7.1.2全概率公式课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版（2019）选择性必修第三册

第七章 随机变量及其分布 7.1.2 全概率公式 1 学习目标 1. 了解利用概率的加法公式和乘法公式推导全概率公式. 2. 理解全概率公式，并会利用全概率公式计算概率. 3. 了解贝叶斯公式(不作考试要求)． 2 复习旧知 C 复习：回顾条件概率定义和公式，并写出变形公式. 练习： 3 激趣引入 思考：在一个抽奖游戏中，有编号分别为1, 2, 3的三个箱子。假设你是抽奖人，你选择了1号箱。在打开1号箱之前，主持人先打开了另外两个箱子中的空箱子。按游戏规则，主持人只打开你选择之外的空箱子，当两个都是空箱子时，他随机选择其中一个打开。假设他打开的是3号箱，现在给你一次重新选择的机会，你是坚持选1号箱，还是改选2号箱？ 4 情境1 从有a个红球和b个蓝球的袋子中，每次随机摸出1个球，摸出的球不再放回. 那么第1次摸到红球的概率是多少？ 第2次摸到红球的概率又是多少？如何计算这个概率呢？ 情境导学 分析：用 Ai 表示事件“第i次摸到红球”，Bi 表示事件“第i次摸到蓝球”，i=1，2. 5 情境2 同一种产品由甲、乙、丙三个厂供应．由长期的经验知，三家的正品率分别为0.95，0.90，0.80，三家产品数所占比例为2∶3∶5，将三家产品混合在一起．从中任取一件，求此产品为正品的概率. 情境导学 分析：用A1，A2，A3分别表示”产品由甲、乙、丙厂生产”，B表示取到的产品为正品. 6 探究：按照某种标准,将一个复杂事件B表示为n个(A1,A2,...，An)互斥事件的并, 根据概率的加法公式和乘法公式，如何求这个复杂事件B的概率？ 新知探究 7 新知探究 一般地，设A1,A2,...,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω， 且P(Ai)>0，i=1,2,...,n，则对任意的事件，有 称上面的公式为全概率公式 全概率公式： 8 典例剖析 例1 某学校有A，B两家餐厅，王同学第1天午餐时随机地选择一家餐厅用餐.如果第1天去A餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.6；如果第1天去B餐厅，那么第2天去A餐厅的概率为0.8.计算王同学第2天去A餐厅用餐的概率. 9 典例剖析 解：设A1=“第1天去A餐厅用餐”， B1=“第1天去B餐厅用餐”， A2=“第2天去A餐厅用餐”， 则Ω=A1∪B1，且A1与B1互斥，根据题意得P(A1)=P(B1)=0.5, P(A2| A1)=0.6, P(A2| B1)=0.8, 由全概率公式，得 P(A2)= P(A1) P(A2| A1)+ P(B1) P(A2| B1)=0.5x0.6+0.5x0.8=0.7 因此，王同学第2天去A餐厅用餐的概率为0.7 10 归纳总结 全概率问题求解策略： (1)拆分：将样本空间拆分成互斥的几部分如A1，A2，… (2)计算：利用乘法公式计算每一部分的概率， (3)求和：所求事件的概率P(B)＝P(A1B)＋P(A2B)+… ＝P(A1)P(B|A1)＋P(A2)P(B|A2)+… 11 典例剖析 例2 有3台车床加工同一型号的零件，第1台加工的次品率为6%，第2，3台加工的次品率均为5%，加工出来的零件混放在一起.已知第1，2，3台车床加工的零件数分别占总数的25%，30%，45%. （1）任取一个零件，计算它是次品的概率； （2）如果取到的零件是次品，计算它是第i（i=1，2，3）台车床加工的概率. 解：设B=“任取一个零件为次品”，Ai=“零件为第i台车床加工”（i=1，2，3），则Ω=A1∪A2∪A3，且A1，A2，A3两两互斥，根据题意得P（A1）=0.25， P（A2）=0.3， P（A3）=0.45，P（B|A1）=0.06, P（B|A2）=P（B|A3）=0.05. 12 典例剖析 （1）由全概率公式，得 P（B）=P(A1) P(B|A1）+ P(A2) P(B|A2）+P（A3）P (B|A3） =0.25×0.06+0.3×0.05+0.45×0.05=0.0525 (2)“如果取到的零件是次品，计算它是第i（ i =1，2，3）台车床 加工的概率”，就是计算在B发生的条件下，事件Ai发生的概率. 同理可得 ； 13 典例剖析 思考：例5中P(Ai), P(Ai|B)的实际意义是什么？ P(Ai)是试验之前就已知的概率，它是第i台车床加工的零件所占的比例，称为先验概率.当已知抽到的零件是次品(B发生)，P(Ai|B)是这件次品来自第i台车床加工的可能性大小，称为后验概率.如果对加工的次品，要求操作员承担相应的责任，则，，就分别是第1，2，3台车床操作员应承担的份额. 14 典例剖析 贝叶斯公式 一般地，设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件A1∪A2∪...∪An=Ω， 且P(Ai)>0，i=1,2,...,n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有 15 典例剖析 例3:在数字通信中，信号是由数字0和1组成的序列.由于随机因素的干扰，发送的信号0或1有可能被错误地接收为1或0.已知发送信号0时，接收为0和1的概率分别为0.9和0.1；发送信号1时，接收为1和0的概率分别为0.95和0.05.假设发送信号0和1是等可能的. （1）分别求接收的信号为 0和1的概率； （2）已知接收的信号为0， 求发送的信号是1的概率. 16 典例剖析 解：设A=“发送的信号为0”，B=“接收到的信号为0”，则=“发送的信号为1”，=“接收到的信号为1”. 由题意得 17 巩固练习 1、设1 000件产品中有200件是不合格品,依次不放回地抽取两件产品,则第二次抽到的是不合格品的概率为（ ） A. 0.2 B. 0.8 C. 0.25 D. 0.75 A 2、某小组有20名射手，其中1，2，3，4级射手分别为2，6，9，3名.又若选1，2，3，4级射手参加比赛，则在比赛中射中目标的概率分别为0.85，0.64，0.45，0.32，今随机选一人参加比赛，则该小组比赛中射中目标的概率为( ) A. 0.285 B.0.3625 C.0.5275 D. 0.5 C 18 巩固练习 3．有甲、乙两个袋子，甲袋中有3个白球，2个黑球；乙袋中有4个白球，4个黑球.现从甲袋中任取2个球放入乙袋，然后再从乙袋中任取一球，求此球为白球的概率. 解：设事件Ai={从甲袋取的2个球中有i个白球}，其中i=0，1，2. 事件B={从乙袋中取到的是白球}，则 19 巩固练习 20 巩固练习 4. 两批同种规格的产品，第一批占 40%，次品率为5%；第二批占60%，次品率为4%. 将两批产品混合，从混合产品中任取1件. (1) 求这件产品是合格品的概率； (2) 已知取到的是合格品，求它取自第一批产品的概率. 21 课堂小结 2、贝叶斯公式 一般地，设A1，A2，...，An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω， 且P(Ai)>0，i=1,2,...,n，则对任意的事件B⊆Ω，P(B)>0，有 1、全概率公式 一般地，设A1,A2,...,An是一组两两互斥的事件，A1∪A2∪...∪An=Ω， 且P(Ai)>0，i=1,2,...,n，则对任意的事件，有 22 谢谢您的收看 23 $$