精品解析：江西省抚州市资溪县中等专业学校2022-2023学年高二上学期期中数学试题

江西省抚州市资溪县中等专业学校2022-2023学年高二上学期期中 数学试卷 一､判断题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，对每小题的命题作出判断，正确的填“正确”，错误的填“错误”. 1. 零向量就是大小为0且没有方向的向量.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据零向量的概念进行判断即可求解. 【详解】零向量是指大小为0，方向任意的向量. 故答案：错误. 2. 等边三角形边长为2，则.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据等边三角形边长为2以及平面向量的内积即可求解. 【详解】等边三角形边长为2， . 故答案为：错误. 3. 在平面直角坐标系中，向量的坐标为，则的坐标为.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据向量的运算法则求解即可. 【详解】向量的坐标为， 向量的坐标为. 故答案为：错误. 4. 直线与直线平行.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件即可判断. 【详解】直线，即， 直线与直线重合. 故答案为：错误. 5. 过点的直线与圆心在的单位圆位置关系为相交或相切.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据圆心到点的距离与半径比较，易得点在圆外，即可判断过点的直线与圆的位置关系，继而求解. 【详解】因为圆心在单位圆的半径， 又圆心到点的距离， 所以点在圆外， 故过点直线与圆心在的单位圆位置关系为相交、相切或相离都有可能. 故题干表述错误. 故答案为：错误. 6. 表示的是一条直线.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据即可判断. 【详解】当时， 即为,表示的不是一条直线. 故答案为：错误. 7. 直线与直线相互平行.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据两直线平行的条件即可求解. 【详解】直线，即， 直线与直线相互平行. 故答案为：正确 8. 与不平行，则存在一组实数使得恒成立.（ ） 【答案】正确 【解析】 【分析】根据平面向量基本定理进行判断即可. 【详解】由平面向量基本定理可知， 若与不平行， 则存在一组实数使得恒成立. 故答案为：正确. 9. 如果直线，则这两条直线的法向量平行.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】由法向量的定义即可得出答案. 【详解】如果直线，则这两条直线的法向量平行或重合， 故答案为：错误. 10. 过点且与轴平行的直线方程为.（ ） 【答案】错误 【解析】 【分析】根据过点且与轴平行的直线方程即可求解. 【详解】过点且与轴平行的直线方程为. 故答案为：错误. 二､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 11. 点，点的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两点的中点坐标公式进行求解即可. 【详解】点，点的中点坐标为，即， 故选：B. 12. 直线与直线的距离为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据直线与直线的距离等效于与的距离， 再利用平行线之间的距离公式求解即可. 【详解】等效于， 直线与直线的距离等效于与的距离， 直线与直线的距离为， 故选：C. 13. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合向量夹角的坐标表示，先求出，结合同角三角函数的平方关系，即可求解. 【详解】向量， ， 又，所以，， ， 故选：C. 14. 圆上的点到直线距离的最大值是（ ） A. B. C. D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】先求解得到圆的标准方程，圆心坐标、半径，再求解圆心到直线的距离即可. 【详解】圆的标准方程为， 圆心坐标，半径为2， 圆心到直线的距离： ， 圆上的点到直线距离的最大值是， 故选：C. 15. 若直线与直线平行但不重合，则（ ） A. B. C. 或2 D. 2 【答案】C 【解析】 【分析】根据两直线平行斜率相等求得，再验算使得直线不重合，即可求解. 【详解】当时，直线，直线， 易知，直线与直线相交，所以不符合题意； 当时，直线，， 易知，直线与直线相交，所以不符合题意； 当和1时， 因为直线与直线平行但不重合， 所以， 解得：或. 故选：C. 16. 直线的方向向量且经过点的直线方程是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据直线的方向向量且经过点推出直线的方程是即可求解. 【详解】直线的方向向量且经过点， 直线的方程是， ， ， 直线的方向向量且经过点的直线方程是. 故选：B. 17. 若点到直线的距离是2，则m的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】根据点到直线的距离是2列式求解即可. 【详解】因为点到直线的距离是2， 所以点到直线的距离， 解得或. 故选：C. 18. 已知点，点，点，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 【答案】D 【解析】 【分析】根据两点间距离公式以及勾股定理求解即可. 【详解】点，点，点， ， ， ， 是等腰直角三角形， 故选：D. 三､填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分. 19. 点关于直线对称的点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据点关于直线对称的性质求解. 【详解】设点关于直线对称的点的坐标为， 点与关于直线对称， ， ， ， 点关于直线对称的点的坐标为， 故答案为：. 