训练六 平面向量基本定理-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测素能提升训练（人教A版2019）

训练六 平面向量基本定理 基础练 学考测评 1.已知{e?,e?}是平面内的一个基底，则下列 ( )选项中，不能作为基底的是 A.{2e?—e?,2e?—4e?} B.{e?+e?,e?-2e?} C.{e?-2e?,e?} D.{e?+e?,2e?+e?} 2.已知 e?≠0,λ∈R,a=e?+λe?,b=2e?,则a ( )与b共线的条件为 A.λ=0 B.e?=0 C.e?//e? D.e?//e?或λ=0 3.已知 A,B,D三点共线，且对任一点C,有 CD=4CA+λCB,则λ= ( ) B.营A.3 D.-3 4.在平行四边形 ABCD中，点E为CD 的中 点，F满足AF=2 FD.若EF=x AC+ yAB,则x+y= ( ) A.- B.-3 c.-4 D.-亏 5.(山东泰安高一期中)已知{e?,e?}是平面 内的一个基底，若向量a=4e?-2e?与 b= —2e?+λe2共线，则λ= 6.如图，已知 E,F分别是矩 形 ABCD 的边 BC,CD 的中点，EF与AC 交于 D F C Gb E A a B 点G,若AB=a,AD=b, 用 a,b表示AG= c7.如图，设 D,E,F分别是 E △ABC的边 BC,CA,AB DAF=2AB,上的点，且 A BF BD=3BC,CE=4CA.若记AB=m,CA= n,试用m,n表示DE,EF,FD. 能力练迁移运用 8.(多选)若e?,e?是平面α内两个不共线的 ( )向量，则下列说法正确的是 A.λe?+pe?(λ,μ∈R)可以表示平面α内的 所有向量 B.对于平面α内的任一向量a,使 a=λe? +pe2的实数λ,μ有无数多对 C.若λ?,μ?,λ2,μ2均为实数，且向量λ?e?+ μ?e2与λ?e?+μ?e2共线，则有且只有一 个实数λ,使λ?e?+μ?e?=λ(λ?e?+μ?e?) D.若存在实数λ,μ,使λe?+μe?=0,则λ= μ=0 11 ?高中数学·必修 第二册 9.在平行四边形ABCD中，AB=a,AD=b, AM=4 MC,P为AD 的中点，MP= ( ) D C MP A? B A.4a+36 B.4a+136 D.4a+4bc.-专a-106 10.已知在 Rt△ABC中，∠C=90°,AC=3, BC=4,P为线段AB上的点，且CP=x CA+yCB,则ay的最大值为 ( ) A.1 B.2 C.3 D.4 11.已知点M是△ABC的边 BC的中点，点 E在边AC上，且EC=2 AE,则BE= ___,EM= (用→→ AB,AC表示). 12.已知平行四边形 ABCD 中，E为CD 的 中点，AP=yAD,AQ=xAB,其中x,y ∈R,且均不为0.若Pe//E,则等=_ 创新练 素能培优 14.(河南郑州月考)如图，在△ABC中，点O 在边BC上，且 OC=2OB.过点O的直线 分别交射线 AB、射线AC于不同的两点 M,N,若AB=mAM,AC=nAN. (1)求2m+n的值； (2)若+n≥2+√2恒成立，求实数t的 最小整数值. A M B o N c 13.证明三角形的三条中线交于一点. 2⋯⋯⋯⋯⋯⋯ 10.AD 设b与c的夹角为0,则|b+c|2=|b|2+|cl2+ 2b·c=20+2b·c=12,所以b·c=-4,所以 cos θ= be=-1.又o≤≤π,所以0=g..由题意得a·b =2,a·c=4,则|a+2b|=√(a+2b)2=2√7,|b—λc| =√(b—λc)2=√16x2+8λ+4,(a+2b)·(b—λc)= a+2bb--e =4λ 十 10, 所 以 2√×√16x+8x+4=2, λ=-4,解得 或λ=1. 1b|=3,11.解析 由题意，得 ,解得 icosθ=a|b=6×3=-2. ∵0°≤0≤180°,∴θ=120°. 答案 120° 12.解析 由题意可知a·b=|a||b|cos 60°=2×3× l_ =3.于是(a+λb)·(λa+b)=λa2十(λ2+1)a·b十 λb2=3λ2+13λ+3. a+λb与λa+b的夹角为锐角，∴3x2+13λ+3>0, 解得λ>×133-13或a<=136√133..当λ=1 时， a+λb与λa+b共线，其夹角为0°,不符合题意，故实数 λ的取值范围是(—～,—13—133)u(～133—13, 1)U(1,+o). (-o,-13-6√133)u(√133-13,1)U(1,答案 十0) 13.解(1)因为AB=OB-OA=4e?-2e?,所以|AB|= √(4e?-2e?)2= √16e3+4e2-16|e?|le? cos 60°= √16+4-16×1=2√3. (2)AC=oc-OA=(t-1)e?-3e,BC=oc-OB=(t -5)e?-e?.若△ABC是以AB为斜边的直角三角形， 则 ACLBC,即AC·BC=0,则AC·BC=[(t-1)e?- 3e?]·[(t-5)e?-e?]=(t-1)(t-5)+3-[(t-1)+ 3(t-5)]×2=0,化简得t2-8t+16=0,解得t=4.所 以存在t=4 满足条件. 创新练素能培优 14.解(1)当 bLc时，b·c=0, 即b·c=.xa·b+(1-x)b2=0, -5za+5(1-a)=0,解得x=2. (2)c2=x2a2+2x(1-x)a·b+(1-x)2b2 =25x2-20x+5=25(a-号)2+1, ,c=5a+号b.当x=号时，Ie|取最小值1,此时，C 设向量a与c的夹角为0, 则a·e=lallelcos o=a·(5a+号b)=1, coso=10解得 ,故当|c|取最小值时，向量a与c的 0夹角的余弦值为 训练六 平面向量基本定理 基础练学考测评 1.A A 因为2e?-4e?=-2(2e?-e?),所以2e?-e?和2e? -4e?共线，不能作为基底 B 设 e?+e?=λ(e?— 2e?)= λe?— 2λe?,则 {-=x=1,无解，故 e?+e?和e?-2e?不共线，能作 为基底 C 与B同理可得e?-2e?和e?不共线，e?+e?和2e? +e?也不共线，均能作为基底D 由以上分析知选A. 2.D 当 e?//e?时，a//e?.因为b=2e?,所以 b//e?.又因为 e?≠0,所以a与b共线；当λ=0时，a//e?,因为b=2e?, 所以b//e?.又因为e?≠0,所以a与b共线。故选D. 3.C 因为A,B,D三点共线，所以存在实数t,使AD= tAB,则CD-CA=t(CB-CA).所以CD=CA+ --喜t(CB-CA)=(1-t)CA+tCB.所以 ’解得 a=-3 4.A 因为EF=ED+DF=-2AB-gAD,xAC+ yAB=x(AB+AD)+yAB=(x+y)AB+xAD,所以 x+y=-2.故选 A. 5.解析 因为a=4e?-2e?与b=-2e?+λe?共线，所以存 在实数t,使a=tb,即4e?-2e?=t(-2e?+λe?)=-2te? {-==2,十λte?,所以 解得λ=1. 答案 1 AG=AB+BE+EG=a+ib+4BD=a+6.解析 2b+4b-4a=4a+3b 4a+3b答案 7.解 ∵AB=m,CA=n, ∴BC=-m-n, :.DE=Dc+CE=3BC+4cA =-3m-3n+4n=-3m-i2n. EF=EA+AF=4C+2AB=4n+2m. FD=FB+BD=1AB+号BC=_m+3(-m-n)= 6m-gn. 能力练迁移运用 8.AD 由平面向量基本定理，可知 A,D说法正确，B说 法错误，对于C,当λ?=λ?=μ?=μ?=0时，这样的λ有无 数个，故C说法错误。 9.C 在平行四边形 ABCD 中，AB=a,AD=b,所以 AC=a+b,所以AM=4MC=4AC=4(a+b).因为 P为AD的中点，所以MP=AP-AM=2b-(4a+ 54 4b)=-4a-06. 10.C ∵P为线段AB上的点，∴存在实数λ使得AP= λAB(O≤A≤1),∴CP=CA+AP=CA+λAB=CA+ λ(CB-CA)=(1-x)CA+λCB(O≤A≤1).