精品解析：四川省成都市八区联考2024-2025学年九年级上学期数学期末考试卷

九年级质量监测 数学 考试时间120分钟 满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有4个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 在，，，四个数中，最大的数是（ ） A. 2025 B. C. D. 0 2. 在2024世界物联网大会上，发布了全球首部《世界万物智联数字经济白皮书》，数据显示，中国在物联网基础建设、数字经济创新发展方面走在了世界第一，2024年建成承载物联网的5G基站有望超过430万个，物联网连接数有望突破30亿．将数据30亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，它们的相似比是，已知，则的长是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 6. 近年来，成都博物馆通过深化改革创新，提供高质量文化供给，增强了市民的获得感、幸福感、周末，成都博物馆皮影展厅里“红领巾小小宣讲员”面对观众，落落大方地将皮影戏的来龙去脉娓娓道来，其中有8名“红领巾小小宣讲员”的年龄如表： 年龄（岁） 9 10 11 12 人数（人） 3 2 2 1 则这8名宣讲员年龄的众数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一道题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问：人数、物价各几何？其大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多3元；如果每人出7元，则少4元．问有多少人？设共有人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 9. 分解因式：______． 10. 如图，已知，，，，则的长为______． 11. 若点，都在反比例函数的图像上，则______（填“”或“”）． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为______． 13. 如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图；①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点，②以点为圆心，以BM长为半径作弧，交DA于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交上面的弧于点；④过点作射线交AC于点E．若，三角形的面积为25，则三角形的面积为 ______． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题上） 14. （1）计算：； （2）解方程：． 15. 某校开展“利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度”综合实践活动课，小明所在的数学小组准备测量旗杆的高度，他在他与旗杆之间的地面点处平放一面镜子，在镜子上做一个标记，小明看着镜子来回移动，直至看到旗杆的顶端在镜子中的像与镜子的标记重合．若小明的眼睛离地面的高度为米，且米，米，，求旗杆的高度． 16. 2024年11月2日，成都凤凰山体育场见证了历史性的一刻，成都蓉城队以中超联赛第三名的历史最好成绩，锁定了下赛季亚冠联赛的参赛资格，本赛季，蓉城俱乐部便作为全国唯一一家开放整面看台作为公益看台的俱乐部，受邀来到凤凰山公益看台观赛的观众是来自各行各业的上万名市民，其中不乏为成都做出贡献的“城市英雄”，他们的到来让这座城市更有温度；某网络平台随机调查了部分球迷对公益看台的知晓度，调查结果分为“非常了解”“了解”“一般”“不了解”四类，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查的球迷共有 人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“非常了解”对应的圆心角度数； （3）在“非常了解”里选4人，有，两名男生，，两名女生，若从中随机抽取两人赠送蓉城队徽，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 17. 如图，菱形的边长为，对角线与相交于点，其中长． （1）求对角线的长度； （2）若，且交的延长线于点． ①根据题意，把图形补充完整； ②求三角形的面积． 18. 如图所示，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点是第三象限内一点，的面积为24，求点的坐标； （3）在（2）的条作下，平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点的对应点为，点的对应点在的图象上，求位似中心的坐标． B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知，且，则的值为______． 20. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有______个． 21. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 22. 数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”，它们可用“调日法”得到；称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率，由，取3为弱率，4为强率，得，故为强率，与上一次的弱率3计算得到，故为强率，继续计算，…，若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，故与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依次类推，则______；若，则______． 23. 如图，在Rt中，，，为的中点，为上－点，连接，将沿折叠得到，点的对应点落在线段上，若，则的值为______． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 当下，夜经济已成为成都经济高质量发展的重要组成部分，李华在某夜市商圈销售成都文创纪念T恤，他以每件55元的价格进购一批纪念T恤，以70元售出，平均每天能售出36件．经李华调查发现，这种纪念T恤的售价每增加1元，其日销售量就将减少2件． （1）求关于的函数表达式； （2）为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为多少元． 25. 如图，已知直线经过点，交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）F为线段的中点，C是线段上的一点，连接，过点F作的垂线交x轴于点D，探究线段与的数量关系； （3）在（2）的条件下，是y轴正半轴上的一点，在平面直角坐标系内是否存在一点P，使得，且与相似？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 26. 已知，，直线与直线相交于点． （1）如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：； （2）如图2，点在内部． ①当时，探究线段，，之间的数量关系； ②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系； （3）当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级质量监测 数学 考试时间120分钟 满分150分 注意事项： 1．答题前，考生务必在答题卡上将自己的姓名、座位号、准考证号用0.5毫米黑色签字笔填写清楚，考生考试条形码由监考老师粘贴在答题卡上的“条码粘贴处”． 2．选择题使用2B铅笔填涂在答题卡上对应题目标号的位置上，如需改动，用橡皮擦擦干净后再填涂其它答案；非选择题用0.5毫米黑色签字笔在答题卡的对应区域内作答，超出答题区域的答案无效；在草稿纸上、试卷上答题无效． 3．考试结束后由监考老师将答题卡收回． A卷（共100分） 第Ⅰ卷（选择题，共32分） 一、选择题（本大题共8个小题，每小题4分，共32分，每小题均有4个选项，其中只有一项符合题目要求，答案涂在答题卡上） 1. 在，，，四个数中，最大的数是（ ） A. 2025 B. C. D. 0 【答案】A 【解析】 【点睛】本题考查了实数的大小比较，正数都大于0，负数都小于0，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小；据此进行比较即可求解．掌握比较方法是解题的关键． 【详解】解：， 最大的数是； 故选：A． 2. 在2024世界物联网大会上，发布了全球首部《世界万物智联数字经济白皮书》，数据显示，中国在物联网基础建设、数字经济创新发展方面走在了世界第一，2024年建成承载物联网的5G基站有望超过430万个，物联网连接数有望突破30亿．将数据30亿用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，根据较大数科学记数法的表示方法：为整数，进行表示即可． 【详解】解：30亿； 故选C． 3. 下列计算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了乘法公式，同底数幂的乘法，合并同类项，掌握完全平方公式、平方差公式和同底数幂的乘法公式以及合并同类项法则是解题的关键． 分别按照完全平方公式、平方差公式和同底数幂的乘法公式以及合并同类项法则进行判断即可． 【详解】解：A、，原说法错误，故不符合题意； B、，原说法正确，故符合题意； C、，原说法错误，故不符合题意； D、与不是同类项，不能合并，原说法错误，故不符合题意， 故选：B． 4. 