精品解析：新疆喀什地区伽师县中等职业技术学校2021-2022学年高二上学期期中数学试题

新疆喀什地区伽师县中等职业技术学校2021-2022学年 高二上学期期中数学试卷 一､单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 中，三边长满足，那么的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C 直角三角形 D. 以上均有可能 2. 在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解是（ ） A. B. C. D. 3. 执行如图的程序框图，若输入的，则输出的（ ） A. 10 B. 15 C. 21 D. 28 4. 中，，，则角（ ） A. B. C. 或 D. 5. 在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 6. 2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图（图1）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（图2）.则下列命题错误的是（ ） A. 成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人 B. 成绩第1~100名的100人中，高一人数不超过一半 C. 成绩第1~50名的50人中，高三最多有32人 D. 成绩第名的50人中，高二人数比高一的多 7. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 8. 甲船在岛正南方A处，千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自出发以每小时6千米的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ） A. 分钟 B. 分钟 C. 21.5分钟 D. 2.15分钟 9. 在中，角的对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 10. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度<轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为.将地球看作是一个球心为，半径为的球，其上点的纬度是指与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为，观测该卫星的仰角为，则下列关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 11. 在中，内角所对的边分别为.已知，则（ ） A. B. C. D. 12. 在数列中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 二､填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 13. 一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西方向上，另一灯塔在南偏西方向上，则该船的速度是__________海里/小时. 14. 在中，已知，则的形状是__________. 15. 如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线和射线，射线与单位圆的交点分别为.若，则的值是__________. 16. 中，已知. （1）面积的最大值是__________. （2）若有两解，则的取值范围是__________. 17. 某射击运动员在五次射击中，分别打出了环的成绩，且这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是__________. 18. 在中，，则__________. 19. 已知，则值为__________. 20. 已知分别为三个内角的对边，且，则__________. 三､解答题（本题共4小题，每小题8分，共32分） 21. 已知锐角的内角的对边分别为，其外接圆半径满足. （1）求的大小； （2）已知的面积，求的取值范围. 22. 如图，在四边形中，. （1）证明：为直角三角形； （2）若，求四边形面积的最大值. 23. 在中，已知，求的值． 24. 已知是同一平面内的三个向量，且. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求向量与夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 新疆喀什地区伽师县中等职业技术学校2021-2022学年 高二上学期期中数学试卷 一､单选题（本题共12小题，每小题3分，共36分） 1. 中，三边长满足，那么的形状为（ ） A. 锐角三角形 B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 以上均有可能 【答案】A 【解析】 【分析】依题意可知为中的最大角，且，利用不等式的性质与余弦定理即可判断出答案. 【详解】， 为中的最大角，且； ，， ，， ， ，由余弦定理得：， 为锐角，即为锐角三角形. 故选：A. 2. 