7.2 离散型随机变量及其分布列 课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 7.2 离散型随机变量及其分布列 1 学习目标 1. 理解随机变量及离散型随机变量的含义 2. 了解随机变量与函数的区别与联系. 3. 掌握离散型随机变量分布列的表示方法和性质. 4. 理解两点分布． 2 知识准备 一般地，一个试验如果满足下列条件： ①试验可以在相同的情形下重复进行； ②试验的所有可能结果是明确可知的，并且不只一个； ③每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但在一次试验之前却不能肯定这次试验会出现哪一个结果; 这种试验就是一个随机试验，为了方便起见，也简称试验. 随机试验的概念： 3 新知探究 引例1：下列随机试验如何表示样本空间中的样本点？ （1）抛掷一枚骰子，可能出现的点数； （2）掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和； （3）从有正品和次品的产品中随机抽取一件，可能出现的结果。 （1）用实数m(m=1，2，3，4，5，6)表示“掷出的点数为m”； （2）样本空间为Ω={(x, y)|x, y =1, 2, …, 6}，用x+y表示“两枚骰子的点数之和”，样本点(x, y)就与实数x+y对应. （3） 4 　　对于任何一个随机试验，总可以把它的每个样本点与一个实数对应．即通过引入一个取值依赖于样本点的变量X，来刻画样本点和实数的对应关系，实现样本点的数量化．因为在随机试验中样本点的出现具有随机性，所以变量X的取值也具有随机性. 新知探究 5 新知探究 引例2：考察下列随机试验及其引入的变量: 　　试验1：从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数; 　　试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数. 思考：（1）这两个随机试验的样本空间各是什么? （2）各个样本点与变量的值是如何对应的? （3）变量X, Y有哪些共同的特征? 6 新知探究 试验1：从100个电子元件(至少含3个以上次品)中随机抽取三个进行检验，变量X表示三个元件中的次品数; 分析：用0表示“元件为合格品”，1表示“元件为次品”，则样本空间为： Ω1={000，001，010， 011，100，101，110，111}. 各样本点与变量X的值的对应关系为： 7 新知探究 试验2：抛掷一枚硬币直到出现正面为止，变量Y表示需要的抛掷次数. 分析：用h表示“正面朝上”，t表示“反面朝上”，则样本空间为： 各样本点与变量Y的值的对应关系为： Ω2=(h，th, tth,ttth，...) 8 思考：上述变量X、Y有哪些共同特征？ 新知探究 （1）随机变量取具体的实数值，且取值依赖于样本点； （2）试验之前可以判断其所有可能的取值； （3）随机变量建立了实数与试验结果之间的对应关系。 即：每一个取值都对应特定的试验结果 9 概念生成 一般地，对于随机试验样本空间Ω中的每个样本点w，都有唯一的实数X(w)与之对应，我们称X为随机变量. 随机变量： 试验1中随机变量X的可能取值为0，1，2，3；试验2中随机变量Y的可能取值为1，2，3，...，有无限个取值，但可以一一列举出来。 离散型随机变量： 取值为有限个或可以一一列举的随机变量，我们称之为离散型随机变量；通常用大写英文字母表示随机变量，例如X，Y，Z. 10 概念辨析 判断下列变量是否为离散型随机变量： （1）从10张已编号的卡片（从1号到10号）中任取1张，被取出的卡片的号数； （2）接连不断地射击，首次命中目标需要的射击次数； （3）某人上班途中共有5个红绿灯路口，此人某天上班遇到红灯次数X； （4）一瓶果汁的容量为500±2ml，随机抽取一瓶检测其容量Y. （5）某林场树木最高达50米，此林场树木的高度. 离散型 离散型 离散型 连续型 连续型 11 小试牛刀 1、一个袋中装有8个红球和3个白球，若从中任取5个，则其中所含白球的个数X就是一个随机变量，求X的取值范围，并说明X的不同取值所表示的事件。 