第5讲 空间角讲义-2025届高三数学一轮复习

第5讲 空间角 知识梳理 1.异面直线所成角: 如图,已知两条异面直线a,b,经过空间任一点O作直线a′//a,b′//b,则把a′与b′所成的锐角(或直角)叫做异面直线所成的角(或夹角). 求异面直线所成角的一般步骤: (1)找(或作出)异面直线所成的角——用平移法,若题设中有中点,常考虑中位线. (2)求——转化为求一个三角形的内角,通过解三角形,求出所找的角. (3)结论——设(2)所求角大小为 .若0 < ≤90 ,则 即为所求;若90 < <180 ,则180 - 即为所求 2.直线与平面所成的角: (1)如图,一条直线PA和一个平面 相交,但不和这个平面垂直,这条直线叫做这个平面的斜线,斜线和平面的交点A叫做斜足,过斜线上斜足以外的一点向平面引垂线PO,过垂足O和斜足A的直线AO叫做斜线在这个平面上的射影,平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角. (2)一条直线垂直于平面,称它们所成的角是直角;一条直线在平面内或一条直线和平面平行,称它们所成的角是0 的角,于是,直线与平面所成的角 的范围是0 ≤ ≤90 . 求平面的斜线与平面所成的角的一般步骤: (1)确定斜线与平面的交点(斜足); (2)通过斜线上除斜足以外的某一点作平面的垂线,连接垂足和斜足即为斜线在平面上的射影,则斜线和射影所成的锐角即为所求的角; (3)求解由斜线、垂线、射影构成的直角三角形. 3.二面角: (1)定义:从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线叫二面角的棱,这两个半平面叫二面角的面.图中的二面角可记作:二面角 -AB- 或 -l- 或P-AB-Q. (2)二面角的平面角:如图,在二面角 -l- 的棱l上任取一点O,以点O为垂足,在半平面 和 内分别作垂直与直线l的射线OA,OB,则射线OA和OB构成的∠AOB叫做二面角的平面角.平面角是直角的二面角叫做直二面角. 作二面角的三种常用方法: (1)定义法:在二面角的棱上找一个特殊点,在两个半平面内分别作垂直于棱的射线.如图①,则∠AOB为二面角 -l- 的平面角. (2)垂直法:过棱上一点作棱的垂直平面,该平面与二面角的两个半平面产生交线,这两条交线所成的角,即为二面角的平面角.如图②,∠AOB为二面角 -l- 的平面角. (3)垂线法:过二面角的一个面内异于棱上的一点A向另一个平面作垂线,垂足为B,由点B向二面角的棱作垂线,垂足为O,连接AO,则∠AOB为二面角的平面角或其补角.如图③,∠AOB为二面角 -l- 的平面角. 注意两个平面所夹角与二面角的区别 例题讲解 〔例1〕如图,在三棱锥A-BCD中,O,E分别是BD,BC的中点,AO⊥OC,CA=CB=CD=BD=2,AB=AD=,求异面直线AB与CD所成角的余弦值. 【答案】. 【解析】取AC的中点M,连接OM,ME,OE, 由E为BC的中点知ME∥AB,由O为BD中点知OE∥DC, 所以直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角. 在 OME中,EM=AB=,OE=DC=1, 因为OM是Rt AOC斜边AC上的中线, 所以OM=AC=1, 取EM的中点H,连OH,则OH⊥EM, 在Rt OEH中,所以cos∠OEM===. 〔例2〕在正方体中,求直线与平面所成的角. 【答案】30 (或) 【解析】 连接,交于点O,再连接, 因为是在正方体中,所以平面, 所以是直线与平面所成的角. 设正方体的边长为1, 所以在 A1BO中,,, 所以,所以直线与平面所成的角的大小等于30 . 〔例3〕 如图所示,在正方体ABCD-A′B′C′D′中: (1)求二面角D′-AB-D的大小; (2)若M是C′D′的中点,求二面角M-AB-D的大小. 【答案】(1) 45 . (2)45 . 【解析】(1)在正方体ABCD-A′B′C′D′中,AB⊥平面ADD′A′,所以AB⊥ AD′,AB⊥AD,因此∠D′AD为二面角D′-AB-D的平面角, 在Rt D′DA中,∠D′AD=45 . 所以二面角D′-AB-D的大小为45 . (2)因为M是C′D′的中点,所以MA=MB,取AB的中点N,连接MN,则MN⊥AB.取CD的中点H,连接HN,则HN⊥AB. 