训练一 平面向量的概念-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测素能提升训练（人教A版2019）

训练一 平面向量的概念 AI伴学助手 在线答疑 墨 日排商雨信扫 基础练 学考测评 1.下列说法正确的是 ( ) A.两个单位向量一定相等 B.若a与b不共线，则 a与b都是非零 向量 C.共线的单位向量必相等 D.两个相等的向量起点、方向、长度必须 都相同 2.如果一架飞机向东飞行 200 km,再向南飞 行 300 km,记飞机飞行的路程为s,位移为 a,那么 ( ) A.s>|a B.s<|a C.s=|a D.s与|a|不能比较大小 3.(多选)设点O是平行四边形 ABCD 的对 角线的交点，则下列结论正确的是( ) A.AO=OC B.|AO|=|BO c.AO=BO D.AB与CD共线 4.下列五个结论： ①温度有零上和零下之分，所以温度是 向量； ②向量a≠b,则a与b的方向必不相同； ③|a|>|b|,则a>b; ④向量a是单位向量，向量 b也是单位向 量，则向量 a与向量b共线； ⑤方向为北偏西 50°的向量与方向为东偏 南40°的向量一定是平行向量. 其中，正确的有 ( ) A.①⑤ B.④ C.⑤ D.②④ 5.中国象棋中规定：马走“日”字，象走“田” 字.如图，在中国象棋的半个棋盘(4×8的 矩形中每个小方格都是单位正方形)中，若 马在 A处，可跳到 A?处，也可跳到 A?处， 用向量AA?,AA?表示马走了“一步”.若马 在B处或C处，则表示马走了“一步”的向 量共有________个. A? c A. A2 B 6.给出以下5个条件： ①a=b;②|a|=|b|;③a与b的方向相 反；④|a|=0或|b|=0;⑤a与b都是单位 向量.其中能使 a//b成立的是 (填序号). 7.一辆消防车从 A地去 B 地执行任务，先从 A 地 向北偏东 30°方向行驶 2 km到 D地，然后从 D 北 西 4 南 东 地沿北偏东60°方向行驶6 km到达C地， 从C地又向南偏西 30°方向行驶2 km才到 达B地. (1)在如图所示的坐标系中画出AD,DC,— CB,AB; (2)求B地相对于A地的位移. 1 ?高中数学·必修 第二册 能力练 迁移运用 8.已知在平面内点O固定，且|OA|=2,则A 点构成的图形是 ( ) B.一条直线A.一个点 C.一个圆 D.不能确定 9.(多选)(江苏启东高一期中)已知 a为非零 向量，集合 A={b|b是与a共线的向量}, B={b|b是与a长度相等的向量},C={b b是与a长度相等且方向相反的向量},则 下列关系正确的是 ( ) A.A∩B={a} B.CCA C.CCB D.{a}SA∩B 10.(多选)如图所示，四边形 ABCD,CEFG, CGHD是全等的菱形，则下列结论中一 定成立的是 ( ) H C F D c E A B→→ B.AB与FH共线A.|AB|=|EF| D.CD=FGC.BD与EH共线 ] 11.若 A地位于B地正西方向5 km处，C地 位于A地正北方向 5 km处，则C地相对 于B地的位移是_ 12.如图，在平行四边形 ABCD 中，AC与 BD交于点O,设点集 S={A,B,C,D, O},集合 T={MN|M,N∈S,且 M,N 不重合},则 集 合 T 中元素 的个数 为 D C 0 A4 B 13.如图所示的方格纸是由若干个边长为1 的小正方形拼在一起组成的，方格纸中有 两个定点 A,B,点C为小正方形的顶点， 且|AC|=√5. A B (1)画出所有满足条件的向量AC; (2)求|BC|的最大值与最小值. 创新练 素能培优 14.飞机从 A 地按北偏西15°的方向飞行 1 400 km到达 B地，再从 B地按东偏南 15°的方向飞行1 400 km到达C地，那么 C地在 A 地哪个方向?C地距 A 地 多远? 2 素能提升训练 训练一 平面向量的概念 基础练学考测评 1.B 两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；若 a与 b不共线，则a与b都是非零向量正确，原因是零向量与 任意向量共线；共线的单位向量必相等错误，共线的单 位向量方向也可能相反；两个相等向量的起点、方向、长 度必须都相同错误，因为两个向量相等的条件是长度相 等、方向相同，与起点无关. 