6.4.3 余弦定理、正弦定理-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

第六章 平面向量及其应用 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 [学习任务] 1.掌握余弦定理及其推论. 2.能应用余弦定理判断三角形的形状. 自主学习探新知 知识点一 余弦定理 文字 三角形中任何一边的平方，等于其他两边平方的 表述 和减去这两边与它们夹角的余弦的积的两倍 a2= _,b2= _,公式 c=表达 cos A=2+26-a;cos B=2+2a-6;cos C 变形 =a2+B- 知识点二 解三角形 1.一般地，三角形的三个角 A,B,C和它们的对边 a,b,c叫做三角形的 2.已知三角形的几个元素求 的过程叫做 解三角形. 互动探究解疑难 要点归纳 重难实破 探究一 已知两边及一角解三角形 [例1] (1)(链接教材第 43 页例5、第 44 页例6) 在△ABC中，已知b=60 cm,c=60√3 cm,A= 6,则 a= cm; (2)在△ABC中，若 AB=√5,AC=5,且cos C= 910,则 BC= 探究二 已知三角形三边或三边关系解三角形 [例2] (1)在△ABC中，已知 a=2√6,b=6+ 2√3,c=4√3,求 A,B,C. (2)已知△ABC中，a:b:c=2:√6:(√3+1), 求△ABC中各角的度数. 规律方法[|---------------- 已知两边及一角解三角形的两种情况 (1)若已知角是其中一边的对角，可用余弦定理列 出关于第三边的一元二次方程求解； (2)若已知角是两边的夹角，则直接运用余弦定理 求出另外一边，再用余弦定理和三角形内角和定理求 其他角。 跟踪训练 1.(1)(浙江舟山期中)在△ABC中，内角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,若a=1,b=2,C=60°,则c ( )= B.√3A.3 D.√5-2√3C.√7 (2)在△ABC中，A=120°,AB=5,BC=7,则 AC= . Ⅱ规律方法|l- 已知三角形三边解三角形的方法 先利用余弦定理的推论求出一个角的余弦，从而 求出第一个角；再利用余弦定理的推论(或由求得的第 一个角利用正弦定理)求出第二个角；最后利用三角形 的内角和定理求出第三个角。 25 ?高中数学·必修 第二册 跟踪训练 2.(1)(广东揭阳期中)在△ABC中，角 A,B,C的 对边分别为a,b,c,若a2+c2—b2=√3 ac,则角 B 的值为 ( ) B.3A.6 D.受或营56c.6或 (2)(辽宁沈阳高一月考)在△ABC中，内角 A, a2-(b+c2=B,C所对的边分别为a,b,c.若 —1,则 A= ( ) A.120° B.45° C.60° D.30° 探究三 判断三角形的形状 [例3] 在△ABC中，若(a—ccos B)·b=(b— ccos A)a,判断△ABC的形状. 变式训练 (变条件)若将例题中的条件“(a—ccos B)b=(b— ccos A)a”换为“acos A+bcos B=ccos C”,其他条 件不变，试判断三角形的形状. 易错 忽视构成三角形的条件而致误 警示 [典例] 已知钝角三角形 ABC的三边a=k,b=k +2,c=k+4,求实数k的取值范围. [错解]∵c>b>a,且△ABC为钝角三角形， ∴C为钝角. cos C=a2+a-=由余弦定理的推论得 2R(k+2)2<0. ∴k2—4k—12<0,解得—2<k<6. 又∵k为三角形的边长，∴k>0. 综上所述，实数k的取值范围为(0,6). [错解分析] 忽略三角形的构成条件———两边 之和大于第三边。 [正解]∵c>b>a>0,且△ABC为钝角三 角形， ∴C为钝角。 cos C=a2+-2=由余弦定理的推论得 2-(k+-2)2<0. ∴k2—4k—12<0,解得-2<k<6. 由三角形的两边之和大于第三边，得k+(k+2) >k+4,∴k>2. 综上所述，实数k的取值范围为(2,6). 误区警示|l- 由于余弦定理及其推论的变形较多，且涉及平方 和开方等运算，所以可能会因不细心而导致错误.