5.1.2导数的概念及其几何意义课件-2024-2025学年高二下学期数学人教A版(2019)选择性必修第二册

高中数学 人民教育出版社 A版 选择性必修 第二册 第五章 一元函数的导数及其应用 5.1.2导数的概念及其几何意义 页面统一为16:9宽幅画面比例尺寸；PPT统一格式为PPT或PPTX。 中文： 1. 课名：微软雅黑48号字； 2.（第一课时）：微软雅黑32号字； 3.学校名称：请填写全称； 4.学科、年级、主讲人、学校：华文楷体28号字（具体根据文字量可适当调整）。 英文 1.课名：字体以Times New Roman为主，字号一般使用32—36号，特别强调可以用40号； 2.（Period 1）：字体使用Arial，字号为28； 3.正文一般用24—28号，特别强调可用32号。 注意标点的规范（例如：中文省略号为……，可用Shift+数字键6打出中文省略号，英文省略号为…） 问题回顾 物理问题： 跳水运动员起跳后的速度问题 几何问题： 抛物线的切线斜率问题 切线斜率 割线斜率 瞬时速度 平均速度 瞬时变化率 平均变化率 取极限 取极限 取极限 逼近 对于函数y＝f(x)，设自变量x从x0变化到x0＋∆x，相应地，函数值y就从f(x0)变化到f(x0＋∆x). 这时，x的变化量为∆x，y的变化量为 ∆y＝f(x0＋∆x)－f(x0). 我们把比值 ，即 叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋∆x的平均变化率. 注：对 的理解 1． 是一个整体符号，不是与x，y 相乘. 2． 是定义域内不同的两点，因此，但 可正、可负； 3.是函数值的改变量，可正、可负，也可为0，因此平均变化率可正、可负，也可为零 4. 函数的平均变化率为0，并不一定说明函数f (x)没有变化 平均变化率 瞬时变化率 函数 f (x) 在 处的 瞬时变化率是函数 f (x) 从 到 的平均变化率在 时的极限，即 导数的概念 如果当___无限趋近于 0 时，平均变化率____无限趋近于一个确定的值， 即____有极限，则称_________________________， 并把这个确定的值叫做______________________(也称为__________ ) ,记作______或_______. 用极限符号表示这个定义， 即_________________________________________ y ＝ f (x) 在x ＝ x0处可导 y＝f (x)在x＝x0处的导数 瞬时变化率 导数是平均变化率的极限，是瞬时变化率的数学表达. 说明 1. f ′(x0)与x0的值有关，不同的x0其导数值一般也不相同； 2. f′(x0)与∆x的具体取值无关； 3. 瞬时变化率与导数是同一概念的两个名称； 导数的概念 例1 设 ，求 解： 求函数y=f(x)在点x0处的导数的步骤： 一差、二比、三极限 应用 应用 例2 将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却和加热. 已知在第 x h时，原油的温度（单位：℃）为 计算第2 h与第6 h时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义. 解：在第2 h和6 h时，原油温度的瞬时变化率就是f ′(2)和 f ′(6). 所以 追问： 和 在这个实际问题中的意义是什么？ 应用 例3 一辆汽车在公路上沿直线变速行驶，假设ts时汽车的速度(单位: m/s)为 y＝v(t)＝-t2＋6t＋60，求汽车在第2s与第6s时的瞬时加速度，并说明它们的意义. 追问1：速度与瞬时加速度的关系是什么？ 瞬时加速度就是速度的瞬时变化率. 解： 在第2s和第6s时，汽车的瞬时加速度就是 和 所以 因为 同理， 瞬时速度是位移的瞬时变化率，瞬时加速度是速度的瞬时变化率. 巩固练习 3. 