湖北省黄石市2024-2025学年下学期2月月考九年级数学试卷

试卷第 1页，共 6页 2 月数学质量检测测试卷 一、单选题（共 10 题，每题 3 分，共 30 分) 1．负数的概念最早记载于我国古代著作《九章算术》．若零上 20 C 记作 20 C  ，则零下30 C 应记作（ ） A． 30 C  B． 10 C  C． 10 C  D． 30 C  2．下列图案是轴对称图形但不是中心对称图形的是（ ） A． B． C． D． 3．抛物线  22 3 5y x    的顶点坐标是（ ） A．  3,5 B．  3,5 C．  3, 5  D．  3, 5 4．已知点 (01 3( ) )2A B，、 ，，将线段 AB绕点 A逆时针旋转90得到线段 AC，则点 C的坐标 为（ ） A． ( 3, 2) B． ( 2, 2 2) C． ( 3, 2 2) D． ( 2,3) 5．下列事件属于随机事件的是（ ） A．通常加热到100℃时，水沸腾 B．经过有交通信号灯的路口，遇到红灯 C．任意画一个三角形，其内角和为360 D．从只装有黑球的盒子里摸球，摸出黑球 6．关于 x的一元二次方程 2 2 0x kx   的根的情况（ ） A．有两个相等的实数根 B．有两个不相等的实数根 C．没有实数根 D．无法确定 7．下列计算正确的是（ ） A． 4 4 8x x x  B．  25 7a a C． 2 2( 2 ) 4a a   D． 6 2 3x x x  8．不等式组 3 4 5 6 3 0 x x      的解集在数轴上表示为（ ） A． B． C． D． 试卷第 2页，共 6页 9．如图，若 AB是 O 的直径，CD是 O 的弦， 68CDB  ，则 ABC 度数为（ ） A． 22o B．30o C． 32o D．68 10．已知二次函数  2 0y ax bx c a    的部分图象如图所示，图象经过点 0,2 ，其对称轴 为直线 = 1x  ．下列结论中正确的是（ ） A．3 0a c  B．若点  14, y ，  23, y 均在二次函数图象上，则 1 2y y C．关于 x的一元二次方程 2 1ax bx c    有两个相等的实数根 D．满足 2 2ax bx c   的 x的取值范围为 2 0x   二、填空题(共 5 题，每题 3 分，共 15 分） 11．若使代数式 2 x 有意义，则 x的取值范围是 ． 12．分解因式： 2 9ab a  ． 13．近年来，由于新能源汽车的崛起，燃油汽车的销量出现了不同程度的下滑，经销商纷纷 开展降价促销活动．某款燃油汽车今年 2月份售价为 25万元，4月份售价为 20.25万元，设 该款汽车这两月售价的月平均降价率是 x，则可以列出方程： ． 14．如图，已知扇形OAB的半径为 9，点C在OA上，将 OBC△ 沿 BC折叠，点O恰好落在AB 上的点D处，且 » »: 2 :3AD BDl l  ，若扇形OAB恰好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底 面直径为 ． 试卷第 3页，共 6页 15．如图，在正方形 ABCD中， 2 2AB  ，对角线 AC、BD交于点O，点 E是OA的中点， 点 F是 BD上的动点，连接 AF ，将 AF 绕点A顺时针旋转90得到 AG，连接 EG，则 AF EG 的最小值为 ． 三、解答题（共 9题，共 75 分） 16．（6分）计算： 0 2 1(3 ) 36 2 4       ． 17．（6分）如图，在△ABC中，点 D在边 BC上，CD=AB，DE∥AB，∠DCE=∠A．求证： DE=BC． 18．（6分）已知 1x   是方程 2 5 0x mx   一个根，求另一个根及 m值． 19．（共 8分）2022年 10月 16日至 10月 22日，中国共产党第二十次全国代表大会在北京 召开．为激励青少年争做党的事业接班人，某市团市委在党史馆组织了“红心永向党”为主题 的知识竞赛，依据得分情况将获奖结果分为四个等级：A级为特等奖，B级为一等奖，C级 为二等奖，D级为优秀奖．并将统计结果绘制成了如图所示的两幅不完整的统计图． 请根据相关信息解答下列问题： (1)本次竞赛共有______名选手获奖，扇形统计图中扇形 C的圆心角度数是______度； (2)补全条形统计图； 试卷第 4页，共 6页 (3)若该党史馆有一个入口，三个出口．请用树状图或列表法，求参赛选手小丽和小颖由馆 内恰好从同一出口走出的概率． 20．（共 8分）如图，一次函数 y x m  的图象与 x轴交于点  3,0A  ，与反比例函数 ky x  （k为常数， 0k  ）的图象在第一象限的部分交于点  , 4B n ． (1)求 m，n，k的值； (2)若 C是反比例函数 ky x  的图象在第一象限部分上的点，且 AOC 的面积小于 AOB 的面 积，直接写出点 C的横坐标 a的取值范围． 