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ）． A．若，，，则 B．若，则 C．若，则的图像关于点对称 D．若，则 5．定义在上的函数满足，当时，，则以下结论正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．为单调递减函数 D．为单调递增函数 6．若函数具有下列性质：①定义域为；②对于任意的，都有；③当时，，则称函数为的函数.若函数为的函数，则以下结论正确的是 A．为奇函数 B．为偶函数 C．为单调递减函数 D．为单调递增函数 7．定义在上的函数满足：对任意都有，且当时，恒成立.下列结论中可能成立的有 . ①为奇函数； ②对定义域内任意，都有； ③对，都有； ④. 压轴题型九：抽象函数模型：反比例型 √满分技法 1．对于任意非零实数x，y﹐函数满足，且在单调递减，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．在定义域内单调递减 2．定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 结束 2 学科网（北京）股份有限公司 $$ 压轴题04 抽象函数核心应用 总论： 一、解决抽象函数的求解优先策略： 1.联系函数模型：化抽象为具体 2.通过变量赋值解题：掌握常见的变量赋值规律和技巧。 3.运用函数性质解题：一般情况下，抽象函数都有可能具有函数的三大性质，周期性、奇偶性、单调性 4.借助数形结合解题：结合对应模型函数的周期性、奇偶性、单调性以及图象的对称性的综合应用，来求解 二、抽象函数求解的重要技巧：赋值法 1.赋值法使用，注意和题目条件作适当的联系；比如，涉及到奇偶行时候，可以考虑设字母为x和-x，或者取值为a和-a。等等 2.转化过程要以相关定义为目的，不断转变；比如，涉及到单调性，欲寻找单调性证明和推导，可以设变量为x1与x2两个变量，寻找f（x1）与f（x2）的大小关系。 3.还要学会用反例作论证，推出矛盾，可以直接排除对应的性质关系。 压轴题型一：抽象函数模型：过原点型 √满分技法 满足形如 型抽象函数性质，可以用“过原点直线型f（x）=kx”来替换： 1．已知定义在上的函数满足对任意实数，都有，设，若，则的值为． A．-2219 B．-2019 C．-1919 D．-1819 【答案】D 【解析】利用抽象函数关系，判断函数是奇函数，结合函数奇偶性建立方程组进行求解，即可得到答案． 【详解】由题意，因为，∴，即， 令，则有 即，即是奇函数， 若，， 则， 则， 两式相加得， 得， 故选D． 【点睛】本题主要考查了函数值的计算问题，其中解答中结合抽象函数关系判断函数是奇函数，以及利用奇偶性建立方程组是解决本题的关键，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题． 2．设是奇函数，对任意的实数，，有，且当时，，则在区间，上　　 A．有最大值 B．有最小值 C．有最大值 D．有最小值 【答案】C 【分析】利用函数单调性的定义，先设得，结合题意得，再结合得，最后利用函数为奇函数得到，得到函数为上的减函数．由此不难得到正确选项． 【详解】解：任取，， 当时，， 即； 是奇函数， 有 在上递减． 在区间，上有最大值，最小值． 故选：C. 3．定义在上的函数满足，当时，，则不等式的解集为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】先根据得出，得出奇函数，再应用当时得出减函数，最后根据单调性解不等式即可. 【详解】由，令，可得； 由于函数的定义域为，令，可得， 所以，则函数为奇函数， 任取，且，则， 所以，所以， 则函数在上为减函数， 由可得，则， 整理得，解得. 故选:B. 4．设是定义域为的单调函数，对，则（    ） A． B． C．是减函数 D．当时， 【答案】ABD 【分析】令可得判断A，令可得，再令得判断B，结合单调性结合特例判断C，根据函数单调递增即可比较大小判断D. 【详解】在等式中， 令可得，解得，故A正确； 令可得，解得， 因为函数的定义域为， 令可得，所以， 因此，函数为奇函数，故B正确； 是定义域为的单调函数，因为， 所以是上的增函数，故C错误； 由C可知是上的增函数，当时，，即， 所以，故D正确. 故选：ABD. 5．若对于，，令，则在上的最大值和最小值之和为 【答案】 【分析】先利用赋值法求出，判断出函数为奇函数，令，则为奇函数，从而求的最大值和最小值之和即可. 【详解】令，则，所以 令，则，所以为奇函数， 令，则， 所以， 所以为奇函数，在上的最大值与最小值的和为：， 所以. 故答案为： 压轴题型二：抽象函数模型：一般式直线 √满分技法 1．已知连续函数对任意实数恒有，当时，，，则（   ） A． B．在上的最大值是4 C．图像关于中心对称 D．不等式的解集为 【答案】ACD 【分析】利用赋值法可判定A项；特殊值检验B项；通过判定的值即可检验C项正误；判定函数的单调性去“”，解不等式可得出D项正误. 【详解】令，则，即A正确； 令，则， 又，∴，， 则，即C正确； 由，即B项错误； 由条件可得， 当时，，即在定义域上单调递增， ， 即，即D正确； 故选：ACD 2．若对，，有，则函数在上的最大值和最小值的和为（    ） A．4 B．8 C．6 D．12 【答案】B 【分析】利用赋值法可得以及，即可构造函数，判断奇偶性，即可根据奇偶性的性质可得为奇函数以及最值. 【详解】，．有， 取，则，故， 取，则，故， 令，则,故为奇函数， ，设， ，故为奇函数，故为奇函数， 故， 则， 故 故函数在上的最大值和最小值的和是8， 故选：B． 3．若对，，有，函数，则的值　　 A．0 B．4 C．6 D．9 【答案】C 【分析】可令，可得，再令，可得，计算，即可得结果． 【详解】令，可得，即， 可令，可得， 则． 故选C． 【点睛】本题考查抽象函数的运用，注意运用赋值法，考查方程思想和运算能力，属于基础题．抽象函数常见赋值思路：（1）；（2）；（3）. 4．已知定义域为正整数集的函数满足，则数列的前项和为 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先令，，可得数列的首项为1，公差为2的等差数列，从而，，即可求出前99项和． 【详解】解：令，，可得（1）， 则（1）， 则数列的首项为1，公差为2的等差数列， 从而， 则， 则的前99项和为 ， ， ， ， ， 故选：． 5．已知函数f（x）的定义域为R，对任意的x，y都有，且当x＞0时，，若数列满足，且（），则 ． 【答案】1009 【分析】先利用单调性的定义证明在R上的单调性，再赋值，得出，再利用已知和转化为，再利用累加法求． 【详解】解：任取且，，，， 又由题意，得，在R上是减函数． ，，， ， 又在R上是减函数，，即， ． 故答案为：1009. 压轴题型三：抽象函数模型：一元二次型 √满分技法 1．已知函数的定义域为，且满足，，则（    ） A．4 B．8 C．14 D．16 【答案】C 【分析】依题意利用赋值法代入计算即可得出结果. 【详解】根据题意令，则，可得， 再令，则，可得. 故选：C 2．已知连续函数的定义域为，若，且，则函数的图象的对称轴为直线（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令得，应用特殊值及排除法确定正确选项. 【详解】由题设， 令，则，且， 若，则，显然，A排除； 若，则，显然，B排除； 若，则，显然，C排除； 故选：D 3．已知定义在实数集上的函数，其导函数为，且满足，，，则（   ） A．0 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】先令，代入求出导数；再求导,再令,即可求出结果. 【详解】因为，令，则， 则，再令，代入上式可得， 所以. 故选：C. 4．已知定义在实数集R上的函数，其导函数为，且满足，，则（ ） A．的图像关于点成中心对称 B． C． D． 【答案】BCD 【分析】对A、B，利用赋值法进行计算即可得；对C、D，利用赋值法后结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和即可得. 【详解】对A：令，则有，即， 令，则有，又，故，不关于对称，故A错误； 对于B，令，则有， 两边同时求导，得， 令，则有，故B正确； 对C：令，则有，即， 则 ，故C正确； 对D：令，则有，即， 则，即， 又，故， 则，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：本题C、D选项关键在于利用赋值法，结合数列的性质进行相应的累加及等差数列公式法求和. 5．已知函数满足：对任意实数、，都有成立，且，则 ． 【答案】     【详解】在中，令，得 ，． 令，，得，． 又，所以，即 ，，． 又， ， 所以． 故，． 压轴题型四：抽象函数模型：一元三次型 √满分技法 1．已知函数对任意的实数都有，且，若当，且时，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】令可得，利用累加法可求时的解析式，利用参变分离及基本不等式可求实数的取值范围. 【详解】令可得， 化简可得，故 ， ， 累加可得，， 不等式等价于 ， 因为，故在上恒成立， 又，当且仅当时等号成立， 所以，故选A. 【点睛】本题考查函数解析式的求法以及含参数的不等式恒成立问题，属于中档题，注意利用参变分离可把恒成立问题转化为函数的最值问题. 2．已知定义在上的函数，其导数为，且满足，，，给出下列四个结论：①为奇函数；②；③：④在上单调递减.其中所有正确结论的序号为（    ） A．①② B．①③ C．②③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】令求出.令可判断①；令，得，再求出、可判断③；利用累加法求出可判断②；利用导数可判断④. 【详解】对于①，令，得，所以. 令，得，所以为奇函数，故①正确； 对于③，令，得， 所以，，故③错误. 对于②，因为， 所以， ， ， ， ，以上各式相加得 ， 所以，故②正确. 对于④，当时，，所以在上单调递减，故④正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：②中的解题的关键点是利用累加法求出的解析式. 3．已知函数及其导函数的定义域均为，且，当时，，且，则下列说法正确的是（    ） A．为偶函数 B． C．在上单调递增 D． 【答案】BCD 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶函数的定义计算判断AB；利用单调性定义推理判断C；利用复合函数求导，赋值计算，结合函数的周期计算判断D. 【详解】对于A，取，得，解得， 取，则，即，又， 因此为奇函数，A错误； 对于B，， 解得，因此，B正确； 对于C，，则，， ，函数在上单调递增，C正确； 对于D，取，则，求导得， 于是，解得，由， 求导得，则，， 又函数的周期为4，， 所以，D正确. 故选：BCD 【点睛】关键点点睛：探讨抽象函数的性质，关键是适当地赋值，结合已知确定函数的奇偶性、单调性及相关函数值. 4．已知函数是定义域为R的可导函数，若，且，则（    ） A．是奇函数 B．是减函数 C． D．是的极小值点 【答案】ACD 【分析】对于A：利用赋值法，令求出，令可确定奇偶性，对于BCD：将当作常数，作为变量，对原式求导，然后可通过赋值可得，结合导数判断的单调性及极值. 【详解】对于选项A：令，可得，解得； 令，可得， 且函数的定义域为，所以是奇函数，故A正确； 对于选项B：因为， 可得， 令，可得； 又因为，则，可得， 且，可得， 即，所以，故C正确； 对于选项D：因为， 令，解得或；令，解得； 可知在和上为增函数，在上为减函数， 所以是的极小值点，故B错误，D正确. 故选：ACD. 5．已知函数是定义域为的可导函数，若，且，则（    ） A．是奇函数 B．是减函数 C． D．是的极大值点 【答案】AC 【分析】对于：利用赋值法，令求出，令可确定奇偶性；对于，将当作常数，作为变量，对原式求导，然后可通过赋值可得，结合导数判断的单调性及极值. 【详解】令，可得，解得， 令，可得， 且函数的定义域为，所以是奇函数，故正确； 因为， 可得， 令，可得； 又因为，则，可得， 且，可得， 即， 所以，故正确； 因为， 令，解得或， 令，解得， 可知在和上为增函数，在上为减函数， 所以是的极小值点，故错误，错误． 故选：． 压轴题型五：抽象函数模型：正切型 √满分技法 1．给出下列三个等式：，，．下列函数中不满足其中任何一个等式的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】依据指、对数的运算性质，和角公式，逐一验证各个选项满足的某个等式即可判断作答 【详解】对于A，因，则满足，A不是； 对于C，因，则满足，C不是； 对于D，因，则满足，D不是； 对于B，显然不能变形，，因此不满足三个等式中任一个，B是. 故选：B 2．下列指定的函数中，一定有的有（    ） A．指定的函数是奇函数； B．指定的函数满足：，都有； C．指定的函数满足：，都有且当时，； D．设，指定的函数满足：都有. 【答案】BD 【解析】由在处可能没有意义可判断A；令可判断B；令可判断C；直接可计算，即可判断D. 【详解】对于A，函数在处可能没有意义，所以A错； 对于B，令中得，所以B对； 对于C，令，因为有，∴，，所以C错； 对于D，由，所以D对. 故选：BD. 【点睛】本题考查抽象函数的相关计算，属于基础题. 3．已知函数满足有定义，，当时，，且当都有意义时，，则以下说法正确的是（    ） A．是奇函数 B．是周期函数 C．在上是增函数 D．的图象关于直线对称 【答案】ABC 【分析】利用赋值法能够确定选项ABD，利用函数的单调性可判断C. 【详解】由题知，令，，则有，当时，解得； 令，且在定义域内，则， 则，即，是奇函数，A正确； 由题知，= ，所以周期为，故B正确； 由，而，所以D选项错误； 关于C，对于任意，且， 有， 因为，，所以， 所以也即，所以在上单调递增； 且在时，；任取，且， 则，， 且， 所以，所以， 所以函数在上单调递增，所以在上是增函数，故C正确. 故选：ABC 4．已知函数的定义域为，且，，则（    ） A． B．为偶函数 C．为周期函数，且4为的周期 D． 【答案】ACD 【分析】对于选项A：令中，即可得出答案； 对于选项B：令中，得出，根据已知得出其定义域关于轴对称，即可根据函数奇偶性的定义得出答案； 对于选项C：令中，得出，即可根据周期定义得出答案； 对于选项D：根据周期得出答案. 【详解】A选项：令，得，故A正确. B选项：令，则，因此， 又的定义域为，关于轴对称，所以为奇函数，故B错误. C选项：令，则， 所以，因此， 所以为周期函数，且周期为4，故C正确. D选项：，故D正确. 故选：ACD. 5．已知函数满足，，则（    ） A． B． C．的定义域为R D．的周期为4 【答案】ABD 【分析】赋值，令，即可判断A；令，可判断C；令，结合函数奇偶性定义可判断B；令，推出，即可推出函数的周期，判断D. 【详解】令，则，即，A正确， 令，则无意义，即的定义域不为R，C错误； 由可知，令，则，即， 故，B正确； ， 故，即的周期为4，D正确， 故选：ABD 【点睛】方法点睛：本题考查了抽象函数的知识的综合应用，涉及到函数定义域、求函数值、以及奇偶性和单调性问题，解答此类题目一般采用赋值法，以及结合函数的奇偶性以及单调性定义进行解答. 压轴题型六：抽象函数模型：双曲余弦与余弦型 √满分技法 1．定义域为的函数，对任意，且不恒为0，则下列说法错误的是（    ） A． B．为偶函数 C． D．若，则 【答案】D 【分析】对于A，令，或，结合不恒为0，可得，由此即可判断； 对于B，由，不妨令，即可判断； 对于C，令，通过换元即可判断； 对于D，令，得关于中心对称，结合为偶函数，可得为周期为4的函数，算出即可判断. 【详解】对于A，令，有，所以或， 若，则只令，有，即恒为0， 所以只能，故A正确； 对于B，由A可知，不妨令， 有， 即，且函数的定义域为全体实数，它关于原点对称， 所以偶函数，即为偶函数，故B正确； 对于C，令，有， 令，由，得， 所以当时，有，即当时，，故C正确； 对于D，若，令，有， 所以关于中心对称， 又为偶函数， 所以，所以是周期为4的周期函数， 又，， 所以， 所以， 所以，故D错误. 故选：D. 2．定义在上的函数满足对任意都有，且，，则下列命题错误的是（    ） A．是偶函数 B．是周期函数 C． D．的图象关于点对称 【答案】D 【分析】应用赋值法判断A选项，求出周期判断B选项，应用周期性结合特殊函数值判断C选项，反证法应用对称中心定义判断D选项. 【详解】令，则，，， 再令，则，为偶函数，A正确； 又令，则， 为周期是4的周期函数，B正确； ，C正确；若D正确，则，又为周期是4的周期函数， ，为奇函数，则与已知中“”矛盾，D错误. 故选:D. 3．设函数的定义域为R，且，，若对于任意实数x，y，恒有则下列说法中不正确的是 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，即可求解， 令，，即可求出， 令，，可得结论， 令，，. 【详解】由题意，令，可得，， ，故A正确， 令，，可得，，故B正确 令，，可得，， ；， ，故C正确， 令，，可得，，故D错误， 故选D． 【点睛】本题考查抽象函数问题，考查了函数的奇偶性、对称性、单调性，同时也考查了学生解决探索性问题的能力，属于中档题. 4．已知，都是定义在上的函数，对任意实数x，y满足，且，则下列结论正确的是 A． B． C．为奇函数 D． 【答案】ABC 【分析】令即可判断A；令即可判断B；令可得，结合奇函数的定义即可判断C；由选项C，令可得，求出的周期即可求解. 【详解】. A：令，得，则，故A正确； B：令，得，即， 又且，所以，解得，故B正确； C：令，得，即， 得，所以，得， 所以，则为奇函数，故C正确； D：由选项C知，又， 得①，令替换成，得②， ①②相加，得，则， 得，即的周期为3，所以， 因为， 所以，故D错误. 故选：ABC 4．已知函数的定义域为，不恒为0，且，则（   ） A．可以等于零 B．的解析式可以为： C．曲线为轴对称图形 D．若，则 【答案】BCD 【分析】利用赋值法可得或，分类讨论可得，判断A；.有一只判断出函数的奇偶性，可判断B；结合B的分析以及图象的平移可判断C；判断出是以为首项，为公差的等差数列，即可判断D. 【详解】令，可得，可得， 解得或， 当时，则可得， 则，与不恒为0矛盾，所以，故A错误； 令，可得，所以为偶函数， 因为是偶函数，所以的解析式可以为：，故B正确； 因为为偶函数，所以的图象关于直线对称， 所以关于直线对称，所以曲线为轴对称图形，故C正确； 令，则可得， 所以，又， 解得，所以是以为首项，为公差的等差数列， 所以，故D正确. 故选：BCD. 【点睛】关键点点睛：采用赋值法是解抽象函数的一种有效方法，多领会其思路. 压轴题型七：抽象函数模型：正弦与双曲正弦型 √满分技法 1．已知函数的定义域为，且，的图像关于直线对称，，在上单调递增，则下列说法中错误的是（    ） A． B．的一条对称轴是直线 C． D． 【答案】D 【分析】令，可求得，令，可得，利用已知可得关于对称，可判断B；可求得函数的周期为6，关于对称，计算可判断AD；由题意可得在上单调递减，可判断C. 【详解】， 令，可得，解得； 令，，则， ∴，∴为奇函数； ∵的图像关于对称，, ∴关于对称，故B正确； ∴，∴， ∴，即的周期为6， ∵关于对称，可得关于对称 ∴，，，，， 所以，， 故A正确，D错误； ∵，又在上单调递增 ∴在上单调递减，所以，即，故C正确. 故选：D. 2．已知函数（不恒为零），其中为的导函数，对于任意的，满足，且，则（    ） A． B．是偶函数 C．关于点对称 D． 【答案】D 【分析】借助赋值法令，即可得A；结合赋值法与函数奇偶性的定义计算可得B；结合复合函数导数公式与对称性可得C；借助赋值法，可逐项计算出到，即可得解. 【详解】对A：令，有，故，故A错误； 对B：令，有，又不恒为零， 故，即，又，故是奇函数，故B错误； 对C：令， ； 令， 当时，有， ； 当，有， ， 当，结合，有， ， ， 综上，，， 关于直线对称， 所以关于直线对称，故C错误； 对D：由，故， 令，有， 即，则，即， ，即，，即， 令，有， 即，则， ，， 故，故D正确. 故选：D. 【点睛】关键点点睛：D选项中，关键点在于令可得，结合，可得为偶数时，. 3．已知定义在上的函数满足：对，，且，函数为偶函数，则（    ） A． B． C．为偶函数 D． 