1.3.2 二次根式的除法（2大题型提分练，同步练习）-【上好课】2024-2025学年八年级数学下册同步精品课堂（浙教版）

1.3.2 二次根式的除法 除法法则： =（,b0），即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除； 商的算术平方根： = （,b0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 题型一 利用除法法则计算 1．化简正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据二次根式的乘除运算法则即可求答案． 本题考查二次根式的乘除运算，解题的关键是熟练运用二次根式的乘除运算法则，本题属于基础题型 【详解】解：原式， 故选：D． 2．等式 成立的条件是(　　). A．a、b同号 B．a≥0,b>0 C．a>0,b>0 D．a>0,b≥0 【答案】B 【详解】试题解析：由二次根式的非负性可知，a≥0，b≥0，由于b是分母，故b>0. 故选B． 3． ． 【答案】2 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可． 本题考查了二次根式的除法法则：，熟练掌握二次根式的除法法则是解题的关键． 【详解】解： 故答案为：2. 4．的倒数是 ． 【答案】/ 【知识点】倒数、二次根式的除法 【分析】根据倒数的定义解答即可． 【详解】∵， ∴的倒数是． 故答案为． 【点睛】本题考查了实数的性质以及倒数，熟记互为倒数的两个数的乘积为1是解题的关键． 5．已知长方体的体积，高，求它的底面积S． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】长方体底面积等于体积除以高． 【详解】 【点睛】本题考查二次根式除法在计算长方体底面积中的应用，掌握二次根式除法、分母有理化是本题解题关键． 6．已知的面积为，底边为，则底边上的高为        A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据三角形的面积公式列出运算式子，再根据二次根式的除法法则即可得． 【详解】解：的面积为，底边为， 底边上的高为， 故选：B． 【点睛】本题考查了二次根式除法的应用，熟练掌握二次根式除法的运算法则是解题关键． 7．计算；（1）__________________；（2）_________；（3）_________；（4）=__________，（5）__________；（6）____________；（7）__________；（8）__________． 【答案】     （1）；     （2）；     （3）；     （4），     （5），     （6）；     （7），     （8） 【分析】根据二次根式的除法法则进行计算即可，二次根式的除法法则是：（），反过来，可得；（）． 【详解】（1），故答案为：； （2），故答案为：； （3），故答案为：； （4）=，故答案为： （5），故答案为：； （6），故答案为：； （7），故答案为：； （8），故答案为：． 【点睛】本题考查了二次根式的除法运算，掌握二次根数的除法法则是解题的关键． 题型二 根据商的算术平方根计算 1．能使等式成立的的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 【答案】C 【分析】根据分式有意义和二次根式有意义的条件，即可求得的取值范围． 【详解】 解得 故选C 【点睛】本题考查了分式有意义和二次根式有意义的条件，二次根式的除法，掌握以上知识是解题的关键． 2．如果，，那么下列各式：①，②，③，④．其中正确的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先根据，得到a＜0，然后利用二次根式的性质和二次根式的乘除运算法则逐个作出判断即可． 【详解】解：∵ab＞0，， ∴a＜0． ∴，①正确； ∵，a＜0， ∴，无意义，②错误； ，③正确； ，④正确； 正确的有3个， 故选C． 【点睛】本题主要考查了二次根式的性质和二次根式的乘除法，熟练掌握运算法则是解题的关键． 3．已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据最简二次根式的被开方数相同知开方次数相同，被开方数相同，即可列出二元一次方程组，再解出即可． 【详解】根据题意可知， 解得：， ∴． 故选D． 【点睛】此题考查最简二次根式的定义，解二元一次方程组，正确理解题意列出方程组是解题的关键． 4．如果+=0，那么= ． 【答案】/ 【知识点】利用二次根式的性质化简、二次根式的除法 【分析】先由非负数的性质求得a，b的值，再代入原式化简计算可得答案． 【详解】解：∵+=0，而≥0，≥0； ∴a=1，b=2 ∴原式=． 故答案为： 【点睛】本题考查了二次根式的化简，还利用了非负数的性质：若两个非负数的和为0，则这两个数均为0．掌握二次根式的化简及非负数的性质是解题关键． 5．等式成立的条件是 ． 【答案】 【知识点】二次根式的除法 【分析】根据二次根式有意义的条件列出不等式组，解出不等式组即可. 【详解】解：由题意可知 解得 所以答案是：. 【点睛】本题考查的是二次根式的除法法则成立的条件. 6. 计算与化简： （1） （2） （3） （4）． （5） （6）； （7） 【分析】根据二次根式的性质、除法法则进行解答． 【解答】解：（1）2y； （2）＝2； （3）； （4）． （5）； （6）； （7）． 