7.3解一元一次不等式培优练习 2024—2025学年华东师大版七年级数学下册

7.3解一元一次不等式培优练习华东师大版2024—2025学年七年级下册春季 一、选择题 1．下列式子中是一元一次不等式的是（　　） A．4x+5＞0 B．x+2≥x+1 C．x＝3 D．x2+x＜0 2．若（m+1）x|m|﹣5＞0是关于x的一元一次不等式，则m的值为（　　） A．0 B．±1 C．﹣1 D．1 3．不等式x﹣2＞0的解集在数轴上表示为（　　） A． B． C． D． 4．若x＝2是关于x的不等式3x﹣a+2＞0的一个解，则a可取的最大整数为（　　） A．10 B．9 C．8 D．7 5．某商店先后两次购买了某商品，第一次买了5件，平均价格为每件a元，第二次买了4件，平均价格为每件b元．后来商店以每件元的平均价格卖出，结果发现自己赔钱了，赔钱的原因是（　　） A．a＞b B．a＜b C．a＝b D．a≥b 二、填空题 6．已知xk﹣2+1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝　 　． 7．满足不等式的最小整数解是 　 　． 8．一种苹果的进价是每千克5.7元，销售中估计有5%的苹果正常损耗，商家把售价至少定为 　 　元，才能避免亏本． 9．关于x的不等式2x+a≤1只有3个正整数解，则a的取值范围为　 　． 10．若关于x的不等式（a﹣3）x＞3﹣a的解集为x＜﹣1，则a的取值范围 　 　． 三、解答题 11．小明解不等式的过程如下： 解：去分母得1﹣3（x+1）≤2（x﹣1），第一步 去括号得1﹣3x﹣3≤2x﹣2，第二步 移项得﹣3x﹣2x≤﹣2﹣1+3，第三步 合并同类项得﹣5x≤0，第四步 系数化1得x≥0，第五步 （1）以上求解过程中，去分母的依据是 　 　； （2）第 　 　步开始出现错误； （3）在（2）中找出的错误的原因是 　 　； （4）写出该不等式正确的解答过程． 12．为了迎接“亚东会”的到来及提高学生的身体素质，哈美佳外校准备从某体育用品商店一次性购买若干个雪圈儿和雪地足球（每个雪圈儿的价格相同，每个雪地足球的价格相同），若购买2个雪圈儿和3个雪地足球共需310元，购买5个雪圈儿和2个雪地足球共需500元． （1）每个雪圈儿和雪地足球各需多少元？ （2）根据学校的实际情况，需从该商店一次性购买雪圈儿和雪地足球共60个，要求购买雪圈儿和雪地足球的总费用不超过4020元，那么最多可以购买多少个雪圈儿？ 13．已知关于x的方程2x﹣a﹣5＝0． （1）若该方程的解满足x≤2，求a的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的 的负整数解，求a的值． 14．已知关于x的不等式x﹣1． （1）当m＝1时，求该不等式的正整数解； （2）当m取何值时，该不等式有解，并求出其解集． 15．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”． 如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”． （1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”； （2）已知关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围； （3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 参考答案 一、选择题 题号 1 2 3 4 5 答案 A D D D A 二、填空题 6．已知xk﹣2+1＞0是关于x的一元一次不等式，则k＝　3　． 【分析】含有一个未知数，未知数的次数是1的不等式，叫做一元一次不等式，据此列式计算即可． 【解答】解：∵xk﹣2+1＞0是关于x的一元一次不等式， ∴k﹣2＝1， ∴k＝3， 故答案为：3． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的定义，熟练掌握一元一次方程的定义是解本题的关键． 7．满足不等式的最小整数解是 　7　． 【分析】先求出不等式的解集，再求出整数解即可． 【解答】解：解不等式3x＜0，得x＞6， 所以最小整数解是7． 故答案为：7． 【点评】本题考查了解一元一次不等式和不等式的整数解，能求出不等式的解集是解此题的关键． 8．