2025年天津市初中学业水平考试模拟试卷（一）

2025年天津市初中学业水平考试模拟试卷（一） 数学 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页.试卷满分120分．考试时间100分钟． 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.计算的结果是（ ） A.7 B.5 C.3 D.7 2. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 3.估计的值在（ ） A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 4.下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A.中 B.国 C.梦 D.强 5.某商场一天的客流量为4800人，将4800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 6.的值等于（ ） A. B.1 C. D. 7.计算的结果是（ ） A.3 B.x C. D. 8.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 9.用一根绳子测量桌子的长度，绳子比桌子长2米；把绳子对折后测量，桌子比绳子的一半长0.5米.设绳子长米，桌子长米，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 10．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线分别交于点E，若，则的长为（  ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 11．如图，已知在△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论中错误的是(　　) A．BC＝B′C′ B．AC∥C′B′ C．C′B′⊥BB′ D．∠ABB′＝∠ACC′ 12.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是.有下列结论： ①小球从抛出到落地需要4s； ②小球运动中的高度可以是25m； ③小球运动1s时的高度大于运动3s时的高度. 其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 2025年天津市初中学业水平考试试卷 数学 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13.不透明袋子中装有8个球，其中有2个黄球、3个白球、3个紫球，这些球除颜色外无其他差别.从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率为______. 14.计算的结果等于______. 15.计算的结果等于______。 16.将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为______. 17．如图，点E是正方形ABCD中BC延长线上一点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝4，DF＝，则AE的长为_________． 18．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，M均为格点，点A，B，M均在以格点O为圆心的圆上． (1)线段AB的长等于__________； (2)请你只用无刻度的直尺．在线段AB上画点P，使AM2＝AP·AB，并简要说明点P是如何找到的(不要求证明) __________________________________________ ． 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 19.解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_________； （2）解不等式②，得_________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_______________． 20．