精品解析：湖南省长沙市长沙财经学校2021-2022学年高一上学期第一次月考数学试题

2021-2022学年长沙财经学校高一上学期第一次月考试卷 数学 一、选择题（共10题，共40分） 1. 已知集合 ,,则 （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据交集的概念即可求解. 【详解】∵,, ∴ 故选：B 2. 下列表示正确的个数是（ ） （1）；（2）；（3）；（4）若，则 A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用元素与集合、集合与集合之间的关系，结合集合的交集运算即可得解. 【详解】对于（1），表示没有任何元素的集合，则，故（1）正确； 对于（2），因为空集是任意集合的子集，则，故（2）正确； 对于（3），解，得， 所以，故（3）错误； 对于（4），若，则显然成立，故（4）正确； 综上，表示正确的个数是3. 故选：A. 3. 函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由分母不为确定函数定义域，并写成集合形式. 【详解】要使函数有意义，则，即， 用集合表示为， 故选：C. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据元素与集合的关系，以及集合与集合的关系分析求解. 【详解】因为，，所以，A正确，B错误， 只有一个元素，是有限集，是无限集，故，，CD错误， 故选：A. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据被开方数非负使得函数有意义即可求得. 【详解】因为函数，所以应当满足且， 即，所以函数的定义域为. 故选：D. 6. 若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据导数的运算这个求导即可. 【详解】已知，则，不关于轴对称，故A错误. 已知，则，对称轴为， 图象不关于轴对称，故B错误. 已知，则，关于轴对称，故C正确. 已知，则，不关于轴对称，故D错误. 故选：C. 7. 函数 的图象一定关于（ ） A. 轴对称 B. 轴对称 C. 原点对称 D. 直线 对称 【答案】C 【解析】 【分析】首先判断函数的奇偶性，再由奇偶函数的图像的对称性即可解答. 【详解】已知函数 ，其定义域为关于原点对称， 又， 所以为奇函数，图像关于原点对称， 故选：C. 8. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据交集的定义可知A是B的子集，则集合B包含集合A的元素，列出不等式即可求解. 【详解】因为集合，，且， 所以A为B的子集，即， 所以. 故选：D. 9. 已知函数和在上都是增函数，则函数在上是（ ） A. 减函数且 B. 增函数且 C. 减函数且 D. 增函数 【答案】D 【解析】 【分析】由题意，函数和在上都是增函数，可知，，从而可得结论. 【详解】因为函数在上都是增函数，所以， 又因为函数在上都是增函数，所以， 所以函数在上是增函数且. 故选：D. 10. （其中为实数集，为有理数集）是著名的狄利克函数．现有如下四个说法 ① 函数； ②函数为偶函数； ③任意实数，恒有； ④任意有理数，恒有 ． 其中正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数的奇偶性，特殊值代入，即可求解. 【详解】函数（其中为实数集，为有理数集）， 对于①：当时，， ，故①错误； 对于②：函数定义域为，关于原点对称， 且， 则， 所以函数为偶函数， 故②正确； 对于③：当，同理， 所以； 同理，，，即， 故③正确； 对于④：因为，，则， 所以恒有， 故④正确. 故选：B. 二、填空题（共5题，共20分） 11. 若 为偶函数，则实数 ____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数奇偶性的定义可求解. 【详解】由题可知，对恒成立， 即， 化简，可得， 所以. 故答案为： 12. 已知集合，，则________. 【答案】## 【解析】 【分析】根据集合交集的运算即可解得. 【详解】由题，， 其中，， 故. 故答案为：. 13. 用列举法表示集合为____． 【答案】 【解析】 【分析】求出集合中方程的解，列举出来即可. 【详解】， 故答案为：. 14. 已知函数，则 ____． 【答案】 【解析】 【分析】根据分段函数的定义域，即可求解. 【详解】由题意知函数， 所以. 故答案为：. 15. 已知函数是定义上的减函数，如果在上恒成立，那么实数的取值范围是____． 【答案】 【解析】 【分析】根据函数的单调性，即可求解. 【详解】由题意知函数是定义上的减函数， 所以， 又因为在上恒成立， 所以在上恒成立， 解得：. 故答案为：. 三、解答题（共6题，共60分） 16. 设集合，. （1）用列举法写出集合. （2）求和. 【答案】（1）. （2），. 【解析】 【分析】（1）因为A内集合是自然数且小于4，根据这两个条件即可写出集合A的所有元素. （2）根据交集并集的运算方法即可得出结果. 【小问1详解】 因为集合，所以. 【小问2详解】 因为，所以， 17. 已知集合，集合． （1）若 ，求 ； （2）若 ，求 的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据一元二次不等式的解法求出集合，再由交集的定义运算即可. （2）根据可得，再由包含的概念列不等式求解即可. 【小问1详解】 已知集合，要使根式有意义，则根号下的数须大于等于， 即，则，可化为， 解得，即， 若，则集合， 则. 【小问2详解】 由（1）可知，， 由，可得， 若，则，解得， 若，则，即， 解得， 综上所述， 的取值范围为. 18. 根据下列条件，求的解析式：是一次函数，且满足． 【答案】 【解析】 【分析】先设出一次函数，再根据已知条件求解即可. 【详解】设函数为， ∴， ∴， 即， 可得，∴， 所以函数解析式为. 19. 设函数，. （1）利用单调性定义证明：在区间上是单调递减函数. （2）当时，求在区间上的最大值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）根据题意，任取，设，由作差法分析即可求解； （2）根据题意，分析可得在区间上是单调递增函数，据此分情况讨论，求出在区间上的最大值，综合即可得出答案. 【小问1详解】 任取，且， 则， 因为，且，所以； 因为，所以； 所以，所以，即， 所以在上是单调递减函数. 【小问2详解】 由小问1可知，在上是单调递减函数； 当，设， ， 若，则有； 又由，则有， 即总有成立， 所以在上是单调递增函数； 又， 当时，； 当时，； 所以在区间上的最大值. 20. 已知集合，． （1）当时，求． （2）若中存在一个元素为自然数，求实数的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）代入，求出集合A与集合B，根据交集的运算方法，即可求解. （2）根据中存在一个元素为自然数，即，再分类讨论即可求解. 【小问1详解】 由题意知集合， 所以， 当时，， 即， 所以. 【小问2详解】 集合， 因为中存在一个元素为自然数，且 所以中存在自然数3，即， 当时，，不符合题意， 当时，，不符合题意， 当时，，若，则； 综上，实数的取值范围为. 21. 设函数（且）对任意非零实数，恒有 ，且对任意，． （1）求及的值． （2）判断函数的奇偶性． （3）求不等式的解集． 【答案】（1）； （2）函数为偶函数 （3） 【解析】 【分析】（1）利用赋值法，对，赋值，即可求解. （2）利用赋值，通过函数的奇偶性的定义，即可求解. （3）判断函数的单调性，然后转化不等式，即可求解. 【小问1详解】 对任意非零实数，恒有， 所以令，代入， 可得， 又令，代入， 可得，即. 【小问2详解】 取，，代入， 得， 又函数的定义域为， 所以函数为偶函数. 【小问3详解】 任取，，且，则， 由题设有， 所以， 所以，即函数在上为单调递减函数， 由（2）得函数是偶函数， 所以， 解得：或， 所以解集为：. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2021-2022学年长沙财经学校高一上学期第一次月考试卷 数学 一、选择题（共10题，共40分） 1. 已知集合 ,,则 （ ） A. B. C. D. 2. 下列表示正确的个数是（ ） （1）；（2）；（3）；（4）若，则 A. B. C. D. 3. 函数 的定义域是（ ） A. B. C. D. 4. 已知，，则（ ） A. B. C. D. 5. 函数的定义域为（ ） A. B. C. D. 6. 若函数的导函数的图象关于轴对称，则的解析式可能为（ ） A. B. C. D. 7. 函数 的图象一定关于（ ） A. 轴对称 B. 轴对称 C. 原点对称 D. 直线 对称 8. 设集合，，若，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 9. 已知函数和在上都是增函数，则函数在上是（ ） A. 减函数且 B. 增函数且 C. 减函数且 D. 增函数 10. （其中为实数集，为有理数集）是著名的狄利克函数．现有如下四个说法 ① 函数； ②函数为偶函数； ③任意实数，恒有； ④任意有理数，恒有 ． 其中正确的个数是（ ） A. 个 B. 个 C. 个 D. 个 二、填空题（共5题，共20分） 11. 若 为偶函数，则实数 ____． 12. 已知集合，，则________. 13. 用列举法表示集合为____． 14. 已知函数，则 ____． 15. 已知函数是定义上的减函数，如果在上恒成立，那么实数的取值范围是____． 三、解答题（共6题，共60分） 16. 设集合，. （1）用列举法写出集合. （2）求和. 17. 已知集合，集合． （1）若 ，求 ； （2）若 ，求 的取值范围． 18. 根据下列条件，求的解析式：是一次函数，且满足． 19. 设函数，. （1）利用单调性定义证明：在区间上是单调递减函数. （2）当时，求在区间上的最大值. 20. 已知集合，． （1）当时，求． （2）若中存在一个元素为自然数，求实数的取值范围． 21. 设函数（且）对任意非零实数，恒有 ，且对任意，． （1）求及的值． （2）判断函数的奇偶性． （3）求不等式的解集． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $