7.1 相交线 同步练习 2024--2025学年人教版七年级数学下册

►第七章　相交线与平行线 7.1 相交线 内容索引·常考题型 内容 常考题型 重点01 对顶角 选择题、填空题 重点02 邻补角 选择题、填空题 难点01 对顶角、邻补角的性质的应用 选择题、填空题 难点02 垂线性质的应用 选择题、填空题、解答题 易错点 “三线八角” 选择题、填空题 ■重点01 对顶角 攻克重点 对顶角的概念：两个角有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角． 【典例1】　（2024春•大渡口区校级月考）下列、是对顶角的　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据对顶角的两边互为反向延长线对各图形即可判断． 【解答】解：根据对顶角的概念可知， 选项中和是对顶角， 故选：． 【典例2】　（2024春•兴宁区校级期中）下面四个图形中和是对顶角的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据对顶角的定义对各图形判断即可． 【解答】解：根据对顶角的定义可知：只有选项中的是对顶角，其它都不是． 故答案为：． 【典例3】　（2024春•罗湖区校级期中）下列各图中，与是对顶角的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据“一个角的两边分别是另一个角两边的反向延长线，这样的两个角是对顶角”结合具体的图形进行判断即可． 【解答】解：由对顶角的定义可知，选项中的与是对顶角， 故选：． 【典例4】　（2023秋•青山湖区校级期末）如图，图中的对顶角共有　　 A．4对 B．5对 C．6对 D．7对 【答案】 【分析】利用对顶角定义可得答案． 【解答】解：图中的对顶角共有4对，有和，和，和，和， 故选：． 【典例5】　（2024春•玉溪期末）下列工具中，有对顶角的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】对顶角：有一个公共顶点，并且一个角的两边分别是另一个角的两边的反向延长线，具有这种位置关系的两个角，互为对顶角．依此即可求解． 【解答】解：由对顶角的定义可知，下列工具中，有对顶角的是选项． 故选：． 方法技巧 识别对顶角时，要抓住两个关键要素：一是顶点，二是边．先看两个角是否有公共顶点，再看两个角的两边是否分别互为反向延长线．两条直线相交形成两对对顶角． ■重点02 邻补角 攻克重点 邻补角的定义：有一条公共边，另一边互为反向延长线的两个角，叫做邻补角． 【典例1】　（2023春•闽侯县期末）如所示四个图形中，和是邻补角的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】只有一条公共边，它们的另一边互为反向延长线，具有这种关系的两个角，互为邻补角，由此即可判断． 【解答】解：、和是对顶角，故不符合题意； 、和是邻补角，故符合题意； 、和有公共顶点，故不符合题意； 、和是同旁内角，故不符合题意． 故选：． 【典例2】　（2023秋•香坊区校级期中）若，那么邻补角的度数为_____． 【分析】根据邻补角互补解答即可． 【解答】解：， 邻补角的度数为：． 故答案为：． 【典例3】　（2023春•新余期中）如图，直线，，相交于点，则的邻补角有 　　个． 【答案】2． 【分析】根据邻补角的定义即可解答． 【解答】解：根据邻可知：的邻补角是或，共2个． 故答案为：2． 【典例4】　（2023春•高新区校级期中）若的对顶角是，那么的邻补角的度数是 　　． 【答案】． 【分析】根据对顶角和邻补角的定义进行求解即可得出答案． 【解答】解：的对顶角是， ， 的邻补角的度数为， 故答案为：． 【典例5】　（2024春•高碑店市月考）如图，直线与直线交于点，过点作射线，则的邻补角为 　　． 【答案】． 【分析】直接利用邻补角的含义作答即可． 【解答】解：， 的邻补角为， 故答案为：． 方法技巧 邻补角是补角的一种特殊情况：邻补角既包含位置关系，又包含数量关系，数量上两角的和是180°，位置上有一条公共边．互为邻补角的两个角一定互补，但互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有两个，但一个角的补角可以有很多个． ■难点01 对顶角、邻补角的性质的应用 突破难点 （1）邻补角的性质：邻补角互补． （2）对顶角的性质：对顶角相等． 【典例1】　（2024秋•玄武区校级月考）如图，直线、相交于点，平分，平分，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】设为，根据角平分线的定义用表示出，列方程求出，根据对顶角相等得到答案． 【解答】解：设为， 平分， ， ， 平分， ，则， 解得， ， 故选：． 【典例2】　（2024•日照）如图，直线，相交于点．若，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据对顶角相等以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【解答】解：，，， ． 故选：． 【典例3】　（2023秋•长沙期末）如图，直线，相交于点，，若，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据垂直定义求出的度数，然后求出的度数，最后根据对顶角相等得出答案即可． 【解答】解：于， ， ， ， （对顶角相等）． 故选：． 【典例4】　（2024春•龙沙区期末）如图，直线和交于点，，则的度数为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】结合题意根据平角定义求出的度数，根据对顶角相等即可求出结果． 【解答】解：，且， ， ， ， 故选：． 【典例5】　（2024秋•仁寿县期末）直线、相交于点，平分，平分，且，则的度数是　　． 【分析】首先根据平分，可得，再根据，计算出和的度数，再根据角平分线的定义可得，进而得出的度数． 【解答】解：平分， ， ， 设，则， ， 解得：， ， ， 平分， ， ． 故答案为： 方法技巧 （1）对顶角相等，相等的角不一定是对顶角． （2）邻补角互补，互补的两个角不一定是邻补角． ■难点02 垂线性质的应用 突破难点 （1）关于垂线的基本事实： 在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直． （2）互相垂直的两条直线的另一个性质： 连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 简单说成：垂线段最短． 【典例1】　（2024秋•温州期末）如图，在学校的劳动实践课程上，同学们体验插秧时发现：只要确定两个秧苗的位置，就能使同一行秧苗整齐的插在一条直线上，这样做的依据是　　 A．两点之间线段最短 B．垂线段最短 C．两点确定一条直线 D．同角的余角相等 【答案】 【分析】根据题意同一行秧苗在一条直线上，即可求解． 【解答】解：只要确定两个秧苗的位置，就能使同一行秧苗在一条直线上，其道理用几何知识解释是两点确定一条直线． 综上所述，只有选项符合题意， 故选：． 【典例2】　（2024秋•城关区期末）如图，直线和相交于点，，若，则的大小为　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据得到，再由平角即可求解． 【解答】解：， ， ，， ． 故选：． 【典例3】　（2024秋•沙坪坝区期末）如图，直线、相交于点，，．若，则用含的代数式表示为 　　． 【答案】． 【分析】根据角平分线的定义求出的度数，再根据求出的度数，根据邻补角互补即可求出的度数． 【解答】解：，， ， ， ，， ， ， ， ． 故答案为：． 【典例4】　（2024秋•香坊区期末）直线与直线相交于点，，射线，则的度数为 　　． 【答案】或． 【分析】首先根据叙述作出图形，根据条件求得的度数，根据对顶角相等得，然后根据垂直的定义得，再分两种情况讨论即可得出答案． 【解答】解：如图， ，， ， ， 又， ， ； 当点在的延长线上时， ， 的度数为或． 故答案为：或． 【典例5】　（2024秋•姜堰区期末）如图，直线，相交于点，，平分． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）先根据对顶角相等可得，然后利用角平分线的定义可得； （2）根据垂直定义可得，从而利用平角定义求出，最后利用角的和差关系进行计算，即可解答． 【解答】解：（1）， ， 平分， ； （2）， ， ， ． 方法技巧 （1）垂线与垂线段的区别：垂线是一条直线，长度不可以度量，而垂线段是一条线段，长度可以度量，如图，PO所在直线是垂线，线段PO是垂线段． （2）垂线段与点到直线的距离的区别：垂线段是几何图形，而点到直线的距离是点到直线的垂线段的长度，是一个数量． （3）点到直线的距离与两点的距离的区别：点到直线的距离是直线外一点到这条直线的垂线段的长度，而两点的距离指连接两点间的线段的长度，如图，线段AB的长度是点A，B的距离． ■易错点 “三线八角” 直击易错点 （1）同位角：在截线同侧，两条被截直线同一侧． （2）内错角：在截线两侧，两条被截直线之间． （3）同旁内角：在截线同侧，两条被截直线之间． 