精品解析：甘肃省庆阳市镇原县城关初级中学2024-2025学年九年级上学期数学期中试卷

2024—2025学年度第一学期期中学情评估试卷 九年级数学 考生注意： 1．本试卷共3大题，24小题，试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确答案．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 设一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为（　　） A. ﹣ B. C. ﹣2 D. ﹣1 3. 已知关于x的方程(a﹣3)x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是( ) A. ﹣1 B. 2 C. ﹣1或3 D. 3 4. 二次函数y=-2x2+4x+3的图象的顶点坐标是（　　） A. （1，3） B. （-1，3） C. （1，5） D. （-1，5） 5. 利用配方法解方程，经过配方，得到（ ） A. B. C. D. 6. 如果点是点关于原点的对称点，则的值是（ ） A. -4 B. 4 C. 4或-4 D. 无法确定 7. 若关于x的一元二次方程(k+2)x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是( ) A. k＜且k≠﹣2 B. k≤ C. k≤且k≠﹣2 D. k≥ 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ） A. B. C. D. 9. 某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到300吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为( ) A. 80(1+x)=300 B. 80 (1+3x)=300 C. 80+80(1+x) +80(1+x)=300 D. 80(1+x) =300 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：（1）a+b+c＜0（2）a-b+c＞0 （3）abc＞0 （4）b=-2a，其中正确的结论个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知函数是二次函数，则______． 12. a是方程的一个根，则的值是__． 13. 抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是____． 14. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是___________． 15. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________． 16. 在平面直角坐标系中，将点A（3，2）绕原点O按顺时针方向旋转90°后，其对应点A’的坐标是___________． 17. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是_____． 18. 《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸． 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 用适当的方法解方程 （1） （2） （3） （4） 20. 如图，矩形ABCD是一花圃，它的一边AD利用已有的围墙（可利用的围墙足够长），另外三边所用的栅栏的总长度是20m．若矩形ABCD的面积为50m2，求AB的长度． 21. 已知关于x的方程 （1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为3，求的值． 22. 在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2． （1）试在图中画出将△ABC以B为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1BC1； （2）若点B的坐标为（-1，-4），点C的坐标为（-3，-4），试在图中画出直角坐标系，并写出点A的坐标； （3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2． 23. 如图，在⊙O中，，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD． 24. 如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发． （1）几秒钟后，的面积等于？ （2）的面积可能等于吗？为什么？ 25. 如图,抛物线的顶点为A(-3,-3),此抛物线交x轴于O、 B两点. （1）求此抛物线的解析式. （2）求△AOB的面积 . （3）若抛物线上另有点P满足S△POB=S△AOB,请求出P坐标. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024—2025学年度第一学期期中学情评估试卷 九年级数学 考生注意： 1．本试卷共3大题，24小题，试卷满分120分，考试时间为120分钟． 2．请将各题答案填在答题卡上． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．每小题只有一个正确答案．） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识，把一个图形绕某一点旋转后，能够与原图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，熟练掌握轴对称图形与中心对称图形的概念，是解题的关键． 