一质点A沿直线运动，位移y(单位: m)与时间t(单位: s)之间的关系为y(t)=2t2+1，求质点A在t =2.7 s时的瞬时速度. 因此质点A在t=2.7s时的瞬时速度为10.8m/s. 课本P66 巩固练习 4. 设函数f(x)=x2-1. 求: (1) 当自变量x由1变到1.1时，函数的平均变化率； (2) 函数在x=1处的导数. 小结 2.求函数 y＝f (x)在 x＝x0 处导数的步骤 1.导数的定义： 三极限 一差 二比 导数的几何意义 导数f ′(x0)的几何意义是什么？ 函数 y＝f (x) 在x= x0处的导数 f ′(x0) 曲线 y＝f (x)在点P0(x0, f (x0))处切线的斜率k0 导数f ′(x0)的几何意义 你能求出曲线y=f (x)在点M(x0, f (x0))处的切线方程是什么吗？ P x y O T 即 例 求曲线 f (x)=x2 +1在点P(1,2)处的切线方程． 解决切线问题的关键: 利用导数的几何意义求出切线的斜率k0=f ′(x0). 导数的几何意义 导数的几何意义 求曲线在某点处的切线方程的步骤 导数的几何意义——以直代曲 继续观察图，可以发现点处的切线比任何一条割线更贴近点附近的曲线.进一步地，利用信息技术根据将点附近的曲线不断放大，可以发现点附近的曲线越来越接近于直线. 因此，在点附近，曲线可以用点处的切线近似代替. 导数的几何意义 在t0, t1, t2 附近的曲线 在t=t0, t1, t2处的切线 近似代替 斜率刻画 斜率的正负：增减趋势 斜率的大小：增减快慢 以直代曲 例4 如图是高台跳水运动中运动员的重心相对于水面的高度随时间变化的函数h(t)=-4.9t2+4.8t +11的图象. 根据图象，请描述、比较曲线h(t)在t=t0, t1, t2附近的变化情况. 导数的几何意义 例5 下图中是人体血管中药物浓度c=f(t) (单位: mg/mL)随时间t (单位:min)变化的函数图象. 根据图象，估计t=0.2, 0.4, 0.6, 0.8 min时，血管中药物浓度的瞬时变化率(精确到0.1). 血管中药物浓度的瞬时变化率, 就是药物浓度. 函数f (t)在此时刻的导数,从图象上看,它表示曲线在该点处的切线的斜率. 数形结合以直代曲 导数的几何意义 t 0.2 0.4 0.6 0.8 药物浓度的 瞬时变化率 下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值， 导函数 从求函数y=f(x)在x=x0处导数的过程可以看到，当x=x0时，f ′(x0) 是一个唯一确定的数. 这样，当x变化时，y=f ′(x)就是x的函数，我们称它为y=f(x)的导函数(derived function) ( 简称导数). y=f(x)的导函数有时也记作y′，即 函数在点x =x0处的导数f ′(x0)、导函数 y = f ′(x)、导数之间有什么区别与联系呢？ 常数 函数、变量 函数在点 x0 处的导数 f ′(x0)就是导函数 f ′(x) 在 x = x0 处的函数值，这也是求函数在点 x0 处的导数的方法之一。 导函数 如何求函数y=f (x)的导数? 三极限 一差 二比 巩固练习 x y 1 2 O • • • 3 2. 函数f(x)的图象如图所示，下列数值排序正确的是( ). (A) f '(1)>f '(2)>f '(3)>0 (B) f '(1)<f '(2)<f '(3)<0 (C) 0<f '(1)<f '(2)<f '(3) (D) f '(1)>f '(2)>0>f '(3) A A 巩固练习 课本P70 小结 3.利用导数的几何意义解释实际生活问题,体会“数形结合”,“以直代曲”的数学思想方法. 1．如图，直线l是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线，则f′(4)＝(　　) A．　　　B．3 C．4 D．5 解：根据导数的几何意义知f′(4)是曲线y＝f(x)在x＝4处的切线的斜率k，注意到k＝＝，所以f′(4)＝. $$