精品解析：江苏省淮安市2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题

江苏省淮安市2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】分别求解集合，再结合交集的定义求解即可． 【详解】或， 所以． 故选：D． 2. 已知幂函数的图象经过点，则函数的图象大致为（　　） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出幂函数的解析式，再结合函数的图象特征，即可判断． 【详解】设幂函数的解析式为：， 因其图象经过点，则得，解得， 于是，则该函数的定义域为，关于原点对称， 因，故函数为偶函数，图象关于y轴对称. 故选：B． 3. 已知α的终边经过点，且，则＝（　　） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】利用任意角的三角函数的定义即可求解． 【详解】因为α的终边经过点，且， 所以，再由，解得， 由正切函数定义得：， 故选：A． 4. 已知扇形OAB的周长为8cm，圆心角，则该扇形中弦长（　　） A. 2 cm B. 4 cm C. 2sin1 cm D. 4sin1 cm 【答案】D 【解析】 【分析】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α，然后根据已知建立方程组求出r的值，再利用正弦函数化简即可求解． 【详解】设扇形的弧长为l，半径为r，圆心角为α， 由已知得，解得，则弦长（cm）． 故选：D 5. 如果是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】A 【解析】 【分析】将两个条件相互推导，根据能否推导的情况判断出充分、必要条件. 【详解】当时，不妨设，则.而当时，可能，此时，而.综上所述“”是“”的充分不必要条件. 【点睛】本小题主要考查充分、必要条件的判断，考查绝对值的知识，属于基础题. 6. 已知关于x的一元二次方程的两根为sinα，cosα，则m的值为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由根与系数的关系可得，，由同角三角函数的性质可得m的值． 【详解】关于x的一元二次方程的两根为 ，可得m， 又由韦达定理可得 所以 解得即m． 故选：C． 7. 已知函数，，若，则的最小值为（　　） A 9 B. C. 3 D. 【答案】B 【解析】 【分析】先对原函数分离常数得出，然后根据条件得出，然后根据基本不等式“1”的代换即可得解． 【详解】由题设，又，得， 整理得，且，则， u所以，当且仅当，即时取等号， 所以的最小值为． 故选：B 8. 已知函数，若关于x的方程至少有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】将函数写成分段函数，作出图象，将问题转化为关于x的方程至少有两个不同的交点，结合图象得，求解即可． 【详解】因为， 作出函数的图象，如图所示： 关于x的方程至少有两个不等的实根， 即关于x的方程至少有两个不同的交点， 所以， 当时，令，解得， 当时，令，解得， 所以，解得． 故选：A 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】AC 【解析】 【分析】由不等式的性质逐一判断所给命题的真假． 【详解】A中，因为，可得，所以，所以A正确； B中，若，也可以，所以不正确，所以B不正确； C中，， 因为，，而，所以，即，所以C正确； D中，若，当时，则，则错误，所以D不正确． 故选：AC． 10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（　　） A. 点P所满足的函数表达式为 B. 点P第一次到达最高点需用时5秒 C. P再次接触水面需用时10秒 D. 当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 【答案】BC 【解析】 【分析】根据函数模型的定义与性质，求出A、B和T、ω、φ，写出函数解析式，再判断选项中的命题是否正确． 【详解】函数中，所以， 时，，解得，因为，所以， 所以，A错误； 令得，则，解得， 所以x的最小值为5，即点P第一次到达最高点需用时5秒，B正确； 由题意知，点P再次接触水面需用时（秒），C正确； 当时，，点P距水面的高度为2米，D错误． 故选：BC 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数为奇函数 B. 函数的周期为π C. 函数在区间上为增函数 D. 当时，函数的图象恒在直线的下方 【答案】ACD 【解析】 【分析】根据题意，由奇函数的定义分析A，由函数周期性的定义分析B，由函数单调性的性质分析C，利用函数图象和不等式的性质分析D即得． 【详解】对于A，函数的定义域为R，有， 则为奇函数，故A正确； 对于B，因， 故π不是函数的周期，故B错误； 对于C，因， 当时，为增函数且， 由复合函数单调性知， 也是增函数， 故在上递增，， 又由为奇函数，则在区间上为增函数，故C正确； 对于D，， 当时，由函数与图象（如图）可知：， 因，则有恒成立，故， 即函数的图象恒在直线的下方，故D正确． 故选：ACD． 【点睛】关键点点睛：此题的关键在于需要先判断函数的奇偶性，在此基础上才能由函数在上的单调性判断其在上的单调性，有时还需结合函数的结构组成运用不等式性质说明函数图象的位置. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _______． 【答案】 【解析】 【分析】利用对数运算性质求解． 详解】 故答案为：． 13. 已知定义在R上的奇函数关于对称，当时，，则 _________． 【答案】 【解析】 【分析】根据题意，由函数的奇偶性和对称性可得函数的周期性，结合函数的解析式计算即得. 【详解】因函数为奇函数，， 函数关于x＝1对称，则有， 则有，变形可得， 则有，即4是函数的一个周期， 则， 又由当时，，则， 则． 故答案为：． 14. 已知函数．若对，均有或，且使得成立，则实数a的取值范围为 _______． 【答案】 【解析】 【分析】将问题分为对，均有或和存在当时，两部分进行求解． 【详解】首先分析对，均有或，令，解得， 故当时需要， 易得二次函数的对称轴为， 故需确保且右边根， ,解得， ，解得， 综上，①； 再分析存在当时，， 故存在，， 故左边根，解得②， 综合①②取交集，可得， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”的充分不必要条件，求实数a的取值范围． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）化简集合A与B，根据交集的定义求解即可. （2）根据“”是“”的充分不必要条件，得B是A的真子集，由此得出实数a的取值范围． 【小问1详解】 集合， 当时，，所以. 【小问2详解】 由“”是“”的充分不必要条件，得集合B是A的真子集， 而，则或，解得或， 所以实数a的取值范围是. 16. 已知为第三象限角，且． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1）； （2）． 【解析】 【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式以及诱导公式即可求解； （2）利用齐次式以及弦切互化即可求解． 【小问1详解】 因为为第三象限角，且， 所以，解得（正值舍去）， 所以； 【小问2详解】 ． 17. 已知函数的图象过点． （1）求实数值； （2）证明：函数为偶函数； （3）求关于的不等式的解集． 【答案】（1）a， （2）证明见解析 （3） 【解析】 【分析】（1）由已知点的坐标代入即可求解； （2）结合偶函数的定义即可证明； （3）结合指数函数的单调性即可求解． 【小问1详解】 函数的图象过点， 所以，即，， 则，则，所以； 【小问2详解】 证明：函数， 故为偶函数； 【小问3详解】 不等式可化为， 即， 解得， 所以， 故不等式的解集为． 18. 如图，函数的部分图象与直线交于A，B两点，点，在函数的图象上，且的面积为． （1）求函数的解析式； （2）设在上的两个零点为，求的值； （3）将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在[0,b]（）上至少有10个零点，求最小正整数b． 【答案】（1）； （2）； （3）10． 【解析】 【分析】（1）由题意得，从而可得函数的一条对称轴为，从而可得周期，根据周期公式可得ω的值，再代入C点坐标，即可求得函数的解析式； （2）由题意可得，代入求解即可； （3）由题意得，解出函数的零点，可得b的范围，再根据b为整数得答案． 【小问1详解】 因为，得到， 所以的一条对称轴为， 此时，则，从而解得， 又，且，得． 从而； 【小问2详解】 由题意得， 令，得到， 因为，， 所以，解得， 从而； 【小问3详解】 根据图象平移得， 令，则或， 由在[0,b]（）上至少有10个零点，易知，则， 所以，又b为正整数，故最小正整数b为10． 19. 已知函数，． （1）若方程有4解，求a的取值范围； （2）对恒成立，求a的取值范围； （3）对，恒成立，求λ的取值范围． 【答案】（1）； （2）； （3）. 【解析】 【分析】（1）令，，由题意可得存在两个不等的实数解，由此可求解a的取值范围； （2）根据已知不等式列不等式组，求解即可； （3）求出的值域为，设，则，，不妨设，由不等式的性质可得不等式左侧的范围，从而可得λ的取值范围． 【小问1详解】 令，且函数最小值，则在上存在两个不等的实数解， 所以且，解得，即a的取值范围是． 【小问2详解】 因为，设，且在是单调递增的， ，即解得，满足题设； ，即，解得，满足题设； 若，则在上恒有，而，显然不满足题设； 若，，解得， 综上所述，实数a的取值范围是． 【小问3详解】 因为，在是单调递增的，所以， 设，则，，不妨设，而， ， 当，，即时，取得等号， 从而， 所以， 综上所述，实数λ的取值范围是. 【点睛】关键点点睛：设，则，，，结合基本不等式求已知不等式左侧的范围为关键. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 江苏省淮安市2024-2025学年高一上学期期末调研测试数学试题 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 若集合，则（　　） A. B. C. D. 2. 已知幂函数图象经过点，则函数的图象大致为（　　） A B. C. D. 3. 已知α的终边经过点，且，则＝（　　） A. B. C. D. 2 4. 已知扇形OAB的周长为8cm，圆心角，则该扇形中弦长（　　） A. 2 cm B. 4 cm C. 2sin1 cm D. 4sin1 cm 5. 如果是实数，那么“”是“”的（ ） A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知关于x的一元二次方程的两根为sinα，cosα，则m的值为（　　） A. B. C. D. 7. 已知函数，，若，则的最小值为（　　） A. 9 B. C. 3 D. 8. 已知函数，若关于x的方程至少有两个不等的实根，则实数a的取值范围为（　　） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法正确的有（　　） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 10. 筒车是我国古代发明的一种水利灌溉工具，因其经济又环保，至今还在农业生产中使用（图1），明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理（图2）．若一半径为2米的筒车水轮圆心O距离水面1米（图3），已知水轮按逆时针转动，每分钟转动4圈，当水轮上点P从水中浮现时（图3中点）开始计时，点P距水面的高度可以用函数（）表示．下列结论正确的有（　　） A. 点P所满足的函数表达式为 B. 点P第一次到达最高点需用时5秒 C. P再次接触水面需用时10秒 D. 当点P运动2.5秒时，距水面的高度为1.5米 11. 已知函数，下列说法正确的有（ ） A. 函数奇函数 B. 函数的周期为π C. 函数在区间上为增函数 D. 当时，函数的图象恒在直线的下方 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. _______． 13. 已知定义在R上的奇函数关于对称，当时，，则 _________． 14. 已知函数．若对，均有或，且使得成立，则实数a的取值范围为 _______． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知集合，． （1）当时，求； （2）若“”是“”充分不必要条件，求实数a的取值范围． 16. 已知为第三象限角，且． （1）求的值； （2）求的值． 17. 已知函数的图象过点． （1）求实数的值； （2）证明：函数为偶函数； （3）求关于的不等式的解集． 18. 如图，函数的部分图象与直线交于A，B两点，点，在函数的图象上，且的面积为． （1）求函数的解析式； （2）设在上的两个零点为，求的值； （3）将函数的图象向右平移个单位，再向上平移1个单位，得到函数的图象，若在[0,b]（）上至少有10个零点，求最小正整数b． 19. 已知函数，． （1）若方程有4解，求a的取值范围； （2）对恒成立，求a取值范围； （3）对，恒成立，求λ的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$