在中，根据下列条件解三角形，则其中有两个解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合正、余弦定理，及三角形的边角关系，即可判断求解. 【详解】因，所以， 由正弦定理得， 所以，是确定的值，故只有一解， 故选项A不符合题意； 因为， 又，故也是确定的值，只有一解， 故选项B不符合题意； 因为， 由正弦定理得，又， 所以B只能是锐角，且唯一确定，则C的值也唯一确定， 又，所以边长c的值也是确定的，只有唯一解， 故选项C不符合题意； 因为， 由正弦定理得， 所以，又， 所以B是锐角或者钝角，有两个解. 故选：D. 3. 执行如图的程序框图，若输入的，则输出的（ ） A. 10 B. 15 C. 21 D. 28 【答案】A 【解析】 【分析】利用循环结构计算并输出变量的值，模拟程序的运行过程，分析循环中各变量值的变化情况，可得答案. 【详解】模拟程序的运行，可得 不满足条件，执行循环体， 不满足条件，执行循环体， 不满足条件，执行循环体， 此时，满足条件，退出循环，输出的值为10. 故选：A. 4. 在中，，，则角（ ） A. B. C. 或 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用正弦定理与两角和差的正弦公式求得的值，再求得角的值，根据三角形内角和三角函数的范围检验即可. 【详解】中，，且， 则，展开得：； 又，由正弦定理可得：， 则有，即， 且，所以或，或， 又因为，，所以， 所以，. 故选：D. 5. 在中，，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据余弦定理求出，再由正弦定理即可求得结果. 【详解】已知中，， 所以， 所以， 利用正弦定理，得， 所以，因为， 所以. 故选：A. 6. 2021年3月，树人中学组织三个年级的学生进行“庆祝中国共产党成立100周年”党史知识竞赛.经统计，得到前200名学生分布的饼状图（图1）和前200名中高一学生排名分布的频率条形图（图2）.则下列命题错误的是（ ） A. 成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多30人 B. 成绩第1~100名的100人中，高一人数不超过一半 C. 成绩第1~50名的50人中，高三最多有32人 D. 成绩第名的50人中，高二人数比高一的多 【答案】D 【解析】 【分析】利用前200名学生分布的饼状图和前200名中高一学生排名分布的频率条形图的性质直接求解即可. 【详解】由前200名学生分布的饼状图和前200名中高一学生排名分布的频率条形图知： 高一人数：，高二人数：，高三人数：， 对于A，成绩前200名的200人中，高一人数比高二人数多： 人，故A正确； 对于B，成绩第1~100名的100人中，高一人数为：人，不超过一半，故B正确； 对于C，成绩第名的50人中，高一学生有：人， 成绩第名的50人中，高三最多有人，故C正确； 对于D，成绩第51~100名的50人中，高一学生有：人， 成绩第名的50人中，高二与高三共有人， 故高二人数比高一的少，故D错误. 故选：D. 7. 已知角的终边过点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据任意角的三角函数的定义，求得和的值，可得的值. 【详解】角的终边过点 ， 则， 故选：A. 8. 甲船在岛的正南方A处，千米，甲船以每小时4千米的速度向正北航行，同时乙船自出发以每小时6千米的速度向北偏东的方向驶去，当甲、乙两船相距最近时，它们所航行的时间是（ ） A. 分钟 B. 分钟 C. 21.5分钟 D. 2.15分钟 【答案】A 【解析】 【分析】根据题意，可设经过小时距离最小，分别表示出甲乙距离岛距离，再由余弦定理表示出两船的距离，最后根据二次函数求最值的方法，即可求解. 【详解】 由题意，假设经过小时两船相距最近，甲乙分别行至如图示 可知， 所以 ， 所以当小时，即分钟时，距离最小. 故选：A. 9. 在中，角对边分别为，若，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦定理，即可求解. 【详解】因为， 由正弦定理得， 所以. 故选：D. 10. 北斗三号全球卫星导航系统是我国航天事业的重要成果.在卫星导航系统中，地球静止同步卫星的轨道位于地球赤道所在平面，轨道高度<轨道高度是指卫星到地球表面的距离）为.将地球看作是一个球心为，半径为的球，其上点的纬度是指与赤道平面所成角的度数.如果地球表面上某一观测点与该卫星在同一条子午线（经线）所在的平面，且在该观测点能直接观测到该卫星.若该观测点的纬度值为，观测该卫星的仰角为，则下列关系一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】运用圆的切线的性质和三角形的正弦定理，结合诱导公式，计算可得所求结论. 【详解】如图所示，为点A处圆切线，由题意可得： 在中，， 中，由正弦定理可得， 即， 故选：A. 11. 在中，内角所对的边分别为.已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合正弦定理、两角差的余弦公式、同角三角函数的商数关系，即可求的值. 【详解】因为在中，， 由正弦定理得， 因为,所以， 化简得，即 所以. 故选：C. 12. 在数列中，，则的值为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用累加法，结合等比数列的前项和公式即可得解. 【详解】因为，且， 所以 . 故选：C. 二､填空题（本题共8小题，每小题4分，共32分） 13. 一船向正北方向匀速行驶，看见正西方向两座相距10海里的灯塔恰好与该船在同一直线上，继续航行半小时后，看见其中一座灯塔在南偏西方向上，另一灯塔在南偏西方向上，则该船的速度是__________海里/小时. 【答案】 【解析】 【分析】由题意，可设，得到，在中，利用正弦定理求解. 【详解】 由题意，船的初始位置为A，半小时后行驶到，两个灯塔分别位于， 所以，, 则， 设，则， 在中，， 即，所以， 解得， 所以船速为海里/小时. 故答案为：. 14. 在中，已知，则的形状是__________. 【答案】等边三角形 【解析】 【分析】根据正弦定理表示出和，分别代入已知的中，利用同角三角函数间的基本关系及特殊角的三角函数值即可得到三角形的三个内角相等，得到三角形为等边三角形. 【详解】根据正弦定理得到：， 则， 代入中得：， 即，且，则， 所以的形状是等边三角形. 故答案为：等边三角形 15. 如图，在平面直角坐标系中，角与角均以为始边，终边分别是射线和射线，射线与单位圆的交点分别为.若，则的值是__________. 【答案】 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义，结合两角和差的余弦公式进行计算即可. 【详解】因为射线与单位圆的交点为， 所以， 又因为，所以， 所以， ， 则. 故答案为：. 16. 中，已知. （1）面积的最大值是__________. （2）若有两解，则的取值范围是__________. 【答案】 ①. ②. （） 【解析】 【分析】（1）利用余弦定理和基本不等式求出的最大值，即可求出面积的最大值. （2）利用正弦定理与三角形内角和定理，结合题意即可求出三角形有两解时的取值范围. 【详解】（1）中，； 所以， 即， 所以，当且仅当时取“”； 所以面积的最大值是. （2）在中，， 由正弦定理得：， 所以， 又，所以， 要使三角形有两解，则，且， 即，所以， 解得，即的取值范围是. 故答案为：；（）. 17. 某射击运动员在五次射击中，分别打出了环的成绩，且这组数据的平均数为9，则这组数据的方差是__________. 【答案】（对应人教版）；（对应高教版）1 【解析】 【分析】根据题意，结合平均数先求出x的值，结合方差的公式，即可代入求解. 【详解】解法一（对应人教版）： 某射击运动员在五次射击中，分别打出了环的成绩，且这组数据的平均数为9， ， 解得， 这组数据的方差是： . 故答案为：. 解法二（对应高教版）： 某射击运动员在五次射击中，分别打出了环的成绩，且这组数据的平均数为9， ， 解得， 这组数据的方差是： . 故答案为：1. 18. 在中，，则__________. 【答案】2 【解析】 【分析】根据条件利用正弦定理即可求得的值. 【详解】在中，， 则由正弦定理可得，即， 解得， 故答案为：2. 19. 已知，则的值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，结合三角函数诱导公式，即可求解. 【详解】， . 故答案为：. 20. 已知分别为三个内角的对边，且，则__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据正弦定理把已知等式中的边转化为角的正弦，利用两角和的正弦公式化简求得的值，进而求得. 【详解】， ， ，， ， . 故答案为：. 三､解答题（本题共4小题，每小题8分，共32分） 21. 已知锐角的内角的对边分别为，其外接圆半径满足. （1）求的大小； （2）已知的面积，求的取值范围. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由已知结合余弦定理可得与的关系，然后结合正弦定理可求，即可求解； （2）由已知结合三角形的面积公式可求，然后结合正弦定理可得，再利用两角和的正弦公式及诱导公式进行化简后，利用正弦函数的性质即可求解. 【小问1详解】 因为， 所以，即， 所以， 又为锐角， 所以. 【小问2详解】 因为的面积， 所以， 所以， 所以 ， 由是锐角三角形得， 所以， 所以， 所以. 22. 如图，在四边形中，. （1）证明：为直角三角形； （2）若，求四边形面积的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2）12. 【解析】 【分析】（1）把已知条件结合正弦定理和余弦定理进行边角转化，即可求得结论； （2）根据向量间的关系转化得到 ，再结合基本不等式即可求得结论. 【小问1详解】 证明：， 由正弦定理和余弦定理可得：， 整理得，， 由勾股定理的逆定理可得：. 为直角三角形. 【小问2详解】 由， ， 由，得， ， 当且仅当时“”成立， 所以四边形面积的最大值为12. 23. 在中，已知，求的值． 【答案】，， 【解析】 【分析】根据三角形的内角和结合已知条件即求得角A的值，再根据正弦定理和正弦的两角和公式即可得解. 【详解】在中，已知， ， 由正弦定理，得， 即， ， 解得，； 综上：，，． 24. 已知是同一平面内的三个向量，且. （1）若，且，求的坐标； （2）若，且与垂直，求向量与夹角的余弦值. 【答案】（1）或 （2） 【解析】 【分析】（1）设，根据，求出即可求出结论； （2）利用与垂直求得，进而可得到其夹角. 【小问1详解】 因为，且， 可设，， ，即， 故或； 【小问2详解】 ，， 即， 又，则有，且， 代入整理得； 所以， 向量与的夹角的余弦值为. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$