7.3.2 离散型随机变量的方差-【勤径学升】2024-2025学年高中数学选择性必修第三册同步练测（人教A版2019）

第七章 随机变量及其分布 7.3.2 离散型随机变量的方差 [学习任务] 1.理解取有限个值的离散型随机变量的方差及标准差的概念，掌握方差的性质.(重点) 2.能计算简单离散型随机变量的方差，并能解决一些实际问题.(难点) 自主学习探新知 课前预习 双基落实 知识点一 离散型随机变量的方差、标 准差 设离散型随机变量 X的分布列为 X x? T? ⋯ x ⋯ P P? p? ⋯ p ⋯ p 考虑X所有可能取值x;与E(X)的偏 差的平方(x?—E(X))2,(x?—E(X))2,⋯, (x,—E(X))2.因为 X取每个值的概率不尽 相同，所以我们用偏差平方关于取值概率的 加权平均，来度量随机变量 X取值与其均值 E(X)的偏离程度，我们称 D(X)=(x?—E(X))2p?+(x?— E(X)°p?+⋯+(z,-E(X)2p。=2(x,- E(X))2pi 为随机变量 X的方差，有时也记为 Var(X),并称√D(X)为随机变量X的标准 差，记为σ(X). 知识点二 几个常见的结论 (1)D(aX+b)=a2D(X). (2)若X服从两点分布，则D(X)=p(1—p). 试一试 1.有甲、乙两种水稻，测得每种水稻各10株的 分蘖数 据，计算出样 本均值 E(X甲)= E(Xz),方差分别为D(X甲)=11,D(Xz)= 3.4.由此可以估计 ( ) A.甲种水稻比乙种水稻分蘖整齐 B.乙种水稻比甲种水稻分蘖整齐 C.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度相同 D.甲、乙两种水稻分蘖整齐程度不能比较 2.(多选)已知随机变量 X的分布列为 X -1 0 1 12 1sP 则下列式子正确的是 ( ) A.E(X)=-3 B.D(X)=27 C.P(X=0)=3 D.P(X≥0)=2 3.小智参加三分投篮比赛，每投一次，投中得1 分，投不中扣1分，已知小智投篮的命中率 为0.5,记小智投篮三次后的总分数为随机 变量ξ,则 D(|ξ1)为 . 互动探究解疑难 要点归纳 重难突破 探究一 求离散型随机变量的方差 [例1] 设随机变量 X的分布列为 X 1 2 3 4 14 13 6 4P 则 D(X)= ( ) B.14 c.14 D.2A.2 -Ⅱ规律方法|l-⋯⋯⋯ 求离散型随机变量X的方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能取的全部值； (2)求X取各个值的概率，写出分布列； (3)根据分布列，由期望的定义求出 E(X); (4)根据公式计算方差. 51 ?高中数学·选择性必修 第三册 跟踪训练 1.已知随机变量X的分布列为 X 0 1 x 亏 310P p 且 E(X)=1.1,则 D(X)= . 探究二 方差的性质(一题多变) [例 2] 已知随机变量 X的分布列为 X 0 1 x 2P p 若E(X)=3,则： (1)求 D(X)的值； (2)若Y=3X-2,求√D(Y)的值. 变式训练 (变条件)若例 2(2)中“Y=3X-2”改为： “Y=2X+1”,求√D(Y)的值. 规律方法[--------------------- 方差的计算需要一定的运算能力，公式的记忆不 能出错!在随机变量 X2的均值比较好计算的情况下， 运用关系式 D(X)=E(X2)一[E(X)]不失为一种比 较实用的方法.另外注意方差性质的应用，如 D(aX+ b)=a2D(X). 跟踪训练 2.设随机变量 X的分布列为 X -1 0 1 12 13 6P 若Y=2X+2,则 D(Y)= ( ) A.