某排球队为了解运动员的年龄情况，做了一次年龄调查，根据排球运动员的年龄(单位：岁)，绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的排球运动员人数为_____，图①中m的值为_______； (2)求统计的这组排球运动员年龄数据的平均数、众数和中位数． 21．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CP交AB的延长线于点P，D为上一点，连接AD，DC，BC. (1)如图①，若∠P＝38°，求∠ADC的大小； (2)如图②，连接BD，若BC＝DC＝2，BD＝8，求⊙O的半径． 22．如图，建筑物BC上有一高为8 m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求建筑物BC的高为多少米．(结果保留小数点后一位) (参考数据sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33) 23.王芳已知家、超市、公园依次在同一条直线上，超市离家0.6km，公园离家1.2km.王芳从家出发，先用10min匀速跑步到公园，在公园锻炼了30min.之后匀速步行了10min到超市购物，在超市停留10min后，用了20min匀速散步返回家.下面图中表示时间，表示离家的距离.图象反映了这个过程中王芳离家的距离与时间之间的对应关系. 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 王芳离开家的时间/min 1 10 20 60 王芳离家的距离/km 1.2 ②填空：王芳从公园到超市的速度为 _____ km/min； ③当50≤x≤80时，请直接写出王芳离家的距离y关于时间x的函数解析式． (2)当王芳离开公园15 min时，同住的李华也从公园出发匀速步行直接回家，如果李华的速度为0.06 km/min，那么他在回家的途中遇到王芳时，离家的距离是多少？(直接写出结果即可) 24.在平面直角坐标系中，为原点，矩形OABC的顶点，.等边三角形ODE的顶点，顶点在第二象限. （I）填空：如图①，点的坐标为_________,点的坐标为__________. （II）将沿轴向右平移，得，点，，的对应点分别为O'，D'，E'，设，与矩形OABC重叠部分的面积为. ①如图②，当与矩形OABC重叠部分为五边形时，边O'D'与AB相交于点，边D'E'与OC相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围. ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）. 25.抛物线（，为常数，）顶点为，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点；直线过点且平行于轴，为第一象限内直线上一动点，为线段BC上一动点. （Ⅰ）若，. ①求点和点，的坐标； ②当点为直线与抛物线的交点时，求MN的最小值； （Ⅱ）若，，且的最小值等于时，求，的值. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年天津市初中学业水平考试模拟试卷（一） 数学 本试卷分为第I卷（选择题）、第II卷（非选择题）两部分．第I卷为第1页至第3页，第II卷为第4页至第8页。试卷满分120分．考试时间100分钟． 第I卷 一、选择题（本大题共12小题，每小题3分，共36分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1.计算的结果是（ ） A.7 B.5 C.3 D.7 【答案】A 【分析】本题考查有理数的减法运算，减去一个数等于加上这个数的相反数。 【解答】，所以选A。 【点评】有理数减法关键在于理解法则，将减法转化为加法。 2. 下图是一个由5个相同的正方体组成的立体图形，它的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】主视图是从物体的前面向后面投射所得的视图。需要确定从前面看这个由 5 个相同正方体组成的立体图形时，各个正方体的位置呈现情况。 【解答】从前面看，最左边有 1 列，高度为 1 个正方体；中间有 1 列，高度为 1 个正方体；最右边有2列，高度分别为 1 个正方体和 2 个正方体，符合此特征的是 B 选项。 【点评】本题考查简单组合体的三视图，关键在于理解主视图的定义，准确把握从正面观察立体图形时的形状特征，属于基础的视图判断题目。 3.估计的值在（ ） A.2和3之间 B.3和4之间 C.4和5之间 D.5和6之间 【答案】C 【分析】利用完全平方数来估算二次根式的值，找到与被开方数相邻的两个完全平方数。 【解答】因为，即，所以，答案选C。 【点评】通过比较被开方数与完全平方数的大小关系来确定二次根式的范围，这是二次根式估值的基本方法。 4.下列4个汉字中，可以看作是轴对称图形的是（ ） A.中 B.国 C.梦 D.强 【答案】A 【分析】如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴。据此逐一分析选项中的汉字。 【解答】“中”字沿着中间竖线对折后，直线两侧的部分能够完全重合，是轴对称图形；“国”“梦”“强”沿着任何一条直线对折后，直线两侧的部分都不能完全重合，不是轴对称图形。所以答案是A。 【点评】判断汉字是否为轴对称图形，关键是看能否找到一条直线，使汉字沿此直线对折后完全重合，平时可以多观察常见汉字的对称性。 5.某商场一天的客流量为4800人，将4800用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【分析】科学记数法的表示形式为，其中，为整数。确定的值时，要看把原数变成时，小数点移动了多少位，的值与小数点移动的位数相同。当原数绝对值时，是正数；当原数绝对值时，是负数。 【解答】将4800转变为科学记数法，，原数变成4.8小数点向左移动了3位，所以，即，故选B。 【点评】科学记数法是一种用于表示非常大或非常小的数的简洁方法，关键在于正确确定和的值。 6.的值等于（ ） A. B.1 C. D. 【答案】A 【分析】本题考查特殊三角函数值的应用以及二次根式的运算。需要先明确，再代入原式进行计算。 【解答】因为，所以，答案选A。 【点评】要牢记特殊三角函数值，在进行混合运算时按照先乘除后加减的顺序进行计算。 7.计算的结果是（ ） A.3 B.x C. D. 【答案】A 【分析】同分母分式相减，分母不变，分子相减，然后对分子进行化简。 【解答】（），故选A。 【点评】同分母分式的加减法是分式运算的基础，要注意化简过程中分母不能为0的条件。 8.若点，，都在反比例函数的图象上，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】把各点的纵坐标代入反比例函数，求出对应的横坐标，再比较大小。 【解答】把代入，得，解得；把代入，得，解得；把代入，得，解得。因为，所以，故选A。 【点评】对于反比例函数上的点，通过代入函数解析式求出坐标值，再比较大小，是解决这类问题的常用方法。 9.用一根绳子测量桌子的长度，绳子比桌子长2米；把绳子对折后测量，桌子比绳子的一半长0.5米。设绳子长米，桌子长米，可列方程组为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【分析】根据“绳子比桌子长2米”和“桌子比绳子的一半长0.5米”这两个条件，找出等量关系列出方程组。 【解答】由“绳子比桌子长2米”可得；由“桌子比绳子的一半长0.5米”可得，所以可列方程组为，故选A。 【点评】列二元一次方程组的关键是准确分析题目中的数量关系，找到两个等量关系来列出方程。 10．如图，在中，，以点A为圆心，长为半径画弧，交于点D，再分别以B，D为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于M，N两点，作直线分别交于点E，若，则的长为（  ） A．3 B．4 C．4.5 D．5 【答案】B 【分析】本题考查了，作图等长线段，作图垂直平分线，勾股定理，解题的关键是：由作图方法得到等量关系式．根据取等长线段的做法，垂直平分线的做法，得到，，即可求出，在中，由勾股定理即可求解． 【详解】解：根据作图可得：，为的垂直平分线， ， ， ， ， ， 故选：B． 11．如图，已知在△ABC中，∠CAB＝20°，∠ABC＝30°，将△ABC绕点A逆时针旋转50°得到△AB′C′，以下结论中错误的是(　　) A．BC＝B′C′ B．AC∥C′B′ C．C′B′⊥BB′ D．∠ABB′＝∠ACC′ 【答案】C 【分析】根据旋转的性质，旋转前后对应边相等，对应角相等，通过分析各选项所涉及的边和角的关系来判断对错。 【解答】选项A：因为绕点逆时针旋转得到，根据旋转的性质可知，对应边相等，所以，该选项正确。 选项B：由旋转可得，， 则， 又因为，所以， 根据内错角相等，两直线平行，可得，该选项正确。 选项C：，，则，，， 所以C'B'与BB'不垂直，该选项错误。 选项D：因为∆ABC绕点旋转得到，所以，，又因为，所以，该选项正确。 【点评】本题主要考查旋转的性质以及平行线的判定、等腰三角形的性质等知识，熟练掌握旋转的性质，准确分析各角之间的关系是解题的关键。 12.从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度（单位：）与小球的运动时间（单位：）之间的关系式是。有下列结论： ①小球从抛出到落地需要4s； ②小球运动中的高度可以是25m； ③小球运动1s时的高度大于运动3s时的高度。 其中，正确结论的个数是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【分析】 ①当小球落地时，高度，将其代入关系式求出的值，判断小球从抛出到落地的时间； ②令等于给定高度，看方程是否有符合条件的解，判断小球能否达到该高度； ③分别将和代入关系式，求出对应高度并比较大小。 【解答】 ①当时，，即，解得或。是抛出时刻，是落地时刻，所以小球从抛出到落地需要4s，①正确。 ②令，则，即。，方程无实数解，所以小球运动中的高度不可以是25m，②错误。 ③当时，；当时，。所以小球运动1s时的高度等于运动3s时的高度，③错误。 综上，正确的结论有个，答案选B。 【点评】本题考查二次函数在实际问题中的应用，关键是理解每个结论的含义，通过代入计算和方程求解来判断其正确性。 2025年天津市初中学业水平考试试卷 数学 第II卷 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 13.不透明袋子中装有8个球，其中有2个黄球、3个白球、3个紫球，这些球除颜色外无其他差别。从袋子中随机取出1个球，则它是黄球的概率为______。 【答案】 【分析】根据古典概型概率公式，求从袋子中随机取一个球是黄球的概率，需要确定黄球的个数以及球的总个数，然后用黄球个数除以总球数。 【解答】球的总个数为，黄球个数为，所以随机取出一个球是黄球的概率。 【点评】本题主要考查古典概型概率的计算，关键在于明确基本事件总数和所求事件包含的基本事件数。 14.计算的结果等于______。 【答案】 【分析】根据同底数幂的乘法运算法则：同底数幂相乘，底数不变，指数相加，先计算，再乘以系数。 【解答】因为同底数幂相乘，底数不变，指数相加，所以，则。 【点评】本题综合考查同底数幂乘法与系数运算，要注意运算顺序和法则运用。 15.计算的结果等于______。 【答案】22 【分析】本题可利用平方差公式，其中，，将原式展开计算。 【解答】根据平方差公式可得。 【点评】本题考查平方差公式在二次根式运算中的应用，关键是要准确识别式子形式并运用公式进行简便计算。 16.将直线向上平移个单位长度，平移后直线的解析式为______。 【答案】 【分析】根据一次函数图象平移的规律“上加下减”（对于，向上平移个单位时，解析式变为；向下平移个单位时，解析式变为），对直线进行平移。 【解答】直线向上平移个单位长度，根据“上加下减”原则，平移后直线的解析式为。 【点评】本题考查一次函数图象的平移规律，掌握该规律就能轻松解决此类问题。 17．如图，点E是正方形ABCD中BC延长线上一点，连接AE，点F是AE的中点，连接DF，若AB＝4，DF＝，则AE的长为_________． 【答案】 【分析】延长DF交BE于点，通过证明，得到，，再利用直角三角形的性质和勾股定理求解AB（也就是求AD）相关线段长度，进而求出AE。 【解答】 1.延长DF交BE于点。 因为四边形ABCD是正方形，所以，则，。 又因为点是AE的中点，即。 根据AAS（两角及其中一角的对边对应相等的两个三角形全等）可得。 那么，。 2.在中，，，根据勾股定理可得。 3.所以。 4.在中，，， 根据勾股定理。 【点评】本题通过作辅助线构造全等三角形，将所求线段与已知线段联系起来，再利用正方形的性质和勾股定理求解，关键在于利用中点构造全等以及对勾股定理的熟练运用。 18．如图，在网格中，每个小正方形的边长均为1，每个小正方形的顶点称为格点，点A，B，M均为格点，点A，B，M均在以格点O为圆心的圆上． (1)线段AB的长等于__________； (2)请你只用无刻度的直尺．在线段AB上画点P，使AM2＝AP·AB，并简要说明点P是如何找到的(不要求证明) __________________________________________ ． 【答案】(1)4 (2)如图，取格点I，连接MI交AB于点P，则点P即为所求 【解答】本题考查勾股定理、正方形网格背景下的无刻度直尺作图问题． (1)由网格可知AB＝＝4. (2)简要证明如下：由网格可得点P是小正方形的中心， ∴AP＝＝.∵AM＝2， ∴AM2＝4，AP·AB＝×4＝4＝AM2，此题得证． 