从而∠MNH是二面角M-AB-D的平面角.∠MNH=45 . 所以二面角M-AB-D的大小为45 . 课后作业 1.在底面为正方形的四棱锥中,底面,,则异面直线与所成的角为( ) A. B. C. D. 2.如图所示,,为正方体的两个顶点,,为其所在棱的中点,则异面直线与所成角的大小为( ) A.30 B.45 C.60 D.90 3.已知在正四面体(各棱长均相等的四面体)中,,则直线与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 4.正方体中,直线与直线所成的角、直线与平面所成的角分别为( ) A. B. C. D. 5.如图,在三棱柱中,,,底面,则异面直线与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 6.在正方体中,和分别为,和的中点.,那么直线与所成角的余弦值是( ) A. B. C. D. 7.已知在底面为菱形的直四棱柱中,,若,则异面直线与所成的角为( ) A. B. C. D. 8.在四面体中,且,、分别为、的中点,那么异面直线与所成的角等于( ). A. B. C. D. 9.已知四棱锥的底面是边长为2的菱形,且,,. ( )若是与的交点,求证:平面; ( )若点是的中点,求异面直线与所成角的余弦值. 10.已知正方体,是棱的中点,求异面直线与所成角的余弦值. 11.如图,AB是的直径,PA垂直于所在的平面,C是圆周上不同于A,B的一动点. (1)证明:BC面PAC; (2)若PA=AC=1,AB=2,求直线PB与平面PAC所成角的正切值. 12.如图,已知四棱锥,底面为平行四边形,平面平面,,. (1)求证:; (2)求与平面所成角的正弦值. 13.如图,在四棱锥中,,E是的中点,平面平面. (1)证明:; (2)求直线与平面所成的角的余弦值. 14.已知斜三棱柱的侧面与底面垂直,.且为中点,与相交于点. (1)求证:平面; (2)求直线与底面所成角的大小. 15.如图.在三棱锥中,平面,,于点,于点,,. (1)求; (2)求直线与平面所成角的正弦值. 16.在三棱锥中,为等腰直角三角形,点,分别是线段,的中点,点在线段上,且.若,,. ( )求证:平面; ( )求直线与平面所成的角. 17.如图,三棱柱所有的棱长均为1,且四边形为正方形,又. ( )求证:; ( )求直线和平面所成角的正弦值. 18.如图,在长方体中,底面是正方形,,为的中点. (1)证明:平面; (2)证明:平面平面; (3)求二面角的大小. 19.如图,四棱锥中,,底面为矩形,平面平面,O､E分别是棱､的中点. (1)求证:平面; (2)求二面角的大小. 20.如图,棱柱中,底面是平行四边形,侧棱底面,过的截面与上底面交于,且点在棱上,点在棱上,且,,. (1)求证:; (2)若二面角的平面角的余弦值为,求侧棱的长. 21.如图,在四棱锥P-ABCD中,底面ABCD是正方形,侧棱PD⊥底面ABCD,PD=DC,E是PC的中点,作EF⊥PB交PB于点F. (1)求直线PA与平面ABCD所成角的大小; (2)求证:PB⊥平面EFD; (3)求二面角C-PB-D的大小. 22.如图,三棱柱的棱长均相等,,平面平面,分别为棱、的中点. (1)求证:平面; (2)求二面角的大小. 23.如图所示,在三棱锥中,平面,,且,,是的中点. (1)求异面直线与所成角的余弦值; (2)求二面角的正切值. 参考答案 1.【答案】B 2.【答案】C 3.【答案】A 4.【答案】D 5.【答案】A 6.【答案】A 7.【答案】A 8.【答案】B 9.【解析】(1)连接与交于点,连. ,,且是和的中点, ,,和为平面内的两条相交直线, 平面. (2)取的中点,连接,则,则就是所求的角(或其补角), 根据题意得 所以,, 所以, 故 10.【解析】 连接,,在正方体中,易知, 所以即为异面直线与所成的角或所成角的补角, 记正方体的棱长为,因为是棱的中点,所以, 又, 所以. 即异面直线与所成角的余弦值为. 11.【解析】证明:(1)为圆O直径∠ACB=90 即AC⊥BC PA⊥面ABC,PA⊥BCACPA=ABC⊥面PAC. (2)BC⊥面PAC,∠BPC为PB与平面PAC所成的角, 在直角三角形中,, 在直角三角形中,, 在直角三角形中,tan∠BPC=. 故直线PB与平面PAC所成角的正切值为. 12.【解析】(1)过P作PE⊥CD,交CD于点E,连接BE ∵,所以CE=2,又因为,且 所以∴BE⊥BC∴AD⊥BE 又因为平面平面且PE⊥BC,∴AD⊥PE,∴AD⊥面PEB,∴ (2)∵,∴与平面所成角即为EC与平面所成角 过E作EF⊥PB,交PB于F点,连接CF,易知EF⊥平面PBC 所以∠ECF为与平面所成角, 因为PE=2,根据等面积法得到 ,所以与平面所成角的正弦值为. 13.【解析】(1)证明:由已知可得在直角梯形中, ,,, ∴,∴, ∵平面平面,平面平面,平面, ∴平面,∴, ∵,,∴,∴, ∵,∴平面, ∵平面,∴. (2)由(1)得平面,∵平面,∴平面平面, 过点在平面内作,垂足为点, 平面平面,平面平面,,平面,平面, ∴即为直线与平面所成角, 中,,,, 所以,,且, ∴,∴, ∴直线与平面所成的角的正弦值为. 14.【解析】(1)连,则 又面,面,平面; (2)连,取中点,连,则 由面与底面垂直,且面,可得面 则为直线与底面所成角 设,则;,则; ,即 则直线与底面所成角的大小为 15.【解析】(1)证明:平面,平面.. 又,,平面.平面平面. 又平面平面,平面,,平面. 又平面,. (2)由(1)知平面,连结, 则就是在平面内的射影.就是与平面所成的角. ,,,.. 在中,.与平面所成角的正弦值为. 16.【解析】( )连接交于,连接. 则点为的重心,有. 因为,所以,且平面,平面, 所以平面. ( )因为,,, 所以, 故,所以,且,平面,,所以平面. 过作的平行线,交于.则平面. 所以直线与平面所成角为. 且,,,所以,得. 所以直线与平面所成的角为,即直线与平面所成的角为. 17.【解析】( )作的中点,连接, 因为三棱柱所有的棱长均为1, , 又四边形为正方形,,面 又四边形是菱形,所以,面 ( )作,因为三棱柱, 由题知, 所以 是等边三角形, 是等边三角形,, 面 , 面,所以, 面 , 是面的垂线,是平面的斜线 ,即为所求角. 在三角形中由平面几何知识得 故直线和平面所成角的正弦值为 18.【解析】(1)证明:设,连接,则是中点,又是中点, ∴,又平面,平面, ∴平面. (2)平面,平面,∴,同理,又正方形中, ,平面, ∴平面,又∵平面, ∴平面平面; (3)∵平面,平面,∴, ∴是二面角的平面角, 由已知,而,分别是中点, ∴,∴. 即二面角的大小为. 19.【解析】(1)取中点,连接, 因为是中点,∴,且, 又是矩形,,是中点, ∴,∴是平行四边形,∴, 而平面,平面,∴平面. (2)取中点,连接, 是矩形,是中点,则, 又,∴, 而平面平面,平面平面,平面, ∴平面,∵平面,∴,. ,平面,∴平面,而平面, ∴,∴(或其补角)是二面角的平面角. 设,则,,, ∴,,∴. ∴二面角的大小为. 20.【解析】(1)在棱柱中,面,面, 面面,由线面平行的性质定理有, 又,故; (2)证明:在底面中,,,. , , 又因为侧棱底面,则底面 面, 又,面 过点作于,连接,则是二面角的平面角. ,, 则,故, ,. 设,则. ,,故,故. 21.【解析】(1)因为侧棱平面, 所以为直线在平面上的射影,, 故即为直线PA与平面ABCD所成的角, 又,所以, 所以直线PA与平面ABCD所成的角为; (2)证明:因为侧棱平面,平面,所以, 又,,所以平面,, 由可得, 又,所以平面,, 因为,, 所以平面; (3)由(2)知,所以为二面角的平面角, 不妨设,则,,, 在中,由余弦定理得, 所以二面角的大小为60. 22.【解析】证明: (1)取的中点,连接, 于是,又,所以, 所以四边形是平行四边形, 所以,而面,面,所以直线平面; (2)连接,∵ 四边形为菱形,, 为的中点,∴,∵平面平面, 且平面平面,平面平面, 且平面平面, ∴平面,又,∴, ∴就是二面角的平面角,设棱长为2, 则,∴,∴二面角的大小为. 23.【解析】(1)取线段中点,连接、、,则,且, 从而或其补角就是直线与所成的角. 平面,平面,,同理可得, 为的中点,则,, ,为的中点,则, ,,,则, 由余弦定理可得 (2)可知二面角的平面角与二面角的平面角互补. 在平面内作直线于,连接, 平面,平面,,同理可得, ,,平面, 平面,,所以,二面角的平面角为, 在中,由余弦定理得, 由等面积法:, 在中,,二面角的正切值为. 学科网(北京)股份有限公司 $$