-3 B.5 c.1 D.9 探究三 方差的实际应用 [例3] 已知甲、乙两名射手在一次射击中的 得分为两个相互独立的随机变量 X,Y,甲、 乙两名射手在每次射击中击中的环数均大 于6环，且甲射中10,9,8,7 环的概率分别 为0.5,3a,a,0.1,乙射中10,9,8环的概率 分别为0.3,0.3,0.2. (1)求X,Y的分布列； (2)求X,Y的数学期望与方差，并以此比较 甲、乙的射击技术并从中选拔一人. -II规律方法 利用均值和方差的意义解决实际问题的步骤 (1)比较均值：离散型随机变量的均值反映了离散 型随机变量取值的平均水平，因此，在实际决策问题 中，需先计算均值，看一下谁的平均水平高。 (2)在均值相等的情况下计算方差：方差反映了离 散型随机变量取值的稳定与波动，集中与离散的程度。 通过计算方差，分析一下谁的水平发挥相对稳定. (3)下结论：依据均值和方差的几何意义做出 结论。 52 第七章 随机变量及其分布 跟踪训练 3.(福建南安高三月考)某品牌轿车经销商组 织促销活动，给出两种优惠方案，顾客只能 选择其中的一种.方案一：每满6万元，可减 6千元；方案二：金额超过6万元(含6万 元),可摇号三次，其规则是依次从装有 2个 幸运号、2个吉祥号的一号摇号机，装有 2个 幸运号、2个吉祥号的二号摇号机，装有1个 幸运号、3个吉祥号的三号摇号机各摇号一 次，每次摇出一个号.其优惠情况为若摇出3 个幸运号打六折，若摇出 2 个幸运号打七 折，若摇出 1个幸运号打八折，若没摇出幸 运号则不打折. (1)若某型号的车正好 6万元，两名顾客都 选方案二，求至少有一名顾客比选方案一更 优惠的概率； (2)若你的朋友看中一款价格为10万元的 轿车，请用所学知识帮助你的朋友分析一下 应选择哪种优惠方案. 易错 均值方差概念不熟致误 警示 [典例] 设0<a<1,随机变量X的分布列是 X 0 1a 3 13 113P 则当 a在(0,1)内增大时， ( ) A.D(X)增大 B.D(X)减小 C.D(X)先增大后减小 D. D(X)先减小后增大 [错因分析] 研究方差随a变化的增大或 减小规律，常用方法就是将方差用参数 a 表示，应用函数知识求解. E(X)=3×0+[解析] 由分布列可得 3×a+3×1=as1,D(X)=3× (o-a31)2+3×(a-a31)2+3× (1-a+1)2=9a2-ga+2,a∈(0,1).该 a=2函数图象的对称轴为直线 ,且该函数 (0,2)上单调递减，在 (2,1)上单调递增，在 所以 D(X)先减后增，故选D. [答案] D 随堂巩固促应用 验证反馈 迁移运用 1.已知随机变量X的分布列为P(X=k)=3 ( )k=3,6,9.则 D(X)= A.6 B.9 C.3 D.4 2.已知随机变量ξ的分布列如下表，则ξ的标 准差为 ( ) X 1 3 5 P 0.4 0.1 x A.3.56 ]B.√3.2C.3.2 D.√3.56 3.(浙江宁波高二月考)随机变量ξ的分布列 如表所示，其中a,b,c成等差数列，则 D(ξ) ( ) 5 n n+1 n+2 P ba c 23A.与n有关，有最大值 23B.与n有关，有最小值 23C.与 n无关，有最大值 23D.与n无关，有最小值 4.已知X是离散型随机变量，E(X)=6,D(X)= 0.5,X?=2X-5,那么 E(X?)= , D(X?)= 提示、请完成《素能提升训练》训练十五 53 34>2.(2)由 .故从收益的角度考虑，我愿意参加一次抽 奖活动. [跟踪训练] 3.解(1)设下周一无雨的概率为 p, 由题意知，p2=0.36,p=0.6, 基地收益 X的可能取值为20,15,10,7.5, 则 P(X=20)=0.36,P(X=15)=0.24,P(X=10) =0.24,P(X=7.5)=0.16, 所以基地收益 X的分布列为 X 20 15 10 7.5 P 0.36 0.24 0.24 0.16 基地的预期收益 E(X)=20×0.36+15×0.24十 10×0.24+7.5×0.16=14.4, 所以基地的预期收益为14.4万元. (2)设基地额外聘请工人时的收益为Y万元， 则其预期收益 E(Y)=20×0.6+10×0.4—a=(16—a) 万元，E(Y)—E(X)=1.6-a, 综上，当额外聘请工人的成本高于1.6万元时，不外聘 工人；成本低于1.6万元时，外聘工人；成本恰为1.6万 元时，是否外聘工人均可以. 【随堂巩固促应用】 1.C 由0.1+a+b+0.1=1,得a+b=0.8.又由E(X)= 0×0.1+1×a+2×b+3×0.1=1.6,得a+2b=1.3,解 得a=0.3,b=0.5,则 a—b=—0.2. 2.B 因为P(X=1)=0.8,P(X=0)=0.2,所以E(X)= 1×0.8+0×0.2=0.8. 3.A X的可能取值为0,1,2,P(X=0)=C=5 P(X=1)=GiC=,P(X=2)=8=5.所以 E(X) =1×15+2×15=3. 4.解析 由题意知，X的可能取值为1,2,3,且P(X=1) =0.2,P(X=2)=0.8×0.2=0.16,P(X=3)=0.8× 0.8=0.64,所以 E(X)=1×0.2+2×0.16+3×0.64= 2.44. 答案 2.44 7.3.2 离散型随机变量的方差 【自主学习探新知】 试一试 1.B D(Xm)>D(Xz),所以乙种水稻比甲种水稻分蘖 整齐。 2.ACD 由分布列可知，E(X)=(-1)×1+0×1+ ,故A正确；D(X)=(-1+g)×2+1×6=-3 (o+g)×g+(1+3)×?=5,,故 B不正确，CD 显然正确。 3.解析 根据题意，ξ的可能取值为-3,-1,1,3,P(ξ= -3)=C8×(2)3=g,P(ξ=-1)=C!×(2)=3, P(ξ=1)=C×(1)=3,P(ξ=3)=C×(2)= 18-,则P(|5I=1)=8+3=4,P(|5=3)=g+8 4,所以E(|5)=3×4+1×4=2,所以 D(lξl) =(3-3)×4+(1-3)×4=4. 34答案 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] C 由题意知，E(X)=1×4+2×1+3×6+ 4×4=1, 故D(X)=(1-)×4+(2-1)2×3+(3-) ×?+(4-)×4=149 [跟踪训练] p=1-亏-3o=1.解析 由随机变量分布列的性质可得 2.又E(X)=0×5+1×2+x×30=1.1,解得x=2.所 以D(X)=(0-1.12×号+(1-1.102×1+(2-1.1)2× o=0.49. 答案 0.49 探究二 2++p=1,解得[例2] [解] 由分布列的性质，得 p=6 ∵E(X)=0×1+1×3+6~=3,∴x=2. (1)D(X)=(0-3)2×1+(1-3)×3+ (2-3)×?=25=5. (2)∵Y=3X-2,∴D(Y)=D(3X-2)=9D(X)=5, ∴√D(Y)=√5. [变式训练] 解 因为Y=2X+1,所以 D(Y)=D(2X+1)=4D(X) =9,所以√DCY)=235 [跟踪训练] 2.D 由题意知，E(X)=-1×1+0×1+1× 6=-1,故D(X)=(-1+g)2×2+(o+3)× 3+(1+g)×?=5,D(Y)=D(2X+2)=4D(X) =4×5=90 探究三 [例3] [解](1)依题意，0.5+3a+a+0.1=1, 解得a=0.1. ∵乙射中10,9,8环的概率分别为0.3,0.3,0.2, ∴乙射中7环的概率为1-(0.3+0.3+0.2)=0.2. 