2.A 如果一架飞机向东飞行 200 km,再向南飞行 300 km,那么飞机飞行的路程为s= 200+300= 500(km),|a|= √2002+3002=100 √13(km),所以 s>|a|.故选 A. 3.AD 因为点O是平行四边形 ABCD的对角线的交点， 所以O是AC中点，即有AO=0C,A正确；平行四边形 对角线长不一定相等，则|AO|与|BO|不一定相等，B不 正确；点A,O,B不共线，C不正确；平行四边形 ABCD 中，AB//CD,即有AB与CD共线，D正确。故选 AD. 4.C 温度虽有大小却无方向，故不是向量，①错误；a≠b, 但a与b的方向可以相同，②错误；向量的长度可以比 较大小，但向量不能比较大小，③错误；单位向量只要求 长度等于1个单位长度，但方向未确定，④错误；作图易 得⑤正确。 5.解析 此题中，马在 A处有两条路可走，在 B处有三条 路可走，在C处有八条路可走.如图，以 B为起点作有 向线段表示马走了“一步”的向量，符合题意的共3个； 以C为起点作有向线段表示马走了“一步”的向量，符合 题意的共8个.所以共有11个. B 答案 11 6.解析 相等向量一定是共线向量，①能使 a//b;方向相 同或相反的向量一定是共线向量，③能使 a//b;零向量 与任意向量平行，④能使 a//b. 答案 ①③④→ 7.解(1)向量AD,DC,CB,AB,如图所示。 (2)由题意知AD=BC. 北 所以 ADBC,则四边形 ABCD 为平行四边形.所以AB=DC, 则 B地相对于A 地的位移为“北 偏东60°,6 km”. c 60° 30° BD30° 西 A 东 能力练迁移运用 南 8.C 由于|OA|=2,所以A点构 成一个以O为圆心，半径为2的圆.故选C. 9.BCD A × 与a共线且与a 长度相等的向量为a,—a,则 A∩B={a,—a} B √ C √ 与 a长度相等且方向相反的向量为一a,则CG A,CSB D √ 由 A∩B={a,—a},可得{a}SA∩B 10.ABD 由向量相等及共线的概念，结合图形可知C不 一定正确。 11.解析 据题意画出图形如图所示，c 由图可知|BC|=5√2 km,且∠ABC =45°,故C地相对于 B地的位移是 西北方向5√2 km. 答案 西北方向5√2 km 12.解析 由题意，可知从点 A,B,C, A1 B D,0中任取2个不同的点作向量，共有 20个，分别为 AB,AC,AD,AO,BA,BC,BD,Bo,CA,CB,CD,co, DA,DB,DC,DO,OA,OB,oc,OD.由平行四边形的 性质，可知共有8对向量相等：AB=DC,AD=BC,DA =CB,BA=CD,AO=OC,OA=CO,DO=OB,OD= → BO.因为集合中的元素具有互异性，所以集合T中的 元素共有12个. 答案 12 13.解(1)画出所有满足条件的向 C 量AC,即AC?(i=1,2,⋯,8),如 图所示. C(2)由(1)所画的图知，当点C位 C? C C于点C?或C?的位置时，|BC|取 B 得最小值√12+22=√5; 当点C位于点C?或C。的位置时，|BC|取得最大值 √42+52=√41, 故|BC|的最大值为√41,最小值为√5. 创新练素能培优 北14.解 如图所示，AB表示飞机从 A 地按北偏西15°方向飞行到 B地 B C 的位移，则|AB|=1400 km. BC 表示飞机从 B地按东偏南15°方 向飞行到C地的位移，则|BC|= 1 400 km.-→ A 所以AC为从A 地到C地的位移。 在△ABC中，AB=BC=1 400 km,且∠ABC=(90°— 15°)—15°=60°,故△ABC为等边三角形，所以 AC =1 400 km. 所以 C地在 A地北偏东60°—15°=45°,距离 A 地 1 400 km处。 训练二 向量的加法运算 基础练学考测评 1.ACD 对于A,MB+Bo+0M=MO+OM=0,A符 合；对于B,AB+BC=AC,AC不一定是零向量，B不符 合；对于C,OB+0C+BO+Co=(OB+BO)+(OC+ CO)=0+0=0,C符合；对于 D,AB-AC+BD-CD =AB+BD-(AC+CD)=AD-AD=0,D 符合.故 选 ACD. 2.D BA+CD+EF=BA+AF+CB=BF+CB=CF.故 选D. 3.D 因为AC=AB+AD,所以AD=AC-AB=BC,即 AD=BC且AD//BC,所以四边形 ABCD的一组对边平 行且相等，所以四边形 ABCD是平行四边形，故选 D. 50 东