【点评】本题考查了勾股定理以及在网格中构造几何关系确定点的位置，重点在于对勾股定理的应用和对网格中几何图形性质的理解，通过构造相似三角形来满足线段乘积关系是解决本题第二问的关键 三、解答题（本大题共7小题，共66分．解答应写出文字说明，演算步骤或推理过程） 19.解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答． （1）解不等式①，得_________； （2）解不等式②，得_________； （3）把不等式①和②的解集在数轴上表示出来： （4）原不等式组的解集为_______________． 【答案】 【分析】分别求解不等式①和②，再找出它们解集的公共部分，这个公共部分就是不等式组的解集。求解过程依据不等式的基本性质。 【解答】 解不等式①：，根据不等式两边同时减去同一个数，不等号方向不变，两边同时减，得到，即。 解不等式②：，根据不等式两边同时减去同一个整式，不等号方向不变，两边同时减5x，得到，即。 把不等式①和②的解集在数轴上表示出来（数轴略），①的解集是数轴上及其右边的部分，②的解集是数轴上及其左边的部分，它们的公共部分是。 所以原不等式组的解集为。 【点评】本题考查一元一次不等式组的解法，关键在于准确求解每个不等式，并能通过数轴或口诀确定解集的公共部分。 20．某排球队为了解运动员的年龄情况，做了一次年龄调查，根据排球运动员的年龄(单位：岁)，绘制出如下的统计图①和图②.请根据相关信息，解答下列问题： (1)本次接受调查的排球运动员人数为_____，图①中m的值为_______； (2)求统计的这组排球运动员年龄数据的平均数、众数和中位数． 【答案】(1)40；30 (2)平均数：15；众数：16；中位数：15 【分析】（1）用13岁的人数除以其对应百分比可得到接受调查的总人数，再用减去其他年龄对应的百分比可求出的值。 (2)根据平均数、众数、中位数的定义分别进行计算。平均数是所有数据的总和除以数据个数；众数是一组数据中出现次数最多的数据；中位数是将一组数据从小到大（或从大到小）重新排列后，最中间的那个数（如果数据个数是奇数）或最中间两个数的平均数（如果数据个数是偶数）。 【解答】(1)13岁的人数为，占比，则接受调查的排球运动员人数为（人）。 ，所以。 (2)平均数：观察条形统计图， ∵＝＝15， ∴这组数据的平均数是15. 众数：∵在这组数据中，16出现了12次，出现的次数最多， ∴这组数据的众数为16. 中位数：∵将这组数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，有＝15，∴这组数据的中位数为15. 【点评】本题考查了扇形统计图、条形统计图以及平均数、众数、中位数的计算，关键是从统计图中获取准确的数据信息，掌握相关统计量的计算方法，通过数据处理来解决问题。 21．已知AB为⊙O的直径，C为⊙O上一点，过点C作⊙O的切线CP交AB的延长线于点P，D为上一点，连接AD，DC，BC. (1)如图①，若∠P＝38°，求∠ADC的大小； (2)如图②，连接BD，若BC＝DC＝2，BD＝8，求⊙O的半径． 【分析】对于（1），通过连接半径构造直角三角形，利用切线性质求出相关角度，再借助圆周角定理及其推论逐步求解 的度数，体现了转化的数学思想。 对于（2），由等弦推出等弧，进而得到等角，结合直径所对圆周角是直角，利用勾股定理和三角函数关系建立方程求解半径，综合考查了学生分析问题和解决问题的能力，以及方程思想在几何中的应用。 【解答】(1)连接OC， ∵CP为⊙O的切线， ∴OC⊥PC，∴∠PCO＝90°. ∵∠P＝38°， ∴∠COP＝90°－38°＝52°. ∵OB＝OC， ∴∠OBC＝∠OCB＝×(180°－52°)＝64°. ∵∠ADC＋∠OBC＝180°， ∴∠ADC＝180°－64°＝116°. (2)连接OD，连接OC交BD于点E， ∵BC＝DC，OB＝OD，∴OC⊥BD，BE＝DE. 又BD＝8，∴BE＝DE＝4. 在Rt△CEB中， CE＝＝＝2. 设⊙O的半径为r， ∴OE＝r－2. 在Rt△OEB中，OB2＝OE2＋BE2， ∴r2＝(r－2)2＋42， ∴r＝5，即⊙O的半径为5. 【点评】本题主要考查了三角形内角和定理、等腰三角形的性质、圆内接四边形的性质、垂直平分线的判定、圆的切线性质、圆周角定理、直角三角形的性质以及勾股定理等知识。这些知识点都是圆这一章节的核心内容，要求学生熟练掌握并能灵活运用。 22．如图，建筑物BC上有一高为8 m的旗杆AB，从D处观测旗杆顶部A的仰角为53°，观测旗杆底部B的仰角为45°，求建筑物BC的高为多少米．(结果保留小数点后一位) (参考数据sin 53°≈0.80，cos 53°≈0.60，tan 53°≈1.33) 【分析】通过分析两个直角三角形中角与边的关系，利用等长线段（）建立方程来求解未知边BC的长度，体现了方程思想在几何问题中的应用，要求学生能够准确找出不同直角三角形中边与角的联系，将实际问题转化为数学模型进行求解。 【解答】由题意得AC⊥CD，AB＝8 m，∠ADC＝53°，∠BDC＝45°， ∴△BCD是等腰直角三角形， ∴CD＝BC. 在Rt△ACD中，tan ∠ADC＝， ∵AC＝AB＋BC，CD＝BC， ∴tan 53°＝， ∴BC＝≈≈24.2. 答：建筑物BC的高约为24.2 m． 【点评】本题主要考查了仰角的概念以及三角函数在直角三角形中的应用，涉及到特殊角（45°）的三角函数值和一般角（53°）的三角函数值的运用，是解直角三角形知识的典型应用。 23.王芳已知家、超市、公园依次在同一条直线上，超市离家0.6km，公园离家1.2km。王芳从家出发，先用10min匀速跑步到公园，在公园锻炼了30min。之后匀速步行了10min到超市购物，在超市停留10min后，用了20min匀速散步返回家。下面图中表示时间，表示离家的距离。图象反映了这个过程中王芳离家的距离与时间之间的对应关系。 请根据相关信息，回答下列问题： (1)①填表： 王芳离开家的时间/min 1 10 20 60 王芳离家的距离/km 1.2 ②填空：王芳从公园到超市的速度为 _____ km/min； ③当50≤x≤80时，请直接写出王芳离家的距离y关于时间x的函数解析式． (2)当王芳离开公园15 min时，同住的李华也从公园出发匀速步行直接回家，如果李华的速度为0.06 km/min，那么他在回家的途中遇到王芳时，离家的距离是多少？(直接写出结果即可) 【分析】通过分析王芳不同阶段的行程，结合速度公式和待定系数法等方法求解问题。对于行程问题，关键是理清每个阶段的路程、速度和时间的关系，对于函数解析式的求解，利用已知的点坐标代入函数表达式来确定系数。 【解答】(1)①0.12　1.2　0.6 ②0.06 ③当50≤x≤60时，y＝0.6； 当60<x≤80时，y＝－0.03x＋2.4. (2)0.3 km. [解法提示]由题意知当x＝55时，李明离宿舍的距离y1＝1.2， ∵李明的速度为0.06 km/min，∴李明到宿舍用时＝20，此时x＝55＋20＝75. 设y1关于x的解析式为y1＝kx＋b， 代入(55，1.2)，(75，0)，可得y1＝－0.06x＋4.5. ①当55≤x≤60时，令y＝y1，即0.6＝－0.06x＋4.5，解得x＝65(舍). ②当60<x≤75时，令y＝y1，即－0.03x＋2.4＝－0.06x＋4.5，解得x＝70， 由图易知当x＝70时，y＝0.3.即两人相遇时离宿舍的距离是0.3 km. 【点评】本题主要考查了一次函数的实际应用，包括行程问题中的速度、路程、时间关系，以及根据实际情境确定函数解析式。同时考查了对函数图象的理解，从图象中获取信息并进行计算和分析。 24.在平面直角坐标系中，为原点，矩形OABC的顶点，。等边三角形ODE的顶点，顶点在第二象限。 （I）填空：如图①，点的坐标为_________,点的坐标为__________。 （II）将沿轴向右平移，得，点，，的对应点分别为O'，D'，E'，设，与矩形OABC重叠部分的面积为。 ①如图②，当与矩形OABC重叠部分为五边形时，边O'D'与AB相交于点，边D'E'与OC相交于点，试用含有的式子表示，并直接写出的取值范围。 ②当时，求的取值范围（直接写出结果即可）。 【分析】在求点的坐标时，利用矩形的对边关系和等边三角形的三线合一及勾股定理。 对于重叠部分面积的计算，通过分析图形的构成，利用三角形面积公式和锐角三角函数关系，将重叠部分面积表示为的形式，进而得出关于的表达式。 【解答】因为四边形OABC是矩形，点的坐标为，点的坐标为。 根据矩形的性质，对边平行且相等，所以，，则点的横坐标与点相同为，纵坐标与点相同为，即点的坐标为。 已知是等边三角形，顶点的坐标为，则。 过点作轴于点，由于是等边三角形，所以，根据勾股定理，又因为点在第二象限，所以点的坐标为。 (II)①已知，，，则，，。因为是等边三角形，所以。 由平移可知，，。 以O'E'为底，OC为高，所以。 在中，，； 在中，，。 因为，所以，。 则， 。 又因为，将上述面积表达式代入可得： 其中的取值范围是。 ②当时，。 【点评】本题全面考查了矩形和等边三角形的性质、图形平移、三角函数的应用、二次函数的最值等知识。涵盖了平面几何与代数函数的多个重要知识点，检验学生对不同知识模块的综合运用能力。