椭圆专项训练-2025届高三数学二轮复习

椭圆专项训练 椭圆专项训练 考点一 椭圆的定义、标准方程与特征值 1．（24-25高三上·安徽宿州·期末）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 【答案】C 【详解】如图：    由椭圆方程可知，，. 所以， 所以为等边三角形， 因此的中垂线过， 结合椭圆的定义，可得周长. 故选：C 2．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意知、是椭圆的短轴的两个端点， 所以， 设， 由为的重心， 所以， 又为椭圆上一动点， 所以即， 所以有：， 又为的重心， 所以，即的轨迹方程为. 故选：B. 3．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 【答案】A 【详解】因为椭圆的焦点在轴上，所以， 则的长轴长为，焦距为，故B、D错误； 因为，所以，所以，所以，所以点在外，故A正确，C错误. 故选：A 4．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（   ） A．1 B．4 C．7 D．9 【答案】D 【详解】由已知可得椭圆的焦点在轴上， 故， 则，得. 故选：D. 5．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 【答案】D 【详解】把椭圆方程化为标准方程可得=1， 所以，，， 则长轴长，焦距，短轴长，离心率. 故选：D. 6．（2024·湖北·一模）已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点在轴上 B．的焦距为4 C．的离心率 D．的长轴长是短轴长的倍 【答案】C 【详解】在椭圆中，，，， 对于A选项，椭圆的焦点在轴上，A错误； 对于B选项，椭圆的焦距，B错误； 对于C选项，椭圆的离心率为， C正确； 对于D选项，椭圆的长轴长为，椭圆的短轴长为，的长轴长是短轴长的倍，D错误. 故选：C. 7．（24-25高三上·海南·阶段练习·多选）设椭圆的左，右焦点分别为是上的动点，则（    ） A． B．的最大值为9 C．的面积的最大值为12 D．存在点，使得 【答案】BCD 【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距， 对于A，，A错误； 对于B，的最大值为，B正确； 对于C，设的顶点，则， 可得的面积， 所以的面积的最大值为12，C正确； 对于D，由知，以线段为直径的圆与椭圆有4个交点， 当点此交点之一时，， 所以存在点，使得，D正确. 故选：BCD. 8．（2025·陕西渭南·一模·多选）已知椭圆的方程为，则（   ） A．椭圆关于轴对称 B．直线被椭圆截得弦长为 C．椭圆的长轴长为 D．椭圆的离心率为 【答案】BCD 【详解】对于A选项，在椭圆上任取一点，则， 则点关于轴的对称点为，因为不恒成立， 故椭圆不关于轴对称，A错； 对于B选项，设直线交椭圆于点、 联立得，解得，， 因此，直线被椭圆截得弦长为，B对； 对于C选项，在椭圆上任取一点，则， 点关于直线的对称点， 因为，即椭圆关于直线对称， 同理可知，椭圆关于直线对称， 联立可得或， 所以直线截椭圆所得弦长为， 联立解得或， 所以，直线截椭圆所得弦长为， 因为，所以， 所以椭圆的长轴长为，C对； 对于D选项，由C选项可知，，， 所以，椭圆的离心率为，D对. 故选：BCD. 9．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知为椭圆的两焦点，P为椭圆C上一点，若的最大值为3，且焦距为2，则椭圆C的方程为 【答案】 【详解】设椭圆C的焦距为2c，由题意知，从而 又因为的最大值为，所以，解得，则， 从而椭圆C的方程为 故答案为： 10．（23-24高二上·吉林四平·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为 . 【答案】 【详解】由椭圆得. 由点在椭圆上，故，故， 则， 故当时，取最大值. 故答案为：. 11．（24-25高三上·甘肃·期末）椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为 . 【答案】16 【详解】由题意可得，，所以，故的周长为. 故答案为：. 12．（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 【答案】 【详解】依题意，， 则点的轨迹是以为左右焦点，长轴长的椭圆， 由，得， 所以动点的轨迹方程为. 故答案为： 考点二 椭圆的离心率问题 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）椭圆上一点 在运动过程中，总满足关系式 ，那么该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】由题意，可知椭圆的焦点在轴上，且， 所以椭圆的离心率为. 