一种苹果的进价是每千克5.7元，销售中估计有5%的苹果正常损耗，商家把售价至少定为 　6　元，才能避免亏本． 【分析】设商家应把售价定为每千克x元．根据题意，得x（1﹣5%）≥5.7．求解即可． 【解答】解：设商家应把售价定为每千克x元． 根据题意，得x（1﹣5%）≥5.7． 解得 x≥6． ∴为避免亏本，商家应把售价至少定为每千克6元． 【点评】本题考查一元一次不等式，正确列出不等式是解题关键． 9．关于x的不等式2x+a≤1只有3个正整数解，则a的取值范围为　﹣7＜a≤﹣5　． 【分析】首先解不等式求得不等式的解集，然后根据不等式只有3个正整数解即可得到一个关于a的不等式，求得a的值． 【解答】解：由2x+a≤1，得：x，因为不等式只有3个正整数解， 所以不等式的正整数解为1、2、3， ∴34， 解得﹣7＜a≤﹣5， 故答案为：﹣7＜a≤﹣5． 【点评】本题主要考查一元一次不等式的整数解，解题的关键是根据不等式正整数解的情况得出关于a的不等式组． 10．若关于x的不等式（a﹣3）x＞3﹣a的解集为x＜﹣1，则a的取值范围 　a＜3　． 【分析】根据已知解集得到a﹣3为负数，即可确定出a的范围． 【解答】解：不等式（a﹣3）x＞3﹣a的解集为x＜﹣1， ∴a﹣3＜0， 解得a＜3． 故答案为：a＜3． 【点评】此题考查了不等式的解集，熟练掌握不等式的性质是解本题的关键．不等式的性质：不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以（或除以）同一个负数，不等号的方向改变． 三、解答题 11．小明解不等式的过程如下： 解：去分母得1﹣3（x+1）≤2（x﹣1），第一步 去括号得1﹣3x﹣3≤2x﹣2，第二步 移项得﹣3x﹣2x≤﹣2﹣1+3，第三步 合并同类项得﹣5x≤0，第四步 系数化1得x≥0，第五步 （1）以上求解过程中，去分母的依据是 　不等式的基本性质　； （2）第 　一　步开始出现错误； （3）在（2）中找出的错误的原因是 　去分母时，不等式两边同时乘6时，1漏乘了6　； （4）写出该不等式正确的解答过程． 【分析】（1）根据不等式的基本性质，即可解答； （2）根据解一元一次不等式的步骤进行计算，逐一判断即可解答； （3）根据不等式的基本性质，即可解答； （4）按照解一元一次不等式的步骤进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）以上求解过程中，去分母的依据是不等式的基本性质， 故答案为：不等式的基本性质； （2）第一步开始出现错误， 故答案为：一； （3）在（2）中找出的错误的原因是去分母时，不等式两边同时乘6时，1漏乘了6， 故答案为：去分母时，不等式两边同时乘6时，1漏乘了6； （4）该不等式正确的解答过程如下： ， 6﹣3（x+1）≤2（x﹣1）， 6﹣3x﹣3≤2x﹣2， ﹣3x﹣2x≤﹣2﹣6+3， ﹣5x≤﹣5， x≥1． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，熟练掌握解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 12．为了迎接“亚东会”的到来及提高学生的身体素质，哈美佳外校准备从某体育用品商店一次性购买若干个雪圈儿和雪地足球（每个雪圈儿的价格相同，每个雪地足球的价格相同），若购买2个雪圈儿和3个雪地足球共需310元，购买5个雪圈儿和2个雪地足球共需500元． （1）每个雪圈儿和雪地足球各需多少元？ （2）根据学校的实际情况，需从该商店一次性购买雪圈儿和雪地足球共60个，要求购买雪圈儿和雪地足球的总费用不超过4020元，那么最多可以购买多少个雪圈儿？ 【分析】（1）设每个雪圈儿需x元，每个雪地足球需y元，根据“购买2个雪圈儿和3个雪地足球共需310元，购买5个雪圈儿和2个雪地足球共需500元”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论； （2）设购买m个雪圈儿，则可以购买（60﹣m）个雪地足球，利用总价＝单价×数量，结合总价不超过4020元，即可得出关于m的一元一次不等式，解之取其中的最大整数值即可得出结论．， 【解答】解：（1）设每个雪圈儿需x元，每个雪地足球需y元， 根据题意得：， 解得， 答：每个雪圈儿需80元，每个雪地足球需50元； （2）设购买m个雪圈儿，则可以购买（60﹣m）个雪地足球， 依题意得：80m+50（60﹣m）≤4020， 解得：m≤34． 又∵m为正整数， ∴m的最大值为34， ∴最多可以购买34个雪圈儿． 【点评】本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：（1）找准等量关系，正确列出二元一次方程组；（2）根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式． 13．已知关于x的方程2x﹣a﹣5＝0． （1）若该方程的解满足x≤2，求a的取值范围； （2）若该方程的解是不等式的 的负整数解，求a的值． 【分析】（1）先解一元一次方程可得x，然后根据题意可得：2，从而进行计算即可解答； （2）先解一元一次不等式可得x＞﹣2，从而可得该不等式的负整数解为：﹣1，然后根据题意可得1，从而进行计算即可解答， 【解答】解：（1）2x﹣a﹣5＝0， 2x＝a+5， x， ∵该方程的解满足x≤2， ∴2， ∴a+5≤4， ∴a≤﹣1； （2）， 6﹣3（x+6）＜2（2x+1）， 6﹣3x﹣18＜4x+2， ﹣3x﹣4x＜2+18﹣6， ﹣7x＜14， x＞﹣2， ∴该不等式的负整数解为：﹣1， 由题意得：1， a+5＝﹣2， a＝﹣7． 【点评】本题考查了解一元一次不等式，一元一次不等式的整数解，一元一次方程的解，不等式的性质，准确熟练地进行计算是解题的关键． 14．已知关于x的不等式x﹣1． （1）当m＝1时，求该不等式的正整数解； （2）当m取何值时，该不等式有解，并求出其解集． 【分析】（1）将m＝1代入不等式，再求出所得不等式的解集，最后写出解集内的正整数解即可． （2）根据x的系数不为零即可解决问题． 【解答】解：（1）将m＝1代入不等式得， ， 则2﹣x＞x﹣2， ﹣x﹣x＞﹣2﹣2， ﹣2x＞﹣4， x＜2， 所以此不等式的正整数解为1． （2）由得， 2m﹣mx＞x﹣2， ﹣mx﹣x＞﹣2﹣2m， （m+1）x＜2m+2， 所以当m+1≠0，即m≠﹣1时，该不等式有解． 当m＞﹣1时， 不等式的解集为x＜2； 当m＜﹣1时， 不等式的解集为x＞2． 【点评】本题主要考查了一元一次不等式的整数解及解一元一次不等式，熟知解一元一次不等式的步骤是解题的关键． 15．我们定义，关于同一个未知数的不等式A和B，若A的解都是B的解，则称A与B存在“雅含”关系，且A不等式称为B不等式的“子式”． 如A：x＜0，B：x＜1，满足A的解都是B的解，所以A与B存在“雅含”关系，A是B的“子式”． （1）若关于x的不等式A：x+2＞1，B：x＞3，请问A与B是否存在“雅含”关系，若存在，请说明谁是谁的“子式”； （2）已知关于x的不等式C：，D：2x﹣（3﹣x）＜3，若C与D存在“雅含”关系，且C是D的“子式”，求a的取值范围； （3）已知2m+n＝k，m﹣n＝3，m，n＜﹣1，且k为整数，关于x的不等式P：kx+6＞x+4，Q：6（2x﹣1）≤4x+2，请分析是否存在k，使得P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”，若存在，请求出k的值，若不存在，请说明理由． 【分析】（1）根据“雅含”关系的定义即可判断； （2）根据“雅含”关系的定义得出2，解不等式即可； （3）首先解关于m、n的方程组即可求得m、n的值，然后根据m，n＜﹣1，且k为整数即可得到一个关于k的范围，从而求得k的整数值； 【解答】解：（1）不等式A：x+2＞1的解集为x＞﹣1， A与B存在“雅含”关系，B是A的“子式”； （2）∵不等式C：的解集为x，不等式D：2x﹣（3﹣x）＜3的解集为x＜2，且C是D的“子式”， ∴2， 解得a； （3）由求得， ∵m，n＜﹣1， ∴， 解得﹣1.5≤k＜3， ∵k为整数， ∴k的值为﹣1，0，1，2； 不等式P：kx+6＞x+4整理得，（k﹣1）x＞﹣2；不等式Q：6（2x﹣1）≤4x+2的解集为x≤1， ①当k＝1时，不等式P的解集是全体实数， ∴P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”， ②当k＞1时，不等式P的解集为x， 不能满足P与Q存在“雅含”关系， ③当k＜1时，不等式P：kx+6＞x+4的解集为x， ∵P与Q存在“雅含”关系，且Q是P的“子式”， ∴k﹣1＜0，且1， 解得﹣1＜k＜1， ∴k＝0， 综上k的值为0或1． 【点评】本题考查了不等式组的解法及整数解的确定．求不等式组的解集，应遵循以下原则：同大取较大，同小取较小，小大大小中间找，大大小小解不了． 学科网（北京）股份有限公司 $$