在利 用余弦定理求出三角形的三边后，还要判断一下是否 满足构成三角形的条件. 规律方法----------------------------- 已知三角形中的边角关系式判断三角形的形状， 有两条思路：其一化边为角，再进行三角恒等变换求出 三个角之间的关系式；其二化角为边，再进行代数恒等 变换求出三条边之间的关系式. 提示请完成《素能提升训练》训练十一 第 2 课时 正弦定理 [学习任务] 1.掌握正弦定理的内容及其证明方法. 2.能运用正弦定理与三角形内角和定理解决简单的解三角形问题. 26 第六章 平面向量及其应用 自主学习探新知 知识点 正弦定理 文字语言 在一个三角形中，各边和它所对角的 _的比相等 符号语言 sinA=sin B=sinc=2R(R为△ABC的外接圆的半径) 定理变形 设三角形的三边长分别为a,b,c,外接圆半径为R, (1)a=2Rsin A,b=2Rsin B,c=2Rsin C. (2)sin A=2R,sin B=2R,sin C=2R (3)a:b:c=sin A:sin B:sin C. (4)sinA=sin B=sinc=sin A+sibB+sinc 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 已知两角及一边解三角形 [例1] 在△ABC中，已知c=10,A=45°,C=30°, 解这个三角形. 探究二 已知两边及一边的对角解三角形 [例2](链接教材第47 页例8)在△ABC中，已知 a=√3,b=√2,B=45°,解此三角形. Ⅱ规律方法|Ⅱ 解决已知两角及一边类型的解题方法 (1)若所给边是已知角的对边时，可由正弦定理求 另一边，再由三角形内角和定理求出第三个角，最后由 正弦定理求第三边。 (2)若所给边不是已知角的对边时，先由三角形内 角和定理求第三个角，再由正弦定理求另外两边. 变式训练 (变条件)若本例中“B=45°”变为“A=60°”其他 条件不变，解此三角形. 跟踪训练 1.(1)(浙江温州高一期末)在△ABC中，内角 A, B,C所对的边分别是a,b,c,已知b=2,A=45°, B=60°,则 a= ( ) A.23 C.2√2B.2 D.4 (2)在△ABC中，内角 A,B,C所对的边分别为 a,b,c.若b=5,B=蛋，cos A=232,则a=_ . 规律方法[1----------------------------- 已知三角形两边和其中一边的对角解三角形时的方法 (1)首先由正弦定理求出另一边对角的正弦值。 (2)如果已知的角为大边所对的角时，由三角形中 大边对大角、大角对大边的法则能判断另一边所对的 角为锐角，由正弦值可求锐角唯一. (3)如果已知的角为小边所对的角时，则不能判断 另一边所对的角为锐角，这时由正弦值可求两个角，要 分类讨论。 27 ?高中数学·必修 第二册 跟踪训练 2.(1)(广东揭阳高一期中)在△ABC中，内角 A, B,C所对的边分别是 a,b,c.已知 A=30°,a=3, b=3√3,则 B的大小为 ( ) A.30°或150° B.30° C.60°或120° D.60° (2)在△ABC中，内角 A,B,C的对边分别为a, b,c.已知a=4√3,b=4√2,B=45°,则 A= ( ) A.60° B.120° C.60°或120° D.以上答案都不对 探究三 判断三角形的形状 [例3] (1)若acos B=bcos A,则△ABC是 三角形； (2)若acos A=bcos B,则△ABC是 三 角形. 规律方法|1----------------------------- 利用正弦定理判断三角形形状的方法 (1)化边为角.将题目中的所有条件，利用正弦定 理化边为角，再根据三角函数的有关知识得到三个内 角的关系，进而确定三角形的形状； (2)化角为边.将题目中的所有条件，利用正弦定 理化角为边，再根据代数恒等变换得到边的关系(如 a=b,a2+b2=c2),进而确定三角形的形状. [注意] 本例也可利用余弦定理化成边求解. 跟踪训练 3.在△ABC中，已知 a2tan B=b2tan A,试判断 △ABC的形状. 教 材 用正弦定理解三角形时解的 拓展 个数的确定 在初中我们学习了三角形全等的判定，你还 记得三角形全等的判定方法吗?