故选：B. 2．（24-25高三上·安徽·期末）已知椭圆与抛物线有公共焦点，且E与C的一个交点为，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】因为抛物线过点，则 ，所以， 因为椭圆与抛物线有公共焦点， 所以，椭圆的焦点坐标为, 由椭圆的定义得，则， 所以. 故选：A. 3．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知为椭圆的两个焦点，为坐标原点，为椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】因为，又，所以， 在中，，，， 由余弦定理得，整理得到， 所以椭圆的离心率为， 故选：D. 4．（24-25高三上·广东深圳·期末）设椭圆的一个焦点为，点为坐标原点，若上存在点使得为等边三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】设椭圆的另一焦点为，连接如图所示， 因为为等边三角形， 所以， 所以,又因为, 所以， 由椭圆定义可知， 整理得：. 故选： 5．（24-25高三上·河南·期末）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】令椭圆的左焦点为，则， 由椭圆定义知，则， 设直线交椭圆于、两点（如图）， 而，即， 当且仅当点、、共线时取等号. 当点与重合时，，则， 当点与重合时，，则， 所以，即，经检验，此时点在内， 所以. 故选：B. 6．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）已知、分别为椭圆：（）的左右焦点，过作圆：的切线与椭圆在第二象限交于点，且，则椭圆的离心率为 ． 【答案】 【详解】过作交于点， 由于，故, 设，则，， 设切点为，由于,故， 由于是的中点，故是的中点， 则，所以， 又，则，，故． 故答案为： 考点三 椭圆的焦点三角形问题 1．（24-25高三上·辽宁大连·期中·多选）已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（   ） A． B．的最大面积为 C．存在点P，使得 D．的周长最大值是 【答案】ABD 【详解】对A，由题知，，则， 设，， 则，A正确； 对B，易知当点为短轴端点时，的面积最大，最大值为，B正确； 对C，， 则，C错误； 对D，由椭圆定义可知，，所以， 又， 所以， 当三点共线，且在线段上时，等号成立，D正确. 故选：ABD 2．（2024·江西宜春·三模）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的面积为2 D．的内切圆半径为 【答案】ACD 【详解】法1：由题意得，，则，． 由对称性可设（，），，，， 由，解得，又，， 所以，， 所以． 由椭圆的定义得， 在中，由余弦定理，得， 即， 解得，故A正确； ，故B错误； 的面积为，故C正确； 设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ACD． 法2：设，，．易知，， 由极化恒等式，得，故B错误； 由中线长定理得，由椭圆定义得， 所以，所以， 所以，故A正确； 由，得，所以，故C正确； 设的内切圆半径为r，由的面积相等，得， 即，解得，故D正确． 故选：ACD． 3．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知椭圆的离心率为是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为线段的中点，直线与椭圆交于两点，若的周长为16，则椭圆的标准方程为 ． 【答案】 【详解】 设椭圆的焦距为， 由题意有，有，所以，可得为等边三角形， 又为线段的中点，可得是线段的垂直平分线，所以， 又的周长为16，有，所以， 所以椭圆的标准方程为. 故答案为： 4．（24-25高三上·甘肃·期末）椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为 . 【答案】16 【详解】由题意可得，，所以，故的周长为. 故答案为：. 5．（24-25高二上·天津·期中）设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 . 【答案】 / 【详解】由椭圆方程可得，，则， ，， 在中，， 即，解得， ， 设内切圆半径为，的周长为， 所以，解得. 故答案为：；. 【点睛】 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆左焦点.则周长最大值是 . 【答案】 【详解】由题意可得， 记椭圆右焦点为，则周长 当且仅当直线经过右焦点（不经过左焦点）时取得等号.， 故答案为： 7．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 . 