第十八章 平行四边形（A卷·提升卷 单元重点综合测试）-2024-2025学年八年级数学下册单元速记·巧练（江西专用，人教版）

第十八章 平行四边形（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、单选题（每题3分，共18分） 1．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解题的关键． 根据平行四边形的判定定理依次对各个选项进行判定即可． 【详解】A．根据“一组组对边平行且相等的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； B．根据“两组对边分别平行的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； C．有一组对边平行，另一组对边相等的四边形也可能是等腰梯形，故此选项符合题意； D．根据“对角线互相平分的四边形是平行四边形”可判定四边形为平行四边形，故此选项不符合题意； 故选：C． 2．如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 【答案】D 【分析】本题主要考查平行四边形的性质，还涉及了平行线的性质，等角对等边，应熟练掌握．根据平行四边形的性质得到，，利用平行线的性质和角平分线推出，从而得到，求出，即可得到周长． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ， 平分， ， ， ， ， ， 平行四边形的周长， 故选：D． 3．如图，在的两边上分别截取，使；分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接．若，四边形的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了作图基本作图，菱形的判定与性质，先根据作图可知四边形是菱形，再利用菱形的面积公式求解即可，解题的关键是熟练掌握菱形的判定与性质． 【详解】解：根据题意得：， ∴四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， 故选：． 4．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，，则顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，坐标与图形变化——平移，已知两点坐标求两点距离等知识点，深刻理解数形结合思想是解题的关键． 由平行四边形的性质可知且，再由坐标与图形变化——平移即可得解． 【详解】解：平行四边形各顶点坐标如图所示， ， 四边形是平行四边形， ，， 在轴上， 轴， 点与点的纵坐标相等，都为， 又， 点的横坐标点的横坐标 ， 顶点的坐标是， 故选：． 5．如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，P是的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，长度的变化情况是（　　） A．不断增大 B．不断减小 C．先减小后增大 D．不变 【答案】D 【分析】本题考查了直角三角形斜边上的中线和两点之间的距离，根据直角三角形斜边上的中线性质得出答案即可．能熟记直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半是解此题的关键． 【详解】解：，为的中点， ， 即的长在竹竿滑动过程中始终保持不变， 故选：D． 6．如图， 点O为矩形的对角线的交点，， 点E从点B出发（不含点B）沿向点C运动，移动到点C停止，延长交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ） A．平行四边形菱形平行四边形矩形 B．平行四边形正方形菱形矩形 C．平行四边形菱形正方形矩形 D．平行四边形正方形平行四边形矩形 【答案】A 【分析】本题考查了矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的判定，根据矩形的性质，全等三角形的判定和性质，可得四边形形状的变化情况． 【详解】解：连接． ∵点O为矩形的对角线的交点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， 观察图形可知，四边形形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形． 故选：C． 二、填空题（每题3分，共18分） 7．如图，在中，请添加一个条件： ，使得成为矩形． 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题考查了矩形的判定的应用，根据有一个角是直角的平行四边形是矩形解题即可． 【详解】条件是，理由是： ∵四边形是平行四边形，， ∴平行四边形是矩形， 故答案为：． 8．如图，的对角线与相交于点O，，，，则的长为 ． 【答案】 【分析】本题考查平行四边形的性质，勾股定理，根据平行四边形的对角线互相平分，结合勾股定理进行求解即可． 【详解】解：∵的对角线与相交于点O，，， ∴， ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 9．如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，若杯内水面刚好经过点，且，则水杯底面与水平面夹角的大小为 ． 【答案】/40度 【分析】本题主要考查了平行线的性质，矩形的性质，三角形内角和定理，根据题意可知，根据平行线的性质得出，根据矩形的性质得出，根据三角形内角和求出求出结果即可． 【详解】解：延长交于点G，如图所示： ∵，， ∴， ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 10．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成的角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为 【答案】 【分析】本题考查菱形的性质与面积，先判断四边形的形状为菱形，然后利用菱形的面积公式计算是解题的关键． 【详解】过点作于E，于F，如图所示： ∵两条纸条宽度相同， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形，， ∵， 又∵， ∴， ∴四边形是菱形， ∴， 在中，， ∴， ∴四边形的面积， 故答案为：． 11．如图，在正方形中，对角线，交于点O，的平分线交于点E，过点E作交于点F，则的度数为 ．    【答案】 【分析】根据正方形的性质,得到，由的平分线交于点E得，由平行得到得到度数． 【详解】正方形， ， 平分， ， ， ， 故答案为：． 【点睛】本题考查正方形的性质已经平行线的性质，掌握两直线平行，内错角相等是解题的关键． 12．如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】根据轴对称确定最短路线问题，作点关于的对称点，连接，，过点作于，然后根据直线外一点到直线的所有连线中垂直线段最短的性质可知当，K，Q共线，时，的最小值，然后求解即可． 【详解】解：作点关于的对称点，连接，，过点作于， 则， ∴当，K，Q共线，时，的最小值， ∵四边形是菱形， ， ， ∵， ， ∴， ∴， ， 点到的距离， 的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，30度直角三角形的性质，轴对称确定最短路线问题，熟记菱形的轴对称性和利用轴对称确定最短路线的方法是解题的关键． 三、解答题（13-17每题6分，18-20每题8分，21-22题9分，23题12分，共18分） 13．在中，，D是斜边上的一点，作，垂足为E，延长到F，连接，使． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连接，若E为中点，求证：． 【答案】(1)见详解 (2)见详解 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定与性质、垂直平分线的判定与性质、平行线的判定与性质等知识， （1）由，，推出，得出，再证，则，即可得出结论； （2）根据条件可得垂直平分，即有，结合四边形是平行四边形，即可证明． 【详解】（1）∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴四边形是平行四边形； （2）∵E为中点，， ∴垂直平分， ∴， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴． 14．如图，在中，平分于点，延长与交于点． （1）求证：； （2）若点为的中点，求的长． 【答案】（1）见解析；（2）2 【分析】（1）根据角平分线定义和垂直定义得∠CAE=∠BAE，∠AEC=∠AED，再根据全等三角形全等的判定证明△AEC≌△AED，即可证得结论； （2）由勾股定理求得AB=10，再根据全等三角形的性质求得AD=AC=6，进而有BD=4，利用三角形的中位线性质求解即可． 【详解】（1）证明：平分 在和中， ， ， ；                             （2）在中，， ∴，                                      点为中点，点为中点， ∴． 【点睛】本题考查全等三角形的判定与性质、勾股定理、三角形的中位线性质、角平分线的定义、垂直定义，熟练掌握全等三角形的判定与性质和三角形的中位线性质是解答的关键． 15．如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为． (1)求证：； (2)若，求的长． 【答案】(1)证明见解析 (2)cm 【分析】（1）利用ASA证明即可； （2）过点E作EG⊥BC交于点G，求出FG的长，设AE=xcm，用x表示出DE的长，在Rt△PED中，由勾股定理求得答案． 