【典例1】　（2023秋•长沙期末）如图，的同位角是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】根据同位角的定义进行判断即可． 【解答】解：观察图形，的同位角是， 故选：． 【典例2】　（2024春•项城市校级期中）如图，与是同旁内角的是　　 A． B． C． D． 【答案】 【分析】两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，由此即可判断． 【解答】解：与是同位角； 与是内错角； 与是同旁内角； 与是同旁内角； 故选：． 【典例3】　（2024春•石首市期末）如图所示的四个图形中，和是内错角的是　　 A．① B．② C．③ D．④ 【分析】根据内错角定义进行分析即可． 【解答】解：图①，和是同位角， 图②，和是内错角， 图③，和是同旁内角， 图④，和是同位角， 故选：． 【典例4】　（2024春•鹿城区校级期末）如图，属于同位角的是　　 A．和 B．和 C．和 D．和 【答案】 【分析】根据两条直线被第三条直线所截，位于这两条直线的同侧和截线的同旁，这样的两个角为同位角进行判断即可． 【解答】解：由同位角的定义可知，和是同位角， 故选：． 【典例5】　（2024春•朔州月考）如图，下列各角是的同旁内角的是　　 A． B． C． D．以上都不是 【答案】 【分析】根据同旁内角的定义进行解题即可． 【解答】解：由图可知，是的同旁内角的是． 故选：． 方法技巧 （1）同位角、内错角、同旁内角都是指两个角之间的位置关系，而不是大小关系，它们之间的大小关系都是不确定的． （2）同位角、内错角、同旁内角都是成对出现的，它们都没有公共顶点，但都有一条边共线． 学科网（北京）股份有限公司 $$ ►第七章　相交线与平行线 7.1 相交线 一、选择题（共10小题） 1．（2024春•鄂伦春自治旗期末）下面四个图形中，与是对顶角的是　　 A． B． C． D． 2．（2024秋•宿豫区期末）下列选项中，过点画的垂线，三角板摆放正确的是　　 A． B． C． D． 3．（2024秋•常州期末）立定跳远是常州体育中考项目之一，女生成绩达到或超过获得满分，达到或超过获得加分．如图，一女生在起跳线上的点处起跳，，垂足为．若该女生获得满分但未加分，则下列说法中正确的是　　 A．可能为 B．可能为 C．可能为 D．可能为 4．（2024秋•安溪县期末）下列说法中正确的是　　 A．过一点有且只有一条直线 B．连接两点的线段叫两点间的距离 C．两点之间线段最短 D．相等的角是对顶角 5．（2024秋•呈贡区期末）如图，直线、相交于点，，图中的补角有　　 A．4个 B．2个 C．3个 D．1个 6．（2023秋•纳溪区期末）如图，直线交于点，由点引射线、、，使，，，则是　　 A． B． C． D． 7．（2023秋•纳溪区期末）下列语句：①一条直线有且只有一条垂线；②相等的两个角是对顶角；③不在同一直线上的四点至少可画6条直线；④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角．其中正确的是　　 A．① B．② C．③ D．④ 8．（2024秋•雨花区校级月考）如图，，，．则度数为　　 A． B． C． D． 9．（2024•房山区二模）如图，直线，相交于点，，若，则的度数是　　 A． B． C． D． 10．（2024秋•廉江市期末）如图，为直线上一点，，平分，平分，平分．有下列结论：①与互余；②与互补；③与互补；④，其中正确的结论有　　 A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 二、填空题（共10小题） 11．（2024秋•清镇市期末）如图，直线与直线相交于点，若，则的度数是 　　． 12．（2024秋•肇源县期中）如图，直线，相交于点，且，，则　　． 13．（2023秋•曲麻莱县期末）如图，，，是直线上三点，是直线外一点，且，，，，点到直线的距离是　　． 14．（2024秋•南京期末）如图，，，平分，则 　　． 15．（2024秋•海淀区期末）如图，小军从村庄（点所在位置）到公路（直线有四条小道，分别是，，，，其中路程最短的是，小军判断的依据是 　　． 16．（2024春•伊犁州期末）如图，把小河里的水引到田地处，作垂直于河岸，沿挖水沟，则水沟最短，其理论依据是 　　 17．（2024秋•南岗区校级期中）已知一个角是，则这个角的邻补角是　　． 18．（2024秋•南岗区校级期中）在直线上任取一点，过点作射线、，使，当时，的度数是　　． 19．（2024秋•南岗区校级期中）如果的两条边所在直线与的两条边互相垂直，且是的2倍少30度，则的度数为　　． 20．（2024春•宁远县期末）如图，在三角形中，于点，若、、，则点到直线的距离为 　　． 三、解答题（共8小题） 21．（2024春•廊坊期末）如图，直线，相交于点，已知，将分成两个角，且． （1）求的度数； （2）若平分，那么平分吗？若平分，请说明理由． 22．（2024•南岗区校级开学）如图，直线与直线相交于点，平分，，则是多少度？ 23．（2024春•临洮县期末）如图，直线，相交于点，平分，且，射线在的内部． （1）求的度数； （2）若，求的度数． 24．（2024春•秦都区校级月考）如图，直线和交于点，平分，，求的度数． 25．（2024春•临河区校级月考）如图，直线，相交于点．平分． （1）若，求的度数； （2）若，猜想与之间的位置关系，并证明． 26．（2024春•安康期末）如图，直线和交于点，平分．若，求的度数． 27．（2023秋•五峰县期末）如图，直线，相交于点，平分，． （1）若，求的度数； （2）若，求的度数 28．（2024春•成县月考）如图，，相交于点，交于点，交于点． （1）指出，被所截形成的同位角、内错角、同旁内角； （2）指出，被所截形成的内错角； （3）指出，被所截形成的同旁内角． 参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 D D D C C D D A B C 一、选择题（共10小题） 1．【答案】 【分析】根据对顶角的定义作出判断即可． 【解答】解：根据对顶角的定义可知：只有图中的与是对顶角，符合题意，其它都不是，不符合题意． 故选：． 2．【答案】 【分析】根据过直线外一点作已知直线的垂线做法及三角板的特征直接可得． 【解答】解：过点画的垂线，三角板摆放正确的是选项． 故选：． 3．【答案】 【分析】根据题意和垂线段最短的性质判断即可． 【解答】解：该女生获得满分但未加分， ， ， 可能为， 故选项符合题意． 故选：． 4．【答案】 【分析】根据直线的性质，两点间的距离的定义，线段的性质、对顶角的定义对各选项分析判断后利用排除法求解． 【解答】解：、过两点有且只有一条直线，故本选项错误，不符合题意； 、连接两点的线段的长度叫两点间的距离，故本选项错误，不符合题意； 、两点之间线段最短，故本选项正确，符合题意； 、相等的角一定是对顶角，故本选项错误，不符合题意． 故选：． 5．【答案】 【分析】根据对顶角、互为余角、互为补角的定义以及等量代换进行解答即可． 【解答】解：，即， ， ， ， 又， ， 即图中的补角有3个， 故选：． 6．【答案】 【分析】求出，再根据对顶角相等解答即可． 【解答】解：，， ， ， ，， ． 故选：． 7．【答案】 【分析】根据垂线、对顶角、点与直线的关系、邻补角和角平分线的定义逐项判断即可． 【解答】解：①一条直线有无数条垂线，故①错误； ②相等的两个角不一定是对顶角，故②错误； ③不在同一直线上的四个点可画4条或6条直线，故③错误； ④如果两个角是邻补角，那么这两个角的平分线组成的图形是直角，故④正确． 故选：． 8．【答案】 【分析】根据，可得，再由三角形内角和定理求出，的度数，即可求解． 【解答】解：由可知：， ，， ，， ． 故选：． 9．【答案】 【分析】根据对顶角相等求，由垂直的性质求，根据求解． 【解答】解：， ． ， ． 故选：． 10．【答案】 【分析】根据角平分线的意义，互为余角、互为补角的意义逐个进行判断，最后得出答案做出选择． 【解答】解：①平分，平分， ，， ， 与互余； 故①正确； ②， ， 平分，平分， ，， ， 由①知：， ， 与互补； 故②正确； ③， 与互补， 故③不正确； ④， 故④正确． 本题正确的结论有3个，是①②④． 故选：． 二、填空题（共10小题） 11．【答案】． 【分析】根据对顶角的性质即可求解． 【解答】解：， ， 故答案为：． 12．【答案】． 【分析】先根据，和平角等于，可求出，根据，故可得出，再根据平角关系，即可得出的度数． 【解答】解：，， ， ， ， ， ． 故答案为：． 13．【答案】3． 【分析】直线外一点到这条直线的垂线段长度，叫做点到直线的距离．故点到直线的距离是的长． 