本题要求学生具备较强的分析和推理能力，能够将几何图形的特征与代数运算相结合，从图形的变化中准确找出数量关系。同时，对学生的计算能力和对函数性质的理解运用能力也有较高要求，有助于培养学生综合解决数学问题的能力。 25.抛物线（，为常数，）顶点为，与轴交于点，（点在点左侧），与轴交于点；直线过点且平行于轴，为第一象限内直线上一动点，为线段BC上一动点。 （Ⅰ）若，。 ①求点和点，的坐标； ②当点为直线与抛物线的交点时，求MN的最小值； （Ⅱ）若，，且的最小值等于时，求，的值。 【解答】(Ⅰ)①已知抛物线，当，时，将其化为顶点式： 所以抛物线顶点的坐标为。 令，即，对于一元二次方程（这里，，），根据求根公式可得： 解得，。 因为点在点左侧，所以，。 ②因为直线过点且平行于轴，所以直线的方程为。 令，移项可得，提取公因式得，则或，解得，。 因为点为第一象限内直线与抛物线的交点，所以。 已知，，设直线BC的解析式为，把，代入可得： 把代入得，移项得，解得。 所以直线BC的解析式为。 过点作轴，垂足为，点坐标为，点坐标为，与BC交于点，把代入得，所以。 则。 因为，，所以是等腰直角三角形，。 又因为（对顶角相等）， ，所以。 在中，，， 所以是等腰直角三角形，。 把代入得，即MN最小值为。 (Ⅱ) 因为，，所以。 又因为，所以是等腰直角三角形，，根据勾股定理可得。 如图，作，使，。 已知，在和中： 所以（SAS），则。 所以， 当GM、BM共线时，有最小值，最小值为线段BG的长，已知。 因为，所以， 则。 在中，根据勾股定理，即 ，展开可得： 解得，因为c＞0，所以舍去，则。 所以，。 因为抛物线过，，把，代入抛物线方程可得： 由，把代入得： 所以，。 【分析与总结】 本题是一道综合性较强的二次函数与几何图形结合的题目，主要考查学生对二次函数性质、一次函数解析式求解、几何图形性质及图形变换等知识的综合运用能力。下面从考点、解题思路、难度和易错点等方面进行分析总结。 1.考点分析 二次函数性质：本题全面考查二次函数的各项性质。通过将给定的、值代入抛物线，运用配方法将其化为顶点式，从而确定顶点坐标，这要求学生熟练掌握二次函数顶点式的转化方法。令，求解一元二次方程得到抛物线与轴交点坐标，考查学生对一元二次方程求解的掌握程度，这是二次函数与坐标轴交点问题的常见考查方式。 一次函数相关知识：根据已知的两点坐标和，利用待定系数法确定直线BC的解析式，这是一次函数解析式求解的基本方法，学生需要理解并能准确运用。 几何图形性质与计算：涉及等腰直角三角形的性质，如在中，由且，推出，以及在相关三角形中利用这一角度进行边长计算；还考查了直角三角形的勾股定理，在求MN最小值时，通过构建等腰直角三角形，利用ME的长度求出；在第二问中，通过构造全等三角形，将的最小值转化为BG的长度，再利用勾股定理求出的值，体现了几何图形性质与计算的紧密结合。 2.解题思路分析 (Ⅰ)①：对于求抛物线顶点坐标和与轴交点坐标，先将抛物线方程化为顶点式，再通过求解方程得出交点坐标，思路清晰直接，关键在于准确进行二次函数的配方和一元二次方程的求解。 ②：求MN最小值时，先确定直线与抛物线交点的坐标，再求出直线BC的解析式，找到与BC交点，利用等腰直角三角形的性质得出MN与ME的关系进而求解，需要学生能将函数与几何知识进行有效的转化和运用。 (Ⅱ)通过构造全等三角形，将ON+BM的最小值问题转化为求线段BG的长度，再利用勾股定理建立方程求解，最后代入抛物线方程求出，这一系列步骤需要学生具备较强的逻辑思维和构造图形的能力，能够从复杂的几何关系中找到解题的关键线索。 3.题目难度与区分度：本题整体难度较大，属于试卷中的压轴题，具有较高的区分度。题目融合多个知识点，要求学生不仅要对各个知识点有深入理解，还能灵活运用它们解决综合性问题。对于基础扎实、思维灵活、具备较强知识迁移和综合运用能力的学生，能够顺利解答并获得高分；而对于知识掌握不全面、缺乏综合分析能力的学生，可能会在解题过程中遇到困难，难以得出完整答案，从而有效区分不同层次学生的数学水平。 4.易错点总结 二次函数计算错误：在将抛物线化为顶点式或求解一元二次方程时，容易出现计算失误，如配方过程中符号错误、求根公式运用错误等，导致后续结果错误。 几何关系理解不清：在利用等腰直角三角形性质和勾股定理时，可能因对角度关系、边长关系理解不准确，或者在构造全等三角形时找不到正确的对应关系，从而无法正确计算边长或得出错误的结论。 综合运用能力不足：不能很好地将二次函数与几何图形的知识相互融合，在分析问题时无法从整体上把握各个条件之间的联系，导致解题思路不清晰，无法顺利完成题目解答。 1 学科网（北京）股份有限公司 $$