18 ∴X,Y的分布列分别为 X 10 9 8 7 P 0.5 0.3 0.1 0.1 Y 10 9 8 7 P 0.3 0.3 0.2 0.2 (2)由(1)可得 E(X)=10×0.5+9×0.3+8×0.1+7×0.1=9.2; E(Y)=10×0.3+9×0.3+8×0.2+7×0.2=8.7; D(X)=(10—9.2)2×0.5+(9-9.2)2×0.3+(8-9.2)2× 0.1+(7—9.2)2×0.1=0.96; D(Y)=(10-8.7)2×0.3+(9-8.7)2×0.3+(8-8.7)2× 0.2+(7—8.7)2×0.2=1.21. 由于 E(X)>E(Y),说明甲平均射中的环数比乙高； 又∵D(X)<D(Y),说明甲射中的环数比乙集中，比较 稳定。 ∴甲比乙的技术好，故应选拔甲射手。 [跟踪训练] 3.解(1)方案一相当于打九折，要使选择方案二比选择 方案一更优惠，则至少需要摇出1个幸运号，设顾客三 次都没摇出幸运号为事件A,则P(A)=4×4×4= 16,故所求的概率p=1-(P(A)2=1-(6)=256 (2)若选择方案一，则需要付款10—0.6=9.4(万元).若 选择方案二，设付款金额为 X万元，则 X∈{6,7,8, 10},P(X=6)=2×2×1=16,P(X=7)= 2×2×3+2×2×1+2×2×1=6,p(X= 8)= 2×2×3+2×2×3+2×2×1=6,P(X=10)=6,故 X的分布列为 X 76 8 10 11 6 3176P 所以E(X)=6×6+7×56+8×76+10×6=7.9375. 因为7.937 5<9.4,所以应选择方案二. 【随堂巩固促应用】 1.A E(X)=3×3+6×3+9×3=6.D(X)= (3-6)2×3+(6-6)2×1+(9-6)2×1=6. 2.D 依题意：0.4+0.1+x=1,∴x=0.5,∴E(X)=1× 0.4+3×0.1+5×0.5=3.2,D(X)=(1—3.2)2× 0.4+(3-3.2)2×0.1+(5—3.2)2×0.5=3.56, ∴√D(X)=√3.56. b=3,E(E)=na3.C 依题意，a+c=2b,a+b+c=1,所以 十(n+1)b+(n+2)c=n(a+b+c)+b+2c=n+b+2c. E(∈)=n2a+(n+1)2b+(n+2)2c,所以 D(ξ)= E(ξ)-[E(ξ)]2=n2a+(n+1)2b+(n+2)2c—(n+b+2c)2 =-4c2+8c+9=-4(c-3)+3(o≤c≤3),所 3c=3以D(ξ)与n无关，且当 .故时，D(ξ)有最大值 选C. 4.解析 由期望和方差的运算性质知，E(X?)=E(2X一 5)=2E(X)-5=7,D(X?)=D(2X-5)=22D(X)=2. 答案 7 2 7.4 二项分布与超几何分布 7.4.1 二项分布 【自主学习探新知】 试一试 1.B 播下3粒种子恰有2粒发芽的概率为C(告)× (1-y)=125 2.D 因为 X～B(20,p),所以 E(X)=20p=6,解得 p= 0.3,故 D(X)=20p(1-p)=20×0.3×0.7=4.2.故 选D. P(X=4)=c:(3)(1-3)=2433.解析 243答案 【互动探究解疑难】 探究一 [例1] [解](1)由于试验的条件不同(质地不同),因 此不是 n重伯努利试验。 (2)某人射击且击中的概率是稳定的，因此是 n重伯努 利试验。 (3)每次抽取时，球的个数不一样多，且每种颜色出现的 可能性不相等，因此不是 n重伯努利试验。 [跟踪训练] 1.D ①③符合互斥事件的概念，是互斥事件；②是相互 独立事件；④是n重伯努利试验. 探究二 X~B(3,3)[例 2] [解」(1)由题意，得 ,所以 P(X= k)=cs(3)“·(3)(k=0,1,2,3),所以X的分布 列为 P 0 1 2 3 12 419 82X (2)由(1)得，小球落入A袋的概率为P(X=3)+P(X=0) 1-3=3=27+27=3,小球落入 B袋的概率为 19