如图，，它们的相似比是，已知，则的长是（ ） A. 4 B. C. 5 D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的性质，根据相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：∵，它们的相似比是， ∴， ∵， ∴； 故选D． 5. 若关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】当一元二次方程有两个不相等的实数根时，根的判别式，据此列出关于的不等式，解不等式即可得到的取值范围． 【详解】解：由于方程有两个不相等的实数根， 则判别式 解得：． 6. 近年来，成都博物馆通过深化改革创新，提供高质量文化供给，增强了市民的获得感、幸福感、周末，成都博物馆皮影展厅里“红领巾小小宣讲员”面对观众，落落大方地将皮影戏的来龙去脉娓娓道来，其中有8名“红领巾小小宣讲员”的年龄如表： 年龄（岁） 9 10 11 12 人数（人） 3 2 2 1 则这8名宣讲员年龄的众数是（ ） A. 9 B. 10 C. 11 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查众数，根据众数是一组数据中出现次数最多的数据，进行求解即可． 【详解】解：由表格可知，9岁的人数最多， 故众数为9， 故选A． 7. 如图，在矩形中，对角线与相交于点，则下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查矩形的性质，根据矩形的对角线相等且平分，对边平行且相等，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； B、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； C、矩形的对角线相等且平分，故，原结论一定正确，符合题意； D、当矩形为正方形时，，故原结论不一定正确，不符合题意； 故选C． 8. 《九章算术》是中国古代的数学专著，书中记载了这样一道题：今有共买物，人出八，盈三；人出七，不足四，问：人数、物价各几何？其大意是：有几个人一起去买一件物品，如果每人出8元，则多3元；如果每人出7元，则少4元．问有多少人？设共有人，可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查根据实际问题列一元一次方程，理解题意，弄清数量关系是解题关键．根据物品的价格为定值，列出方程即可． 【详解】解：设共有人，由题意，可列方程为：． 故选：B． 第Ⅱ卷（非选择题，共68分） 二、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分．答案写在答题卡上） 9. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查因式分解，熟练掌握提公因式法因式分解是解题的关键．提公因式进行因式分解即可得到答案． 【详解】解：， 故答案为：． 10. 如图，已知，，，，则的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查平行线分线段成比例，根据平行线分线段成比例，得到，进行求解即可． 【详解】解：∵， ∴，即：， ∴； 故答案为：． 11. 若点，都在反比例函数的图像上，则______（填“”或“”）． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查比较反比例函数的函数值大小，理解并掌握反比例函数的性质是解题关键．根据反比例函数的性质，进行判断即可． 【详解】解：∵，， ∴反比例函数的图像过二，四象限，在每一个象限内，随着的增大而增大， ∵点，都在反比例函数图像上，且， ∴． 故答案为：． 12. 在平面直角坐标系中，点关于x轴对称的点的坐标为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与轴对称，根据关于x轴对称的点的横坐标相同，纵坐标互为相反数，进行求解即可． 【详解】解：点关于x轴对称的点的坐标为； 故答案为：． 13. 如图，在中，是边上一点，按以下步骤作图；①以点为圆心，以适当长为半径作弧，分别交于点，②以点为圆心，以BM长为半径作弧，交DA于点；③以点为圆心，以长为半径作弧，在内部交上面的弧于点；④过点作射线交AC于点E．若，三角形的面积为25，则三角形的面积为 ______． 【答案】16 【解析】 【分析】本题考查尺规作图—作一个角等于已知角，相似三角形的判定和性质，根据作图得到，证明，利用相似三角形的性质，进行求解即可． 【详解】解：由作图可知：， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； ∴； 故答案为：16． 三、解答题（本大题共5个小题，共48分，解答过程写在答题上） 14. （1）计算：； （2）解方程：． 【答案】（1）；（2），． 