20. 点关于直线的对称点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设出关于直线的对称点的坐标，由两点的中点在直线上，且两点连线与直线垂直联立方程组求解. 【详解】设关于直线的对称点为， 则的中点为， 则在直线上， ，即① 再由直线与直线垂直，得，即② 联立①②解得：， 点关于直线的对称点的坐标是. 故答案为：. 21. 化简：__________. 【答案】 【解析】 【分析】根据向量的运算法则求解即可. 【详解】. 故答案为：. 22. 直线的一个法向量为__________. 【答案】 【解析】 【分析】将直线转化为求解即可. 【详解】直线可转化为， 直线的一个法向量为. 故答案为：. 23. 已知点，，且，则点的坐标为__________. 【答案】 【解析】 【分析】设点的坐标，求解出和，由向量相等列式计算即可. 【详解】解：设点的坐标为. 则，. 因为， 所以， 即， 解得. 所以点的坐标为. 故答案： 24. 圆的方程为，直线与圆的位置关系为__________. 【答案】相交 【解析】 【分析】先求解得到圆的标准方程为，再求解得到直线恒过点在圆内，再根据直线恒过点在圆内即可得出结论. 【详解】圆的方程为， 圆的标准方程为，圆心坐标为，半径为4， 直线可转化为， 即直线恒过， ， 点在圆内， 直线：与圆相交. 故答案为：相交. 四､解答题：（本大题共6小题，第25-28题每小题8分，第29-30题每小题8分，共50分，解答应写出过程或步骤） 25. 已知，实数满足等式，求. 【答案】 【解析】 【分析】根据题干信息和向量的运算法则得到并求解即可. 【详解】， ， 实数满足等式， ， 解得. 26. 已知圆经过三点，求圆的方程. 【答案】 【解析】 【分析】先设圆的方程为，再根据圆经过三点列式求解即可. 【详解】设圆的方程为， 圆经过三点， ， ， 圆的方程为. 27. 已知的三个顶点，求边上的高所在的直线方程. 【答案】 【解析】 【分析】先根据求得线段的斜率为，再根据垂直求出高的斜率，代点求解即可. 【详解】， 线段的斜率为， 高的斜率为， 边上的高所在的直线方程为， 即. 28. 求圆经过点的切线. 【答案】和 【解析】 【分析】将圆化为标准方程，分切线斜率存在和不存在两种情况讨论，即可得到切线方程. 【详解】将圆化为标准方程为， 当切线斜率存在时，设所求切线方程为，即， 则圆心到直线的距离为, 解得，此时切线方程为，即， 当切线斜率不存在时，切线的方程为，圆心到直线的距离即半径，符合题意. 综上，切线方程为和. 29. 曲线上的任意一点到点的距离与到点的距离之比为2. （1）求曲线的方程. （2）直线与圆相交与两点.求的长度. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据点到直线的距离，列出方程进行求解即可； （2）根据得到的圆的方程，求出圆心与半径，求出圆心到直线的距离，再通过弦长公式求解即可. 【小问1详解】 设曲线上的任意一点，依题意，有 ，化简可得， 即， 所以曲线的方程为； 【小问2详解】 由（1）可知，曲线为以为圆心，以4为半径的圆， 则圆心到直线的距离为：， 则， 所以. 30. 已知点，证明四边形为直角梯形. 【答案】证明见解析 【解析】 【分析】通过向量的坐标运算结合直角梯形的判定求解. 【详解】， ， ， 四边形中且， ， 四边形中， 四边形中且， 四边形为直角梯形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江西省抚州市资溪县中等专业学校2022-2023学年高二上学期期中 数学试卷 一､判断题：本大题共10小题，每小题3分，共30分，对每小题的命题作出判断，正确的填“正确”，错误的填“错误”. 1. 零向量就是大小为0且没有方向的向量.（ ） 2. 等边三角形边长为2，则.（ ） 3. 在平面直角坐标系中，向量的坐标为，则的坐标为.（ ） 4. 直线与直线平行.（ ） 5. 过点的直线与圆心在的单位圆位置关系为相交或相切.（ ） 6. 表示的是一条直线.（ ） 7. 直线与直线相互平行.（ ） 8. 与不平行，则存在一组实数使得恒成立.（ ） 9. 如果直线，则这两条直线的法向量平行.（ ） 10. 过点且与轴平行的直线方程为.（ ） 二､选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分（在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求）. 11. 点，点的中点坐标为（ ） A. B. C. D. 12. 直线与直线的距离为（ ） A. B. C. D. 13. 已知向量，则（ ） A. B. C. D. 14. 圆上的点到直线距离的最大值是（ ） A B. C. D. 2 15. 若直线与直线平行但不重合，则（ ） A. B. C. 或2 D. 2 16. 直线的方向向量且经过点的直线方程是（ ） A. B. C D. 17. 若点到直线的距离是2，则m的值为（ ） A. B. C. 或 D. 或 18. 已知点，点，点，则是（ ） A. 直角三角形 B. 等边三角形 C. 等腰三角形 D. 等腰直角三角形 三､填空题：本大题有6小题，每小题5分，共30分. 19. 点关于直线对称的点的坐标为__________. 20. 点关于直线的对称点的坐标为__________. 21. 化简：__________. 22. 直线的一个法向量为__________. 23. 已知点，，且，则点的坐标为__________. 24. 圆的方程为，直线与圆的位置关系为__________. 四､解答题：（本大题共6小题，第25-28题每小题8分，第29-30题每小题8分，共50分，解答应写出过程或步骤） 25 已知，实数满足等式，求. 26. 已知圆经过三点，求圆方程. 27. 已知三个顶点，求边上的高所在的直线方程. 28. 求圆经过点的切线. 29. 曲线上的任意一点到点的距离与到点的距离之比为2. （1）求曲线的方程. （2）直线与圆相交与两点.求的长度. 30. 已知点，证明四边形为直角梯形. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$