专题4.6 数列求通项方法总结（6类必考点）-2024-2025学年高二数学必考点分类集训系列（人教A版2019选择性必修第二册）

专题4.4 数列求通项方法总结 【考点1：观察法求数列的通项】 1 【考点2：利用an与Sn的关系求通项】 4 【考点3：累加法求通项】 7 【考点4：累乘法求通项】 11 【考点5：待定系数法求通项】 14 【考点6：倒数构造法求通项】 16 【考点1：观察法求数列的通项】 【知识点：观察法求数列的通项】 给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系． [方法技巧] 由数列的前几项求通项公式的思路方法 (1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控． (3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳． [提醒]　根据数列的前几项写出数列的一个通项公式利用了不完全归纳法，其蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验．　　 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列，，，，，，按此规律，是该数列的（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 【答案】C 【分析】将已知数列改写为：，可得到该数列的通项公式，即可求得答案． 【详解】此数列可写为：，所以该数列的通项公式为：， 令，解之得：. 故选：C． 2．（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知数列0，，，，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有（    ） A．8项 B．9项 C．10项 D．11项 【答案】B 【分析】观察数列可得通项公式为，解不等式可得结果. 【详解】根据规律可得该数列的通项公式为， 由得，． ∵，∴该数列中小于1的项有9项． 故选：B. 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）斐波那契数列1，1，2，3，5，8，……，按此规律，则第9项为（   ） A．13 B．21 C．34 D．55 【答案】C 【分析】根据斐波那契数列规律求解. 【详解】根据题意， ， ， . 故选：C 4．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知数列，，，2，，…则该数列的第2025项为（   ） A．45 B． C．55 D． 【答案】B 【分析】由给定的前5项具有的共同性质写出通项公式，进而求出第2025项. 【详解】依题意，该数列的奇数项为负数、偶数项为正数，各项绝对值是项数的算术平方根， 因此该数列的第项为，所以该数列的第2025项为. 故选：B 5．（多选）（24-25高二上·河北保定·阶段练习）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列，0，4与数列4，，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列第8个数是 D．数列的一个通项公式为 【答案】BCD 【分析】根据数列的概念判断A，应用通项公式计算判断B，应用已知项求出通项公式计算判断C，D. 【详解】对于A，数列中的项与顺序有关， 故数列与数列是两个不同的数列，故A错误； 对于B，令，解得或（舍去）， 故110是该数列的第11项，故B正确； 对于C，数列，的一个通项公式是， 故第8个数是，故C正确； 对于D，数列的一个通项公式为，故D正确. 故选：BCD. 6．（24-25高二上·江苏南通·期末）一点从起点P出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走的路线和点共有种走法，如则 ，数列相邻三项的递推关系式为 . 【答案】 【分析】先根据题意求出，进而得到相邻项的关系式. 【详解】解 …… 故 即 故答案为： 【考点2：利用an与Sn的关系求通项】 【知识点：利用an与Sn的关系求通项】 数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解． [方法技巧] 已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．　　 1．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据与的关系可得到结果. 