16.2.2 平行线的性质 同步练习 2024--2025学年沪教版七年级数学下册

16.2.2 平行线的性质 一、单选题 1．如图，直线a、b被直线c所截，，若，则等于（    ） A．120 B．130 C．140 D．150 2．下列图形中，由，能得到的是（    ） A．B． C．D． 3．如图，直线a、b被直线c、d所截，若，，，则的度数是（    ） A．105° B．115° C．125° D．135° 4．如图，，直线EF分别交AB，CD于点E，F，EG平分∠BEF，交CD于点G，若，则∠EGF的度数是（    ） A．55° B．50° C．45° D．40° 5．如图，，，，则等于（   ） A． B． C． D． 6．如图，∠ACB=90°，直线lmn，BC与直线n所夹角为25°，则∠a等于（    ） A．25° B．55° C．65° D．78° 7．如图，，平分，交于点D．若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．如图，小明在笔记本的横格线中画了两条线段、，点、、、都在格线上，是上一点．若，，则的度数为（    ） A．32° B．34° C．36° D．38° 9．如图，直线ABCD，点E在CD上，点O、点F在AB上，∠EOF的角平分线OG交CD于点G，过点F作FH⊥OE于点H，已知∠OGD＝148°，则∠OFH的度数为（    ） A．26° B．30° C．32° D．36° 10．如图，AB∥CD，点E，P在直线AB上（P在E的右侧），点G在直线CD上，EF⊥FG，垂足为F，M为线段EF上的一动点，连接GP，GM，∠FGP与∠APG的角平分线交与点Q，且点Q在直线AB，CD之间的区域，下列结论：①∠AEF+∠CGF＝90°；②∠AEF+2∠PQG＝270°；③若∠MGF＝2∠CGF，则3∠AEF+∠MGC＝270°；④若∠MGF＝n∠CGF，则∠AEF∠MGC＝90°．正确的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 二、填空题 11．如图，直线，，则的度数是 ． 12．如图、已知，，则的度数为 ． 13．如图，直线ab，三角板的直角顶点放在直线b上，若∠1＝40°，则∠2＝ °． 14．如图，AD是△ABC的角平分线，DEAC，DE交AB于点E，DFAB，DF交AC于点F，图中∠1与∠2的关系是 ． 15．如图，∠A＝70°，O是AB上一点，直线OD与AB所夹角∠BOD＝83°，要使，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转 度． 16．如图，于点C，交于点B，若，则的度数是 度． 17．如图所示，已知，∶∶∶∶，则 ． 18．如图，已知，∠ABG为锐角，AH∥BG，点C从点B（C不与B重合）出发，沿射线BG的方向移动，CD∥AB交直线AH于点D，CE⊥CD交AB于点E，CF⊥AD，垂足为F（F不与A重合），若∠ECF＝n°，则∠BAF的度数为 度．（用n来表示）    三、解答题 19．如图，直线，，求的度数．   20．如图，直线，点在直线上，且，，求的度数． 21．如图，已知，，求． 22．如图，和相交于点O，，，，求的度数. 23．完成下列证明： 已知：如图，直线与，分别相交于点，，与，分别相交于点，，，．求证：． 证明：∵（已知） 又∵（ ① ） ∴（等量代换） ∴（ ② ） ∴（ ③ ） 又∵（已知） ∴（等量代换） ∴（ ④ ） 24．如图，，，，请将求的过程填写完整． 解：因为，所以 （ ） 又因为，所以． 所以（ ） 所以 （ ）． 因为，所以 ． 25．已知：如图，点D，E分别在AB和AC上，CD平分，，．求证：． 26．已知：如图，BE，DF分别平分∠ABD和∠BDC，且BE⊥DF．求证：AB∥CD． 27．如图，∠ADE+∠BCF=180°,BE平分∠ABC. ∠ADC=2∠E． （1）AD与BC平行吗？请说明理由； （2）AB与EF的位置关系如何?为什么． 解：（1）AD//BC.理由如下： ∵∠ADE+∠ADF=180°（邻补角的定义） ∠ADE+∠BCF=180°(已如） ∴∠ADF=∠ （ ） ∴AD//BC ． （2）AB∥EF,理由如下： ∵BE平分∠ABC （已知） ∴∠ABE=∠ABC（ ） 又∵∠ABC=2∠E. （已知）即∠E=∠ABC ∴∠E=∠ （ ） ∴AB//EF（ ） 28．如图，BD⊥AC于点D，EF⊥AC于点F，DM∥BC，∠1＝∠2＝25°． (1)求∠GFC的度数； (2)求证：∠AMD＝∠AGF． 29．如图，AD平分∠BAC交BC于点D，点F在BA的延长线上，点E在线段CD上，EF与AC相交于点G，． (1)求证： (2)若点H在FE的延长线上，且，，求∠H的度数． 30．如图，在一副三角板中，，，．解答下列问题： (1)如图①，当___________时，； (2)如图②，若，求的度数； (3)如图③，若，求的度数． 31．如图，AB∥CD，点E，F分别在直线AB，CD上，点O在直线AB，CD之间，． (1)如图1，求的值： (2)如图2，当的平分线与的平分线交于点时，求的度数： (3)如图3，直线交、的角平分线分别于点，求的值． 答案 一、单选题 1．A 【分析】利用“两直线平行，同位角相等”可求出∠3的度数，再利用邻补角互补，即可求出∠1的度数． 【解析】解：如图， ∵， ∴∠3=． 又∵∠1+∠3=， ∴． 故选A． 2．B 【分析】根据平行线的性质，逐项判断即可求解． 【解析】解：A、因为，所以，故本选项不符合题意； B、如图， 因为， 所以， 因为， 所以，故本选项符合题意； C、因为，所以，故本选项不符合题意； D、由，不能得到，故本选项不符合题意； 故选：B 3．D 【分析】由题意得∠1＝∠5=100°，然后得出∠5+∠2＝180°，证出，由平行线的性质即可得出答案． 【解析】解：如图 ∵∠1＝∠5=100°，∠2＝80°， ∴∠5+∠2＝180°， ∴， ∴∠4＝∠3＝135°， 故选：D． 4．A 【分析】先根据邻补角的定义求出，再根据角平分线的定义得到，最后根据平行线的性质求解． 【解析】解：∵， ∴， ∵EG平分∠BEF， ∴， ∵， ∴， 故选A． 5．D 【分析】由平行线的性质可知，根据，，可知，进而可知，可求出，再根据对顶角相等即可求出． 【解析】解：∵， ∴∠AEG=∠1=55°， ，， ， ， ∵∠GEF＝∠AEF -∠AEG＝90°-55°=35°， ∴∠2＝∠GEF=35°． 故选：D． 6．C 【分析】先根据mn得出∠1的度数，再由余角的定义求出∠2的度数，根据平行线的性质即可得出结论． 【解析】解：如图， ∵mn，边BC与直线n所夹角为25°， ∴∠1=25°， ∴∠2=90°-25°=65°． ∵lm, ∴∠α=∠2=65°． 故选：C． 7．B 【分析】根据角平分线的定义、平行线的性质和平角的定义进行求解即可． 【解析】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∴； 故选：B． 8．C 【分析】根据平行线的性质求解即可． 【解析】解：由题意得， ∴∠BAD=∠2=119°，∠DCE=∠1=25°， ∴∠ACE=180°-∠BAD=61°， ∴∠3=∠ACE-∠DCE=36°， 故选C． 9．A 【分析】先由平角定义求得∠CGO，再由平行线的性质求得∠BOG，由角平分的定义得∠HOF，最后根据三角形的内角和定理求得结果． 【解析】解：∵∠OGD=148°， ∴∠CGO=180°-∠OGD=32°， ∵ABCD， ∴∠BOG=∠CGO=32°， ∵OG平分∠EOF， ∴∠HOF=2∠BOG=64°， ∵FH⊥OE， ∴∠OHF=90°， ∴∠OFH=180°-∠OHF -∠HOF=26°， 故选：A． 10．A 【分析】①过点F作FH∥AB，利用平行线的性质以及已知即可证明； ②利用角平分线的性质以及平行线的性质得到∠3=2∠2，∠CGF+2∠1+∠3=180°，结合①的结论即可证明； ③由已知得到∠MGC＝3∠CGF，结合①的结论即可证明； ④由已知得到∠MGC＝(n+1)∠CGF，结合①的结论即可证明． 【解析】解：①过点F作FH∥AB，如图： ∵AB∥CD，∴AB∥FH∥CD， ∴∠AEF=∠EFH，∠CGF=∠GFH， ∵EF⊥FG，即∠EFG=∠EFH+∠GFH=90°， ∴∠AEF+∠CGF=90°，故①正确； ②∵AB∥CD，PQ平分∠APG，GQ平分∠FGP， ∴∠APQ=∠2，∠FGQ=∠1， ∴∠3=∠APQ+∠2=2∠2， ∠CGF+∠FGQ+∠1+∠3=∠CGF+2∠1+∠3=180°， 即2∠1=180°-2∠2-∠CGF， ∴2∠2+2∠1=180°-∠CGF， ∵∠PQG=180°-(∠2+∠1)， ∴2∠PQG=360°-2(∠2+∠1)= 360°-(180°-∠CGF)= 180°+∠CGF， ∴∠AEF+2∠PQG=∠AEF+180°+∠CGF=180°+90°=270°，故②正确； ③∵∠MGF＝2∠CGF， ∴∠MGC＝3∠CGF， ∴3∠AEF+∠MGC＝3∠AEF+3∠CGF＝3(∠AEF+∠CGF)= 390°＝270°； 3∠AEF+∠MGC＝270°，故③正确； ④∵∠MGF＝n∠CGF， ∴∠MGC＝(n+1)∠CGF，即∠CGF=∠MGC， ∵∠AEF+∠CGF=90°， ∴∠AEF∠MGC＝90°，故④正确． 综上，①②③④都正确，共4个， 故选：A． 二、填空题 11． 【分析】如图，根据平角的定义（等于的角叫做平角）求出的度数，根据平行线的性质得出，代入求出即可． 【解析】如图，∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 12． 【分析】根据平行线的性质可得，即可求得的度数． 【解析】解：∵，， ∴， ∴． 故答案为：． 13． 【分析】先由直线ab，根据平行线的性质，得出∠3＝∠1＝40°，再由已知直角三角板得∠4＝90°，然后由∠2+∠3+∠4＝180°求出∠2． 【解析】解：已知直线ab， ∴∠3＝∠1＝40°， ∠4＝90°， ∠2+∠3+∠4＝180°， ∴∠2＝180°﹣40°﹣90°＝50°， 故答案为：50． 14．∠1=∠2 【分析】根据角平分线的定义可得∠BAD=∠CAD，再根据两直线平行，内错角相等可得∠1=∠CAD，∠2=∠BAD，从而得解． 【解析】解：∠1=∠2， 理由如下： ∵DEAC， ∴∠1=∠CAD， ∵DFAB， ∴∠2=∠BAD， 又∵AD是△ABC的角平分线， ∴∠BAD=∠CAD， ∴∠1=∠2， 故答案为：∠1=∠2． 15．13 【分析】反向推理，若OD旋转到时，则，求，进而解决此题． 【解析】解：若OD旋转到时，则， ∵， ∴， ∴， ∴要使，直线OD绕点O按逆时针方向至少旋转13度． 故答案为：13． 16．30 【分析】根据平行线的性质求出∠3，根据垂直的定义可得∠HCE＝90°，根据角的和差计算即可． 【解析】解：如图，∵， ∴∠3＝∠1＝60°， ∵， ∴∠HCE＝90°， ∴∠2＝90°－∠3＝90°－60°＝30°， 故答案为：30． 17． 【分析】由条件可得，可表示出，再结合，∶∶∶∶可得求解的度数，进而可求得的度数． 【解析】解：， ， ， 由，：：：：，可设，，， ， 解得， ， ． 故答案为：． 18．n或180﹣n 【分析】分两种情况讨论：当点在线段上；点在延长线上，根据平行线的性质，即可得到结论． 【解析】解：过A作AM⊥BC于M，如图1， 当点C在BM延长线上时，点F在线段AD上，    ∵AD∥BC，CF⊥AD， ∴CF⊥BG， ∴∠BCF＝90°， ∴∠BCE+∠ECF＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠BEC＝90°， ∴∠B+∠BCE＝90°， ∴∠B＝∠ECF＝n°， ∵AD∥BC， ∴∠BAF＝180°﹣∠B＝180°﹣n°， 过A作AM⊥BC于M，如图2，当点C在线段BM上时，点F在DA延长线上，    ∵AD∥BC，CF⊥AD， ∴CF⊥BG， ∴∠BCF＝90°， ∴∠BCE+∠ECF＝90°， ∵CE⊥AB， ∴∠BEC＝90°， ∴∠B+∠BCE＝90°， ∴∠B＝∠ECF＝n°， ∵AD∥BC， ∴∠BAF＝∠B＝n°， 综上所述，∠BAF的度数为n°或180°﹣n°， 故答案为：n或180﹣n． 三、解答题 19．解：， ， 又， ． 20．解：∵直线， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵点在直线上， ∴， ∴． 21．解：∵， ∴， ∴． 22．解：， ， ． 23．∵（已知）， ∵（对顶角相等）， ∴（等量代换）， ∴（同位角相等，两直线平行）， ∴（两直线平行，同位角相等）． 又∵（已知）， ∴（等量代换）， ∴（内错角相等，两直线平行）． 24．解：因为，所以（两直线平行，同位角相等） 又因为，所以． 所以（内错角相等，两直线平行） 所以（两直线平行，同旁内角互补）． 因为，所以． 故答案为：；两直线平行，同位角相等；内错角相等，两直线平行；；两直线平行，同旁内角互补；． 25．证明：∵CD平分（已知）， ∴（角平分线的定义）． ∵（已知）， ∴（等量代换）． ∴（同位角相等，两直线平行）． 26．解：证明：∵BE⊥DF， ∠BFD=90°， ∴∠DBE+∠BDF=90°， ∵BE，DF分别平分∠ABD和∠BDC， ∴∠ABE=∠DBE=∠ABD，∠BDF=∠EDF=∠BDE， ∴∠ABD+∠BDE=2∠DBE+2∠BDF=180°， ∴AB∥CD． 27．解：（1）AD//BC.理由如下： ∵∠ADE+∠ADF=180°（邻补角的定义） ∠ADE+∠BCF=180° (已如） ∴∠ADF=∠BCF（ 同角的补角相等 ） ∴AD//BC（同位角相等，两直线平行） 故答案为：BCF，同角的补角相等，同位角相等，两直线平行； （2）AB∥EF,理由如下： ∵BE平分∠ABC （已知） ∴∠ABE=∠ABC（ 角平分线定义 ） 又∵∠ABC=2∠E. （已知）即∠E=∠ABC ∴∠E=∠ ABE（ 等量代换 ） ∴AB//EF（内错角相等，两直线平行）． 故答案为：角平分线定义、ABE、等量代换、内错角相等，两直线平行． 28．（1）解：∵BD⊥AC，EF⊥AC， ∴BD∥EF，∠EFC＝90°， ∴∠EFG＝∠1＝25°， ∴∠GFC＝90°+25°＝115°； （2）证明：∵BD∥EF， ∴∠2＝∠CBD， ∴∠1＝∠CBD， ∴GF∥BC， ∵∠AMD＝∠AGF， ∴MD∥GF， ∴∠AMD＝∠AGF． 29．（1）证明：∵∠BDA+∠CEG=180°，∠ADB+∠ADE=180°，∠FEB+∠CEF=180° ∴∠ADE+∠FEB=180°， ∴ADEF； （2）解：∵AD平分∠BAC， ∴∠BAD=∠CAD， ∵∠EDH=∠C， ∴HDAC， ∴∠H=∠CGH， ∵ADEF， ∴∠CAD=∠CGH， ∴∠BAD=∠F， ∴∠H=∠F， ∵∠F=40°， ∴∠H=40°． 30．（1）解：∵∠CBE =∠E= 60°， ∴CB//CD， 故答案为60°； （2）解：∵DE//AB，∠D = 90°，∠EBD = 30° ∴∠D+∠ABD = 180° ∴∠D+∠ABC+∠EBC+∠EBD= 180° ∴∠EBC=180°-90°-45°-30= 15° （3）解：如下图，延长CB交于EF于H点， ∵EF//CA ， ∴∠EHB=∠ACB = 90°， ∴∠EBH = 90°-∠E= 30°， ∴∠EBC=180°-∠EBH=150°． 31．（1）解：如图1所示，过点O作， ∵， ∴， ∴∠BEO+∠EOH=180°，∠DFO+∠FOH=180°， ∴∠BEO+∠DFO+∠EOH+∠FOH=360°，即∠BEO+∠DFO+∠EOF=360°， ∴∠BEO+∠DFO=360°-∠EOF=260°； （2）解：如图2所示，过点M作， ∵， ∴， ∴∠EMN=∠BEM，∠FMN=∠DFM， ∵EM平分∠BEO，MF平分∠DFO， ∴， ∴ （3）解：如图3所示，过点M作，过点N作，则， ∴∠PME=∠BEM，∠PMN=∠MNQ，∠QNF=∠NFC， ∴∠EMN -∠FNM =∠EMP+∠PMN -∠MNQ -∠QNF =∠EMP -∠QNF =∠BEM -∠NFC， ∵NF平分∠CFO，EM平分∠BEO， ∴， ∴； 如图1所示，∠BEO+∠EOH=180°，∠HOF=∠CFO，∠HOF+∠EOH=∠EOF=100°， ∴180°-∠BEO+∠CFO=100°， ∴∠BEO -∠CFO=80°， ∴． 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