16.3 分式方程及其解法1 课件 2024—2025学年华东师大版八年级数学下册

1、分式方程的概念及解法 可化为一元一次方程 的分式方程 首页 上页 返回 下页 问题：轮船在顺水中航行80千米所需的时间和逆水航行60千米所需的时间相同.已知水流的速度是3千米/时，求轮船在静水中的速度. 分析：设轮船在静水中的速度为x千米/时，根据题意，得 这个方程有何特点？ 顺水速度=静水速度+水速 逆水速度=静水速度-水速 特征：方程的两边的代数式是分式。或者说未知数在分母上的方程。 首页 上页 返回 下页 分式方程的主要特征： （1）含有分式 ；（2）分母中含有未知数。 方程 中含有分式，并且 分母中含有未知数，像这样的方程叫做分式方程. 你还能举出一个分式方程的吗？ 分式方程的概念 首页 上页 返回 下页 解答：根据定义可得：(1)、(2)是整式方程， (3)是分式， (4)(5)是分式方程． 例题讲解与练习 辨析：判断下列各式哪个是分式方程? 首页 上页 返回 下页 试一试：下列方程哪些不是分式方程： × √ √ √ √ × 首页 上页 返回 下页 探究分式方程的解法 1、思考:分式方程 怎样解呢？ 为了解决本问题，请同学们先思考并回答以下问题： 1）回顾一下一元一次方程时是怎么去分母的，从中能否得到一点启发？ 2）有没有办法可以去掉分式方程的分母把它转化为整式方程呢？ 首页 上页 返回 下页 所以轮船在静水中的速度为21千米/时. 探究分式方程的解法 解：方程 两边同乘以（x+3）(x-3)，约去分母，得 解方程： 80（x-3）=60(x+3) 解这个整式方程，得 x=21. 首页 上页 返回 下页 2、概　括 　上述解分式方程的过程，实质上是将方程的两边乘以同一个整式，约去分母，把分式方程转化为整式方程来解.所乘的整式通常取方程中出现的各分式的最简公分母. 分式方程的解法 解方程： 做一做： 首页 上页 返回 下页 例题讲解与练习 例1　解方程： . 解:方程两边同乘以（x+1）（x-1）,约去分母，得 x+1=2 解这个整式方程，得 x=1. 事实上，当x=1时，原分式方程左边和右边的分母（x－1）与（x2－1）都是0，方程中出现的两个分式都没有意义，因此，x=1不是原分式方程的根（解），应当舍去。所以原分式方程无解. 首页 上页 返回 下页 在将分式方程变形为整式方程时，方程两边同乘以一个含未知数的整式，并约去了分母，有时可能产生不适合原分式方程的解（或根），这种根通常称为增根. 因此，在解分式方程时必须进行检验. 那么，产生“增根”的原因在哪里呢？ 分式方程的增根原因？ 简而言之，变形时方程两边所乘的整式（即最简公分母）的值为零。 首页 上页 返回 下页 探究分式方程的验根方法 验根的方法 解分式方程进行检验的关键是看所求得的整式方程的根是否使原分式方程中的分式的分母为零.有时为了简便起见，也可将它代入所乘的整式（即最简公分母），看它的值是否为零.如果为零，即为增根. 如例1中的x=1，代入x2－1＝0，可知x=1是原分式方程的增根. 有了上面的经验，我们再来完整地解几个分式方程. 首页 上页 返回 下页 例题讲解与练习 例2　解方程： 强调！！！ 注意：分式方程的求根过程不一定是同解变形，所以分式方程一定要验根！ 首页 上页 返回 下页 方法总结： 解分式方程的注意点： 解分式方程的一般步骤： 1、去分母：方程两边都乘以最简公分母，约去分母，化为整式方程; 2、解这个整式方程; 3、检验：把整式方程的根代入最简公分母，若最简公分母不等于零，则是原方程的根，否则就是原方程的增根，必须舍去． （1）去分母时,先确定最简公分母；若分母是多项式,要进行因式分解； （2）去分母时,不要漏乘不含分母的项； （3）有时整式方程无解，也说明分式方程也无解； （4）最后不要忘记验根。 首页 上页 返回 下页 做一做 当堂练习 解下列分式方程： 首页 上页 返回 下页 2、分式方程的解 可化为一元一次方程 的分式方程 ——含参数的分式方程（增根或无解） 首页 上页 返回 下页 做一做： 区别两个概念： 你是怎样认识分式方程的“增根”和“无解”的？ 分式方程的增根与无解并非是一个概念，无解既包括产生增根的情况，又包括原方程去分母后整式方程无解，而增根只是使原分式方程分母为零。 首页 上页 返回 下页 分式方程的常见含参数的题型（增根或无解） 例1.当k为何值时,分式方程 有增根? 首页 上页 返回 下页 做一做 2.已知分式方程 无解,求 的值. 1.当a为何值时,方程 有增根? 首页 上页 返回 下页 分式方程的常见含参数的题型（增根或无解） 首页 上页 返回 下页 例.解关于 的分式方程： 解含参数的分式方程 试一试：解关于 的分式方程： 首页 上页 返回 下页 小结 1、你学到了哪些知识？要注意什么问题？ 2、在学习的过程 中你有什么体会？ 首页 上页 返回 下页 $$