【解析】 【分析】本题考查零指数幂、负整数指数幂，实数的运算，解一元二次方程等． （1）首先计算乘方、开方，并根据零指数幂定义、负整数指数幂化简，，然后从左向右依次计算即可； （2）利用因式分解法即可解出本题答案． 【详解】解：（1） ； （2）因式分解得， ∴或， ，． 15. 某校开展“利用相似三角形的有关知识测量旗杆的高度”综合实践活动课，小明所在的数学小组准备测量旗杆的高度，他在他与旗杆之间的地面点处平放一面镜子，在镜子上做一个标记，小明看着镜子来回移动，直至看到旗杆的顶端在镜子中的像与镜子的标记重合．若小明的眼睛离地面的高度为米，且米，米，，求旗杆的高度． 【答案】旗杆的高度为12米 【解析】 【分析】本题考查相似三角形的判定与性质的实际应用及分析问题、解决问题的能力．利用数学知识解决实际问题是中学数学的重要内容．解决此问题的关键在于正确理解题意的基础上建立数学模型，把实际问题转化为数学问题．根据题意可知，再由相似三角形的对应边成比例即可得出结论． 【详解】解：由题意得：，， ， ， ， ， 旗杆的高度为12米． 16. 2024年11月2日，成都凤凰山体育场见证了历史性的一刻，成都蓉城队以中超联赛第三名的历史最好成绩，锁定了下赛季亚冠联赛的参赛资格，本赛季，蓉城俱乐部便作为全国唯一一家开放整面看台作为公益看台的俱乐部，受邀来到凤凰山公益看台观赛的观众是来自各行各业的上万名市民，其中不乏为成都做出贡献的“城市英雄”，他们的到来让这座城市更有温度；某网络平台随机调查了部分球迷对公益看台的知晓度，调查结果分为“非常了解”“了解”“一般”“不了解”四类，并将结果绘制成如下两幅不完整的统计图． （1）本次调查的球迷共有 人，请补全条形统计图； （2）在扇形统计图中，求“非常了解”对应的圆心角度数； （3）在“非常了解”里选4人，有，两名男生，，两名女生，若从中随机抽取两人赠送蓉城队徽，请利用画树状图或列表的方法，求恰好抽到一男一女的概率． 【答案】（1）1000， 补全条形图如图： （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查条形图和扇形图的综合应用，利用列表法求概率： （1）用了解的人数除以所占的比例求出调查人数，根据调查人数求出一般的人数，补全条形图即可； （2）利用360度乘以“非常了解”所占的比例，求出圆心角的度数即可； （3）利用列表法求概率即可． 【小问1详解】 解：（人）； 一般的人数为：， 故答案为：1000； 【小问2详解】 ，； 【小问3详解】 列表分析如下： 由上表可知，共有12种等可能的结果，其中抽到一男一女的有8种可能结果， ． 17. 如图，菱形的边长为，对角线与相交于点，其中长． （1）求对角线的长度； （2）若，且交的延长线于点． ①根据题意，把图形补充完整； ②求三角形的面积． 【答案】（1） （2）①根据题意把图形补充完整： ② 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，勾股定理，理解并掌握菱形的性质是解题关键． （1）根据菱形的对角线互相垂直且平分，结合勾股定理进行求解即可； （2）①根据题意，补齐图形即可；②证明四边形为平行四边形，根据直角三角形的面积公式进行计算即可． 【小问1详解】 解：四边形是菱形，与相交于点， ，， ， ； 【小问2详解】 ① 略 ②， ， ∵四边形为菱形， ∴， ∴， ∴四边形为平行四边形， ∴， ， 三角形的面积． 18. 如图所示，一次函数与反比例函数的图象相交于点，． （1）求反比例函数和一次函数的表达式； （2）点是第三象限内一点，的面积为24，求点的坐标； （3）在（2）的条作下，平面直角坐标系中，正方形与正方形是位似图形，点的对应点为，点的对应点在的图象上，求位似中心的坐标． 【答案】（1） （2）点的坐标为 （3）当时，位似中心的坐标为；当时，位似中心的坐标为 【解析】 【分析】本题主要考查了反比例函数与一次函数的问题，待定系数法求函数解析式，三角形的面积，以及位似中心等知识点； （1）先把代入反比例函数中求出m，再把代入求出a，最后把A，B代入一次函数求出即可； （2）根据面积公式列出方程求解即可； （3）过点作轴的垂线，垂足为，过点作的垂线，交与点，可得即可得出D的坐标，即可得出结论； 【小问1详解】 解：点是反比例函数与一次函数的交点， ，， 反比例函数的表达式为， 将点代入反比例函数， ， 点的坐标为， 将代入一次函数中， ， ， 一次函数的函数表达式为； 【小问2详解】 点的坐标为，点的坐标为， 轴， ， ， ，则点的坐标为； 【小问3详解】 在正方形中，， 过点作轴的垂线，垂足为， 过点作的垂线，交与点， ∴，， ∴ ， 点， 如图，当正方形和正方形是位似图形时， 点的对应点为，点的对应点在的图象上， 不妨设点的对应点为，点的对应点为，则， 设 ， ， ， ∴ 设直线表达式为 ∵过点， ， 解得：， ， 与相交与点， ，解得：或， 或 设的解析式为： 当时，将，代入得 解得： ∴ ∵由位似中心为对应点连线的交点， 当时，， ∴与的交点为 ∴当时，位似中心的坐标为， 当时，将，代入得 解得： ∴ ∵由位似中心为对应点连线的交点， 当时，， ∴与的交点为 当时，位似中心的坐标为． 