【答案】 【详解】由椭圆定义可得， 则有，即，， 又， 由，故， 故. 故答案为：. 考点四 以椭圆为背景的弦长、面积问题 1．（24-25高二上·河北石家庄·期末）若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 【答案】D 【详解】设，， 因为为AB的中点， 所以，， 又A，B两点在椭圆上， 则，， 两式相减，得， 所以， 所以， 所以， 即有直线AB的方程为， 即为，代入椭圆方程，可得， 可得或4， 即有，， 则 故选：D. 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知椭圆的右顶点A，右焦点F，经过A、F两点的圆C与y轴相切于点，则圆C被直线AB截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】椭圆的右顶点，右焦点，则圆的圆心在直线上， 由圆与轴相切，得圆的半径，圆心到轴的距离， 即圆的圆心坐标为，因此点是圆C与y轴相切的切点， 所以. 故选：D    3．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知是椭圆的右焦点，若过点且垂直于轴的直线被截得的弦长等于点到直线距离的一半，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】根据题意，过点且垂直于轴的直线被截得的弦长为， 则，得， 即，所以的离心率为． 故选：C 4．（24-25高二上·吉林·期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点 (1)求椭圆的方程； (2)求弦长 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由已知得， 则，椭圆方程为. （2）由消得：， 则，设， 5．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点． (1)写出弦长公式. (2)求的方程； (3)直线与交于两点，求面积的最大值； 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1） （2）设焦距为，依题意，解得， 又，所以， 所以的方程为． （3）设， 联立方程，消去y可得， 则，解得， 可得， 则， 且点到直线的距离， 可得的面积， 当且仅当，即时，等号成立， 所以面积的最大值为. 6．（24-25高三上·天津北辰·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，离心率.    (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于，两点. ①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，.求证：为定值； ②若，求面积的取值范围. 【答案】(1) (2)①证明见解析；② 【详解】（1）椭圆：的左焦点为，离心率， 则半焦距，，， 所以椭圆的标准方程为. （2）①依题意，直线的斜率存在，设直线的方程为，则， 设，，由消去y并整理得：， 则，，由得：，， ， 所以为常数. ②当直线，分别与坐标轴重合时，的面积， 当直线，的斜率均存在且不为零时，设：，：， 设，，将代入椭圆的方程得：，， 于是得，同理，， 的面积：， 令，， 而，则， 所以的面积的取值范围是. 7．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知圆 和定点 为圆 上的任意一点，线段 的垂直平分线与直线 交于点 ，设点 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的方程； (2)已知点 是曲线 上位于 轴上方的两个不同点，且满足 ，求四边形 面积的取值范围. 【答案】(1) (2) 【详解】（1）由垂直平分线的性质可得，故， 因此点的轨迹为以为焦点的椭圆,且，故， 故椭圆方程为. （2）不妨设直线方程为，分别延长,与椭圆相交于另一点，，连接, 由于，根据椭圆的对称性可知四边形为平行四边形， 联立得， 设， 则， 故 ， 点到直线的距离为， 因此， 令，则，， 故， 由于，故单调递增，故，当且仅当时取等号， 故， 因此， 由于是平行四边形对角线的交点，过点，因此四边形与四边形全等， 故,因此. 8．（2024·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 【答案】(1)或； (2)或； (3)的面积为定值，该定值为. 【详解】（1）易知，设点， 可得，可得， 则， 所以，解得， 可得， 即或 （2）设直线的方程为，， 联立并整理可得， 所以， 易知的面积为 ， 解得，即； 所以直线的方程为或. （3）根据题意可知直线的斜率存在， 设直线的方程为，，则，如下图所示： 易知，两式相减可得； 由，所以可得， 即，又，可得； 即， 联立整理可得， ，可得； 可得； 所以， 整理可得，即； 易知 ； 原点到直线的距离为， 所以的面积为； 所以的面积为定值，该定值为. 9．