【详解】解：A、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； B、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分不能够互相重合，不是轴对称图形；故不符合题意； C、绕某一点旋转后，不能够与原图形重合，不是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故不符合题意； D、绕某一点旋转后，能够与原图形重合，是中心对称图形；沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，是轴对称图形；故符合题意； 故选：D． 2. 设一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2，则x1+x2的值为（　　） A. ﹣ B. C. ﹣2 D. ﹣1 【答案】A 【解析】 【分析】直接利用一元二次方程的根与系数的关系即可求解． 【详解】解：∵一元二次方程2x2+3x﹣2＝0的两根为x1、x2， ∴x1+x2＝﹣． 故选A． 【点睛】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知一元二次方程的两根之和与两根之积与系数的关系是求解的关键． 3. 已知关于x的方程(a﹣3)x|a﹣1|+x﹣1＝0是一元二次方程，则a的值是( ) A. ﹣1 B. 2 C. ﹣1或3 D. 3 【答案】A 【解析】 【分析】根据一元二次方程定义可得a-3≠0，|a-1|=2，再解即可． 【详解】由题意得：a-3≠0，|a-1|=2， 解得：a=-1， 故选A． 【点睛】此题主要考查了一元二次方程定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程． 4. 二次函数y=-2x2+4x+3的图象的顶点坐标是（　　） A. （1，3） B. （-1，3） C. （1，5） D. （-1，5） 【答案】C 【解析】 【分析】先化成顶点式，然后直接得到顶点坐标即可． 【详解】解：∵y＝﹣2x2+4x+3 ＝﹣2（x2﹣2x）+3 ＝﹣2（x2﹣2x+1﹣1）+3 ＝﹣2（x﹣1）2+5， ∴顶点坐标为（1，5）． 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的顶点坐标，可以使用配方法将一般式化为顶点式求解，也可以利用顶点坐标公式进行求解． 5. 利用配方法解方程，经过配方，得到（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】先把方程变形为x2+4x=5，然后把方程两边加上4后利用完全平方公式写为即可． 【详解】原式=x2+4x=5， x2+4x +4=9， 所以. 故选A. 【点睛】此题考查解一元二次方程-配方法，解题关键在于掌握运算法则利用完全平方公式解答. 6. 如果点是点关于原点的对称点，则的值是（ ） A. -4 B. 4 C. 4或-4 D. 无法确定 【答案】B 【解析】 【分析】根据两个点关于原点对称时，它们的坐标符号相反，即点P（x，y）关于原点O的对称点是P′（-x，-y），求出即可． 【详解】∵点A（-3，a）是点B（3，-4）关于原点的对称点， ∴a=4． 故选B． 【点睛】此题主要考查了关于原点对称点的坐标性质，熟练掌握相关性质是解题关键． 7. 若关于x的一元二次方程(k+2)x2﹣3x+1＝0有实数根，则k的取值范围是( ) A. k＜且k≠﹣2 B. k≤ C. k≤且k≠﹣2 D. k≥ 【答案】C 【解析】 【分析】根据一元二次方程的定义和根的判别式得出k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0，求出即可． 【详解】∵关于x的一元二次方程（k+2）x2-3x+1=0有实数根， ∴k+2≠0且△=（-3）2-4（k+2）•1≥0， 解得：k≤且k≠-2， 故选C． 【点睛】本题考查了一元二次方程的定义和根的判别式，能得出关于k的不等式是解此题的关键． 8. 在同一平面直角坐标系中，函数y=ax+b与y=ax2﹣bx的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【详解】选项A：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意， 选项B：一次函数图像经过一、二、四象限，因此a＜0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向下，对称轴在y轴左侧，不合题意， 选项C：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，符合题意， 选项D：一次函数图像经过一、二、三象限，因此a＞0，b＞0，对于二次函数y=ax2﹣bx图像应该开口向上，对称轴在y轴右侧，不合题意． 故选：C． 9. 某种植基地2016年蔬菜产量为80吨，预计2018年蔬菜产量达到300吨，求蔬菜产量的年平均增长率，设蔬菜产量的年平均增长率为x，则可列方程为( ) A. 80(1+x)=300 B. 80 (1+3x)=300 C. 80+80(1+x) +80(1+x)=300 D. 80(1+x) =300 【答案】A 【解析】 【分析】利用增长后的量=增长前的量×（1+增长率），设平均每次增长的百分率为x，根据“从80吨增加到300吨”，即可得出方程． 【详解】解：由题意知，蔬菜产量的年平均增长率为x， 根据2016年蔬菜产量为80吨，则2017年蔬菜产量为80（1+x）吨，2018年蔬菜产量为80（1+x）（1+x）吨，预计2018年蔬菜产量达到300吨， 即：80（1+x）（1+x）=300或80（1+x）2=300． 