【答案】ABD 【分析】根据给定条件，利用赋值法，结合奇偶性与周期，逐项分析可得结果 【详解】定义在上的函数满足：对，， 对于A，令，则，，A正确； 对于C，令，则， 于是， 则，因此不是偶函数，C错误； 对于B，由函数为偶函数，得，即， 于是，即，， 因此函数的周期为，，B正确； 对于D，由，得， 因此，D正确. 故选：ABD 【点睛】关键点点睛：涉及抽象函数等式求解问题，利用赋值法分析探讨函数的性质是关键. 4．定义域为的函数满足：，当时，，则下列结论正确的有（    ） A． B．的图象关于点对称 C． D．在上单调递增 【答案】BC 【分析】对于A，赋值令，求解；对于B，赋值令，得到关于对称，再结合函数图像平移变换得解；对于C,赋值令，再令，再变形即可；对于D，赋值令，结合时，，举反例可解. 【详解】令，得到，则.故A错误. 令，得到，则， 则或,由于当时，，则此时， 故时，，故时，，所以， 而，故对任意恒成立，则关于对称. 可由向左平移1个单位，再向下平移2个单位. 则的图象关于点对称，故B正确. 令，得到，则. 令，得到 令，得到， 两式相减得， 变形， 即, 时，，两边除以， 即，故C正确. 令，则， 时，，则， 且，则，即.故D错误.故选：BC. 【点睛】难点点睛：解答此类有关函数性质的题目，难点在于要结合抽象函数性质，利用赋值法以及代换法，推出函数相应的性质. 5．已知集合,有下列命题 ①若　则； ②若则； ③若则的图象关于原点对称； ④若则对于任意不等的实数，总有成立. 其中所有正确命题的序号是 . 【答案】②，③ 【分析】由题意结合所给集合的定义和函数的性质逐一考查所给的命题是否正确即可. 【详解】①取，则， 而，据此可得不成立，题中的命题不成立； ②当时，,， 故.题中的结论成立. ③令x=y=0，得f(0)=0。令x=0，则由得：, 所以f(x)是奇函数，其图象关于原点对称．题中的结论成立. ④如函数f(x)满足条件：，不妨取， 则函数为增函数，则题中的结论不成立. 故答案为②③ 【点睛】“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解.但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝. 压轴题型八：抽象函数模型：对数反比例型 √满分技法 1．已知函数满足对任意的且都有，若，，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据将，再用裂项相消法求的值. 【详解】∵函数满足对任意的且都有 ∴令，则，∴ ∴ .故选：D 【点睛】关键点点睛：本题主要考查数列的求和问题，关键是理解数列的规律，即研究透通项，本题的关键是将通项分析为： 2．已知函数的定义域为，对任意的，，都有，且当时，恒成立.若，则不等式的解集是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】令，得，令，得，得为奇函数. 令，得，得函数在上单调递减，利用单调性将不等式化为，结合函数的定义域和可求出结果. 【详解】在中，令，得，得， 在中，令，得，即， 所以为奇函数，令，则，所以， 因为，所以，，所以， 因为， 所以，所以，，所以， 因为当时，恒成立，所以恒成立，所以，即， 所以函数在上单调递减，由及函数的定义域可知，， 又由已知，可得，可得，由得，因为函数在上单调递减，所以， 所以，因为，，所以，所以，所以，结合，可得.故选：D 3．定义在的函数，当时，若，，，则P，Q，R的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】在已知等式中取，可求得，x=0,则-f(y)=f(-y),故函数在(-1,1)上是奇函数，再由已知等式把化为一个数的函数值，通过做差则三个数的大小即可比较． 【详解】取，则，所以，，令x=0,则-f(y)=f(-y),故函数在(-1,1)上是奇函数，当-1<x<0时，f(x)<0,则当0<x<1时，f(x)>0,所以P>R,Q>R, 由，得：= 。 所以。所以所以． 故选D． 【点睛】本题考查了不等关系与不等式，考查了特值思想，解答此题的关键是能够运用已知的等式证出函数是给定区间上的减函数，同时需要借助于已知等式把P化为一个数的函数值，属于中档题．