两边和其中一 边的对角分别相等的两个三角形不一定全等，即 两边和其中一边的对角分别相等不能作为判定 两个三角形全等的依据. 如图，在△ABC和△ADC中，AC = AC,CB= CD,∠CAD = ∠CAB,其中 A是CB,CD的对 DA 角，△ABC与△ADC不全等. c B 也就是说，已知两边和其中一边的对角解三 角形时，解的个数不唯一，分为两解、一解和无解 三种情况. □问题探究 [例1] 你能从代数的角度分析解的情况吗? [提示] 在△ABC中，已知a,b,A,由正弦定理 可得sin B=isin A. (1)当 sin B>1 时，这样的 B不存在，即三角形 无解； (2)当 sin B=1时，B=90°,若A<90°,则三角形 有一解，否则无解； (3)当 sin B<1 时，B有两个(一个为锐角，一个 为钝角),其中设锐角为α,钝角为β,则当A+a> 180°时，三角形无解；当 A+a<180°,且 A+β< 180°时，有两解；当 A+a<180°,且A+β>180° 时有一解. [例2] 你能从几何的角度分析解的情况吗? [提示] 在△ABC中，已知a,b和A,解三角形. 当A为锐角时，如图所示. cC C cb× bb b>a aaa a/ AA A- BA- A-B B B? B? a<bsinA,无解 a=bsin A, b sin A<a<b, 有两解 a≥b,有一解 有一解 当 A为直角或钝角时，如图所示. C c a Ca b a ab bb -B A? BA A B AB a≤b,无解 a>b,有一解 a≤b,无解 a>b,有一解 □牛刀小试 1.在△ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a, b,c,a=2,b=√6,A=45°,则满足条件的三角形 有 ( ) A.1个 B.2个 D.无法确定C.0个 2.在△ABC中，已知角A,B,C所对的边分别为a, b,c,a=x,b=2,B=45°,若三角形有两个解，则 x的取值范围是 ( ) B.x<2A.x>2 D.2<x<2√3C.2<x<2√2 提示、请完成《素能提升训练》训练十二 28 第六章 平面向量及其应用 第 3 课时 余弦定理、正弦定理应用举例 [学习任务] 1.能将实际问题转化为解三角形问题. 2.能够用正、余弦定理求解与距离、高度、角度有关的实际应用问题. 自主学习探新知 知识点 实际应用问题中的有关名词、术语 1.基线的概念与选取原则 (1)基线：根据测量的需要而 叫做基线； (2)选取原则：为使测量具有较高的精确度，应根 据实际需要选取合适的基线长度.一般来说，基 线越长，测量的精确度越高. 2.方向角：从指定方向线到目标方 北 向线所成的小于90°的水平角. 30% 如图，北偏东30°,南偏东45°% 西- 东 45° 南 互动探究解疑难 3.仰角和俯角 铅垂线 视线仰角 水平线 俯角 视线 (1)前提：在视线所在的垂直平面内； (2)仰角：视线在水平线 时，视线与水 平线所成的角； (3)俯角：视线在水平线 时，视线与水 平线所成的角. 要点归纳 重难窘破 探究一 测量距离问题 [例1](1)(链接教材第 49 页例9)如图①,为了 测量河的宽度，在一岸边选定两点 A,B,观测对 岸的标记物C,测得∠CAB=30°,∠CBA=75°, AB=120 m,则河的宽度是 m; c A D 图① B (2)如图②,为测量河对岸 A B A,B两点间的距离，沿河岸 选取 相距 40 m的 C,D 两 C D点，测 得 ∠ACB= 60°, 图② ∠BCD=45°,∠ADB=60°,∠ADC=30°,则 A,B两点的距离是 m. 规律方法|l---------- 测量距离的基本类型及方案 A,B两点间 A,B两点间 类型 A,B两点都不可达或不 可视，但有一 不可达 可视 点不可达 BA AA B 图形 b a B CC a C a D 续表 以 点 A 不 先测 角 C, 可达为例， AC=b,BC= 先测角 B, 方法 a,再用余弦 C,BC=a, 定理求 AB 再用正弦定 理求 AB 测得CD=a, ∠BCD,∠BDC, ∠ACD,∠ADC, ∠ACB, 在△ACD中用正弦 定理求AC; 在△BCD中用正弦 定理求 BC; 在△ABC中用余弦 定理求AB 跟踪训练 1.