【详解】（1）∵四边形ABCD是矩形， ∴AB=CD，∠A=∠B=∠ADC=∠C=90°， 由折叠知，AB=PD，∠A=∠P，∠B=∠PDF=90°， ∴PD=CD，∠P=∠C，∠PDF =∠ADC， ∴∠PDF-∠EDF=∠ADC-∠EDF, ∴∠PDE=∠CDF， 在△PDE和△CDF中， , ∴（ASA）； （2）如图，过点E作EG⊥BC交于点G， ∵四边形ABCD是矩形, ∴AB=CD=EG=4cm， 又∵EF=5cm，∴cm, 设AE=xcm， ∴EP=xcm， 由知，EP=CF=xcm， ∴DE=GC=GF+FC=3+x， 在Rt△PED中，, 即， 解得，， ∴BC=BG+GC= (cm）． 【点睛】本题考查了翻折变换，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，根据翻折变换的性质将问题转化到直角三角形中利用勾股定理是解题的关键． 16．如图，在中，已知，过点C作于点D，过点B作于点M，与相交于点E，且点E是的中点，连接，过点D作，交于点N． (1)求证：； (2)请探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 【答案】(1)见详解 (2)．见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质、等腰直角三角形的性质等知识． （1）用等腰直角三角形得出，，再用已知条件推出，最后利用证明两个三角形全等即可． （2）作于点F，由（1）可得，由，推出，，由此即可证明． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， 在和中， ∴． （2）结论：． 由（1）可得． 作于点F， 又， ∴， ∵点是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴． 17．如图，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作交的延长线于F，交于，连接． (1)求证：； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 【答案】(1)证明见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质、直角三角形的性质、平行四边形的判定、菱形的判定等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质和菱形的判定是解题的关键． （1）由“”证得，即可得出结论； （2）先证明四边形是平行四边形，再证明邻边相等，即可得出结论． 【详解】（1）证明：∵点是的中点， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵， ∴， ∵是边上的中线， ∴， ∴， 又， ∴四边形是平行四边形， ∵，是边上的中线， ∴， ∴四边形是菱形． 18．如图1，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接    (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，若交于点，且，，求菱形的边长． 【答案】(1)见解析 (2)5 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，勾股定理，直角三角形斜边上中线的性质，熟练掌握菱形的性质是解题的关键． （1）由平行线的性质及角平分线的定义证出，得出四边形是平行四边形，根据菱形的判定定理可得出结论； （2）由直角三角形的性质，由勾股定理可得出答案． 【详解】（1）证明：平分， ， 又， ， ， 同理，平分， ， 又， ， ， ，， ， ， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形； （2）解：菱形中，，，， ，，， ． 19．如图，在正方形中，是对角线上一点，点在的延长线上，连接交于点． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析； (2)， 【分析】本题考查正方形的性质，全等三角形的判定与性质，熟记正方形的性质证明是解题的关键． （1）由正方形性质可得，，再利用即可证明； （2）结合（1）的结论，可得，，再根据，即可解决问题． 【详解】（1）证明：∵四边形是正方形， ∴，， 在和中， ， ∴（）， （2）解：结论：，， 理由：∵， ∴， ∵， ∴；， ∴， ∵四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ． 20．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发以的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为． (1)从运动开始，当t取何值时，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出时间t的值；若不存在，说明理由． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）首先判定当时，四边形是平行四边形，然后利用其性质，构建方程，即可得解； （2）根据题意分和两种情况讨论，分别根据等腰三角形的性质求解即可． 【详解】（1）当时，四边形PDCQ是平行四边形， 此时， ∴， ∴， ∴当时，四边形是平行四边形． （2）如图所示，作交于点E， ∵ ∴ ∴四边形是矩形 ∴， ∴ ∴在中，， ∴如图所示，当时， ∴； 当时， ∵ ∴ ∴， ∵，点P从点A出发以的速度沿A→D→C运动， ∴当点P 倒点C停止运动时，， ∵当点P到达点C时，点Q也停止运动， ∴点Q运动的时间最多为11秒， ∵， ∴应舍去， 综上所述，当时，是以为腰的等腰三角形． 【点睛】此题主要考查动点问题，平行四边形的判定，一元一次方程，等腰三角形的性质等知识，解题的关键是根据题意列出方程求解． 21．课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在中，对角线，交点为． 求证：是矩形． 应用定理 （2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点． 求证：四边形是矩形（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 拓展迁移 （3）如图3，四边形的对角线，相交于点，且，，，，分别为，，，的中点．若，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）12 【分析】本题考查了中位线定理，平行四边形的判定，矩形的判定，菱形的性质，熟练掌握知识点的应用是解题的关键． （1）根据平行四边形的性质和已知条件判定，推出，利用平行线的性质得到，即可判定是矩形； （2）先根据中点结合菱形的性质证明，得，同理，，则，可知四边形是平行四边形，连接，，再证四边形是平行四边形，则，同理，四边形是平行四边形，则，得，即可证明四边形是矩形； （3）由中位线定理可得，， ，，即可证明四边形是平行四边形，由即可得出，从而证明四边形是矩形，利用面积公式即可求解． 【详解】解：（1）证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴是矩形； （2）证明：在菱形中，，，， ∵，，，分别为，，，的中点， ∴， ∴， ∴， 同理，，则， ∴四边形是平行四边形， 连接，， 在菱形中，，则， ∴四边形是平行四边形，则， 同理，四边形是平行四边形，则， ∴， ∴四边形是矩形； （3）∵，，，分别为，，，的中点， ∴，， ，， ∴四边形是平行四边形， 又∵， ∴， ∴， ∴四边形是矩形， ∴四边形的面积， 即四边形的面积是． 22．综合与实践 如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于点，垂足为点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在（2）的条件下，当______时，四边形是正方形． 【答案】(1)见解析 (2)四边形是菱形，理由见解析 (3)，理由见解析 【分析】本题考查了平行四边形的判定与性质、菱形的判定与性质、正方形的判定、等腰三角形的判定与性质，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）由题意得出，结合即可证明四边形是平行四边形； （2）先证明四边形是平行四边形，结合即可得出四边形是菱形； （3）当时，求出，结合菱形的性质求出，即可得解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形； （2）解：四边形是菱形，理由如下： ∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，在的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是菱形； （3）解：当时，四边形是正方形，理由如下： ∵，， ∴， ∵四边形是菱形， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是正方形． 故答案为：． 23．课本再现 如图1，四边形是菱形，，． （1）求，的长． 应用拓展 （2）如图2，为上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． ①直接写出点到距离的最小值； ②如图3，连接，，若的面积为6，求的长． 【答案】（1） （2）①；② 【分析】（1）由菱形的性质可得，，，，再进一步的解答即可； （2）①证明为等边三角形，可得，求解，如图，过作于，可得，当最小时，最小，可得当时，最小，再进一步解答即可； ②证明，可得，，证明，可得，再进一步解答可得答案． 【详解】解：（1）四边形是菱形，，． ，，，， ， ； （2）①四边形是菱形，， ，， 为等边三角形， ， 由旋转可得：，， ， 如图2，过作于， ， 当最小时，最小， 当时，最小， 此时， ， ， 点到距离的最小值为； ②四边形是菱形，， ，，， ， ， ， ，， ， ，的面积为6， ， ， ， ． 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，菱形的性质，勾股定理的应用，等边三角形的判定与性质，二次根式的除法运算，掌握以上基础知识是解本题的关键． 试卷第26页，共26页 2 / 26 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第十八章 平行四边形（A卷·提升卷） 考试时间：60分钟，满分：120分 一、单选题（每题3分，共18分） 1．如图，在四边形中，对角线，相交于点O，下列条件中，不能判定四边形是平行四边形的是（    ） A．， B．， C．， D．， 2．如图，在中，的平分线DE交BC于点E，若，则的周长为（   ） A．46 B．48 C．50 D．52 3．如图，在的两边上分别截取，使；分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧交于点；连接．若，四边形的面积为，则的长为（    ） A． B． C． D． 4．在平面直角坐标系中，平行四边形的顶点，，，则顶点的坐标是（     ） A． B． C． D． 5．如图，一根竹竿斜靠在竖直的墙上，P是的中点，在竹竿的顶端沿墙面下滑的过程中，长度的变化情况是（　　） A．不断增大 B．不断减小 C．先减小后增大 D．不变 6．如图， 点O为矩形的对角线的交点，， 点E从点B出发（不含点B）沿向点C运动，移动到点C停止，延长交于点F，则四边形形状的变化依次为（    ） A．平行四边形菱形平行四边形矩形 B．平行四边形正方形菱形矩形 C．平行四边形菱形正方形矩形 D．平行四边形正方形平行四边形矩形 二、填空题（每题3分，共18分） 7．如图，在中，请添加一个条件： ，使得成为矩形． 8．如图，的对角线与相交于点O，，，，则的长为 ． 9．如图，矩形为一个正在倒水的水杯截面图，若杯内水面刚好经过点，且，则水杯底面与水平面夹角的大小为 ． 10．如图，将两条宽度均为2的纸条相交成的角叠放，则重合部分构成的四边形的面积为 11．如图，在正方形中，对角线，交于点O，的平分线交于点E，过点E作交于点F，则的度数为 ．    12．如图，在菱形中，，，点，，分别为线段，，上的任意一点，则的最小值为 ． 三、解答题（13-17每题6分，18-20每题8分，21-22题9分，23题12分，共18分） 13．在中，，D是斜边上的一点，作，垂足为E，延长到F，连接，使． (1)求证：四边形是平行四边形． (2)连接，若E为中点，求证：． 14．如图，在中，平分于点，延长与交于点． （1）求证：； （2）若点为的中点，求的长． 15．如图，将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A落在点P处，折痕为． (1)求证：； (2)若，求的长． 16．如图，在中，已知，过点C作于点D，过点B作于点M，与相交于点E，且点E是的中点，连接，过点D作，交于点N． (1)求证：； (2)请探究线段、、之间的数量关系，并证明你的结论． 17．如图，在中，是边上的中线，点E是的中点，过点A作交的延长线于F，交于，连接． (1)求证：； (2)若，试判断四边形的形状，并证明你的结论． 18．如图1，，平分，且交于点，平分，且交于点，连接    (1)求证：四边形是菱形； (2)如图2，若交于点，且，，求菱形的边长． 19．如图，在正方形中，是对角线上一点，点在的延长线上，连接交于点． (1)求证：； (2)若，试判断与之间的数量关系和位置关系，并说明理由． 20．如图，在四边形中，，，，，，点P从点A出发以的速度沿A→D→C运动，点P从点A出发的同时点Q从点C出发，以的速度向点B运动，当点P到达点C时，点Q也停止运动．设点P，Q运动的时间为． (1)从运动开始，当t取何值时，四边形是平行四边形？ (2)在运动过程中，是否存在以为腰的等腰三角形？若存在，求出时间t的值；若不存在，说明理由． 21．课本再现 思考 我们知道，矩形的对角线相等．反过来，对角线相等的平行四边形是矩形吗？ 可以发现并证明矩形的一个判定定理：对角线相等的平行四边形是矩形． 定理证明 （1）为了证明该定理，小贤同学画出了图形（如图1），并写出了“已知”和“求证”，请你从矩形的定义出发完成证明过程． 已知：在中，对角线，交点为． 求证：是矩形． 应用定理 （2）如图2，在菱形中，，，，分别为，，，的中点． 求证：四边形是矩形（用“课本再现”中的矩形判定定理证明）． 拓展迁移 （3）如图3，四边形的对角线，相交于点，且，，，，分别为，，，的中点．若，，求四边形的面积． 22．综合与实践 如图，在中，，过点的直线，为边上一点，过点作，交直线于点，垂足为点，连接，． (1)求证：四边形是平行四边形； (2)当在中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由； (3)在（2）的条件下，当______时，四边形是正方形． 23．课本再现 如图1，四边形是菱形，，． （1）求，的长． 应用拓展 （2）如图2，为上一动点，连接，将绕点逆时针旋转，得到，连接． ①直接写出点到距离的最小值； ②如图3，连接，，若的面积为6，求的长． 试卷第26页，共26页 5 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$