【小结】此题主要考查了二次根式的除法运算以及二次根式的化简，正确掌握运算法则是解题关键． 1. 把的根号外因式移到根号内得____________． 【答案】 【分析】根据二次根式被开方数是非负数且分式分母不为零，将根号外的因式转化成正数形式，然后进行计算，化简求值即可． 【详解】解：， ； 故答案为： 【点睛】本题考查二次根式的性质和二次根式计算，灵活运用二次根式的性质是解题关键． 2．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么______． 【答案】 【分析】根据定义的新运算的方式，把相应的数字代入运算即可； 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查实数的运算，二次根式的化简，解答的关键是理解清楚题意，对实数的运算的相应的法则的掌握． 3．已知等式成立，化简|x﹣6|+的结果为 _____． 【答案】4 【分析】直接利用二次根式的除法运算法则得出x的取值范围，进而化简得出答案． 【详解】解：∵等式成立， ∴， 解得：3＜x≤5， ∴|x﹣6|+ ＝6﹣x+x﹣2 ＝4． 故答案为：4． 【点睛】此题主要考查了二次根式的除法运算以及非负数的性质，正确得出x的取值范围是解题关键． 4．已知实数a、b满足，求的值． 【分析】根据非负数的性质﹣﹣算术平方根列出关于a、b的方程组，通过解该方程组求得a、b的值，然后将其代入所求的代数式求值即可． 【解答】解：由题意可得， 解得，． 当时a＝﹣1、b＝﹣3时，原式． 【小结】本题综合考查了非负数的性质﹣﹣算术平方根、解二元一次方程组、二次根式有意义的条件．式子（a≥0）叫二次根式．二次根式的性质是：二次根式中的被开方数必须是非负数，否则二次根式无意义．另外，几个非负数的和为0，这几个非负数都为0． 5.如图，点A的坐标为，直线与坐标轴交于点B，C，连接，如果，则 ． 【答案】 【知识点】一次函数与几何综合、全等的性质和ASA（AAS）综合（ASA或者AAS）、二次根式的除法 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，一次函数与坐标轴交点问题．根据一次函数与坐标轴的交点得到点的坐标为，点的坐标为，如图，在轴上截取，过作轴交直线于，证明，可得，再进一步求解即可． 【详解】解：直线与坐标轴交于点，， 点的坐标为，点的坐标为， 点的坐标为，， 如图，在轴上截取，过作轴交直线于， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 解得． 故答案为：． 6．七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知，则图中阴影部分的面积为 【答案】 【知识点】用七巧板拼图形、用勾股定理解三角形、二次根式的除法、等腰三角形的性质和判定 【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，二次根式的运算等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．如图，设，可得，解方程即可解决问题． 【详解】解：如图：设， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴由题意得， ∴， ∴， ∴阴影部分的面积 故答案为：． 1 / 1 学科网（北京）股份有限公司 $$ 1.3.2 二次根式的除法 除法法则： =（,b0），即两个二次根式相除，根指数不变，把被开方数相除； 商的算术平方根： = （,b0），即商的算术平方根等于被除式的算术平方根除以除式的算术平方根. 题型一 利用除法法则计算 1．化简正确的是（    ） A． B． C． D． 2．等式 成立的条件是(　　). A．a、b同号 B．a≥0,b>0 C．a>0,b>0 D．a>0,b≥0 3． ． 4．的倒数是 ． 5．已知长方体的体积，高，求它的底面积S． 6．已知的面积为，底边为，则底边上的高为        A． B． C． D． 7．计算；（1）__________________；（2）_________；（3）_________；（4）=__________，（5）__________；（6）____________；（7）__________；（8）__________． 题型二 根据商的算术平方根计算 1．能使等式成立的的取值范围是（    ） A．且 B． C． D． 2．如果，，那么下列各式：①，②，③，④．其中正确的个数（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 3．已知最简二次根式与的被开方数相同，则的值为（    ） A．1 B．2 C．3 D．4 4．如果+= 0，那么= ． 5．等式 成立的条件是 ． 6. 计算与化简： （1） （2） （3） （4）． （5） （6）； （7） 1. 把的根号外因式移到根号内得____________． 2．对于任意不相等的两个数，，定义一种运算*如下：．如，那么______． 3．已知等式成立，化简|x﹣6|+的结果为 _____． 4．已知实数a、b满足，求的值． 5. 如图，点A的坐标为，直线与坐标轴交于点B，C，连接，如果，则 ． 6．七巧板是大家熟悉的一种益智玩具．用七巧板能拼出许多有趣的图案．小李将一块等腰直角三角形硬纸板（如图①）切割七块，正好制成一副七巧板（如图②）．已知，则图中阴影部分的面积为 2 / 7 学科网（北京）股份有限公司 $$