21．（8分）如图，在 ABCV 中，以 AB为直径的 O 交 BC于点 ,D DE AC ，垂足为 E． O 的两条弦 ,FB FD相交于点 ,F DAE BFD  ． (1)求证：DE是 O 的切线； (2)若 30 , 2 3C CD    ，求扇形OBD的面积． 22．（10分）请根据以下素材，完成探究任务． 制定加工方案 生产 背景 背 景 1 ◆某民族服装厂安排 70名工人加工一批夏季服装，有“风”“雅”“正”三种样 式． ◆因工艺需要，每位工人每天可加工且只能加工“风”服装 2件，或“雅”服装 试卷第 5页，共 6页 1件，或“正”服装 1件． ◆要求全厂每天加工“雅”服装至少 10件，“正”服装总件数和“风”服装相等. 背 景 2 每天加工的服装都能销售出去，扣除各种成本，服装厂的获利情况为： ①“风”服装：24元/件； ②“正”服装：48元/件； ③“雅”服装：当每天加工 10件时，每件获利 100元；如果每天多加工 1件， 那么平均每件获利将减少 2元． 信息整理 现安排 x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，列表如下： 服装种 类 加工人数（人） 每人每天加工量（件） 平均每件获利（元） 风 y 2 24 雅 x 1 正 1 48 探究 任务 任 务 1 探寻变量关系 求 x、y之间的数量关系． 任 务 2 建立数学模型 设该工厂每天的总利润为 w元，求 w关于 x的函数表达 式． 任 务 3 拟定加工方案 制定使每天总利润最大的加工方案． 23．（11分）已知在ABC中，O为 BC边的中点，连接 AO，将AOC绕点 O顺时针方向 旋转（旋转角为钝角），得到EOF，连接 AE，CF． （1）如图 1，当∠BAC＝90°且 AB＝AC时，则 AE与 CF满足的数量关系是 ； （2）如图 2，当∠BAC＝90°且 AB≠AC时，（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请写出 证明过程；若不成立，请说明理由； 试卷第 6页，共 6页 （3）如图 3，延长 AO到点 D，使 OD＝OA，连接 DE，当 AO＝CF＝5，BC＝6时，求 DE 的长． 24．（12分）如图，抛物线 2y x bx c    与 x轴交于点  3,0A  和点 B，与 y轴交于点  0,3C ， 点D在抛物线上． (1)求该抛物线的解析式； (2)当点D在第二象限内，且 ACD 的面积为 3时，求点D的坐标； (3)在直线 BC上是否存在点 P，使 OPD△ 是以 PD为斜边的等腰直角三角形？若存在，请直 接写出点 P的坐标；若不存在，请说明理由． 答案第 1页，共 1页 报告查询:登录zhixue.com或扫描二维码下载App (用户名和初始密码均为准考证号) 2025年2月九年级数学 质量检测答题卡 考场/座位号： 姓名： 班级： 贴条形码区 （正面朝上，切勿贴出虚线方框） 正确填涂 缺考标记 单选题（共10题，每题3分，共30分) 1 [A] [B] [C] [D] 2 [A] [B] [C] [D] 3 [A] [B] [C] [D] 4 [A] [B] [C] [D] 5 [A] [B] [C] [D] 6 [A] [B] [C] [D] 7 [A] [B] [C] [D] 8 [A] [B] [C] [D] 9 [A] [B] [C] [D] 10 [A] [B] [C] [D] 填空题(共5题，每题3分，共15分） 11. 12. 13. 14. 15. 解答题（共9题，共75分） 16. （6分）计算： 17. （6分） 第1页 共6页 18. （6分） 19. （共8分） (1)本次竞赛共有______名选手获奖，扇形统计图中扇形C的圆心角度数是 度； (2)补全条形统计图； (3) 第2页 共6页 20. （共8分） （1） （2） 21. （8分） （1） （2） 第3页 共6页 22. （10分） 任务1、 任务2、 任务3、 第4页 共6页 23. （11分） （1） （2） （3） 第5页 共6页 24. （12分） （1） （2） （3） 第6页 共6页 《2月数学模拟测试卷》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A C B D B B A B A D 1．A 【分析】本题主要考查了正负数的实际应用，正负数是一对具有相反意义的量，若零上由正数表示，那么零下就用负数表示，据此可得答案． 【详解】解：若若零上记作，那么零下应记作， 故选：A． 2．C 【分析】本题主要考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴，这时，我们也可以说这个图形关于这条直线(成轴）对称，根据中心对称图形的定义：把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，熟练掌握轴对称图形和中心对称图形的概念是解题的关键． 