【详解】由题当时，， 当时，①， 则不满足①式， 所以. 故答案为：. 2．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的最小值为（   ） A．4 B． C．9 D． 【答案】D 【分析】利用关系及等比数列定义得，将问题化为恒成立，研究右侧数列的单调性并求其最大值，即可得答案. 【详解】由，令，解得， 当时，由，得，即， 所以数列是以为首项，为公比的等比数列，所以， 由，即恒成立，令，则， 而，所以，即数列单调递减，故， 所以，所以的最小值为. 故选：D 3．（多选）（24-25高二上·云南昆明·期末）已知数列的前项和（），则下列正确的是（   ） A．为递增数列 B． C． D． 【答案】AB 【分析】根据与的关系求出，逐一判断选项即得. 【详解】∵，∴令得， 当时，①， ②， 由①-②可得：， 因当时，，故. 因时，单调递增，且，故为递增数列， 即A，B都正确，C，D都错误. 故选：AB. 4．（多选）（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知数列的前n项和为，则（    ） A． B．是递减数列 C．有最大项 D．有最大值 【答案】CD 【分析】根据前项和公式求出通项公式，再逐一判断每个选项即可. 【详解】A，当时，， 当时，， 故，故A错误， B，由于，故B错误； C，单调递减，故有最大项，C正确； D，，故当时，有最大值，D正确， 故选：CD. 5．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知数列的前项和为 (1)当取最小值时，求的值； (2)求出的通项公式. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）直接对进行配方，由及二次函数性质可求出其最小值， （2）由，求解的通项公式. 【详解】（1）因为， 所以，又， 所以或时，取最小值时，最小值为； （2）因为， 所以，当时，， 所以， 当时，， 所以. 6．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）利用的关系式，由可求得数列的通项公式； （2）判断得出的单调性，求出其最大值即可得出实数的取值范围． 【详解】（1）当时， ； 当时，满足上式， 所以 （2）令，； 当时，，即 当时，，即 所以当时， 所以. 【考点3：累加法求通项】 【知识点：累加法求通项】 形如：an＋1＝an＋f(n)的数列可利用累加法求通项，例如a1＝1，an＋1＝an＋2n. 1．（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由累加法和裂项相消法求通项即可得出答案. 【详解】由可得： ， ．经验证，也适合上式. 故选：B. 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）在数列 中，，则 （   ） A．5 B． C．4 D． 【答案】A 【分析】由已知可得，利用累加法结合对数的运算法则求解即可. 【详解】在数列中， 即 , 所以 故选：A. 3．（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，利用累加法可求通项公式. 【详解】由题意可得， 所以，，…，， 上式累加可得 ， 又，所以. 故选：B. 4．（24-25高三上·吉林·期中）已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据数列的递推公式，利用累加法可得通项公式，再根据对勾函数的性质，可得答案. 【详解】因为，所以由递推公式可得 当时，等式两边分别相加，得 ， 因为，则，而满足上式，所以， 即，函数在上单调递减，在上单调递增， 又因为，当时，， 当时，，因为，所以的最小值为. 故选：A. 5．（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式 . 【答案】 【分析】由题化简得出，则用累加法可求出. 【详解】若，则，即，这与矛盾，所以， 由，两边同时除以，得，则， ，，， 上边的式子相加可得：， 所以. 故答案为： 6．（24-25高二上·天津滨海新·期末）斐波那契数列，因数学家莱昂纳•斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称“兔子数列”.指的是这样一个数列，，在数学上定义.（i） .（ii）设的前项和为，则 . 【答案】 【分析】利用递推公式即可求出，利用累加法即可求出. 【详解】因为， 所以， ， 由， 得，，，， 累加得， 所以， 所以. 故答案为：；. 