精品解析：山东省潍坊市国开中学（中职班）2022-2023学年高二下学期6月月考数学试题

高二下学期第二次月考春考数学试卷 一、单选题（共20小题，共60分） 1. 三条直线两两相交，最多可以确定几个平面（ ） A. 一个 B. 二个 C. 三个 D. 四个 【答案】C 【解析】 【分析】根据两条直线最多确定一个平面可推出 【详解】设三条直线为，，，因为任意两条直线最多确定一个平面； 所以最多有，，确定的三个平面； 故选：. 2. 如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中点，则下列叙述正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. 与是共面直线 C. 与是异面直线 D. 与是共面直线 【答案】C 【解析】 【分析】根据共面直线和异面直线概念判断即可. 【详解】A：因为平面，平面， 所以与是共面直线，故A错误； B：因为平面，平面，且， 所以与不是共面直线，故B错误； C：因为平面，平面，且， 所以与是异面直线，故C正确. D：因为平面，平面，且， 所以与不是共面直线，故D错误. 故选：C. 3. 如图所示是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，与的位置关系为（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面而且垂直 D. 异面但不垂直 【答案】D 【解析】 【分析】将展开图还原为正方体即可解得. 【详解】由题，将展开图还原为正方体如下图所示： 与是图中正方体相邻的两个面的对角线，既不平行也不相交，它们不同在任何一个平面内， 故可知与异面， 通过观察正方体中各边的空间位置关系，发现与异面不垂直. 故选：D 4. 下列命题正确的是（ ） A. 一条直线和一个点确定一个平面 B. 四边形确定一个平面 C. 两条相交直线确定一个平面 D. 三个点确定一个平面 【答案】C 【解析】 【分析】根据平面的基本性质判断即可. 【详解】选项A：根据平面几何知识，一条直线和直线外的一个点可以确定一个平面， 但若点在直线上，则不能确定一个平面，因此，选项A表述不准确. 选项B：四边形不一定能确定一个平面，只有当四边形是平面四边形时，才能确定一个平面， 因此，选项B表述不准确. 选项C：两条相交直线可以确定一个平面，因此，选项C表述准确. 选项D：不共线的三个点可以确定一个平面，因此，选项D表述不准确. 故选：C. 5. 能使两个不同平面与平行的条件是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. ，垂直于同一个平面 C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一条直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据面面平行的判定与性质逐项判断即可. 【详解】内有无数条直线与平行，则平面与相交或平行，故A错误， ，垂直于同一个平面，则平面与相交或平行，故B错误， ，平行于同一条直线，则平面与相交或平行，故C错误， ，垂直于同一条直线，则平面与平行，故D正确， 故选：D 6. 对于平面和两条直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若与所成的角相等，则 C. 若，，则 D. 若，，n在平面外，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合线面关系、线线关系，即可判断求解. 【详解】对于A，若，，则或，故选项A错误； 对于B，若与所成角相等，则，或异面，或相交，都有可能，故选项B错误； 对于C，若，，则，或异面，或相交，都有可能，故选项C错误； 对于D，若，，n在平面外，根据线面平行的判定定理，可得一定成立， 故选项D正确； 故选：D. 7. 已知是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，垂直于同一平面，则与可能相交 B. 若平行于同一平面，则m与n可能异面 C. 若不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 D. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面之间的关系逐项分析即可. 【详解】若，垂直于同一平面，则与平行或相交，故A正确， 若平行于同一平面，则m与n可能平行，相交或异面，故B正确， 根据垂直于同一个平面的两条直线平行可知， 若不平行，则m与n不可能垂直于同一平面，故C正确， 若，相交时，如图，在内存在与平行的直线，故D错误， 故选：D. 8. 在正方体中，下面四条直线中与平面平行的直线是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的定义及判定定理逐个分析即可. 【详解】如图所示，与交于点， 且平面，则与平面相交， 所以与平面不平行，故A错误. 与平行，且与交于点， 且平面，则与平面相交， 所以与平面不平行，故B错误. 与平行，且与交于点， 且平面，则与平面相交， 所以与平面不平行，故C错误. 由为正方体可知，，且， 所以四边形是平行四边形，所以， 又平面，平面， 平面，所以D正确， 故选：D． 9. 已知，是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面，平行的是（ ） A. m，n是平面内两条直线，且， B. m，n是两条异面直线，，，且， C. 平面内不共线的三点到平面的距离相等 D. 设a是直线，， 【答案】B 【解析】 【分析】根据面面平行的判定定理，即可求解. 【详解】对于A：m，n是平面内两条直线，且，， 缺少m与n相交，不能判断，所以A错误； 对于B：因为，所以在内存在直线，又，所以 又因为是两条异面直线，所以直线与是两条相交直线， 又因为，所以，所以B正确； 对于C：当此不共线的三点在平面同一侧时，若不在同一侧，则不平行， 所以C错误； 对于D：当两平面相交时，平行于交线，也存在，，所以D错误. 故选：B. 10. 已知直线平面，直线，则a与b的关系为（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的关系结合图形即可解答. 【详解】已知直线平面，直线，如图， 则a与b的关系为平行或异面， 故选：D. 11. 与同一平面平行的两条直线（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行、相交、异面 【答案】D 【解析】 【分析】根据线面平行的概念和性质定理，即可判断求解. 【详解】 根据线面平行的概念和性质定理，可得与同一平面平行的两条直线平行、相交、异面都有可能，如图： 假设，直线都在平面内，直线l在平面内， 则，此时,相交，异面. 故选：D. 12. 若直线直线b，且直线平面，则（ ） A. B. C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的关系结合图形即可解答. 【详解】若直线直线b，且直线平面，如图， 则或， 故选：D. 13. 过平面外两点作该平面平行平面，可以作（ ） A. 0个 B. 1个 C. 0个或1个 D. 1个或2个 【答案】C 【解析】 【分析】利用平面间的位置关系，分类讨论两点的所在的直线与已知平面的位置关系即可得解. 【详解】当两点的所在的直线与已知平面相交时， 此时过这两点的平面与已知平面必然相交，即可以作个平行平面； 当两点的所在的直线与已知平面平行时， 过这两点有且只有一个平面与已知平面平行，即可以作个平行平面； 综上，过平面外两点作该平面的平行平面，可以作0个或1个. 故选：C. 14. 如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（    ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据已知，结合图形，利用中位线，把异面直线所成角的问题转化为三角形的内角，根据等角定理以及三角形的性质求解. 【详解】   如图，取中点，连接、，因为E，F分别是中点， 所以，， 又，， 所以，， 因为，所以， 所以在中，， 所以， 因为，根据等角定理可知， 与所成的角的大小是. 故选：A 15. 在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由线面平行的判断定理即可选定选项. 【详解】对于选项A，如图1所示，连，易知平面平面, 而点在平面外，所以直线与平面不平行，故本题选项是A; 对于选项B，如图2所示，因， 所以，直线在平面外，在平面内，平面，故不能选B； 对于选项C，如图3所示，同理可证明平面，故不能选C； 对于选项D，如图4所示，同理可证明平面，故不能选D； 故选：A. 16. 设是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】B 【解析】 【分析】利用线面垂直、面面平行的判定定理和性质定理进行求解即可. 【详解】，当时，， 又，所以可以推出，故必要性成立； 如图，在正方体中，取平面为平面，平面为平面， 直线为直线，直线为直线， 显然有， 但，即推不出，故充分性不成立； 所以“”是“”的必要不充分条件. 故选：B. 17. 若为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面，平面与平面之间垂直和平行的关系逐项分析即可. 【详解】若，，则或，故A错误， 若，，则或，故B错误， 若，，则，则或，故C错误， 若，，则成立，故D正确. 故选：D. 18. 设，为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 【答案】B 【解析】 【分析】利用平面与平面平行的判定，以及直线与平面垂直的判定和平面与平面垂直的判定判断． 【详解】，为不重合的平面，为不重合的直线， A选项，若，，，则或相交，故A错误； B选项，若，，则，又，则，故B正确； C选项，若，，，则或或相交，故C错误； D选项，若，，，则与可能平行可能相交或 ，故D错误. 故选：B. 19. 如图，正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值等于（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，取的中点，连接，结合面面垂直的性质定理，易证平面，则是直线与平面所成角，结合解直角三角形，即可求解. 【详解】 如图，取的中点，连接，则， 因为正三棱柱中，平面， 又平面，所以平面平面， 因为平面平面， 所以平面， 所以是直线与平面所成角， 因为平面，所以, 在中，因为， 所以，， 所以， 即与平面所成角的正弦值等于. 故选：C. 20. 若，是空间两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） ①若，，且，则； ②若，，且，则； ③若，，且，则； ④若，，，，则． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ③④ 【答案】B 【解析】 【分析】由空间中直线与直线、直线与平面的位置关系判定①③；由平行于同一直线的两平面的位置关系判定②；由直线于平面平行判定④. 【详解】对于①：若，且，则或， 又因为，所以；故①正确； 对于②：若，且，则或与相交，故②错误； 对于③：若，，且，根据面面垂直的性质定理：如果两个平面互相垂直， 那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，此处缺少，因此得不到， 故③错误； 对于④：若，，，， 由面面平行的性质：两个平面平行，如果一条直线在其中一个平面内，那么这条直线与另一个平面平行，则， 故④正确. 故选：B. 二、填空题（共5小题，共20分） 21. 在正三棱柱中，，则直线与所成角的大小为__________；直线到平面的距离为__________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】找到平行直线，根据边的关系求解角的度数即可；由线面垂直可得直线到平面的距离. 【详解】连接， 在正三棱柱中，， 所以为直线与所成角或其补角， ，所以， 所以在直角中，， 所以直线与所成角的大小为； 过点作， 因为，平面，平面， 所以平面， 在正三棱柱中，平面， 且平面，所以， 又，平面， 所以平面， 所以即为直线到平面的距离， 又因为为等边三角形，且边长为2， 所以， 所以直线到平面的距离为. 故答案为：，. 22. 在边长为a等边三角形中，于D，沿折成二面角后，，这时二面角的大小为__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，易得沿折成二面角后，,故是二面角的平面角，结合边长之间的关系，即可求解. 【详解】 由题意，在边长为a的等边三角形中，， 沿折成二面角后，, 又平面，平面，平面平面， 所以是二面角的平面角， 又，， 所以是等边三角形，故. 即二面角的大小为. 故答案为：. 23. 如图，在正方体中，，E为的中点，点F在上，若平面，则线段的长度等于__________． 【答案】 【解析】 【分析】根据直线与平面平行的性质得出即可解答. 【详解】在正方体中，， ， 平面，且平面， 又平面平面， ， E为的中点， 点F是的中点，， 故答案为：. 24. 如图，在直三棱柱中，，，P为的中点，则直线与所成的角为__________． 【答案】 【解析】 【分析】取中点为，连接，得出为直线与所成的角或补角，再由直三棱柱的几何特征结合余弦定理求值即可. 【详解】取中点为，连接， 为直三棱柱，且P为的中点， ，四边形为平行四边形， ，故为直线与所成的角或补角， 设，为直三棱柱， 平面，平面，平面， ， 则， ，且，， ，， ， ， 设直线与所成的角为， ，由， 所以直线与所成的角为. 故答案为：. 25. 空间中不共线的四个点可以确定__________个平面；经过依次首尾相连的四条线段所在的直线，最多可以确定__________个平面． 【答案】 ①. 或 ②. 【解析】 【分析】根据平面的基本性质结合组合数即可解答. 【详解】由平面的基本性质可知，空间中不共线的三点可以确定一个平面， 空间中不共线的四个点，若四个点共面确定一个平面， 若四个点不共面可以确定个平面， 所以空间中不共线的四个点可以确定或个平面， 经过依次首尾相连的四条线段所在的直线，若四条线段共面则确定一个平面， 若四条线段不共面，则每相邻两条直线可确定一个平面共确定个平面， 所以最多可以确定个平面， 故答案为：或，. 三、解答题（共5小题，共40分） 26. 如图，与均为平行四边形，分别是的中点． （1）求证：平面． （2）求证：平面平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由线线平行推出线面平行即可. （2）由线线平行推出面面平行即可． 【小问1详解】 如图，连接，则必过与的交点， 连接，则为的中位线， 所以， 因为平面，平面， 所以平面. 【小问2详解】 因为， 且交于点，交于点， 所以平面平面. 27. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证： （1）平面AB1D1//平面C1BD； （2）求直线D1A与BA1所成角． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）在正方体中，分别证明平面，平面，由面面平行的判定定理可证. （2）异面直线求夹角，将异面直线转换到同一平面内，进行求解. 【小问1详解】 证：在正方体中，，且，所以四边形为平行四边形，则，同理. 平面，平面；所以平面， 同理平面，且， 所以平面平面. 【小问2详解】 ∵， ∴是直线与所成角， ∵， ∴， ∴直线与所成角为． 28. 如图，在直三棱柱中，与相交于点为的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求证：平面． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）连接，再根据线面平行的判定定理证明即可. （2）根据线面垂直的判定定理和性质定理证明即可. 【小问1详解】 连接，为直三棱柱， 为矩形，为的中点， 为的中点，在中，， 平面，平面， 平面. 【小问2详解】 ，四边形为正方形，， 为直三棱柱，平面， 平面，， ，且，为平面中两条相交的直线， 平面， 平面，， 且，为平面中两条相交的直线， 平面， ，平面. 29. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取中点为，连接根据面面垂直的性质得出平面，再由线面垂直的性质和判定证明即可. （2）连接，得出为直线与平面所成角，再由正弦函数的定义求值即可. 【小问1详解】 取中点为，连接， 为等边三角形，， 又平面平面，且平面平面，平面， 平面， 又平面，， ，且平面，平面，, 平面. 【小问2详解】 连接，由（1）可知，平面， 为直线与平面所成的角或补角， ，为等边三角形，， ，，， 在中，， 直线与平面所成角的正弦值为. 30. 如图，在直三棱柱中，平面，其垂足D落在直线上． （1）求证：； （2）若P是线段上一点，，，三棱锥的体积为，求二面角的平面角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据线面垂直的判定定理得出平面，再由线面垂直的性质即可得证. （2）连接，过点作交于点，过点作,为垂足，连接，通过证明，得出为二面角的平面角，在三角形中利用边角关系求解即可. 【小问1详解】 为直三棱柱， 平面，平面， ，平面，且平面， ，平面，平面， 且，平面， 平面，. 【小问2详解】 由（1）可知，平面， 平面，， ，， 设，中，以为底边的高为， 则，， （等面积法）， ，， ，即， ，三棱锥的体积为， 即， ，解得， ， 连接，过点作交于点， 则，， 过点作,为垂足，连接， 平面，平面， 平面，， ，且为平面的两条相交直线， 平面，平面， ，故为二面角的平面角， 在中，可得 ，， ，由等面积法可得, 即，解得， ， 所以二面角的平面角的正弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 高二下学期第二次月考春考数学试卷 一、单选题（共20小题，共60分） 1. 三条直线两两相交，最多可以确定几个平面（ ） A. 一个 B. 二个 C. 三个 D. 四个 2. 如图，三棱柱中，底面三角形是正三角形，是的中点，则下列叙述正确的是（ ） A. 与是异面直线 B. 