两个式子比较大小的常用方法有：做差和0比，作商和1比，或者直接利用不等式的性质得到大小关系，有时可以代入一些特殊的数据得到具体值，进而得到大小关系. 4．若定义在上的函数满足，且当时，，则下列结论正确的是（    ）． A．若，，，则 B．若，则 C．若，则的图像关于点对称 D．若，则 【答案】BC 【分析】根据已知应用单调性分情况可以判断A选项，应用单调性结合反证法可以判断D选项，赋值法可以求出B选项，根据对称性可以判断C选项. 【详解】令，则， ∴为奇函数，把y用代替，得到， 设，，∴．又∵当时，，∴， ∴在上单调递减．∵，， 当时，，则当时，则，， 当时，则，． 综上，，∴A错误． 令，得，∴，令，得，∴，∴B正确． 由，得，得， 又∵，为奇函数，∴， 则，则的图像关于点对称，∴C正确． ， 假设，可得，即， 当时，不成立得出矛盾假设不成立，∴D错误． 故选：BC. 【点睛】方法点睛：抽象函数已知奇偶性结合单调性定义得出单调性，结合对称性可以确定对称中心进而可以解题. 5．定义在上的函数满足，当时，，则以下结论正确的是（    ） A． B．为奇函数 C．为单调递减函数 D．为单调递增函数 【答案】ABC 【解析】A.令求解判断；B.令求解判断；CD.令，，且，由判断其符号即可. 【详解】令得，即得，A正确； 在定义域范围内令得，即得是奇函数，B正确； 令，，且，所以，又且，，所以，即，所以，所以是单调减函数，C正确，D错误． 故选：ABC． 6．若函数具有下列性质：①定义域为；②对于任意的，都有；③当时，，则称函数为的函数.若函数为的函数，则以下结论正确的是 A．为奇函数 B．为偶函数 C．为单调递减函数 D．为单调递增函数 【答案】AC 【分析】分析奇偶性：通过令值找到与之间的关系；分析单调性：通过令值找到与的大小关系. 【详解】定义域关于原点对称，令则有：，令，则有，所以，故是奇函数；令，，且，所以，又且，，则 ，即，所以，所以是单调减函数. 故选AC. 【点睛】判断抽象函数的单调性和奇偶性，一般采用令值的方法解决问题.令值的时候注意构造出与之间的关系以及与的大小. 7．定义在上的函数满足：对任意都有，且当时，恒成立.下列结论中可能成立的有 . ①为奇函数； ②对定义域内任意，都有； ③对，都有； ④. 【答案】①③④ 【分析】令，求得，进而推得，可判定①正确；结合函数的单调性的判定方法，进而可判定②不正确；根据，结合基本不等式，可判定③正确；根据，结合裂项法求和，可判定④正确. 【详解】对于①中，由对任意都有， 令，可得，所以， 任取，可得，可得， 所以，所以函数是上的奇函数，所以①正确； 对于②中，设，可得，则 则有， 因为当时，恒成立，且函数为为奇函数， 所以当时，恒成立，可得， 即，即，在为减函数， 又因为为奇函数，所以函数在为减函数， 且当时，；当时，， 又由， 因为，不妨设，可得，， 所以，即， 所以②不正确； 对于③中，对于，可得，则， 可得，且， 因为，当且仅当时，等号成立， 所以，所以， 即，所以③正确； 对于④中，因为函数为奇函数，可得， 所以，因为，所以，所以，所以④正确. 故答案为：①③④. 压轴题型九：抽象函数模型：反比例型 √满分技法 1．对于任意非零实数x，y﹐函数满足，且在单调递减，，则下列结论正确的是（    ） A． B． C．为奇函数 D．在定义域内单调递减 【答案】AC 【分析】赋值法可判断A，根据等比数列求和公式判断B，利用奇偶函数的定义及赋值法判断C，由函数的特例可判断D. 【详解】令，则，解得，故A正确； 因为，即， 所以是以为首项，2为公比的等比数列， 故，故B错误； 由题意，函数的定义域为，关于原点对称， 令，则， 令代换，则， 由两式可得，化简可得，所以为奇函数，故C正确； 因为在单调递减，函数为奇函数，可得在上单调递减， 但是不能判断在定义域上的单调性，例如，故D错误. 故选：AC 2．定义在上的函数满足条件①，，②，，，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】令求出，即可求出，再令求出，最后根据计算可得. 【详解】，，令，得，又，， ，再令，，， .故选：B 结束 2 学科网（北京）股份有限公司 $$