【考点4：累乘法求通项】 【知识点：累乘法求通项】 形如：an＋1＝anf(n)的数列可利用累乘法求通项，例如a1＝1，＝2n. 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 【答案】 【分析】根据已知条件，利用累乘法求通项. 【详解】，， ，即， . 故答案为：. 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 【答案】 【分析】根据累乘法求通项公式即可. 【详解】因为，， 所以，，，…，， 累乘得，， 所以，， 由于，所以，， 显然当时，满足， 所以， 故答案为：. 3．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用累乘法可数列的通项公式. 【详解】由已知，即 则时，，，，，，， 等式左右分别相乘可得， 又，适合上式， 所以， 故选：B. 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 【答案】B 【分析】由题意先求出，再将已知式化简后运用累乘迭代法求得，即可求得. 【详解】在中，取，可得，代入解得， 又由可得， 于是， 故. 故选：B. 5．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知正项数列，满足，，则（    ） A．2 B． C．2024 D． 【答案】D 【分析】用相减法求得的关系，用连乘法求得结论． 【详解】因为， 所以当时，， 两式相减，得， 所以， 所以， 所以， 所以， 因为数列为正项数列， 所以， 所以， 所以， 所以， 又， 所以， 所以 故选：D． 6．（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，（且），则（   ） A． B． C． D． 【答案】AD 【分析】对题干已知条件多写出一个等式，推出，然后用累乘法求数列通项. 【详解】，， 当时，．A选项正确， 当时，， 两式相减得，即， 即，B选项错误， ，，…，， 累乘得，C选项错误， ．又符合上式，故，D选项正确. 故选：AD 【考点5：待定系数法求通项】 【知识点：待定系数法求通项】 形如：an＋1＝Aan＋B (A≠0,1，B≠0)的数列可用待定系数法，例如：a1＝1，an＋1＝2an＋1. 1．（24-25高二上·甘肃·期末）已知数列中，，当时，，则的通项公式为 ． 【答案】 【分析】变形得到，故为首项为2，公比为2的等比数列，从而利用等比数列通项公式求出答案. 【详解】当时，，故， 其中，故为首项为2，公比为2的等比数列， 故，所以. 故答案为： 2．（24-25高二上·河南开封·期末）已知数列的首项，且满足，则下列是这个数列中的项的是（   ） A．191 B．193 C．1023 D．1025 【答案】D 【分析】根据条件构造等比数列，逐个求解即可判断各项. 【详解】， ， 是以为首项，2为公比的等比数列， ，即， 对于A、令，解得2，故A错误； 对于B、令，解得2，故B错误； 对于C、令，解得2，故C错误； 对于D、令，解得2，是第10项，故D正确 故选： 3．（24-25高二上·河北唐山·期末）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】由，两边同时减构造等比数列，求出代入，分离参数转化为求得最小值问题，求解即可得到实数的取值范围. 【详解】因为，所以， 所以，所以是以为首项，公比为的等比数列， 所以，所以， 由恒成立，得恒成立， 令，由于，显然关于单调递增， 所以当时，，所以. 故选：B. 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）由得，得数列以为首项以3为公比的等比数列，由等比数列求通项即可. 【详解】（1）当时，，得， 当时，                ， 所以，变形得，即， 数列以为首项以3为公比的等比数列， 所以，即 5．（2025·陕西安康·模拟预测）在数列中，已知． (1)求的通项公式； 【答案】(1) 【分析】（1）由可得，由等比数列定义可得是首项为2，公比为2的等比数列，即可得的通项公式，即可得； 【详解】（1）因为， 所以，又， 所以是首项为2，公比为2的等比数列． 所以，即； 【考点6：倒数构造法求通项】 【知识点：倒数构造法求通项】 形如：an＋1＝ (A，B，C为常数)的数列可用倒数构造法，例如 a1＝1，an＋1＝. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足：求通项. 【答案】 【分析】取倒数后得到是等差数列，求出，得到通项公式. 