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，以 的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为 ，直线 与椭圆 交于 两点（ 不与椭圆的顶点重合）. (1)求 的标准方程； (2)若以 为直径的圆经过原点，求证： 直线 与圆 相切； (3)若动直线 过点 ，点 关于 轴的对称点为 ，直线 与 轴的交点为 ，求 面积的最大值. 【答案】(1) (2)证明见解析 (3) 【详解】（1）设椭圆 的长半轴长为 ，短半轴长为 ，半焦距为 . 由已知， ，即 ，又 ， 由 可得: ， 因为 的焦点在 轴上，所以 的标准方程是 （2）当直线有斜率时，设直线 的方程为 ， 以 为直径的圆经过原点，即 ， 设 ，所以 ， 联立方程 ，得 ，即 ， ， 化简得 ， 设 到直线 距离为 ，则 ， 所以直线 与圆 相切. 当直线无斜率时，设直线方程为，与椭圆方程联立可得，， 由于 为直径的圆经过原点，故， 故圆 的圆心到直线的距离，故直线与圆相切. 综上，直线 与圆 相切. （3）设直线 的方程为 ，代入椭圆方程，得 ， 即 . 设点 ， 则 . 因为点 关于 轴对称，则 . 设点 ， 因为 三点共线，则 ，即 ， 即 ，即 ，得 所以点 为定点， ， . 令 ，则 . 当且仅当 时取等号，所以 的面积的最大值为 . 考点五 以椭圆为背景的实际应用问题 1．（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】如图按椭圆对称轴所在直线建立直角坐标系， 设椭圆方程为， 令，即，解得，依题意可得， 所以，所以，所以． 故选：D． 2．（2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】由已知得，， 由椭圆定义可得， 根据光的反射定理可得为的角平分线， 由正弦定理， 所以，，又 所以 即. 故选：D. 3．（24-25高三上·福建厦门·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中，首次提出了圆锥曲线的光学性质，其中之一的内容为：“若点为椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点，则点处的切线平分外角”.根据此信息回答下列问题：已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】如下图所示：    延长、交于点，由题意可知， 又因为，则为的中点，且， 所以，， 又因为为的中点，则. 故选：A. 4．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】由题意，不妨以椭圆中心为坐标原点，建立如图所示坐标系，    则椭圆方程为， 则，且，解得，， 故该卫星远地点离地面的距离为， 又，所以. 故选：A. 5．（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 【答案】C 【详解】由题意可得卫星的向径是椭圆上的点到右焦点的距离，所以最小值为，最大值为，所以A正确； 根据在相同时间内扫过的面积相等，卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间，故B正确； 卫星向径的最小值与最大值的比值为越大，则越小，椭圆越圆，故C错误． 因为运行速度是变化的，速度的变化，所以卫星运行速度在近地点时向径越小，在远地点时向径越大，卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间，内扫过的面积相等，则向径越大，速度越小， 所以卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小，故D正确； 故选：C． 6．（24-25高三上·重庆铜梁·阶段练习）椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则 .动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为 . 【答案】 【详解】根据椭圆定义得， 所以，， 当且仅当为射线与椭圆的交点时，等号成立， 因为的最大值为，且，则，解得， 则. 设切椭圆于点， 由椭圆的光学性质可得、、三点共线，， 则点的轨迹是以为圆心，半径为的圆， 所以，到直线的距离为， 由圆的几何性质可知，点到直线的距离最小值，最大值，即. 故答案为：；. 7．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为 . 【答案】 【详解】如图，过M作M处切线的垂线交AB于N，过A，O，B分别作切线的垂线交切线于点，，，由光学性质可知MN平分，， 则， 因为， 故， 所以， . 