综上：当时，位似中心的坐标为；当时，位似中心的坐标为 B卷（共50分） 一、填空题（本大题共5个小题，每小题4分，共20分，答案写在答题卡上） 19. 已知，且，则的值为______． 【答案】12 【解析】 【分析】本题考查了比例的性质，利用“设法”表示出、、求解更加简便． 设比值为，然后用表示出、、，再代入等式求出的值，即可得解． 【详解】解：设， 则，，， ， ， 解得， ， 故答案为：． 20. 一个几何体由几个大小相同的小立方块搭成，它的主视图和俯视图如图所示，则搭成这个几何体的小立方块最少有______个． 【答案】7 【解析】 【分析】本题考查根据三视图确定小正方体的个数，根据俯视图定位置，主视图确定个数，进行判断即可． 【详解】解：由题意，当小立方块最少时，如图： （画法不唯一，第一列其中一个位置有2个，第二列其中一个位置有2个，剩余位置为1个即可）； （个）； 故答案为：7． 21. 若是一元二次方程的两个实数根，则的值为______． 【答案】11 【解析】 【分析】本题考查一元二次方程的解，根与系数之间的关系，根据题意，得到：，，利用整体代入法，进行求解即可． 【详解】解：由题意，得：，， ∴， ∴ ； 故答案为：11． 22. 数学家祖冲之曾给出圆周率的两个近似值：“约率”与“密率”，它们可用“调日法”得到；称小于3.1415926的近似值为弱率，大于3.1415927的近似值为强率，由，取3为弱率，4为强率，得，故为强率，与上一次的弱率3计算得到，故为强率，继续计算，…，若某次得到的近似值为强率，与上一次的弱率继续计算得到新的近似值；若某次得到的近似值为弱率，故与上一次的强率继续计算得到新的近似值，依次类推，则______；若，则______． 【答案】 ①. ②. 8 【解析】 【分析】本题考查了新定义问题，有理数的运算与大小比较，明确强弱率判断标准，并熟练运用“调日法”是解题的关键；“调日法”用于计算圆周率近似值，其核心规则是根据近似值与和的大小关系，来确定后续计算方式．若得到的近似值大于，此为强率，需与上一次的弱率（小于）进行计算；若得到的近似值小于，此为弱率，需与上一次的强率进行计算，据此解答即可． 【详解】解：∵， ∴3为弱率，4为强率， ， ∵， ∴属于强率； ∵是强率，按照规则要与上一次的弱率3进行计算． ∴， ∵，也是强率； ∴ ， ，故同样是强率． ， ∴，同样是强率． ， ，依旧是强率． ， ，依旧是强率， ， ，为弱率， ∵是弱率，按照规则要与上一次的强率计算． ∴， ，为弱率， 综上，通过“调日法”依次计算得出，，，，，，，； 故答案为：，8． 23. 如图，在Rt中，，，为的中点，为上－点，连接，将沿折叠得到，点的对应点落在线段上，若，则的值为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，折叠的性质，由，证明，，故有，过作，交延长线于点，证明，则，故有，由折叠性质可知：，，，即可证明，由相似三角形的性质得，设，，则，，代入求出，从而可得，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴，， ∴， ∴，， 如图，过作，交延长线于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 由折叠性质可知：，，， ∴， ∵，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 设，，则，， ∴，解得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 二、解答题（本大题共3个小题，共30分，解答过程写在答题卡上） 24. 当下，夜经济已成为成都经济高质量发展的重要组成部分，李华在某夜市商圈销售成都文创纪念T恤，他以每件55元的价格进购一批纪念T恤，以70元售出，平均每天能售出36件．经李华调查发现，这种纪念T恤的售价每增加1元，其日销售量就将减少2件． （1）求关于的函数表达式； （2）为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为多少元． 【答案】（1） （2）为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为80元 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，一元二次方程的应用； （1）等量关系式：销售量70元售出时的平均每天销售量售价增价，列出函数，即可求解； （2）等量关系式：平均每天400元的销售利润每件利润销售量，据此列出方程，即可求解； 找出等量关系式是解题的关键． 【小问1详解】 解：当时， ， ； 【小问2详解】 解：由题意可知： 每日销量为， 每件纪念T恤的利润为元， 每日的利润为元， 根据题意可列方程， ，， 又， 舍去， 为了实现平均每天400元的销售利润，纪念T恤的售价应定为80元． 25. 如图，已知直线经过点，交x轴于点A，交y轴于点B． （1）求点A，B的坐标； （2）F为线段的中点，C是线段上的一点，连接，过点F作的垂线交x轴于点D，探究线段与的数量关系； （3）在（2）的条件下，是y轴正半轴上的一点，在平面直角坐标系内是否存在一点P，使得，且与相似？若存在，直接写出点P坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1）， （2） （3）存在，，，， 【解析】 【分析】（1）由直线经过点，得到，求得，当时，，当时，，于是得到，； （2）连接，如图1所示：根据等腰直角三角形的性质得到，由为线段的中点，得到，，，求得，根据全等三角形的判定和性质定理得到结论； （3）由为线段的中点，得到，根据勾股定理得到，设，求得，得到，设直线的解析式为，把代入得，，求得直线的解析式为，设，根据勾股定理得到，根据相似三角形的性质即可得到结论． 【小问1详解】 解：直线经过点， ， ， ， 当时，， 当时，， ； 【小问2详解】 解：证明：连接，如图1所示： ， ， 是等腰直角三角形， ， 为线段的中点， ，， ， ， ， ， ， 在和中 ， ； 【小问3详解】 解：为线段的中点， ， ∵， ， 设， ， ， 或 (不合题意舍去)， ， ，， ， ， 直线的解析式为， 设直线的解析式为， 把代入得，， 直线的解析式为， 设， ， 与相似， ， ， 或， 或， 解得或， ∴把代入，得； ∴把代入，得； ∴把代入，得； ∴把代入，得； 或或或． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了一次函数图象上点的坐标特征，相似三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键． 26. 已知，，直线与直线相交于点． （1）如图1，点在内部，当且点，重合时，请证明：； （2）如图2，点在内部． ①当时，探究线段，，之间的数量关系； ②当时，直接写出一个等式，表示线段，，之间的数量关系； （3）当，，且为直角三角形时，直接写出表示线段与的比值． 【答案】（1）见解析 （2）①；② （3）或或 【解析】 【分析】（1）由等边三角形的性质及相似三角形的性质得是等边三角形，由判定，由全等三角形的性质，即可得证； （2）①(ⅰ)如图，当点D，N重合时，由直角三角形的特征得，由相似三角形的性质得，由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得，由勾股定理得，即可求解；(ⅱ)当点D，N不重合时，同理可求； ②在上取一点H，使得，连接，由①中的(ⅱ)同理可求； （3）取的中点，连接，由等边三角形的判定方法得是等边三角形，由等边三角形的性质可求，①当时，此时与重合，（ⅰ）点在线段上， 由相似三角形的判定方法得，由相似三角形的性质得 ，即可求解；（ⅱ）点在线段延长线上，同理可求； ②当时，（ⅰ）当点在的内部时，连接，在上取一点H，使得，连接，过作交的延长线于，过作交于，设，由相似三角形的性质及直角三角形的特征、勾股定理得，，由勾股定理得，可得，，，从而求出，由三角形面积可求，再由勾股定理求出，，求出，，即可求解；（ⅱ）当点在的外部时，同理可求：，，即可求解． 【小问1详解】 证明：， 是等边三角形， ， 是等边三角形， ， ∵， ， ， 在和中， ， ()， ． 【小问2详解】 解：①(ⅰ)如图，当点D，N重合时， ，， ， ， ， ，， ， ， ， ， ， ， 即， 在中，， ， ， ， ， 当点D，N重合时，； (ⅱ) 如图，当点D，N不重合时， 在上取一点H，使得，连接； 由(ⅰ)同理可证：，， ， ， ， ，， ，， ， ， ， ； 在中， 同理可求：， 当点D，N不重合时， ． 综上，． ②如图：在上取一点H，使得，连接， 由①中的(ⅱ)同理可证，， ∴，， ， 如图，过作交于， ， 设，则， ， ， ， ， ， ， 故； 【小问3详解】 解：如图，取的中点，连接， ， ， ， ， ， 是等边三角形， ，， ， ， ， ， ， ，， ， ①如图，当时，此时与重合， （ⅰ）点在线段上，如图， ， ， ， ； （ⅱ）点在线段延长线上，如图， 由（ⅰ）同理可证：； ②当时， （ⅰ）如图，当点在的内部时， 如图，连接，在上取一点H，使得，连接，过作交的延长线于，过作于， 设， ， ， ， ， 由勾股定理得：， ， 四边形是矩形， ，，， ，， ，， ， ， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； （ⅱ）如图，当点在的外部时， 连接，在上取一点H，使得，连接，过作交于，过作交于， 设， ， ， ， ， ， ， 四边形是矩形， ， ， ， ，， ，， ， ， ， 由（2）同理可证：， ， ， ， ， 解得：， ， ， 解得：， ， ， ， ， ； 综上所述：或或． 【点睛】本题考查了相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定和性质，等边三角形的判定及性质，勾股定理，直角三角形的特征，矩形的判定及性质等；相似三角形的判定及性质，全等三角形的判定就性质，等边三角形的判定及性质，能根据题意构建相似三角形及根据点的不同位置进行分类讨论，并能熟练利用勾股定理求解是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $