6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例-【勤径学升】2024-2025学年高中数学必修第二册同步练测（人教A版2019）

(-,-1)u(-2,2).所以k的取值范围是( cos4=ab=后?+1+2.解 即-?+k k=-3或3.整理得3k2—8k—3=0,解得 [跟踪训练] 3.解析(1)设向量 a,b的夹角为0.因为(a+b)⊥b,则(a 十b)·b=a·b+b2=0,所以|a|·|b|cos 0+|b|2=0, 则4×2cos0+4=0,解得 cos0=-2,所以0=3 (2)解法一：由向量λa+b与a-2b垂直，得(λa+b)· (a-2b)=0.因为a=(-3,2),b=(-1,0),所以λa+b =(一3λ—1,2λ),a—2b=(-1,2),所以(λa+b)·(a— 2b)=(一3λ-1)×(一1)+2λ×2=0,即3λ+1+4λ=0, 解得λ=-7. 解法二：因为a=(-3,2),b=(-1,0),所以a2=13,b2 =1,a·b=3.又向量λa+b与a—2b垂直，所以(λa+ b)·(a-2b)=0,即 λa2+(1-2λ)a·b-2b2=13λ+ a=-号.3(1-2λ)-2=7λ+1=0,解得 答案(1)C(2)B [牛刀小试] 解 令向量m=(x+2,y),n=(2,-1),2x-y=t. 由|m·nl≤Iml|n|,得|2(x+2)-yl≤√(x+2)2+y ·√5=√5,即|t+4|≤√5,解得—4-√5≤t≤√5-4. 故2x—y的最大值是√5-4. 6.4 平面向量的应用 6.4.1 平面几何中的向量方法 6.4.2 向量在物理中的应用举例 【自主学习探新知】 知识点 1.(1)平面几何问题(2)向量运算 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [证明] 解法一：由已知得四边形 AECD为正方 形，设AE=a,AD=b. (1)∵DE=AE-AD=a-b,CB=EB-EC=a-b, ∴.DE=CB,∴DE//CB,即 DE//BC. (2)连接DM,MB,DM=DC+CM=a-2b,MB=ME +EB=-2b+a,:DM=MB.又DM与MB有公共点 M,∴D,M,B三点共线。 4y解法二：如图所示，以E为原 点，AB所在直线为x轴，ECD 所在直线为y 轴建立平面直 角坐标系，(在建立平面直角 坐标系时，要尽可能使更多 A的点落在坐标轴上，使更多 的线与x轴、y轴平行)连接MB,MD. c M E B 令|AD|=1,则|DC|=1,|AB|=2.∵CE⊥AB,且 AD =DC,∴四边形 AECD为正方形，∴可求得各点的坐 标分别为 E(0,0),B(1,0),C(0,1),D(-1,1). (1)∵ED=(-1,1)-(0,0)=(-1,1),BC=(0,1)- (1,0)=(-1,1),∴ED=BC,∴ED//BC,即DE//BC. (2)∵M为EC的中点，∴M(o,2),∴MD=(-1,1) -(0,2)=(-1,2),MB=(1,0)-(0,2)= (1,-1),:MD=-MB,:Mb//MB.又MD与MB 有公共点M,∴D,M,B三点共线。 [跟踪训练] 1.证明∵∠CDA=∠DAB=90°,AB//CD, CD=DA=2AB 故可设AD=e?,DC=e?,le?I=le?|, 则AB=2e?,∴AC=AD+DC=e?+e?, BC=AC-AB=(e?+e?)-2e?=e?-e?. 而AC·BC=(e?+e?)·(e?-e?) =e?-e2=|e?I2-|e?I2=0, ∴AC⊥BC,即 AC⊥BC. 探究二 [例2] [解](1)设AB=a,AC=b, 则AD=AB+BD=AB+gBC=AB+1(Ac-AB) =3AB+3Ac=3a+3b. ∴.|AD|2=AD2=(3a+3b)=4a2+2×2a·b+ gb3=4×9+2×2×3×3×cos 120°+1×9=3, ∴AD=√3. (2)设∠DAC=0,则向量AD与AC的夹角为0. -裔(s+) +3a?-×9+号38×-0=0 ∴0=90°,即∠DAC=90°% [跟踪训练] 2.解 设AD=a,AB=b, 则BD=a-b,AC=a+b,而|BD|=|a-b =√a2-2a·b+b2=√1+4-2a·b=√5-2a·b=2, 所以5-2a·b=4,所以a·b=2. 又|ACl2=|a+bl2=a2+2a·b+b2=1+4+2a·b=6, 所以|AC|=√6,即 AC=√6. 探究三 [例3] [解](1)如图，设AB表示水流的速度，AD表示 渡船的速度，AC表示渡船实际垂直过江的速度. 因为AB+AD=AC, 所以四边形 ABCD为平行四边形. 8 在Rt△ACD中，∠ACD=90°,|DCD_ C =|AB|=12.5,AD[=25,所以 ∠CAD=30°,即渡船要垂直地渡过 长江，其航向应为北偏西30°. (2)设物体在力F作用下的位移为s, A B 则所做的功为W=F·s. 因为AB=(7,0)—(20,15)=(-13,-15). 所以W?=F?·AB=(3,4)·(-13,-15) =3×(-13)+4×(-15)=-99(焦), W?=F?·AB=(6,-5)·(-13,-15) =6×(-13)+(一5)×(-15)=-3(焦). [变式训练] 1.解 W=F·AB=(F?+F?)·AB =[(3,4)+(6,-5)]·(-13,-15) =(9,-1)·(—13,—15) =9×(-13)十(-1)×(-15) =—117+15=—102(焦).—→ 2.解 由题意，AB=(7,0)—(20,15)=(-13,-15), F?=(1,1),F?=(4,-5). F做的功W?=F?·s=F?·AB=(1,1)·(-13, —15)=—28(焦). F?做的功W?=F?·s=F?·AB=(4,-5)·(-13, —15)=23(焦). [跟踪训练] 3.解析 (1)如图①所示，该物体在水平方向上的速度为 Iv?I=Iv。|·cos 60°=10×1=5(m/s). (2)如图②所示，由于α=60°,∴F?的大小为|F合|· sin60°=10×3=5√3(N). F? F v? v? 60° α△ F?V? 图① 答案(1)5(2)A 图② 6.4.3 余弦定理、正弦定理 第1课时 余弦定理 【自主学习探新知】 知识点一 b2+c2-2bccos A c2+a2-2cacos B a2+b2-2abcos C 知识点二 1.元素 2.其他元素 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解析](1)由余弦定理得 a=√60°2+(60(3)2-2×60×60J3×cos =√4×602-3×602=60(cm). (2)由余弦定理得(√5)2=52+BC-2×5×BC×0, 所以 BC2-9BC+20=0,解得 BC=4或5. [答案](1)60 (2)4或5 [跟踪训练] 1.解析(1)因为a=1,b=2,C=60°, 所以c=√a2+b2-2abcos C =√12+22-2×1×2cos 60°=√3. (2)由余弦定理，得 49= AC2+25-2×5×AC× cos 120°,整理得AC2+5AC-24=0,解得AC=3或 AC =—8(舍去). 答案(1)B (2)3 探究二 [例2] [解](1)根据余弦定理，cos A=+ba =6+26+2(3)43(262=. ∵A∈(0,π),∴A=6, osC=2+6-2=(252×2(6×(6+2-34)3°-. ∵C∈(0,π),∴C=4 ∴B=π-A-C=π-6-4=12π ∴A=6,B=12π,C=4. (2)已知a:b:c=2:√6:(√3+1),令a=2k,b=√6k, c=(√3+1)k(k>0), 由余弦定理的推论，得 cos A=6+2bca=2×6×343+1)2=2. ∵0°<A<180°,∴A=45°. cos B=22acB=22+2×3×13+(62=2 ∵0°<B<180°,∴B=60°% ∴C=180°—A—B=180°—45°—60°=75°. [跟踪训练] 2.解析(1)由余弦定理的推论，知cos B=a2+2a-3= Sac=5.又o<B<n,故B=6 ab+c=-1,(2)因为 ,所以a2—(b+c)2=—bc,即 a2-b2—c2-2bc=-bc,所以a2=b2+c+bc,由余弦定 理得cosA=+2bca=-2..因为0°<A<180°,所以 A=120°,故选A. 答案(1)A (2)A 探究三 [例3] [解] △ABC为直角三角形或等腰三角形.理由 如下： (角化边)∵(a—ccos B)b=(b—ccos A)a, ∴由余弦定理可得 (a-ca2+a-2)b=(b-co+2bca)a, 整理得(a2+b2—c2)b2=(a2+b2—c2)a2, 即(a2—b2)(a2+b2—c2)=0, ∴a2+b2—c2=0或 a2=b2. ∴a2+b2=c2或a=b. 故△ABC为直角三角形或等腰三角形. 9 第六章 平面向量及其应用 平面向量的应用6.4 6.4.1 平面几何中的向量方法 A伴学助手 直所苔键 配套答宴 盖霖 E 6.4.2 向量在物理中的应用举例 [学习任务] 1.理解用向量方法解决简单的平面几何问题、物理问题及其他一些实际问题. 2.掌握用向量方法解决问题的步骤，体会向量解决问题的优越性. 自主学习探新知 知识点 平面向量的应用 1.用向量方法解决平面几何问题的“三步曲” (1)建立平面几何与向量的联系，用向量表示问 题中涉及的几何元素，将 转化为向 量问题； (2)通过 ,研究几何元素之间的关系，如 距离、夹角等问题； (3)把运算结果“翻译”成几何关系. 2.向量在物理中的应用 (1)物理问题中常见的向量有力、速度、加速度、 位移等； (2)向量的加减法运算体现在力、速度、加速度、 位移的合成与分解； (3)动量 mv是向量的数乘运算； (4)功是力F与所产生的位移s的数量积. 互动探究解疑难 要点归纳 重难实破 探究一 利用平面向量证明平面几何问题 [例1] 已知在直角梯形 ABCD中，AD⊥AB,AB =2AD=2CD,过点C作CE⊥AB于 E,M为 CE 的中点，用向量的方法证明： (1)DE//BC; (2)D,M,B三点共线. 跟踪训练 1.在直角梯形 ABCD 中，AB// CD,∠CDA= ∠DAB= 90°,CD= DA=AB,求 证： AC⊥BC. 规律方法l---------------------------------- 用向量法解决平面几何问题的两种方法 (1)基底法：选取适当的基底(尽量用已知模或夹 角的向量作为基底),将题中涉及的向量用基底表示， 利用向量的运算法则、运算律或性质计算； (2)坐标法：建立平面直角坐标系，实现向量的坐 标化，将长度、垂直、平行等问题转化为代数问题。 一般地，存在坐标系或易建坐标系的题目用坐标 法更简单。 探究二 平面向量在几何求值中的应用 [例 2] 如图所示，在△ABC中，∠BAC=120°, AB= AC=3,点 D 在线段 BC 上，且 DC= 2BD.求： (1)AD的长； 人 (2)∠DAC的大小. 120° B D C 23 ?高中数学·必修 第二册 Ⅱ规律方法|I 利用向量法解决长度问题的策略 (1)向量法求平面几何中的长度问题，即向量长度 的求解，一是利用图形特点选择基底，向向量的数量积 转化，用公式|a|2=a2求解；二是建立坐标系，确定相应 向量的坐标，代入公式：若a=(x,y),则|a|=√x2+y2; (2)利用向量法求角的大小时，一般将这个角视作 两个向量的夹角，再利用向量的夹角公式求解. 跟踪训练 2.如图，平行四边形 ABCD中，已知 AD=1,AB= 2,对角线 BD=2,求对角线 AC的长. Ds C A< B 探究三 平面向量在物理中的应用 [例 3] (1)在长江南岸 某渡口处，江水以 12.5 km/h的 速 度 向 东 流，渡 船 的 速 度 为 25 km/h.渡船要垂直地渡过长江，其航向应如 何确定? (2)已知两恒力F?=(3,4),F?=(6,-5)作用于 同一质点，使之由点 A(20,15)移动到点 B(7, 0),求F?,F?分别对质点所做的功.(力的单位： 牛顿，位移单位：米) 变式训练 1.(变设问)本例(2)条件不变，求F?,F?的合力F 对质点所做的功. 2.(变条件)本例(2)条件变为：两个力F?=i+j,F? =4i-5j作用于同一质点，使该质点从点 A(20, 15)移动到点 B(7,0)(其中i,j分别是与x轴、 y轴正方向同方向的单位向量).求F?,F?分别 对该质点做的功. Ⅱ规律方法 用向量方法解决物理问题的“三步曲” 表示 把物理问题中的相关量用向量表示 转化 转化为向量问题的模型，通过向量的运算使 问题得以解决 还原 把结果还原为物理问题 跟踪训练 3.(1)某物体做斜抛运动，初速度|v?I=10 m/s,与 水平方向成60°角，不计空气阻力，则该物体在水 平方向上的速度是 _m/s. (2)(陕西咸阳期中)已知两个力F?,F?的夹角为 90°,它们的合力大小为10 N,合力与F?的夹角 为60°,那么 F?的大小为 ( ) A.5√3 N B.5N D.5√2 NC.10 N 易错 忽视力与速度的方向性致错 警示 [典例] 某人在无风条件下骑自行车的速度为 v?, 若风速为 v?(|v?I>|v?I),则逆风行驶的速度大 小为 ( ) A.v?+v? B.v?—v? D.|v?I-|v?IC.|v?I+|v?I [解析] 选项 A,B表示的是向量(速度),选 项 C,D表示的是向量模的运算(速度的大 小).|v?I+|v?|表示的是某人骑自行车时顺 风行驶的速度大小，|v?I一|v?|表示的是某人 骑自行车逆风行驶的速度大小.故选 D. [答案] D Ⅱ误区警示|l- 在实际生活中，我们经常遇到与力、速度等有关的 问题，在解决问题时，要注意力和速度等既有大小又有 方向，也要注意题中求的是什么. 提示请完成《素能提升训练》训练十 24