故答案为：. 2 学科网（北京）股份有限公司 $$椭圆专项训练 椭圆专项训练 考点一 椭圆的定义、标准方程与特征值 1．（24-25高三上·安徽宿州·期末）已知椭圆的上顶点为，左焦点为，线段的中垂线与椭圆交于两点，则的周长为（    ） A．8 B．12 C．16 D．24 2．（24-25高三上·海南·阶段练习）已知椭圆的短轴的两个端点分别为、，为椭圆上一动点，则的重心的轨迹方程是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·北京海淀·期末）已知椭圆的焦点在轴上，点，则（   ） A．在外 B．的长轴长为 C．在内 D．的焦距为 4．（23-24高二上·江苏盐城·期中）已知椭圆的一个焦点坐标为，则实数m的值为（   ） A．1 B．4 C．7 D．9 5．（24-25高三上·湖北随州·阶段练习）已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．长轴长为 B．焦距为 C．短轴长为 D．离心率为 6．（2024·湖北·一模）已知椭圆，则下列结论正确的是（    ） A．的焦点在轴上 B．的焦距为4 C．的离心率 D．的长轴长是短轴长的倍 7．（24-25高三上·海南·阶段练习·多选）设椭圆的左，右焦点分别为是上的动点，则（    ） A． B．的最大值为9 C．的面积的最大值为12 D．存在点，使得 8．（2025·陕西渭南·一模·多选）已知椭圆的方程为，则（   ） A．椭圆关于轴对称 B．直线被椭圆截得弦长为 C．椭圆的长轴长为 D．椭圆的离心率为 9．（2024·陕西渭南·模拟预测）已知为椭圆的两焦点，P为椭圆C上一点，若的最大值为3，且焦距为2，则椭圆C的方程为 10．（23-24高二上·吉林四平·期中）已知椭圆的左､右焦点分别为，点是椭圆上的一点，则的最大值为 . 11．（24-25高三上·甘肃·期末）椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为 . 12．（2024·上海静安·一模）到点距离之和为10的动点的轨迹方程为 . 考点二 椭圆的离心率问题 1．（24-25高三上·山东青岛·期末）椭圆上一点 在运动过程中，总满足关系式 ，那么该椭圆的离心率为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25高三上·安徽·期末）已知椭圆与抛物线有公共焦点，且E与C的一个交点为，则E的离心率为（   ） A． B． C． D． 3．（2025·贵州安顺·模拟预测）已知为椭圆的两个焦点，为坐标原点，为椭圆上的点，，且，则椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·广东深圳·期末）设椭圆的一个焦点为，点为坐标原点，若上存在点使得为等边三角形，则的离心率为（    ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·河南·期末）设椭圆的一个焦点为，为内一点，若上存在一点，使得，则的离心率的取值范围是（    ） A． B． C． D． 6．（24-25高三上·安徽马鞍山·阶段练习）已知、分别为椭圆：（）的左右焦点，过作圆：的切线与椭圆在第二象限交于点，且，则椭圆的离心率为 ． 考点三 椭圆的焦点三角形问题 1．（24-25高三上·辽宁大连·期中·多选）已知椭圆的左右两个焦点分别为、，左右两个顶点分别为、，P点是椭圆上任意一点（与不重合），，则下列命题中，正确的命题是（   ） A． B．的最大面积为 C．存在点P，使得 D．的周长最大值是 2．（2024·江西宜春·三模）设椭圆C：的左、右焦点分别为，，坐标原点为O．若椭圆C上存在一点P，使得，则下列说法正确的有（    ） A． B． C．的面积为2 D．的内切圆半径为 3．（24-25高三上·河北唐山·阶段练习）已知椭圆的离心率为是椭圆的左、右焦点，为椭圆的上顶点，为线段的中点，直线与椭圆交于两点，若的周长为16，则椭圆的标准方程为 ． 4．（24-25高三上·甘肃·期末）椭圆的两个焦点为，，椭圆C上有一点P，则的周长为 . 5．（24-25高二上·天津·期中）设是椭圆上的一点，，是该椭圆的两个焦点，且，则的面积为 ，内切圆半径为 . 6．（24-25高三上·上海·阶段练习）直线与椭圆交于A、B两点，F为椭圆左焦点.则周长最大值是 . 7．（23-24高三下·湖北武汉·阶段练习）设椭圆的左右焦点为，椭圆上点满足，则的面积为 . 考点四 以椭圆为背景的弦长、面积问题 1．（24-25高二上·河北石家庄·期末）若椭圆的弦AB的中点则弦长（    ） A．4 B． C．2 D． 2．（24-25高三上·天津·阶段练习）已知椭圆的右顶点A，右焦点F，经过A、F两点的圆C与y轴相切于点，则圆C被直线AB截得的弦长为（   ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·陕西西安·期末）已知是椭圆的右焦点，若过点且垂直于轴的直线被截得的弦长等于点到直线距离的一半，则的离心率为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25高二上·吉林·期末）已知椭圆的一个顶点为，离心率为，直线与椭圆交于不同的两点 (1)求椭圆的方程； (2)求弦长 5．（24-25高三上·浙江杭州·阶段练习）已知椭圆的两个焦点分别为，离心率为，点为上一点，周长为，其中为坐标原点． (1)写出弦长公式. (2)求的方程； (3)直线与交于两点，求面积的最大值； 6．（24-25高三上·天津北辰·阶段练习）已知椭圆的左焦点为，离心率.    (1)求椭圆的标准方程； (2)已知直线交椭圆于，两点. ①若直线经过椭圆的左焦点，交轴于点，且满足，.求证：为定值； ②若，求面积的取值范围. 7．（24-25高三上·河北廊坊·期末）已知圆 和定点 为圆 上的任意一点，线段 的垂直平分线与直线 交于点 ，设点 的轨迹为曲线 . (1)求曲线 的方程； (2)已知点 是曲线 上位于 轴上方的两个不同点，且满足 ，求四边形 面积的取值范围. 8．（2024·上海嘉定·一模）在平面直角坐标系中，已知椭圆是其左､右焦点，过椭圆右焦点的直线交椭圆于两点. (1)若，求点的坐标； (2)若的面积为，求直线的方程； (3)设直线与椭圆交于两点，为线段的中点.当时，的面积是否为定值？如果是，请求出这个定值；如果不是，请说明理由. 9．（24-25高三上·湖南长沙·期中）已知椭圆 的中心在原点 ，焦点在 轴上，离心率为 ，以 的四个顶点为顶点的平行四边形的面积为 ，直线 与椭圆 交于 两点（ 不与椭圆的顶点重合）. (1)求 的标准方程； (2)若以 为直径的圆经过原点，求证： 直线 与圆 相切； (3)若动直线 过点 ，点 关于 轴的对称点为 ，直线 与 轴的交点为 ，求 面积的最大值. 考点五 以椭圆为背景的实际应用问题 1．（2024·广东韶关·模拟预测）韶州大桥是一座独塔双索面钢砼混合梁斜拉桥，具有桩深，塔高、梁重、跨大的特点，它打通了曲江区、浈江区、武江区交通道路的瓶颈，成为连接曲江区与芙蓉新城的重要交通桥梁，大桥承担着实现韶关“三区融合”的重要使命，韶州大桥的桥塔外形近似椭圆，若桥塔所在平面截桥面为线段，且过椭圆的下焦点，米，桥塔最高点距桥面米，则此椭圆的离心率为（    ） A． B． C． D． 2．（2024·内蒙古赤峰·一模）如图所示，椭圆有这样的光学性质：从椭圆的一个焦点出发的光线，经椭圆反射后，反射光线经过椭圆的另一个焦点.根据椭圆的光学性质解决下面的题目：已知曲线C的方程为，其左、右焦点分别是，，直线l与椭圆C切于点P，且，过点P且与直线l垂直的直线与椭圆长轴交于点M，则（    ） A． B． C． D． 3．（24-25高三上·福建厦门·期中）古希腊数学家阿波罗尼奥斯所著的八册《圆锥曲线论（Conics）》中，首次提出了圆锥曲线的光学性质，其中之一的内容为：“若点为椭圆上的一点，、为椭圆的两个焦点，则点处的切线平分外角”.根据此信息回答下列问题：已知椭圆，为坐标原点，是点处的切线，过左焦点作的垂线，垂足为，则为（    ） A． B． C． D． 4．（24-25高三上·江苏泰州·阶段练习）如图，某颗人工智能卫星的运行轨道近似可看作以地心为一个焦点且离心率为的椭圆，地球可看作半径为的球体，近地点离地面的距离为，则远地点离地面的距离为（   ） A． B． C． D． 5．（24-25高三上·安徽芜湖·阶段练习）1970年4月24日，我国发射了自己的第一颗人造地球卫星“东方红一号”，从此我国开始了人造卫星的新篇章．人造地球卫星绕地球运行遵循开普勒行星运动定律：卫星在以地球为焦点的椭圆轨道上绕地球运行时，其运行速度是变化的，速度的变化服从面积守恒规律，即卫星的向径（卫星与地球的连线）在相同的时间内扫过的面积相等．设椭圆的长轴长、焦距分别为2a，2c，下列结论错误的是（    ） A．卫星向径的取值范围是 B．卫星在左半椭圆弧的运行时间大于其在右半椭圆弧的运行时间 C．卫星向径的最小值与最大值的比值越大，椭圆轨道越扁 D．卫星运行速度在近地点时最大，在远地点时最小 6．（24-25高三上·重庆铜梁·阶段练习）椭圆的光学性质：从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上.已知椭圆，、为其左、右焦点.是上的动点，点，且的最大值为，则 .动直线为椭圆的切线，右焦点关于直线的对称点为，则点到直线的距离的取值范围为 . 7．（24-25高三上·广东广州·阶段练习）甲､乙两名探险家在桂林山中探险，他们来到一个山洞，洞内是一个椭球形，截面是一个椭圆，甲､乙两人分别站在洞内如图所示的A､B两点处，甲站在A处唱歌时离A处有一定距离的乙在B处听得很清晰，原因在于甲､乙两人所站的位置恰好是洞内截面椭圆的两个焦点，符合椭圆的光学性质，即从一个焦点发出光经椭圆反射后经过另一个焦点.现已知椭圆：上一点M，过点M作切线l，A，B两点为左右焦点，，由光的反射性质：光的入射角等于反射角，则椭圆中心O到切线l的距离为 . 2 学科网（北京）股份有限公司 $$