【详解】取倒数：，故是等差数列，首项为，公差为2， ， ∴. 2．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，.若，求数列的通项公式. 【答案】 【分析】将代入已知可得，进而推得，即可得出数列是等差数列，写出通项即可得出答案. 【详解】将代入已知可得. 因为，所以， 所以有，所以. 又， 所以，数列是以2为首项，1为公差的等差数列， 所以，， 所以，. 3．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知数列中，， （1）证明：数列是等比数列 【答案】（1）证明见解析 ； 【解析】（1）由可得，然后可得答案； 【详解】（1）证明：由，知 又，∴是以为首项，3为公比的等比数列 4．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，．求证：数列是等差数列，并求的通项公式； 【答案】证明见解析； 【分析】根据等差数列的定义证明，然后利用等差数列的通项公式求解． 【详解】 ， 且所以，数列是等差数列，且首项为1，公差为1， ． 5．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知数列有递推关系 (1)记若数列的递推式形如且，也即分子中不再含有常数项，求实数的值； (2)求的通项公式. 【答案】(1)或 (2) 【分析】（1）根据题意整理可得，即，运算求解即可； （2）取，可得，利用构造法结合等比数列求通项公式. 【详解】（1）因为，且， 所以， 则，解得或； （2）由（1）可得：当时，则，且， 可得， 则，且， 故数列是以为首项，为公比的等比数列， ∴，则， 故. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题4.4 数列求通项方法总结 【考点1：观察法求数列的通项】 1 【考点2：利用an与Sn的关系求通项】 2 【考点3：累加法求通项】 4 【考点4：累乘法求通项】 4 【考点5：待定系数法求通项】 5 【考点6：倒数构造法求通项】 6 【考点1：观察法求数列的通项】 【知识点：观察法求数列的通项】 给出数列的前几项求通项时，需要注意观察数列中各项与其序号之间的关系，在所给数列的前几项中，先看看哪些部分是变化的，哪些是不变的，再探索各项中变化部分与序号间的关系． [方法技巧] 由数列的前几项求通项公式的思路方法 (1)分式形式的数列，分别求分子、分母的通项，较复杂的还要考虑分子、分母的关系． (2)若第n项和第n＋1项正负交错，那么符号用(－1)n或(－1)n＋1或(－1)n－1来调控． (3)对于较复杂数列的通项公式，其项与序号之间的关系不容易发现，这就需要将数列各项的结构形式加以变形，可使用添项、通分、分割等方法，将数列的各项分解成若干个常见数列对应项的“和”“差”“积”“商”后再进行归纳． [提醒]　根据数列的前几项写出数列的一个通项公式利用了不完全归纳法，其蕴含着“从特殊到一般”的思想，由不完全归纳得出的结果是不可靠的，要注意代值检验．　　 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列，，，，，，按此规律，是该数列的（    ） A．第项 B．第项 C．第项 D．第项 2．（24-25高二上·甘肃定西·期末）已知数列0，，，，…，根据该数列的规律，该数列中小于1的项有（    ） A．8项 B．9项 C．10项 D．11项 3．（24-25高二上·内蒙古包头·期末）斐波那契数列1，1，2，3，5，8，……，按此规律，则第9项为（   ） A．13 B．21 C．34 D．55 4．（24-25高二上·河南·阶段练习）已知数列，，，2，，…则该数列的第2025项为（   ） A．45 B． C．55 D． 5．（多选）（24-25高二上·河北保定·阶段练习）下列有关数列的说法正确的是（    ） A．数列，0，4与数列4，，是同一个数列 B．数列的通项公式为，则110是该数列的第11项 C．在数列第8个数是 D．数列的一个通项公式为 6．（24-25高二上·江苏南通·期末）一点从起点P出发，每次只能向右、向上或向左移动一步，恰好走步且不经过已走的路线和点共有种走法，如则 ，数列相邻三项的递推关系式为 . 【考点2：利用an与Sn的关系求通项】 【知识点：利用an与Sn的关系求通项】 数列{an}的前n项和Sn与通项an的关系为an＝通过纽带：an＝Sn－Sn－1(n≥2)，根据题目已知条件，消掉an或Sn，再利用特殊形式(累乘或累加)或通过构造成等差数列或者等比数列求解． [方法技巧] 已知Sn求an的三个步骤 (1)先利用a1＝S1求出a1. (2)用n－1替换Sn中的n得到一个新的关系，利用an＝Sn－Sn－1(n≥2)便可求出当n≥2时an的表达式． (3)对n＝1时的结果进行检验，看是否符合n≥2时an的表达式，如果符合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分n＝1与n≥2两段来写．　　 