又CP= a+*0,--wy=12(1-λ)λ= -12(a-去)2+3≤3,当且仅当；a=2时，等号成立， 故 xy的最大值是3. 11.解析 如图，∵EC=2 AE,∴BE E =AE-AB=1AC-AB,EM=B4 M Ec+cM=3AC+2CB=-AC +(AB-AC)=2AB+1A. 3Ac-AB AB+1AC答案 C 12.解析 因为PQ=AQ-AP=xAB-yAD, 由PQ//BE,可设PQ=λBE, 即xAB-yAD=λ(CE-CB)=λ(-1AB+AD) =-会AB+λAD,所以=言“- 答案 C13.证 明 如图，AD,BE,CF 是 △ABC的三条中线. E令AC=a,BC=b,则AB=AC- D C(G)BC=a-b,AD=AC+CD=a- A F 2b,BE=BC+CE=--a+b. B 令AD与BE 交于点G?,并假设AG?=λAD,BG= μBE, 则有AG?=xa-合b,BG?=-臣a+,b. 又AG?=AB+BG=(1-些)a+(μ-1)b, --1解得。λ=μ=3,∴AG?=3AD. 再令AD与CF相交于点G?,同理可得AG?=3AD. ∴G?与G?重合，即 AD,BE,CF相交于同一点。故三 角形的三条中线交于一点。 创新练素能培优 14.解(1)连接 AO,因为OC=2OB, AB=mAM,AC=nAN, 所以AO=3AB+3AC=3mAM+3nA? 因为M,O,N共线，所以3m+3n=1,,则2m+n=3. m+n≥2+√2等价于n+n≥(2)显然 t>0,所以 2+/2,即((m+n)_≥2+12. 1+n=.因为 3(m+n)(2m+n)=3(3+2m+”)≥1+232, m=3-32,n=3√2-3时，n当且仅当n=√2m,即 取到最小值，为1+232=×2+12,+ ,于是 (2+12≥2+12,t≥6-3√2.故实数t的最小整 数值是2. 训练七 平面向量的正交分解及坐标表示 平面向量加、减运算的坐标表示 基础练学考测评 1.C 因为A(2,3),B(4,2),所以AB=(2,-1),所以AB =2i-j.故选C. 2.B 设B(x,y),则AB=(x,y)—(2,3)=(x-2,y-3), :{y-3=5, {y=8,-B(7,8).解得 3.D 设 D(x,y),因为AD=BC,所以(x-5,y+1)=(2, -5),所以x=7,y=-6.所以 D(7,-6). 4.D x2+a+1=(a+2)+4>0,z2-a+1=(a-2) +3>0,,所以向量a对应的坐标位于第四象限. 5.解析_BC=AC-AB=(1,3)-(2,4)=(-1,-1),BD= BC+CD=BC-AB=(-1,-1)-(2,4)=(-3,-5). 答案(-3,-5) 6.解析 ∵AB=(2,4)-(1,3)=(1,1),AB=a, :{2+32-3=1,解得x=1. 答案 1 7.解(1)AC=(-1-2,3-1)=(-3,2),BC=(-1+3, 3-2)=(2,1). (2)设 D(x,y),则AD=(x-2,y-1).因为四边形 {"-2=2,解ABCD是平行四边形，所以BC=AD,所以 y=2,所以 D(4,2).得 能力练迁移运用 8.ABD 由向量坐标的定义不难看出一个坐标可对应无 数个相等的向量，故C错误. 9.C 令(1,2)+(3λ,4λ?)=(-2,-2)+(4λ2,5λ2), 即(1+3λ?,2+4λ?)=(-2+4λ2,-2+5λ2), {2+4=二2+6,解得(=-1, M∩N={(-2,-2)}. 10.D 设OA绕原点O逆时针方向旋转 120°得到的OB的 坐标为(x,y), 则x=1OAlcos(120°+30°)=-3, yA B y=10A|sin(120°+30°)=2, 120°30° A o(-,1),由此可知 B点坐标为 x (-3,1).故OB的坐标是 11.解析a+b=(2m+n,m—2n)=(9,—8), :{2-2n=9-8,*{m=5,m-n=2-5=-3. 答案 -3 55