【解答】解：是直线外一点，且， 根据点到直线的距离的定义， 点到直线的距离是的长， 故答案为：3． 14．【答案】27． 【分析】利用垂线的定义，角平分线的定义解答． 【解答】解：，， ， ， 平分， ， ． 故答案为：27． 15．【答案】垂线段最短． 【分析】由垂线段最短，即可得到答案． 【解答】解：小军判断的依据是垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 16． 【分析】过直线外一点作直线的垂线，这一点与垂足之间的线段就是垂线段，且垂线段最短． 【解答】解：其依据是：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短． 故答案为：垂线段最短． 17．【答案】47． 【分析】根据互为邻补角的两个角的度数之和为180度进行求解即可． 【解答】解：一个角是， 根据邻补角的定义得，， 即这个角的邻补角是， 故答案为：47． 18．【答案】或． 【分析】根据题意，分、在同侧和异侧两种情况讨论，并画出图，然后根据，，计算的度数即可． 【解答】解：在直线同侧时，如图： ，， ； 在直线异侧时，如图： ，， ， 故答案为：或． 19．【答案】110或30． 【分析】因为两个角的两边分别垂直，则这两个角相等或互补，又因是的2倍少30度，利用方程组即可解决问题． 【解答】解：如图1， 根据题意得，， 解得； 如图2， 根据题意得，， 解得， 的度数为或， 故答案为：110或30． 20．【答案】3． 【分析】本题主要考查了点到直线的距离，直线外一点到直线的垂线段的长度，叫做点到直线的距离，解题关 键掌握点到直线的距离，据此解决即可． 【解答】解：在三角形中，于点， ， 则点到直线的距离为， 故答案为：3． 三、解答题（共8小题） 21．【答案】（1）； （2）平分，理由见解析． 【分析】（1）由对顶角相等得出，再根据即可求出的度数； （2）根据（1）中的结论先求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，与的度数比较即可得出结论． 【解答】解：（1）， ， ， ； （2）平分，理由： 由（1）知， ， 平分， ， ， ， 平分． 22．【答案】105． 【分析】根据邻补角的定义、角平分线的定义以及图形中角的和差关系进行计算即可． 【解答】解：，， ， 平分， ， ， ， 故答案为：105． 23．【答案】（1）； （2）． 【分析】（1）利用角平分线的定义求得的度数，然后利用邻补角的定义即可求得答案； （2）由对顶角相等求得的度数，根据已知条件即可求得的度数，最后利用角的和差即可求得答案． 【解答】解：（1）平分，且， ， ； （2）， ， ， ， ， ． 24．【答案】． 【分析】先由与是对顶角，得出，求出的度数，结合平分得出的度数，最后由计算即可得出答案． 【解答】解：与是对顶角，， ， ． 平分， ， ． 25．【答案】（1）；（2），理由见解析． 【分析】（1）根据平角的定义以及角平分线的定义即可得出答案； （2）根据平角的定义，角平分线的定义以及对顶角，设未知数表示图形中的各个角，再根据角之间的和差关系得出结论． 【解答】解：（1）， ， 平分， ， ， （2）， 证明：设，则， ， ， 又平分， ， 又， ， ， 即． 26．【答案】． 【分析】先根据对顶角相等得到，然后根据邻补角的定义得到，然后根据角平分线的定义得到，然后根据计算即可． 【解答】解：， ，， 又平分， ， ． 27． 【分析】（1）根据角平分线的定义求出的度数，根据邻补角的性质求出的度数，根据余角的概念计算即可； （2）根据角平分线的定义和邻补角的性质计算即可． 【解答】解：（1）平分，， ， 又 ； （2）平分， ， ， 又，． 28． 【分析】（1）两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的同侧，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同位角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的两旁，则这样一对角叫做内错角．两条直线被第三条直线所截形成的角中，若两个角都在两直线的之间，并且在第三条直线（截线）的同旁，则这样一对角叫做同旁内角，据此求解即可； （2）根据内错角的定义求解即可； （3）根据同旁内角的定义求解即可． 【解答】解：（1）同位角：和；内错角：和；同旁内角：和； （2）解：和，和都是内错角； （3）解：和，和都是同旁内角． 学科网（北京）股份有限公司 $$