故选A． 【点睛】此题考查了一元二次方程的应用（增长率问题）．解题的关键在于理清题目的含义，列出2017年和2018年的产量的代数式，根据条件找准等量关系式，列出方程． 10. 已知二次函数的图象如图所示，下列结论：（1）a+b+c＜0（2）a-b+c＞0 （3）abc＞0 （4）b=-2a，其中正确的结论个数是（ ） A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】C 【解析】 【分析】根据时，即可判断结论（1）；根据时，即可判断结论（2）；先根据抛物线的开口方向、与轴的交点位置可得，再根据对称轴可得，从而可得，由此可判断结论（3）和（4）． 【详解】解：由图象可知，当时，， 则，结论（1）正确； 当时，， 则，结论（2）正确； 抛物线的对称轴为直线， ，即，结论（4）正确； 抛物线的开口方向，与轴的交点位于轴负半轴， ， ， ，结论（3）正确； 综上，正确结论的个数是4个， 故选：C． 【点睛】本题考查了二次函数的图象与性质，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 二、填空题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 11. 已知函数是二次函数，则______． 【答案】 【解析】 【分析】根据定义得：形如是常数，且的函数是二次函数，列方程可求得答案． 【详解】解：依题意得：且， 解得． 故答案为：． 【点睛】本题考查了二次函数的定义．注意：二次函数中，是常数，本题关键点为． 12. a是方程的一个根，则的值是__． 【答案】8 【解析】 【分析】根据方程的解的定义即可求出答案． 【详解】解：由题意可知：， ， ， ， 故答案为8． 【点睛】本题考查一元二次方程的解定义，解题的关键是运用整体代入的思想.求代数式值． 13. 抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位，所得到的抛物线是____． 【答案】y=3（x﹣1）2﹣2 【解析】 【分析】根据图象向下平移减，向右平移减，即可得答案． 【详解】抛物线y=3x2向右平移1个单位，再向下平移2个单位， 所得到的抛物线是y=3（x-1）2-2， 故答案为y=3（x-1）2-2. 【点睛】本题考查了二次函数图象与几何变换，解题的关键是用平移规律“左加右减，上加下减”直接代入函数解析式求得平移后的函数解析式． 14. 如图是二次函数的部分图像，由图像可知不等式的解集是___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查二次函数图像的应用，解题关键是运用数形结合的思想解决问题．由图像判断是对称轴，与x轴一个交点是，则另一个交点，结合函数图像即可求解． 【详解】解：由图像可知二次函数的对称轴是直线， ∵该函数图像与x轴一个交点坐标， 由函数的对称性可得，与x轴另一个交点是， ∴的解集为， 故答案为：． 15. 已知点，，在二次函数的图象上，则，，的大小关系是________． 【答案】． 【解析】 【分析】根据函数式得开口向下，对称轴为直线，即可得出三点到对称轴的距离，根据二次函数的增减性和对称性即可判断，，的大小关系． 【详解】的开口向下，对称轴为直线， 、、三点到对称轴的距离分别为3，4，1， ∴， 故答案为． 【点睛】本题考查了二次函数的问题，掌握二次函数的图象以及性质是解题的关键 16. 在平面直角坐标系中，将点A（3，2）绕原点O按顺时针方向旋转90°后，其对应点A’的坐标是___________． 【答案】（2，-3） 【解析】 【分析】根据题意作出A旋转以后的点，分别过A、作AB⊥x轴于B、⊥y轴于C，证明即可求解． 【详解】A旋转以后的点，分别过A、作AB⊥x轴于B、⊥y轴于C，如图 根据旋转的性质： ， ∵ ∴ ∴ ∴OC=OB=3， ∴（2，-3） 故答案为：（2，-3） 【点睛】本题考查了图形的旋转，关键是构造全等三角形． 17. 如图，将Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°，得到△A′B′C，连接BB'，若∠A′B′B=20°，则∠A的度数是_____． 【答案】65° 【解析】 【分析】根据旋转的性质可得BC=B′C，然后判断出△BCB′是等腰直角三角形，根据等腰直角三角形的性质可得∠CBB′=45°，再根据三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和求出∠B′A′C，然后根据旋转的性质可得∠A=∠B′A′C． 【详解】∵Rt△ABC绕直角顶点C顺时针旋转90°得到△A′B′C， ∴BC=B′C， ∴△BCB′是等腰直角三角形， ∴∠CBB′=45°， ∴∠B′A′C=∠A′B′B+∠CBB′=20°+45°=65°， 由旋转的性质得∠A=∠B′A′C=65°， 故答案为65°． 【点睛】本题考查了旋转的性质，等腰直角三角形的判定与性质，三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 18. 《九章算术》作为古代中国乃至东方的第一部自成体系的数学专著，与古希腊的《几何原本》并称现代数学的两大源泉．在《九章算术》中记载有一问题“今有圆材埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”小辉同学根据原文题意，画出圆材截面图如图所示，已知：锯口深为1寸，锯道尺（1尺＝10寸），则该圆材的直径为______寸． 【答案】26． 【解析】 【分析】设的半径为，在中，，则有，解方程即可. 【详解】设的半径为． 在中，， 则有， 解得， ∴的直径为26寸， 故答案为26． 【点睛】本题考查垂径定理、勾股定理等知识，解题的关键是学会利用参数构建方程解决问题，属于中考常考题型. 三、解答题（本大题共7小题，共66分） 19. 用适当的方法解方程 （1） （2） （3） （4） 【答案】（1）， （2）， （3）， （4）， 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程，选择合适的方法进行计算是解此题的关键． （1）利用直接开平方法解一元二次方程即可； （2）利用配方法解一元二次方程即可； （3）利用因式分解法解一元二次方方程即可； （4）利用因式分解法解一元二次方方程即可． 【小问1详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问2详解】 解：∵， ∴， ∴，即， ∴或， ∴，； 【小问3详解】 解：∵， ∴， ∴或， ∴，； 【小问4详解】 解：∵， ∴，即， ∴或， ∴，． 20. 如图，矩形ABCD是一花圃，它的一边AD利用已有的围墙（可利用的围墙足够长），另外三边所用的栅栏的总长度是20m．若矩形ABCD的面积为50m2，求AB的长度． 【答案】AB的长度为5m． 【解析】 【分析】设AB的长度为xm，则BC的长度为(20－2x)m，根据矩形的面积列方程求出x即可． 【详解】解：设AB的长度为xm，则BC的长度为(20－2x)m， 由题意得：x(20－2x)=50， 解得：， 答：AB的长度为5m． 【点睛】本题考查了一元二次方程的应用．解题的关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解． 21. 已知关于x的方程 （1）试说明无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）若方程有一个根为3，求的值． 【答案】 （1）∵， ∴a=1，b=2m，c=， ∴△= = == 4＞0， ∴无论取何值时，方程总有两个不相等的实数根； （2）2005 【解析】 【分析】（1）运用根的判别式证明，只需证明判别式是大于0即可； （2）根据方程根的定义，得到，代入代数式变形求值即可． 【详解】（1）略 （2）∵方程有一个根为3， ∴， ∴， ∴， ∴ = =2005． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式，代数式的值，熟练掌握根的判别式，并灵活运用是解题的关键． 22. 在下列网格图中，每个小正方形的边长均为1个单位．在Rt△ABC中，∠C=90°，AC=3，BC=2． （1）试在图中画出将△ABC以B为旋转中心，沿顺时针方向旋转90°后的图形△A1BC1； （2）若点B的坐标为（-1，-4），点C的坐标为（-3，-4），试在图中画出直角坐标系，并写出点A的坐标； （3）根据（2）的坐标系作出与△ABC关于原点对称的图形△A2B2C2． 【答案】（1）如图； （2）A(-3，-1)； （3）△A2 B2 C2如图. 【解析】 【分析】（1）利用网格特点和旋转的性质画图； （2）利用点B、C的坐标画直角坐标系，然后写出A点坐标； （3）利用关于原点对称的性质，根据网格结构找出点A、B、C的对应点的位置，然后顺次连接即可；． 【详解】解：（1）略 （2）如图可知， A(-3，-1)； （3）略 【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键． 23. 如图，在⊙O中，，AD⊥OC于D．求证：AB=2AD． 【答案】 延长AD交⊙O于E， ∵OC⊥AD， ∴，AE=2AD， ∵， ∴， ∴AB=AE， ∴AB=2AD． 【解析】 【分析】延长AD交⊙ O于E,可得、AB=AE，可得出结论. 【详解】略 【点睛】本题主要考查垂径定理及弧、弦、圆心角之间的关系，灵活做辅助线是解本题的关键. 24. 如图所示，在中，，，，点从点开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动，如果点、分别从、同时出发． （1）几秒钟后，的面积等于？ （2）的面积可能等于吗？为什么？ 【答案】（1）2或4秒 （2） 解：设秒钟后，的面积等于，由题意可得： ， 整理，得 ， 因为， 所以该方程无解， 答：的面积不可能等于． 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，抓住关键描述语，找到等量关系是解决问题的关键． （1）根据直角三角形的面积公式和路程速度时间进行求解即可． （2）根据（1）中的解题思路列出方程，结合根的判别式进行解答． 【小问1详解】 解：设秒钟后，的面积等于，由题意可得： ， 解得，． 答：2或4秒钟后，的面积等于． 【小问2详解】 略 25. 如图,抛物线的顶点为A(-3,-3),此抛物线交x轴于O、 B两点. （1）求此抛物线的解析式. （2）求△AOB的面积 . （3）若抛物线上另有点P满足S△POB=S△AOB,请求出P坐标. 【答案】⑴抛物线解析式为：y=，或y=;⑵9;⑶P(-3+3，3)或(-3-3，3). 【解析】 【分析】（1）设抛物线的解析式为y＝a（x＋3）2−3，然后把原点坐标代入求出a即可； （2）根据抛物线的对称性确定B点坐标，然后根据三角形的面积公式求解； （3）设P点坐标为（x，y），根据S△POB＝S△AOB可计算出y，然后利用二次函数的解析式计算对应的x的值，从而得到P点坐标． 【详解】（1）如图，连接AB、OA．设抛物线的解析式为y＝a（x＋3）2−3， 把（0，0）代入得a×32−3＝0，解得a＝， 所以此抛物线的解析式为y＝（x＋3）2−3； （2）∵抛物线的对称轴为直线x＝−3， ∴B点坐标为（−6，0）， ∴△AOB的面积＝×6×3＝9； （3）设P点坐标为（x，y）， ∵S△POB＝S△AOB， ∴|y|×6＝9， 解得y＝3或y＝−3（舍去）， ∴（x＋3）2−3＝3， 解得x₁＝3−3，x₂＝−3−3， ∴P点坐标为（3−3，3），（−3−3，3）． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $