训练九 平面向量数量积的坐标表示-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测素能提升训练（人教A版2019）

所以AD+BD+CD=(-3,5)+(-4,2)+(-5,1)= (—12,8). 由题意，知存在实数m,n, 使得AD+BD+CD=mAB+nAC, 即(-12,8)=m(1,3)+n(2,4)=(m+2n,3m+4n), m+2n==-812,解得{m=322可得 U1T04山 所以AD+BD+CD=32 AB-22 AC=32a-22b. (2)设P(x,y),则AP=(x-1,y+2). 又AP=AB+λAC=(1,3)+λ(2,4)=(1+2x,3+ {3-2=3+4',(=2+4又点P在第四象4λ),则 {+4<0,解得-1<a<-4限，所以 ,故λ的取值范 (-1,-4).围是( 训练九 平面向量数量积的坐标表示 基础练学考测评 1.B 解法一：因为a=(3,4),a—b=(1,2),所以b= a—(a—b)=(2,2),所以 a·b=3×2+4×2=14. 解法二：a·(a-b)=3×1+4×2=11.又a·(a-b)= a2—a·b,所以a·b=a2-11=32+42-11=14. e=(1,),2.D 设向量e是与b同向的单位向量，则 be=e=则向量a在b方向上的投影向量为 -3e=(-3,-323).故选D. 3.B ∵BC=AC-AB,∴n·BC=n·AC-n·AB=7- 5=2. 4.B 因为(b-2a)⊥b,所以(b-2a)·b=0,即b2= 2a·b.又因为|a|=1,|a+2b|=2,所以1+4a·b+4b2 =1+6bB2=4,从而|bl=2. 5.解析 因为alb,所以a·b=0,即1×(m+1)+(-1)× (2m—4)=0,解得m=5. 答案 5 6.解析 因为OA=(1,-3),OB=(2,-1),OC=(k+1, k-2),所以AB=(1,2),AC=(k,k+1)。因为A为钝 角，所以AB·AC<0,所以(1,2)·(k,k+1)<0,即→-→ 3k+2<0,解得k<-3.又AB,AC共线时，2k=k+1, 解得k=1>-3.不符合.则实数k应满足的条件是 k<-3 (-,-3)答案 7.解(1)因为a=(1,-1),b=(-2,1),所以a+b= (2,0),a-b=(3,-2),所以(a+b)·(a-b)=2 ×2+0=4. (2)因为a=(1,-1),b=(-2,1),所以a+2b=(0, cosa,a+2b)=a|a+2)=z×1=-,1),所以 34所以向量a与向量a+2b的夹角为 能力练迁移运用 8.B 由|a-b|=|a+b|,可得|a-b|2=|a+b|2,整理得 a2-2a·b+b2=a2+2a·b+b2,可得a·b=0.又由平 面向量a=(1,m),b=(-1,√3),可得a·b=1×(一1) m=3. 9.C 设P(x,0),则AP=(x-2,-2),BP=(x-4,-1), AP·BP=(x-2)(x-4)+2=x2-6x+10=(x- +√3m=0,解得 3)2+1,故当x=3 时，AP·BP最小，此时点P的坐标 为(3,0). 10.ABC ∵AB=(2,3),AC=(1,b),∴BC=AC-AB= (-1,k-3).若∠A=90°,则AB·AC=2×1+3×k= 0,∴k=-3;若∠B=90°,则AB·BC=2×(-1)十 3(k-3)=0,3k=号；若∠C=90°,则AC·Bo=1× (-1)+k(k-3)=0,:k=3±213.故所求k的值为 一号或号或3±×13. 11.解析 以A为原点，AB所在直线y F为x轴，AD所在直线为y轴建立 D C 平面直角坐标系，设 F(x,2),所以 AE=(√2,1),AF=(x,2),AB= E (√2,0),所以AB·AF=√2x=√2, 所以 x=1,所以F的坐标为(1,2), 所以BF=(1,2)-(√2,0)=(1- A B √2,2),所以AE·BF=√2. 答案 √2 12.解析 因为a+b=(cos α+cos β,sin α+sinβ),a—b= (cos a—cos β,sin α-sin β),所以(a+b)·(a-b)= (cos a+cos β)(cos a-cos β)+(sin a+sin β)(sin a一 sin β)=cos2a—cos2β+ sin2a-sin2β= sin2α+ cos2a一 (sin2β+cos2β)=0.所以(a+b)⊥(a-b),即a+b与 2a-b的夹角为 2答案 13.解(1)当m=0时，f(x)=√2 sin(x+4)sin x= sinz·(sinx+cos x)=sim2c+sin acos x=1-22+ 2-sm(2a-4)+_,由ae[8,4],得2z- 4∈[0,57].当2-4∈[0,否],即ae[g,8]时， 2a-4∈[2,54],即x∈函数f(x)单调递增；当2 [8,4]时，函数f(x)单调递减. (2)由a//b可得√2msin(x+4)sin(x-4)=sinx· sin(x+4)≠sin(x+4).由 tan x = 2,可 得 0(若sin(a+4)=0,则x=km-4(k∈Z),此时 tan x=-1,与条件矛盾).从而有√2 msin(x-π)= sin x,即 m(sin x—cosx)=sinx,两边同除以 cos x,可 得m(tan x—1)=tan x=2,m=2. 创新练素能培优 14.解(1)当θ=90°时，坐标系xOy为平面直角坐标系， 设点P(x,y),则有OP=(x,y), 而e?=(1,0),OP·e?=x. 57 xoP·e?=IoP|·le?|· os120°=-1, 所以x=-2.又|oP=√a2+y2=1, y=±3 (-1,±3).解得 ,故点P的坐标是 (2)依题意，e?,e2的夹角为45°, 故e?·e?=le?|·lel·cos45°=2,oP=e?+√2e? 所以|OP|=le?+√2e?I=√(e?+√2e?)2 =√ei+2√2e?·e?+2e2=√5,OP·e? =|OP|·|e?|·cosa=√5cos a,OP·e? =(e?+√2e?)·e?=e2+√2·e?·e?=2, 所以√5cosa=2,故cosa=255 训练十 平面几何中的向量方法 向量在物理中的应用举例 基础练学考测评 1.C 由DC=—AB知 DC//AB,且DC=—AB,因此四 边形 ABCD是梯形.又因为|AD|=|BC|,所以四边形 ABCD是等腰梯形.故选C. C 2.C 设两根绳子的拉力分别为OA,OB. 作口OACB如图所示，使∠AOC=30°, A ∠BOC=60°.在□OACB中，|0C|= BG100 N,∠ACO=∠BOC= 60°,所以 ∠0AC=90°,所以|OAI=|0C| cos 30° 0 =50√3 N,|AC|=10C|sin 30°=50 N,所以|OB|= |AC|=50 N,故两根绳子拉力的大小分别为50√3 N, 50 N. 3.C 由题意得AB2=AB·AC+AB·CB+CA·CB= AB·(AC+CB)+CA·CB=AB2+CA·CB,∴CA· CB=0,∴CA⊥CB,∴△ABC是直角三角形 4.C 设(—10,10)为 A,5 秒后P点的坐标为A?(x,y), 则AA=(x+10,y-10),由题意有AA,=5.即(z+10, {a=-06y-10=-015,y-10)=(20,-15),所以 解得 5.解析 BC=AC-AB=(3,6)=AD.又因为AB·BC= (4,—2)·(3,6)=0,所以四边形 ABCD为矩形，所以 |AB|=√42+(-2)2=2√5,|BC|=√32+62=3√5, 所以S=|AB||BC|=2√5×3√5=30. 答案 30 6.解析 如图所示，当合速度 v2的方向垂直于岸边时，所 需航程最短， v?v v? 此时|v?I=√lvl2-Iv?I2=√202-122=16(km/h). t=168=0.05(h)=3(min).故所需时间； 答案 3 7.解(1)由题得CQ=CA+AQ= CA+4AB=CA+4(CB-CA)=4CA+4CB= 4a+4b. (2)AP=CP-CA=3CB-C=4a-b,∴AP·ca =(4a-b)·(4a+4b)=96lal2-6a·b-41bl2 =16×42-16×4×3×cos60°-4×32=87. 能力练迁移运用 8.C 设 BC的中点是O,则AC2-AB2=(AC+AB)· (AC-AB)=2AO·BC=2AM·BC,即(AO-AM). BC=MO·BC=0,所以MO_BC,所以动点M在线段 BC的中垂线上，所以动点M的轨迹必通过△ABC的 外心，故选C. 9.C 设鹰的飞行速度为v?,鹰在地面上的影子的速度为 v?,则|v?I=40(m/s),因为鹰的运动方向是与水平方向 w--5ms,故选C.成30°角向下，故| FF?10.C 如图所示，根据题意依次分析选项： 对于 A,由于F?+F?=G,且|F?I=|F?|, 则有|F?I cos2=2|G|,即|F?I= +G.又|G|为定值，故θ越小越省力，0 越大越费力，A错误；对于 B,0<|F?|cos≤G,且 0=0时，IFI=IF?I=IC,所以是∈[0,否],即θ的 0=2时，有取值范围是(0,π),B错误；对于C,当 F?|cos3=2IG|,则|F?I=|G|,C正确；对于 D,当 0=2时，有IF?los4=2IG|,则√2IFI=IG|,D错误. FD=FO+OD,FE=FO+OE,且OD=-OE,11.解析 所以FD·FE=(FO+OD)·(FO+OE)=FO- oD2=g-1=-8. -9答案 12.解析 设河水的流速为 v?,小船在静水中的速度为 v?, 船的实际速度为 v,则 v=v?+v?,|v?I=2 m/s,|v|= 10 m/s. 所以|v?I=|v-v?I=√v-2v·v?+v=√100-0+4= √104=2√26(m/s). 答案 2√26 13.解(1)证明：因为BC·CA=C·AB 所以CA·(BC-AB)=0. 因为AB+BC+CA=0,所以CA=-(AB+BC), 所以-(AB+BC)·(BC-AB)=0,所以AB2-BC =0, 所以|AB|=IBC|,故△ABC为等腰三角形. Be[3,g],所以cosBe[-2,2].(2)因为 设|AB|=IBC|=a. 因为|BA+BC|=2,所以|BA+BC|2=4, a2=1+cos B所以a2+a2+2a2cos B=4,所以 又因为BA·BC=|BA||BC| cos B=a2cos B= 12+osB=2-1+2osB,-1≤cos B≤2, 58 训练九 平面向量数量积的坐标表示 基础练 学考测评 (2)求向量 a与向量a+2b的夹角. 1.(江苏南京高一下期中)已知向量a=(3, 4),a—b=(1,2),则a·b= ( ) B.14A.5 D.2√2C.-6 2.已知向量 a=(0,—2√3),b=(1,√3),则 向量a在向量b方向上的投影向量为 ( ) B.(3,323)A.(5,3) c.(-3,-2) D.(-3,-323) 3.若向量AB=(3,-1),n=(2,1),且n· AC=7,则n·BC等于 ( ) A.—2 B.2 C.-2或2 D.0 4.(新课标全国Ⅱ卷)已知向量a,b满足|a =1,|a+2b|=2,且(b-2a)⊥b,则|b|= ( ) B.A. c. D.1 5.设向量a=(1,—1),b=(m+1,2m—4), 若a⊥b,则m= 6.已知向量OA=(1,-3),OB=(2,-1), OC=(k+1,k—2).若△ABC中A为钝 角，则实数k应满足的条件是 7.(安徽六安高一月考)已知平面向量 a,b满 足a=(1,-1),b=(-2,1). (1)求(a+b)·(a—b); 能力练 迁移运用 8.已知平面向量a=(1,m),b=(-1,√3),且|a —b|=|a+b|,则m等于 ( ) B.3A.235 C.√3 D.3√3 9.已知O为坐标原点，向量OA=(2,2),OB= (4,1),在x轴上有一点P,使AP·BP有 ( )最小值，则点P的坐标是 A.(一3,0) B.(2,0) C.(3,0) D.(4,0) 10.(多选)在△ABC中，AB=(2,3),Ac= (1,k),若△ABC是直角三角形，则k的 值可能为 ( ) B.gA.-3 c.3±/13 D.3 17 ?高中数学·必修 第二册 11.如图，在矩形 ABCD 中，AB=√2,BC= 2,点E为 BC的中点，点F在边CD上， 若AB·AF=√2,则AE·BF的值是 D F C E A B 12.已知向量a=(cos α, sin α),b=(cos β, sin β),且a≠±b,那么a+b与a—b的夹 角是 13.已知向量 a=(√2 sin (x+4), sin(x+4),b=(sinx,msin(x-4)). (1)若 m=0,试研究函数 f(x)=a· b(a∈[8,4]))的单调性； (2)若 tan x=2,且a//b,试求m的值. 创新练 素能培优 14.(安徽合肥高一期中)如图所示，数轴x,y 的交点为O,夹角为θ,与x轴、y轴正向 同向的单位向量分别是e?,e?.由平面向 量基本定理，对于平面内的任一向量OP, 存在唯一的有序实数对(x,y),使得OP =xe?+ye?,我们把(x,y)叫做点P在斜 坐标系xOy 中的坐标(以下各点的坐标 都指在斜坐标系xOy中的坐标). (1)若θ=90°,OP为单位向量，且OP与e? 的夹角为120°,求点P的坐标； (2)若θ=45°,点P的坐标为(1,√2),求 向量OP与e?的夹角α的余弦值. ×y 0 70 ⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯⋯8 x