(1)(江苏宿迁高一期中)海面上有相距10 n mile 的 A,B两个小岛，从 A岛望C岛和 B岛成 60° 的视角，从 B岛望C岛和A岛成75°的视角，则 B,C间的距离为 ( ) B.103Gn mileA.10√3 n mile C.5√2 n mile D.5√6 n mile (2)某人从出发点 A向正东走x m后到 B,然后 向左转150°再向前走3m到C,测得△ABC的面 3√32 积为m2,此人这时离出发点的距离为()4 B.√2 mC.√21 m D.√3 mA.3 m 29 ?高中数学·必修 第二册 探究二 测量高度问题 [例2] 如图，山脚下有一小塔 AB,在塔底 B测得 山顶C的仰角为60°,在山顶C测得塔顶A的俯 角为45°,已知塔高AB=20 m,求山高CD. c A 55 55 D B 规律方法[1----------------- 测量高度的基本类型及方案 类型 简图 计算方法 A 测 得 BC= a, 底部 ∠BCA=C,AB= 可达 a·tan Cc a B 测得CD= a及C A 与∠ADB的度数. 点 B与 先由正弦定理求 C,D共 出 AC或AD,再解 线 莫c Ba 直角三角形得 AB 底部不可达 的值 D 测得 CD= a 及 A ∠BCD,D,∠ACB 点B与 的度数。B C,D 在△BCD中，由正 不共线 弦定理求得 BC, C a D 再解直角三角形 得AB的值 跟踪训练 2.(1)如图，飞机的航线和山顶在同一个铅垂平面内， 已知飞机的高度为海拔20 000 m,速度为900 km/h, 飞行员先看到山顶的俯角为30°,经过80 s后又 看到山顶的俯角为75°,则山顶的海拔高度为 ( ) 少 少 30° 75° A.5000(√3+1)m B.5 000(√3-1)m C.5000(3-√3)m D.5000(5—√3)m (2)如图所示，在地面上共线的三点 A,B,C处测 得一建筑物的仰角分别为30°,45°,60°,且 AB= RBC=60 m,则建筑物的高度 为 ( ) A.15√6 m 30° >AB.20√6 m 0k 602 45° BC.25√6 m CD.30√6 m 探究三 测量角度问题 [例3] 如图所示，A,B是海 面上位于东西方向相距5(3 D 北|45 60+北 BAp +√3)n mile的两个观测点. 现位于 A点北偏东 45°方 向、B点北偏西60°方向的 D点有一艘轮船发出求救 60° c2 信号，位于 B点南偏 西 60°且与 B点相 距 20√3 n mile的C点的救援船立即前往营救，其航 行速度为30 n mile/h,则该救援船到达 D点需 要多长时间? Ⅱ规律方法|Ⅱ 求解实际应用中的角度问题时，一般把求角的问 题转化为解三角形的问题，基本方法是： (1)明确各个角的含义； (2)分析题意，分析已知与所求，画出正确的示 意图； (3)将图形中的已知量与未知量之间的关系转化 为三角形的边与角的关系，运用正、余弦定理求解. 跟踪训练 3.某海上养殖基地 A,接到气象部门预报，位于基 地南偏东60°相距 20(√3+1)海里的海面上有一 台风中心，影响半径为 20 海里，正以每小时 10√2海里的速度沿某一方向匀速直线前进，预 计台风中心将从基地东北方向刮过且(√3+1)小 时后开始影响基地持续 2 小时，求台风移动的 方向. 提示请完成《素能提升训练》训练十三 30 在Rt△ACD中，∠ACD=90°,|DCD_ C =|AB|=12.5,AD[=25,所以 ∠CAD=30°,即渡船要垂直地渡过 长江，其航向应为北偏西30°. (2)设物体在力F作用下的位移为s, A B 则所做的功为W=F·s. 因为AB=(7,0)—(20,15)=(-13,-15). 所以W?=F?·AB=(3,4)·(-13,-15) =3×(-13)+4×(-15)=-99(焦), W?=F?·AB=(6,-5)·(-13,-15) =6×(-13)+(一5)×(-15)=-3(焦). [变式训练] 1.解 W=F·AB=(F?+F?)·AB =[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15) =(9,-1)·(—13,—15) =9×(-13)十(-1)×(-15) =—117+15=—102(焦).—→ 2.解 由题意，AB=(7,0)—(20,15)=(-13,-15), F?=(1,1),F?=(4,-5). F做的功W?=F?·s=F?·AB=(1,1)·(-13, —15)=—28(焦). F?做的功W?=F?·s=F?·AB=(4,-5)·(-13, —15)=23(焦). [跟踪训练] 3.解析 (1)如图①所示，该物体在水平方向上的速度为 Iv?I=Iv。|·cos 60°=10×1=5(m/s). (2)如图②所示，由于α=60°,∴F?的大小为|F合|· sin60°=10×3=5√3(N). F? F v? v? 60° α△ F?V? 图① 答案(1)5(2)A 图② 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 【自主学习探新知】 知识点一 b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 知识点二 1.元素 2.其他元素 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解析](1)由余弦定理得 a=√60°2+(60(3)2-2×60×60J3×cos =√4×602-3×602=60(cm). (2)由余弦定理得(√5)2=52+BC-2×5×BC×0, 所以 BC2-9BC+20=0,解得 BC=4或5. [答案](1)60 (2)4或5 [跟踪训练] 1.解析(1)因为a=1,b=2,C=60°, 所以c=√a2+b2-2abcos C =√12+22-2×1×2cos 60°=√3. (2)由余弦定理，得 49= AC2+25-2×5×AC× cos 120°,整理得AC2+5AC-24=0,解得AC=3或 AC =—8(舍去). 答案(1)B (2)3 探究二 [例2] [解](1)根据余弦定理，cos A=+ba =6+26+2(3)43(262=. ∵A∈(0,π),∴A=6, osC=2+6-2=(252×2(6×(6+2-34)3°-. ∵C∈(0,π),∴C=4 ∴B=π-A-C=π-6-4=12π ∴A=6,B=12π,C=4. (2)已知a:b:c=2:√6:(√3+1),令a=2k,b=√6k, c=(√3+1)k(k>0), 由余弦定理的推论，得 cos A=6+2bca=2×6×343+1)2=2. ∵0°<A<180°,∴A=45°. cos B=22acB=22+2×3×13+(62=2 ∵0°<B<180°,∴B=60°% ∴C=180°—A—B=180°—45°—60°=75°. [跟踪训练] 2.解析(1)由余弦定理的推论，知cos B=a2+2a-3= Sac=5.又o<B<n,故B=6 ab+c=-1,(2)因为 ,所以a2—(b+c)2=—bc,即 a2-b2—c2-2bc=-bc,所以a2=b2+c+bc,由余弦定 理得cosA=+2bca=-2..因为0°<A<180°,所以 A=120°,故选A. 答案(1)A (2)A 探究三 [例3] [解] △ABC为直角三角形或等腰三角形.理由 如下： (角化边)∵(a—ccos B)b=(b—ccos A)a, ∴由余弦定理可得 (a-ca2+a-2)b=(b-co+2bca)a, 整理得(a2+b2—c2)b2=(a2+b2—c2)a2, 即(a2—b2)(a2+b2—c2)=0, ∴a2+b2—c2=0或 a2=b2. ∴a2+b2=c2或a=b. 故△ABC为直角三角形或等腰三角形. 9 [变式训练] 解 △ABC为直角三角形.理由如下： 由余弦定理知cos A=+28-a, cos B=2+2c2-6,cosC=a2+2a-2, 代入已知条件得 a.6+2b-a+b·2+2ca-b+c·22a?=0, 通分得a2(b2+c2—a2)+b2(a2+c2-b2)+c2(c2-a2— b2)=0, 展开整理得(a2-b2)2=c?. ∴a2—b2=±c2,即a2=b2+c2或b2=a2+c2. 根据勾股定理知△ABC是直角三角形. 第2课时 正弦定理 【自主学习探新知】 知识点 正弦 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解] ∵A=45°,C=30°, ∴B=180°—(A+C)=105°. 由snA=sinc得a=sin A-10×s3045°=10、2. 由sinB=sinc得b=sinB=10ssi305=20sin75, sin 75°=sin(30°+45°) =sin 30°cos45°+cos 30°sin 45°=2+6, ∴.b=20×V2+√?=5√2+5√6. [跟踪训练] 1.解析(1)已知b=2,A=45°,B=60°,由正弦定理可得-snA=snp,则a .故选A. cos A=232,o<A<π,所以 sin A=(2)因 为 a=sinA=532√1-cos2A=3,所以由正弦定理得 532答案(1)A(2) 探究二 [例2] [解] 由正弦定理sin A=sin B,知 sin A= asinB=3. ∵b<a, ∴A=60°或120°,当 A=60°时，C=180°-A—B=75°, ∴c=sinBC=ssi455°=G+/2; 当 A=120°时，C=180°-A-B=15°, ∴c=sin C=ssn 455°=G-√2 故当A=60°时，C=75°,c=G+2; 当A=120时，C=15°,c=6-v2 [变式训练] snA=sinB,知sinB=bsinA=2,解 由正弦定理 ∵b<a,∴B=45°,∴C=75°, ∴.c=sinBC=2Xs?575°=G+2. [跟踪训练] 2.解析(1)已知 A=30°,a=3,b=3√3,则由正弦定理可 得smB=mA_38=停∵b>a,B>A. 又0°<B<180°,∴B的大小为60°或120°,故选C. saA=smp,得sinA=asinB=.(2)由正弦定理 a>b,∴A>B,∴A=60°或120°??选C. 答案 (1)C(2)C 探究三 sinA=sinB,得[例 3] [解析] (1)由正弦定理 6=sinB a=cos食，所以nB=cosA又 acos B=bcos A,所以- 所以 sin Acos B=sin Bcos A, 即 sin Acos B-sin Bcos A=0,故 sin(A—B)=0. 因为 A,B是三角形内角， 所以 A-B=0,则 A=B, 故△ABC是等腰三角形. sinA=sinB,得号=sinA(2)由正弦定理- sin B-cos B,又 acosA=bcos B,所以号=cos B,所以 所以 sin Acos A=sin Bcos B, 所以2sin Acos A=2sin Bcos B,即 sin 2A=sin 2B. 因为 A,B为三角形内角，所以2A=2B或2A+2B=π, 得A=B或A+B=2, 故△ABC是等腰三角形或直角三角形. [答案](1)等腰(2)等腰或直角 [跟踪训练] csB=6cosA,3.解 解法一：由已知得 由正弦定理得a=2Rsin A,b=2Rsin B(R为△ABC的 4ksos Bin B=4Rsio BAin A,外接圆半径),得 sin Acos A=sin Bcos B, sin 2A=sin 2B,即2A=2B或2A=π—2B, ∴A=B或A+B=2 ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形. cos B=6csA,解法二：由已知得 由正弦定理 sin A=2R,sin B=2k(R为△ABC的外接 圆半径),得acos A=bcos B, 即 sin Acos A=sin Bcos B, sin 2A=sin 2B,即2A=2B或2A=π—2B, ∴A=B或A+B=2 ∴△ABC为等腰三角形或直角三角形. 10 [牛刀小试] 1.B ∵bsin A=√6×2=√3,:.bsin A<a<b. ∴满足条件的三角形有2个. sin A=asinB=2.C 由题意知 a>b,则 x>2,又由 <1,可得x<2√2,x的取值范围是2<x<2√2. 第 3课时 余弦定理、正弦定理应用举例 【自主学习探新知】 知识点 1.(1)确定的线段 3.(2)上方 (3)下方 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解析](1)tan 30°=AD,tan 75°=OB, 又AD+DB=120,∴ADtan 30°=(120—AD)tan 75°, ∴AD=60√3,故CD=60. 故河的宽度为60 m. (2)在△BCD 中，∠BDC= 60°+ 30°= 90°, ∠BCD=45°, ∴∠CBD=90°-45°=∠BCD, ∴BD=CD=40,BC=√BD2+CD2=40√2. 在△ACD中，∠ADC=30°,∠ACD=60°+45°=105°, ∴∠CAD=180°—(30°+105°)=45°% Ac=Csin 4530°=20√2由正弦定理，得 在△ABC中，由余弦定理，得 AB2=AC2+BC-2AC×BC×cos∠BCA=(20√2)2+ (40√2)2-2×20√2×40√2cos 60°=2 400, ∴AB=20√6, 故 A,B两点之间的距离为20√6 m. [答案](1)60 (2)20√6 m [跟踪训练] 1.解析 (1)如图，由题意得 A= 60°,B=75°,AB=10,则C=45°, 所以sAc=sBC,,所以 BC=-,即B,C间的距离 B75° 1060%C A 为5√6 n mile.故选D. (2)如图所示，由题意得∠ABC=30°,AB=x,BC=3, ∵SAmc=-AB·BCsin∠ABC=3x=343,∴x= √3.由余 弦定理得 AC2= AB2+ BC2— 2AB· BCcos∠ABC=12-6√3cos 30°=3,∴AC=√3,即此人 这时离出发点的距离为√3 m.故选D. C A 答案(1)D(2)D B 探究二 [例2] [解] 如图，过点C作CE//DB,延长 BA交CE 于点E, 设CD=x m,则 AE=(x-20)m, ttan 60°=BD, C E 45° ∴BD=tC6-=a(m). 在△AEC中，z-20=3w, 解得x=10(3+√3)(m). 故山高CD为10(3+√3)m. [跟踪训练] A 60° D B 2.解析(1)如图，过点C作CDLAB交AB的延长线于 点D.由题意知 A=30°,∠CBD=75°,则∠ACB=45°, AB=900×80×3600=20(km). B DA 在△ABC中，由正弦定理，得 BC=sn∠ACB=10√2(km). 在△BCD中，CD=BCsin∠CBD C =BC·sin 75°=10√2×sin 75°=(5+5√3)km, 所以山顶的海拔高度为5000(3—√3)m.故选C. (2)设建筑物的高度为h m.由题图知，PA=2h,PB=√2h, PC=2√3h.在△PBA和△PBC中，由余弦定理得 /PBA--0.PBC-2×0-b ②.∵cos∠PBA+cos∠PBC=0③,由①②③,解得h= 30√6或h=-30√6(舍去).即建筑物的高度为30√6 m. 答案(1)C(2)D 探究三 [例3] [解] 由题意，知 AB=5(3+√3)n mile, ∠DBA=90°-60°=30°,∠DAB=90°—45°=45°, ∴∠ADB=180°—(45°+30°)=105°. sinBDAB=sin2ADB在△DAB中，由正弦定理得- 即BD=ABsiZADB=5(3+1310545° =sin 455(3603)sos 45sin?o=10√3(n mile). 又∠DBC=∠DBA+∠ABC=60°, BC=20√3 n mile, ∴在△DBC中，由余弦定理得 CD= √BD2+BC2-2BD·BCcos/DBC =√300+1200-2×10√3×20√3×1=30(n mile), 30=1(h).则救援船到达D点需要的时间为 [跟踪训练] 3.解 如图所示，设预报时台风中心为 北 D B,开始影响基地时台风中心为C,基 地刚好不受影响时台风中心为D,则 CA B,C,D在同一直线上，且 AD= 20海里，AC=20海里。 60° B南 11 由题意 AB=20(√3+1)海里，DC=20√2海里， BC=(√3+1)·10√2=10(√6+√2)海里。 在△ADC中，因为 DC2=AD2+AC2, 所以∠DAC=90°,∠ADC=45°% 在△ABC中，由余弦定理的推论得 cos ∠BAC=AC2ACBABBC=3. 所以∠BAC=30°?因为B位于A南偏东60°, 60°+30°+90°=180°,所以点D位于A的正北方向。 又因为∠ADC=45°, 所以台风移动的方向为北偏西 45°% 专题1 三角形中的范围或最值问题 题型一 S△Anc=4a2=2bcsin A,即 a2=1.C 根据题意，有 2bcsin A.应用余弦定理，可得b2+c2-2bccos A=a2= t=6,,于是t+1—2tcos A=2tsin A.于是2bcsin A,令 2√2 sin(A+4)=t+2tsin A+2tcos A=t2+1,所以 -2 t+1≤2√2,解得t的最大值为√2+1.,从而； 2.解(1)由正弦定理，bsin B—csin C=(b—a)sin A→b2 —c2=(b—a)a→c2=a2+b2—ab. 又c=a2+b2-2abcos C,得 cos C=1>c=3. (2)因为c=√3,所以snc=sinA=sinB=2,a-b= 2(sinA-sin B)=2[sinA-sin(π-A-3)]=2[sinA -sin(A+g)]=2sin(A-哥).因为三角形ABC为锐 自二的都--A解得6<A<2. 令t=A-3,所以t∈(-6,6),-1<a-b=2sin(A 3)=2sint<1,所以a-b∈(-1,1). 题型二 3.解(1)已知 asin A+bsin B=csin C+√2bsin A, 由正弦定理可得 a2+b2=c2+√2ab, 即a2+b2—c2=√2ab, 所以cos C=a2+2a-2=2ab=2. 因为C∈(0,π),所以C=4 (2)由余弦定理可得c2=a2+b2-2abcos C=a2+b2— √2ab=4, 又cD=_(CA+CB),则CD2=4(CA+CB)2= 4(CA2+CB3+2C·CB)=4(b2+a2+2abcos 4) =4(4+2√2ab)=1+2ab..由正弦定理可得sinA= sin B=sinc=2√2,所以a=2√2 sin A,b=2√2 sin B= 2√2sin(4-A)=2cos A+2sin A,所以ab=4√2 sin2A +4√2 sin Acos A=4√2·1-cos2A+2√2 sin 2A= 4sin(2A-4)+2√2. -A解得4<A<2,则2A-4由题意得 ∈(4,4),所以sin(2A-4)∈[,1],所以ab∈ (4√2,4+2√2),所以CD2∈(5,3+2√2),所以中线CD 长的取值范围为(√5,1+√2). 4.解 (1)设△ABC的内角∠A,∠B,∠ACB的对边分别 为a,b,c,因为 sin(∠B+∠ACB)=sin(π-A)=sin A, sinA-sin∠ACB=sin(ZB+∠ACB), 所以 sin A(sin A-sin∠ACB)=sin2B-sin2∠ACB. 由正弦定理得a(a—c)=b2-c2,整理得a2+c2-b2=ac. 由余弦定理得 cos B=2+2acb=2ac=1 又∠B∈(0,否),所以∠B=g. (2)设AB边上的高为h,则h=asin B=asing=3a. a=m2AB-(-AACB)=由正弦定理得 2tan2ACB+2, 由△ABC为锐角三角形，得 --20<Mos 则tan∠ACB>3,所以a=2t2ACp+z∈(2,2), (J3).43<h<J3,从而 ,故 AB边上的高的取值范围是 题型三 ab=sin A-sinB=a二6可得5.解(1)由正弦定理 cos B=2.又 B∈(0,b2=a2+c2—ac,再由余弦定理 2R=mF-=B=3.因为π),所以 ,所以R =73 (2)由(1)可知a2+c2—ac=49,则(a+c)2=49+3ac. SAm= acsin B=号(a+b+c)·r,则r=× 7+a+c=213ד+a+49=21g(a+c-7). sinA=snc=sinB=1433,在△ABC中，由正弦定理- 所以a=14s sinA,c=143sinC,则a+c=14s3(sinA +sinC)=43[sinA+sin(2g-A)]=14s3(sinA +cos A+ sinA)=1433(3sinA+cos A)= 14(sinA·3+cosA·2)=14sin(A+否). 又A∈(0,3)u(3,23),所以A+6∈(6,否)u 12