【详解】、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 、是轴对称图形，不是中心对称图形，故本选项符合题意； 、不是轴对称图形，是中心对称图形，故本选项不符合题意； 故选：． 3．B 【分析】本题考查了二次函数的性质，根据二次函数的顶点式解析式解答即可． 【详解】解：抛物线的顶点坐标是． 故选：B． 4．D 【分析】此题考查了图形的旋转，根据题意在坐标系中画出旋转后的图形，即可得到答案. 【详解】解：如图，将线段绕点A逆时针旋转得到线段，则点C的坐标为， 故选：D 5．B 【分析】本题考查了事件的分类，理解并掌握必然事件，随机事件的概念及判定是解题的关键． 必然事件：在一定的条件下重复进行试验时，每次试验中必然会发生的事件叫必然发生的事件，简称必然事件；随机事件：在随机试验中，可能出现也可能不出现的事件，并且在大量重复试验中具有某种规律性的事件叫做随机事件；由此判定即可． 【详解】解：A、通常加热到时，水沸腾是必然事件，不符合题意； B、经过有交通信号灯的路口，遇到红灯是随机事件，符合题意； C、任意画一个三角形，其内角和为是必然事件，不符合题意； D、从只装有黑球的盒子里摸球，摸出黑球是必然事件，不符合题意； 故选：B ． 6．B 【分析】本题主要考查一元二次方程的根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．根据根的判别式即可判断． 【详解】解：∵一元二次方程中，， ∴一元二次方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 7．A 【分析】本题考查的是幂的运算，熟记运算法则是解本题的关键．逐项分析即可． 【详解】解：A、 ，原计算正确，符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、 ，原计算错误，不符合题意； D、，原计算错误，不符合题意； 故选：A． 8．B 【分析】本题考查解不等式组，解题的关键是掌握解一元一次不等式，根据题意，分别求出不等式的解，继而得到不等式组的解集，即可． 【详解】解：， 解不等式①得，； 解不等式②得，； ∴不等式组的解集为：， ∴在数轴上表示为： 故选：B． 9．A 【分析】本题考查圆周角定理，熟练掌握并灵活运用圆周角定理是解题的关键． 根据圆周角定理得到的度数，再由是的直径得到的度数，从而计算的度数即可． 【详解】解：是的直径， ， ， ， ． 故选：A． 10．D 【分析】本题主要考查了二次函数图象与系数的关系、二次函数的最值、二次函数图象上点的坐标特征、抛物线与x轴的交点等，熟练掌握二次函数的相关知识是解决本题的关键．由对称轴为直线可得，再将代入可判断A，找出关于直线对称的点为，再根据二次函数的性质可判断B，根据图象可得：时，x的值不相等，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，可判断C，不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分，可判断D． 【详解】解：∵对称轴为直线， ∴， ∵当时，， ∴，故A错误， ∵抛物线开口向下， ∴在对称轴的右侧y随x的增大而减小， ∵关于直线对称的点为， 又∵， ∴，故B错误， 根据图象可得：时，x的值不相等，即关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根， 不等式的解集可看作抛物线的图象在直线上方的部分， ∵关于直线对称的点为， ∴x的取值范围为，故D正确； 故选：D 11．/ 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件以及一元一次不等式，根据被开方数大于等于零列出不等式即可求解．熟练掌握二次根式有意义的条件是解题关键． 【详解】解：∵代数式有意义， ∴， 解得：． 故答案为：． 12． 【分析】本题考查了综合提公因式和公式法分解因式，熟练掌握因式分解的方法是解题的关键． 先提公因式a，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解： ， 故答案为：． 13． 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 根据题意写成的形式即可． 【详解】根据题意，得 ． 故答案为：． 14．5 【分析】连接，能得的度数，再利用弧长公式和圆的周长公式可求解． 【详解】解：连接交于． 