1．（24-25高二上·湖北荆州·阶段练习）设数列的前项和为，若，则数列的通项公式为 . 2．（24-25高三上·山东德州·阶段练习）已知为数列的前n项和，且，若对任意正整数n恒成立，则实数的最小值为（   ） A．4 B． C．9 D． 3．（多选）（24-25高二上·云南昆明·期末）已知数列的前项和（），则下列正确的是（   ） A．为递增数列 B． C． D． 4．（多选）（24-25高二上·安徽铜陵·阶段练习）已知数列的前n项和为，则（    ） A． B．是递减数列 C．有最大项 D．有最大值 5．（24-25高二上·湖北黄冈·阶段练习）已知数列的前项和为 (1)当取最小值时，求的值； (2)求出的通项公式. 6．（24-25高二上·江苏南通·期中）已知数列的前项和． (1)求数列的通项公式； (2)若，求实数的取值范围． 【考点3：累加法求通项】 【知识点：累加法求通项】 形如：an＋1＝an＋f(n)的数列可利用累加法求通项，例如a1＝1，an＋1＝an＋2n. 1．（24-25高二上·江苏·期末）在数列中，，则等于（    ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·山东青岛·期末）在数列 中，，则 （   ） A．5 B． C．4 D． 3．（24-25高二上·山东枣庄·阶段练习）已知数列满足，，则（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·吉林·期中）已知数列满足，则的最小值为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·天津南开·期末）已知数列满足，，则数列的通项公式 . 6．（24-25高二上·天津滨海新·期末）斐波那契数列，因数学家莱昂纳•斐波那契以兔子繁殖为例而引入，故又称“兔子数列”.指的是这样一个数列，，在数学上定义.（i） .（ii）设的前项和为，则 . 【考点4：累乘法求通项】 【知识点：累乘法求通项】 形如：an＋1＝anf(n)的数列可利用累乘法求通项，例如a1＝1，＝2n. 1．（24-25高二上·江苏连云港·期末）已知数列中，，则 . 2．（2024·黑龙江齐齐哈尔·一模）数列中，，当时，，则数列的通项公式为 . 3．（24-25高二上·天津滨海新·阶段练习）已知数列的项满足，而，则（     ） A． B． C． D． 4．（24-25高二下·黑龙江哈尔滨·期中）在数列中，若，则（    ） A．1012 B．1013 C．2023 D．2024 5．（24-25高二上·浙江衢州·期末）已知正项数列，满足，，则（    ） A．2 B． C．2024 D． 6．（多选）（2024高三·全国·专题练习）已知数列满足，（且），则（   ） A． B． C． D． 【考点5：待定系数法求通项】 【知识点：待定系数法求通项】 形如：an＋1＝Aan＋B (A≠0,1，B≠0)的数列可用待定系数法，例如：a1＝1，an＋1＝2an＋1. 1．（24-25高二上·甘肃·期末）已知数列中，，当时，，则的通项公式为 ． 2．（24-25高二上·河南开封·期末）已知数列的首项，且满足，则下列是这个数列中的项的是（   ） A．191 B．193 C．1023 D．1025 3．（24-25高二上·河北唐山·期末）数列满足，对于任意的恒成立，则实数的取值范围是（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·黑龙江哈尔滨·期末）已知数列的前项和为，且． (1)求数列的通项公式； 5．（2025·陕西安康·模拟预测）在数列中，已知． (1)求的通项公式； 【考点6：倒数构造法求通项】 【知识点：倒数构造法求通项】 形如：an＋1＝ (A，B，C为常数)的数列可用倒数构造法，例如 a1＝1，an＋1＝. 1．（2025高三·全国·专题练习）已知数列满足：求通项. 2．（2025高二·全国·专题练习）已知数列满足，，.若，求数列的通项公式. 3．（23-24高三上·山西·阶段练习）已知数列中，， （1）证明：数列是等比数列 4．（2024高三·全国·专题练习）在数列中，．求证：数列是等差数列，并求的通项公式； 5．（24-25高二上·上海浦东新·期中）已知数列有递推关系 (1)记若数列的递推式形如且，也即分子中不再含有常数项，求实数的值； (2)求的通项公式. 第 1 页 共 19 页 学科网（北京）股份有限公司 $$