与是共面直线 C. 与是异面直线 D. 与是共面直线 3. 如图所示是一个正方体的平面展开图，则在该正方体中，与的位置关系为（ ） A 相交 B. 平行 C. 异面而且垂直 D. 异面但不垂直 4. 下列命题正确是（ ） A. 一条直线和一个点确定一个平面 B. 四边形确定一个平面 C. 两条相交直线确定一个平面 D. 三个点确定一个平面 5. 能使两个不同平面与平行的条件是（ ） A. 内有无数条直线与平行 B. ，垂直于同一个平面 C. ，平行于同一条直线 D. ，垂直于同一条直线 6. 对于平面和两条直线，下列说法正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若与所成的角相等，则 C. 若，，则 D. 若，，n在平面外，则 7. 已知是两条不同直线，，是两个不同平面，则下列命题错误的是（ ） A. 若，垂直于同一平面，则与可能相交 B. 若平行于同一平面，则m与n可能异面 C. 若不平行，则m与n不可能垂直于同一平面 D. 若，不平行，则在内不存在与平行的直线 8. 在正方体中，下面四条直线中与平面平行的直线是（ ） A. B. C. D. 9. 已知，是两个不重合的平面，在下列条件中，可判断平面，平行的是（ ） A. m，n是平面内两条直线，且， B. m，n是两条异面直线，，，且， C. 平面内不共线的三点到平面的距离相等 D. 设a是直线，， 10. 已知直线平面，直线，则a与b的关系为（ ） A. 相交 B. 平行 C. 异面 D. 平行或异面 11. 与同一平面平行的两条直线（ ） A. 平行 B. 相交 C. 异面 D. 平行、相交、异面 12. 若直线直线b，且直线平面，则（ ） A. B. C. D. 或 13. 过平面外两点作该平面的平行平面，可以作（ ） A 0个 B. 1个 C. 0个或1个 D. 1个或2个 14. 如图，四面体中，，，E，F分别是的中点，若，则与所成的角的大小是（    ） A. B. C. D. 15. 在下列四个正方体中，、为正方体的两个顶点，为所在棱的中点，则在这四个正方体中，直线与平面不平行的是（ ） A. B. C. D. 16. 设是两条不同的直线，，是两个不同的平面，且，，则“”是“”的（ ） A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 17. 若为两条不同的直线，，为两个不同的平面，则下列结论正确的是（ ） A. 若，，则 B. 若，，则 C. 若，，则 D. 若，，则 18. 设，为不重合的平面，为不重合的直线，则下列命题正确的是（ ） A. 若，，，则 B. 若，，，则 C. 若，，，则 D. 若，，，则 19. 如图，正三棱柱中，，则与平面所成角的正弦值等于（ ） A. B. C. D. 20. 若，是空间两个不同的平面，m，n是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ） ①若，，且，则； ②若，，且，则； ③若，，且，则； ④若，，，，则． A. ①③ B. ①④ C. ②③ D. ③④ 二、填空题（共5小题，共20分） 21. 在正三棱柱中，，则直线与所成角大小为__________；直线到平面的距离为__________． 22. 在边长为a等边三角形中，于D，沿折成二面角后，，这时二面角的大小为__________． 23. 如图，在正方体中，，E为的中点，点F在上，若平面，则线段的长度等于__________． 24. 如图，在直三棱柱中，，，P为的中点，则直线与所成的角为__________． 25. 空间中不共线的四个点可以确定__________个平面；经过依次首尾相连的四条线段所在的直线，最多可以确定__________个平面． 三、解答题（共5小题，共40分） 26. 如图，与均为平行四边形，分别是的中点． （1）求证：平面． （2）求证：平面平面． 27. 已知正方体ABCD−A1B1C1D1，O1为底面A1B1C1D1的中心．求证： （1）平面AB1D1//平面C1BD； （2）求直线D1A与BA1所成角． 28. 如图，在直三棱柱中，与相交于点为的中点． （1）求证：平面； （2）若，，求证：平面． 29. 如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，为等边三角形，平面平面，，，． （1）求证：平面； （2）求直线与平面所成角的正弦值． 30. 如图，在直三棱柱中，平面，其垂足D落在直线上． （1）求证：； （2）若P是线段上一点，，，三棱锥的体积为，求二面角的平面角的正弦值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$