由折叠的知识可得：，， ， ， ， ，， 设圆锥的底面半径为，母线长为， ， ． ∴圆锥的底面直径为 故答案为：． 【点睛】本题运用了弧长公式和轴对称的性质以及解三角形、圆锥的侧面展开图等知识，关键是运用了转化的数学思想． 15． 【分析】连接，过作，交延长线于点，则，证明，则，，从而证明四边形是矩形，再证明，则，故有点在上运动，四边形是正方形，通过正方形的性质和勾股定理得出，作作的对称点，连接，又，所以当三点共线时，，然后由勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，连接，过作，交延长线于点，则， 由旋转性质可知：，， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴点在上运动，四边形是正方形， 在正方形中，， ∴， ∴由勾股定理得：， 作作的对称点，连接， ∴，， ∵， ∴当三点共线时，， 如图， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴由勾股定理得：， ∴的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了正方形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，轴对称的性质，矩形的判定与性质，两点之间线段最短，掌握知识点的应用是解题的关键． 16．7 【分析】利用零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数幂的运算法则计算即可． 【详解】解：原式 【点睛】本题考查零指数幂的运算法则，绝对值的意义，二次根式的化简及负整数指数幂的运算法则，熟练掌握实数的运算法则是解答此类问题的关键． 17．证明见解析 【分析】利用角边角证明△CDE≌△ABC，即可证明DE=BC． 【详解】证明：∵DE∥AB， ∴∠EDC=∠B． 又∵CD=AB，∠DCE=∠A， ∴△CDE≌△ABC(ASA)． ∴DE=BC． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是本题的关键． 18．另一根是5；m＝-4 【分析】根据一元二次方程的解的定义，将x＝-1代入关于x的一元二次方程，求得m的值；利用根与系数的关系求得方程的另一根． 【详解】解：设方程的另一根为x2． ∵关于x的一元二次方程的一个根是-1， ∴x＝-1满足关于x的一元二次方程， ∴， 解得m＝-4； 又由韦达定理知 ， 解得． 即方程的另一根是5． 【点睛】本题主要考查了一元二次方程的解．一元二次方程的根就是一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立． 19．(1)200，108 (2)见解析 (3) 【分析】（1）用A级的人数除以其人数占比即可求出获奖选手的总数，进而求出B级的人数，由此即可求出C级的人数，再用360度乘以C级的人数占比即可得到答案； （2）求出B级的人数，然后补全统计图即可； （3）先列出表格得到所有等可能性的结果数，再找到符合题意得结果数，最后依据概率计算公式求解即可． 【详解】（1）解：名， ∴本次竞赛共有200名选手获奖， ∴C级的人数为名， ∴扇形统计图中扇形C的圆心角度数是度， 故答案为：200，108； （2）解：B级的人数为名， 补全统计图如下：    （3）解：设这三个出口分别用E、F、G表示，列表如下： E F G E （E，E） （F，E） （G，E） F （E，F） （F，F） （G，F） G （E，G） （F，G） （G，G） 由表格可知一共有9种等可能性的结果数，其中参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的结果数有3种， ∴参赛选手小丽和小颖由馆内恰好从同一出口走出的概率． 【点睛】本题主要考查了扇形统计图与条形统计图信息相关联，树状图法或列表法求解概率，正确读懂统计图，画出树状图或列出表格是解题的关键． 20．(1)，， (2) 【分析】本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，交点坐标满足两个函数解析式是关键． （1）把点坐标代入求出，得到直线解析式，再把点坐标代入直线解析式求出，把点坐标代入反比例函数解析式求出值即可； （2）根据题意，列出不等式，解答即可． 【详解】（1）解：把点坐标代入得：， 解得， 直线解析式为， 把点坐标代入直线解析式得， 解得， 把点坐标代入反比例函数解析式得：， 解得， （2）∵ 反比例函数解析式为， 的面积小于的面积， ，即， 点在反比例函数图象上，且在第一象限， ， ． 21．(1)见解析 (2) 【分析】（1）连接，利用等边对等角，圆周角定理等可得出，由垂直的定义得出，等量代换得出，即，然后根据切线的判定即可得证； （2）先利用含的直角三角形的性质求出，同时求出，进而求出，利用等边对等角，三角形外角的性质等可求出，，证明是等边三角形，得出，，进而求出，在中，利用余弦定义可求出，最后利用扇形面积公式求解即可． 【详解】（1）证明：连接， ∵， ∴， 又，， ∴， ∵， ∴， ∴，即， 又是的半径； ∴是的切线； （2）解：∵，，， ∴，， 又， ∴， ∵， ∴， ∴， 又， ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 在中，， ∴扇形的面积为． 【点睛】本题考查了切线的判定，圆周角定理，等边三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形的应用，三角形外角的性质，灵活运用所学知识是解题的关键． 22．任务1：；任务2：；任务3：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润 【分析】题目主要考查一次函数及二次函数的应用，理解题意，根据二次函数的性质求解是解题关键． 任务1：根据题意安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装，得出加工“正”服装的有人，然后利用“正”服装总件数和“风”服装相等，得出关系式即可得出结果； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：，然后将2种服装的获利求和即可得出结果； 任务3：根据任务2结果化为顶点式，然后结合题意，求解即可． 【详解】解：任务1：根据题意安排70名工人加工一批夏季服装， ∵安排x名工人加工“雅”服装，y名工人加工“风”服装， ∴加工“正”服装的有人， ∵“正”服装总件数和“风”服装相等， ∴， 整理得：； 任务2：根据题意得：“雅”服装每天获利为：， ∴， 整理得： ∴ 任务3：由任务2得， ∴当时，获得最大利润， ， ∴， ∵开口向下， ∴取或， 当时，，不符合题意； 当时，，符合题意； ∴， 综上：安排19名工人加工“雅”服装，17名工人加工“风”服装，34名工人加工“正”服装，即可获得最大利润． 23．（1）；（2）成立，证明见解析；（3） 【分析】（1）结论．证明，可得结论． （2）结论成立．证明方法类似（1）． （3）首先证明，再利用相似三角形的性质求出，利用勾股定理求出即可． 【详解】解：（1）结论：． 理由：如图1中，    ，，， ，， ， ， ，， ， ． （2）结论成立． 理由：如图2中，      ，， ， ， ， ，， ， ． （3）如图3中，    由旋转的性质可知， ， ， ， ，，， ， ， ， ， ， ， ． 【点睛】本题属于几何变换综合题，考查了旋转变换，全等三角形的判定和性质，相似三角形的判定和性质，勾股定理等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形或相似三角形解决问题，属于中考压轴题． 24．(1)抛物线的解析式为 (2)的坐标为或 (3)的坐标为或或或 【分析】（1）利用待定系数法求解； （2）过作轴交于，求出直线解析式，根据列式求解； （3）先求出点A，B坐标，再求出直线解析式，过作轴于，过作轴于，分以下情况分别讨论即可：①与重合，与重合时；②当在第一象限，在第四象限时；③当在第四象限，在第三象限时；④当在第四象限，在第一象限时． 【详解】（1）解：把，代入得： ， 解得， 抛物线的解析式为； （2）解：过作轴交于，如图：    由，得直线解析式为， 设，则， ， 的面积为3， ，即， 解得或， 的坐标为或； （3）解：在直线上存在点，使是以为斜边的等腰直角三角形，理由如下： 在中，令得， 解得或， ，， 由，得直线解析式为， 设，， 过作轴于，过作轴于， ①， 当与重合，与重合时，是等腰直角三角形，如图：    此时； ②当在第一象限，在第四象限时，   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（小于0，舍去）或， ， 的坐标为； ③当在第四象限，在第三象限时，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， 同理可得， 解得或（大于0，舍去）， ， 的坐标为； ④当在第四象限，在第一象限，如图：   是以为斜边的等腰直角三角形， ，， ， ， ， ，， ， 解得（舍去）或， ， 的坐标为； 综上所述，的坐标为或或或． 【点睛】本题属于二次函数综合题，考查待定系数法求函数解析式、二次函数中三角形面积计算、特殊三角形存在性问题、等腰直角三角形的性质等，难度较大，熟练运用数形结合及分类讨论思想是解题的关键． 答案第1页，共2页 答案第1页，共2页 学科网（北京）股份有限公司 $$