解： X的取值范围是{0，1，2，3} ，其中 {X =0}表示的事件是“取出0个白球，5个红球”； {X =1}表示的事件是“取出1个白球，4个红球”； {X =2}表示的事件是“取出2个白球，3个红球”； {X =3}表示的事件是“取出3个白球，2个红球”； 变式：{X < 2}在这里又表示什么事件呢？ 12 小试牛刀 2、一个袋中有5个同样大小的黑球，编号为1,2,3,4,5，从中任取3个球，取出的球的最大号码记为X,求X的取值，并说明每个取值所表示的事件。 13 新知探究 探究：抛掷一枚骰子，所得的点数X有哪些值？X取每个值的概率是多少？X＜3的概率为多少？X为偶数的概率又为多少？ X 1 2 3 4 5 6 P 解：X的取值有1、2、3、4、5、6，则 P(X=m)= ，m=1,2,3,4,5,6 14 概念生成 　一般地，设离散型随机变量X的可能取值为x1，x2，…，xn，我们称X取每一个值xi的概率 P(X=xi)=pi，i=1，2，…，n 为X的概率分布列，简称分布列. 概率分布列： 15 概念生成 思考：离散型随机变量分布列具有哪些性质？ （1）pi≥0，i=1,2,3,4,...，n （2）p1+p2+p3+...+pn=1 16 典例剖析 例1、在掷一枚图钉的随机试验中，令 ，如果针尖向上的概率为p，试写出随机变量X的分布列。 解：根据分布列的性质，针尖向下的概率是(1-p)，于是，随机变量X的分布列是 像上面这样的分布列称为两点分布列， 如果随机变量X的分布列为两点分布列，就称X服从两点分布。 X 0 1 P 1-p p 17 典例剖析 例2 某学校高二年级有200名学生，他们的体育综合测试成绩分5个等级，每个等级对应的分数和人数如下表所示。 等级 不及格 及格 中等 良 优 分数 1 2 3 4 5 人数 20 50 60 40 30 从这200名学生中任意选取1人，求所选同学分数X的分布列，以及P(X≥4). 18 典例剖析 解：由题意知，X是一个离散型随机变量，其可能取值为1，2，3，4，5，且{X=1}=”不及格”，{X=2}=”及格”,{X=3}=”中等”,{X=4}=“良”, {X=5}=”优”.根据古典概型可知X的分布列如下表所示： X 1 2 3 4 5 P 19 典例剖析 例3 一批笔记本电脑共有10台，其中A品牌3台，B品牌7台，如果从中随机挑选2台，求这2台电脑中A品牌台数的分布列. 20 巩固练习 1. 随机变量X所有可能取值是－2，0，3，5，且P(X＝-2)＝ ，P(X＝3)＝ ，P(X＝5)＝ ，则P(X＝0)的值为（ ） A．0 B． C． D． C 2．设离散型随机变量X的分布列为 X 0 1 2 3 4 P 0.2 0.1 0.1 0.3 m 若随机变量Y=X-2，则P(Y=2)=( ) A. 0.3 B. 0.4 C. 0.6 D. 0.7 A 21 巩固练习 3．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动． (1)求所选3人中恰有一名男生的概率； (2)求所选3人中男生人数ξ的分布列． 解：(1)所选3人中恰有一名男生的概率 22 巩固练习 3．从某小组的5名女生和4名男生中任选3人去参加一项公益活动． (1)求所选3人中恰有一名男生的概率； (2)求所选3人中男生人数ξ的分布列． 解： (2)ξ的可能取值为0,1,2,3，则 ξ 0 1 2 3 P 则ξ的分布列为 23 巩固练习 4．一袋中装有5只球，编号为1，2，3，4，5，在袋中同时取3只，以ξ表示取出的3只球中的最大号码，写出随机变量ξ的分布列. 解：随机变量ξ的可能取值为3，4，5. 当ξ=3时，即取出的三只球中最大号码为3，则其他两只球的编号只能是1，2，故有 当ξ=4时，即取出的三只球中最大号码为4，则其他两只球只能在编号为1，2，3的3只球中取2只，故有 24 巩固练习 当ξ=5时，即取出的三只球中最大号码为5，则其他两只球只能在编号为1，2，3，4的4只球中取2只，故有 ξ 3 4 5 P 则ξ的分布列为 25 课堂小结 1、离散型随机变量的定义 2、离散型随机变量的分布列 一般地，设离散型随机变量X的可能取值X1,X2,...Xn,我们称X取每一个值xi得概率 为X的概率分布列，简称分布列. 3、两点分布列 26 谢谢您的收看 27 $$